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线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
线性方程组的解集与解空间
线性方程组的解集与解空间
介绍
在线性代数中，线性方程组是一组包含线性方程的方程组。
通过求解线性方程组，我们可以确定一组解，该组解称为解集。
解集可以用解空间的概念来进行描述。
解集
解集是一个包含所有解的集合。
对于一个线性方程组，可能存在以下几种情况：
1. 无解：如果线性方程组不存在解，则解集为空集。
2. 唯一解：如果线性方程组存在且只存在一个解，则解集包含该唯一解。
3. 无穷解：如果线性方程组存在无穷多个解，则解集可以用参数表示。
对于无穷解的线性方程组，我们可以使用参数表示解集中的每
个解。
通过给参数赋予不同的值，我们可以得到不同的解。
解集可
以通过列举其中的几个解，并使用参数表示其他解。
解空间
解空间是解集所在的向量空间。
对于一个线性方程组，其解空
间可以通过解集中的向量生成。
解空间包含了线性方程组所有的解。
解空间是一个向量空间，其维数可以通过方程组的变量个数和自由
变量的个数来确定。
解空间中的向量可以表示为方程组的一个特解加上线性组合形
式的自由变量向量。
通过改变自由变量的取值，我们可以得到解空
间中的不同向量。
结论
通过求解线性方程组，我们可以确定一组解，即解集。
解集可以通过参数表示，并且它们在解空间中生成一个向量空间。
解空间是一个包含线性方程组所有解的向量空间。
对于线性方程组的解集与解空间的研究，对于理解向量空间的性质以及解集的特性有着重要意义。
线性方程组的解的结构与求解
线性方程组的解的结构与求解线性方程组是数学中常见的重要概念，它在各个领域的应用广泛。
本文将探讨线性方程组解的结构以及求解方法。
一、线性方程组的基本概念在进行线性方程组的解析之前，首先我们需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次项之和等于常数的形式。
一般来说，线性方程组的形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数。
二、线性方程组解的结构线性方程组的解的结构可以分为三种情况：有唯一解、无解和无穷多解。
1. 有唯一解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有唯一解：- 方程组的系数矩阵的行列式不等于0（即系数矩阵可逆）；- 方程组的系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数。
在这种情况下，解可以通过矩阵运算得到，即将方程组写成矩阵的形式（AX=B），其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数列向量。
解可以表示为X=A⁻¹B。
2. 无解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组无解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩。
无解的情况表示方程组的方程之间存在冲突，无法找到满足所有方程的解。
3. 无穷多解的情况当线性方程组满足以下条件时，方程组有无穷多解：- 方程组的系数矩阵的行列式等于0；- 方程组的增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，小于未知数的个数。
在这种情况下，方程组的解具有自由变量的形式，可以通过参数化表示。
通常，可以使用高斯消元法或矩阵的特殊解与齐次方程的通解相结合的方法求解。
三、线性方程组的求解方法求解线性方程组的方法有多种，包括高斯消元法、矩阵的逆和Cramer法则等。
线性方程组的解法完整版PPT资料
(2)迭代格式是否收敛？
(3)收敛速度如何？
(4)如何进行误差估计？
高斯塞德尔Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是通过对Jacobi迭代法稍加改 进得到的。 Jacobi迭代法的每一步迭代新值
x(k+1)=[x1(k+1),x2(k+1) , ···,xn(k+1)]T 都是用前一步的旧值
X(k+1)= BX(k) + f
(k1)
x 1/10 0 1/10x 8/10 特别当aii≠0时，将上面迭代2公式应用于方程组 甚至可以举出Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散的例子。 但是迭代法也存在着收敛性(和k收敛1)速度等方面的问题。
x 1/151/15 0 x 13/15 例 线性方程组 Ax = b, 分别3取系数矩阵为
DX(k+1)＝b-LX(k+1) - UX(k)
即
(D+L)X(k+1) ＝ -UX(k)+b
n
aij x j bi (i = 1,2,…,n)
j1
xi(k 1)a 1 ii[b iij 1 1aix j (jk 1)j n i 1 aix j (jk)]
(i = 1,2,···,n; k =0,1,2,···)
分量形式的高斯-塞德尔迭代公式。
用矩阵形式来表示高斯-塞德尔迭代公式
x(k)=[x1(k),x2(k) , ···,xn(k)]T 的全部分量计算出来的。那么在计算第i个分量 xi(k+1) 时，已经计算出 x1(k+1),x2(k+1) , ···,xi-1(k+1) (i-1) 个分量，这些分量新值没用在计算xi(k+1) 上。将这
3.1 线性方程组的解
3.1 线性方程组的解线性方程组的解。
线性方程组是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在代数学中，线性方程组是一组由一元或多元的线性方程组成的方程组，它们之间的关系是线性的。
线性方程组的解是指能够满足所有方程的变量的取值，使得方程组成立。
在这篇文章中，我们将讨论线性方程组的解的性质和求解方法。
首先，我们来看一下线性方程组的一般形式。
一个包含n个未知数的线性方程组可以写成如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。
其中，aij和bi分别是常数，x1到xn是未知数。
这个方程组可以用矩阵表示为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b分别是n×1和m×1的向量。
线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。
首先，如果线性方程组有且仅有一个解，我们称这个解为唯一解。
这意味着方程组中的每个方程都是相互独立的，且能够通过消元法得到唯一的解。
其次，如果线性方程组有无穷多个解，我们称这个解为无穷解。
这意味着方程组中的某些方程是相互依赖的，导致方程组有无穷多个解。
最后，如果线性方程组没有解，我们称这个解为无解。
这意味着方程组中的某些方程是矛盾的，导致方程组无法满足。
现在，我们来讨论线性方程组的求解方法。
对于一个包含n个未知数的线性方程组，我们可以使用消元法、矩阵法和克拉默法则等方法来求解。
消元法是一种基本的求解方法，它通过逐步消去未知数的系数，将方程组化简为最简形式，从而求得解。
