线性方程组的解的结构
线性方程组解的结构(重要知识)
3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解
高等代数3.6 线性方程组解的结构
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
考研数学线代资料—线性方程组(解的结构).doc
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模块十线性方程组（解的结构）一.齐次线性方程组1. 齐次线性方程组解的性质定理：如果％，％为齐次线性方程组Av = 0的两个解，则对任意的实数么，什7|+么/72仍为Ax = 0的解。
注：i）该定理也可以概括为7l,%的任意线性组合仍为Ar = 0的解；ii）该定理还4以推广到多个叫量的情况：假设％,%，...，％是Ar = 0的解，则H，…，门k的任意线性组合仍为Av = 0的解；2. 基础解系（1）基本概念假设齐次线性方程组Av = 0有非零解。
向跫组&，&,...，么称为齐次线性方程组Av = 0的基础解系，如果它们满足如下三个条件：（1）6，么，...，么都是Ax = 0的解；（2）&，☆，...，☆线性无关；（3）Ax = Q的任意解都可以由A，A，...，☆线性表出。
如果f,，A，...，A为Av = 0的基础解系，则Ar = 0的通解叶以表示为kg、+k2g2+••• + /（:j s（k”k2，…，k s e R）。
注：基础解系是求齐次及非齐次线性方程组通解的太键，是解的结构部分最重耍的概念，为了让考生对该概念奋正确而全面的认识，我们从如K两方面來予以说明：1）齐次线性方程组Av = O的基础解系&，《，...，么是Av = O的一组线性无关的解，它们可以线性表出Av = O的任意解。
也就是说，假设汉是Ax = O的任一解，向量组&，...，&，《是线性相关的。
通过I:述分析不难发现，葙础解系木质上是齐次线性方程组解集的慠太线蚀无关組。
线性方程组的参数化形式和解的结构
线性方程组的参数化形式和解的结构线性方程组是高等数学中的一个重要概念，其在各种领域中都有广泛的应用，包括物理、工程、计算机科学等。
在研究线性方程组的参数化形式和解的结构时，我们需要掌握基本的概念及其相关的定理，同时还需要深刻理解它们之间的关系。
本文将探讨线性方程组的参数化形式及其解的结构。
一、线性方程组的基本概念首先，我们需要了解线性方程组的基本概念。
一般来说，一个线性方程组包含n个未知量x1，x2，…，xn，以及m个线性方程。
一般可以表示为：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm其中，a11，a12，…，anm是方程的系数，b1，b2，…，bm是常数，x1，x2，…，xn是未知量。
此外，方程组中的每个方程都是线性的，可以总结为以下两种基本形式：ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = biai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0其中，第一种形式是常数项不为零的一般形式，第二种形式是常数项为零的齐次形式。
我们在研究线性方程组的参数化形式和解的结构时，主要关注齐次形式。
二、线性方程组的参数化形式对于一个线性齐次方程组，其形式为：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0…am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0我们将其表示为一个矩阵方程Ax=0，其中：A = (a11 a12 … ana21 a22 … an… … … …am1 am2 … amn)x = (x1 x2 … xn)T其中，T表示矩阵的转置。
我们可以看出，该矩阵是m行n列的矩阵，其秩为r(A)。
根据线性代数的基本定理，其零空间的维数为n-r(A)。
在此基础上，我们可以给出线性齐次方程组的参数化形式：x = c1α1 + c2α2 + … + cmαm其中，c1，c2，…，cm是任意常数，α1，α2，…，αm是满足Ax=0的n维列向量。
非奇次和齐次线性方程组解得结构
1 2 （1）化方程组的增广矩阵为行最简形，写
出方程组的全部解。令自由未知量全为0，
0 12
.
得到一个特解。
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
0 0 0
1 2 0 0
5 7 0 0
1 1
4 0
0 0
0 0
1 1 0 0
5 7
2 0
0
1
1
2 0 0
0
0
0
0
1 0 0
3
2 7
2 0
0
1
2
0
0
即原方程组与方程组
x1
3 2
x3
x4
x2
7 2
x3
2 x4
同解，其中 x3 , x4 是自由未知量
x3 , x4 T 取值 1,0T ,0 ,1T ，分别得方程组的解为
从而基础解系为 v1
1 2
,
v2
0
;
3
通解为v
c1v1
c2v2 .