矩阵法是一种更加高效的求解方法，它利用矩阵的性质和运算规则，将方程组表示为矩阵形式，并通过矩阵运算求得解。
克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，它通过计算方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式来求得解。
第七讲齐次线性方程组的解空间
第七讲:齐次线性方程组的解空间པད་མ་སྲི་ཆོད་དང་ཧྲི་ཐར་སོལ་མ།白玛石久和石塔卓玛一:0Ax =的解集是一个向量空间 设{}{}()0N A x Ax ===全体A x=0的解证明：首先看()N A 中能否做加法运算:任意取,(),x y N A ∈()0,0A x y Ax Ay Ax Ay +=+⎫⎬==⎭即 ()000A x y Ax Ay +=+=+=所以()x y N A +∈即()N A 里可以做加法运算。
再看()N A 里能否做数乘运算，任意取一个数,a R ∈任取()x N A ∈，()()00A ax a Ax a ===，所以()ax N A ∈即()N A 中可以做数乘运算。
总结：()N A 中可以加法运算和数乘运算，即 ()N A 为一个向量空间。
()N A 的不同名称;① 的解空间②的零空间 二：0Ax =的完整求解例1：设112213314415A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123x X x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 00000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求解0Ax = 解：在化简过程中右边始终就是0向量，因此只需化简左边系数矩阵。
112112112112101213011011011011314314022022022415115415033033A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦101101101011011011000000000033000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0Ax =化简为13230x x x x +=⎧⎨+=⎩0Ax =A因为，()r A =真方程个数=2，未知量个数=3，所以，自由未知量个数=3-2=1即有一个自由未知量。
线性方程组的解空间
线性方程组的解空间线性方程组是数学中的基本概念之一，它描述了若干个线性方程的集合。
解空间是指方程组的全部解构成的向量空间。
本文将介绍线性方程组的解空间及其性质。
一、线性方程组的定义线性方程组由若干个线性方程组成，每个方程可表示为：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中a1, a2, ..., an为已知系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b为常数。
线性方程组可写成矩阵形式：AX = B其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n维列向量，B是一个m维列向量。
二、线性方程组的解空间线性方程组有三种解情况：无解、唯一解和无穷解。
当方程组无解时，解空间为空集；当方程组有唯一解时，解空间为唯一解构成的向量空间；当方程组有无穷解时，解空间为一维或多维线性子空间。
三、线性方程组解的充要条件若线性方程组的矩阵A的秩rank(A)等于其增广矩阵[A|B]的秩rank([A|B])，则方程组有解。
若rank(A)<rank([A|B])，则方程组无解。
当方程组有解时，可通过高斯消元法或矩阵的初等行变换求得方程组的解。
四、线性方程组解空间的性质1. 零空间：线性方程组AX = 0的解称为零空间，它是解空间的一个重要子空间。
零空间中的向量满足齐次线性方程组的条件，即A的任意一列的线性组合为0。
2. 特解和齐次解：若AX = B有解，其中X0是AX = 0的一个特解，则AX = B的解集为X = X0 + Xc，其中Xc为齐次线性方程组的解集。
3. 解空间的维数：解空间的维数等于方程组的未知数个数n减去矩阵A的秩rank(A)。
五、应用领域线性方程组的解空间在数学和工程等领域有广泛的应用。
在数学中，它用于研究线性变换和线性方程组的理论；在工程中，它用于求解工程问题，如电路分析、高频通信、图像处理等。
总结：线性方程组的解空间是指方程组的全部解构成的向量空间。
解空间的性质包括零空间、特解和齐次解、解空间的维数等。
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第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注：)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。
分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。
由题述关系PA B =得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m im i im i i p p A p p ααβ 111),,(),,( =),,2,1(;11m i p p m im i =++αα即B 的每个行向量都可以由A 的行向量线性表示；因为P 可逆，有B P A 1-=，同上得A 每个行向量都可以由B 的行向量线性表示，这样这两组向量等价。
定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。
证法：设r A r =)(，分别证行、列空间的维数为r 。
由维数的定义及行空间的概念，只需证行（列）空间的生成元的极大无关组含r 个向量；为此不直接讨论A ，由引理讨论讨论与A 有相同行空间的一个矩阵，可结合有关矩阵的结论：存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=οοοr I PAQ 。
证明：设r A r =)(，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=οοοr I PAQ （1），两边右乘1-Q 得1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I PA r οοο，上式右端中后r m -行全为0，而前r 行即为1-Q 的前r 行；由于1-Q 可逆，所以它的行向量线性无关，因而它的前r 行也线性无关，由此得上式右端乘积矩阵的行空间的维数为r ，由引理A 的行空间的维数为r 。
由（1）类似得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-οοοr I P AQ 1，可得A 的列空间的维数也为r 。
定义：矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数，叫做矩阵A 的秩。
2、线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同。
”证明：设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a 1111111 （1）令n αα,,1 表示（1）的系数矩阵A 的列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b 1β，则（1）可写为：βαα=++n n x x 11 （2）必要性）若（1）有解，即存在n x x ,,1 使（2）成立，即β可由n αα,,1 线性表示，从而n αα,,1 与βαα,,,1n 等价，进而L （n αα,,1 ）=L （βαα,,,1n ），即A 与A 的列空间相同，由定理)()(A r A r =。
充分性）若)()(A r A r =，由定理2),,,(dim ),,(dim 11βααααn n L L =即A 与A 的列空间维数相同，又因n αα,,1 的极大无关组一定是βαα,,,1n 的线性无关组，所以),,,(),,(11βααααn n L L =，即),,(1n L ααβ ∈，因而β可由n αα,,1 线性表示，所以（1）有解。
2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组，令A 为其系数矩阵，则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量，叫做（3）的一个解向量。
令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο，所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ，有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(，即S b a ∈+ηξ。
因此S 作成n F 的一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间。
注：当ο=AX 仅有零解时，{}ο=S ；当ο=AX 有非零解时，上述讨论反映了齐次线性方程组的解的两个重要性质：1）两解之和为解；2）一解之倍数仍为解。
从而有无穷多解，那么这些解是否可用有限个解表出，上知（3）的解集S 是n F 的一个子空间，从而说明这是可以的，只需求出S 的一个基即可。
下面就来解决这个问题，即求（3）的解空间的一个基。
重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <，则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m rr m r n r r C I ,,,οο，与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ，这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号。
（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +，依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ，可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη。
下面证其是（5）的解空间的一个基。
首先：n r ηη,,1 +线性无关。
事实上设οηη=++++n n r r k k 11，由下面r n -个分量易得01===+n r k k 。
其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解，代入（5）得：n rn r rr r nn r r n n r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++ 112112211111又有恒等式：n n r r k k k k ==++11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111，即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示，故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基。
注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解，所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基，从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题。
并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组，在等价组中自由未知量是清楚的，给其一组线性无关值，便得等价组的一组解向量，其构成等价组的解空间的一个基，再调整解向量的次序便得。
上述讨论得：定理6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称之为这个线性方程组的解空间。
若所给方程组的系数矩阵的秩为r ，则解空间的维数为r n -。
定义：一个齐次线性方程组的解空间的一个基，叫做这个方程组的一个基础解系。
注：上述讨论给出了齐次线性方程组的基础解系的存在性及求法；其中自由未知量取值时，只需保证线性无关即可。
（例略）3）非齐次线性方程组的解的结构设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组。
问题当（6）有无穷解时，解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0，便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7），齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组。
注：任一线性方程组都有唯一的导出齐次线性方程组。
为讨论上述问题，先讨论（6）与其导出齐次线性方程组（7）的解之间的关系。
1）（6）的两个解的差是（7）似的解；事实上，设βα,是（6）的两个解，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m b b A A 1βα，所以οβαβα=-=-A A A )(。
2）（6）的一个解与（7）的一个解的和是（6）的一个解。
（同上）（6）的解的构造：定理6.7.4若（6）有解，则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和。
证明：设γ是（6）的一个固定解，δ是（6）的任一解，要证δ可以写为γ与（7）的一个解的和，只需证δ与γ的差是（7）的一个解即可，由上1）显然。
注：定理说明要求（6）的一般解，只需求出（6）的一个解，再求出（6）的一个基础解系，则可将（7）的所有解表出。
（注意（7）的解不作成解空间）。
（例略）。