0
1
三、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明 A1 0, A2 0
4.4-线性方程组解的结构
cr brr1cr1 brr2cr2 cr1 1 cr1
ccrn2
1 cr2
写成向量形式即为：
b1ncn b2ncn
brncn b1ncn
b2ncn brncn 1 cn
b1r1
b1r2
b1n
c r 1
brr1 1
b1n
b2n
A
行
0
0
1 brr1 brr2
brn
0 0
00 0
0
0 0
00 0
0
于是，齐次线性方程AX=0组的同解方程组为
x1 b1r1xr1 b1r2xr2 b1
b2r2 xr2
b2n xn
xr brr1xr1 brr2xr2 brn xn
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r1
b2r
1
b1r2
b2r
2
1
brr1 1
,
2
brr2 0
,
0 1
0
0
b1n
b2n
, nr
brn 0
0
1
现证1,2, ,nr就是线性方程组AX=0的
x1 x3
x2
4x5 x5
x4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝c11 c22 c1,c2 R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
补充： 线性方程组解的结构
§3.4线性方程组解的结构对于线性方程组,当时, 中不为零的阶子式所含的个列以外的个列对应的未知量称为自由未知量;当时, 中不为零的阶子式所含的个行所对应的个方程以外的个方程是多余的,可删去而不影响方程组的解.又时,方程组无穷多个解,为什么代表了它的全部解?(一) 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为其中,方程的解有下列性质:1、如果是齐次线性方程组的两个解,则也是它的解.2、如果是齐次线性方程组的解,则也是它的解（是常数）.3、如果都是齐次线性方程组的解,则其线性组合也是它的解.其中都是任意常数.由此可知，如果一个齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷多解，这无穷多解就构成了一个维向量组.如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组，就能用它的线性组合来表示它的全部解.定义3.9如果是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组,则称是方程组的一个基础解系.定理3.12如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩数,则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有个解.定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.例1如下齐次线性方程组的一个基础解系.解：对增广矩阵施以如下的初等行变换:即原方程组与下面方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值，分别得方程组的解为就是所给方程组的一个基础解系.例2用基础解系表示如下线性方程组的全部解.解：, , ,因此所给方程组有无穷多个解.对增广矩阵施以初等行变换：即原方程组与方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值分别得方程组的解为就是所组方程组的一个基础解系.因此，方程组的全部解为其中为任意常数.(二) 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组可以表示为，取,得到的齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组的导出组.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质：1、如果是非齐次线性方程组（3.1）的一个解，是其导出组的一个解，则也是方程组（3.1）的一个解.2、如果是非齐次线性方程组的两个解，则是其导出组的解.定理3.13如果是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的全部解，则也是方程组的全部解.例：用基础解系表示如下线性方组的全部解.解：作方程组的增广矩阵，并对它放以初等行变换：即原方程组与方程组同解，其中为自由未知量.让自由未知量取值，得方程组的一个解原方程组的导出组与方程组同解，其中为自由未知量.对自由未知量取值，，即得导出组的基础解系因此所组方程组的通解为其中为任意常数.。
线性方程组解的结构
1 0 0
2 0 0
0 1 0
2 7 57 0
1 1 0
于是方程组的同 解方程组为：
x1
2 x2 x3
2 7
x4
5 7
x4
1 1
x1
1
2 x2
2 7 x4
其解为： x2
x3
1
x2
5 7
x4
x4
x4
写成向量形式为 x1 1 2 2 7
x2 x3 x4
0 1 0
问题：方程组Ax=0是否总有基础解系? 基础 解系中含有多少个解向量? 与R(A)有何关系?
定理3.1 齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩 R(A)=r<n时，方程组有基础解系，并且基础 解系含有n-r个解向量.
证 因为 R(A)=r<n ，所以 A 中至少有一个r 阶子式不为零，不妨设 A 中位于左上角的r阶 子式不为零，按照上节定理2.1的分析，方程 组(2)有无穷多解，并且
x3
x3
x3
即 x1 1 1 1 x2 0 1 x2 0 x3 . x3 0 0 1
(3) 当 λ= -2 时
2 1 1 1 A 1 2 1 2
1 1 2 4
1 2 1 2 2 1 1 1
2
(-1)
1 1 2 4
1 2 1 2
0 0 λ1
(1) 当 |A|0时， 即 1且 -2时，
根据克莱姆法则，方程组有唯一解.
x1
λ1 λ2
,
x2
1 λ
, 2
x3
λ 12
λ2
(2) 当 λ=1 时，原方程组三个方程相同，即
x1 x2 x3 1. 显然 R( A) R( A). 原方程有无穷多个解.
线性方程组的解结构
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
线性代数线性方程组解的结构
x1
= -7
x2 = -1
x3 = 2
—r1—+2r2
1 0
0 1
0 -7 0 -1
0012
行最简形矩阵
下页
消元法与矩阵的初等行变换
总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于 对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的 初等变换化为行最简形矩阵.
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
，o =
0
bm
0
下页
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
……(1)
可用向量形式表示为
x11 + x22 +L + xnn = b,
—r3—-2r2
r2-2r3 —r1-—4r3
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2 = -5
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结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解．
能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表 示出来？
性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解．
证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ．
结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
为该方程组的解，则
x 11
x
x
21
M
x n1
称为方程组的解向量．
.
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ．
M
br1c1
L
b c r ,n r n r
c1
O
b11
M
b12
M
br
1
br
2
c1 1 + c1 1 + L
0 0
b1,n r
M
br ,nr
+ cnr 0
0
x n
c n r
M 0
M 0
M 1
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
1 0 L
0
1
L
M M
B
0
0
0 0
L L
0 0 L
M 0
M 0
L
前r列
0 b11 L 0 b21 L MM 1 br ,1 L 0 0L 0 0L MM 0 0L
b1,n r
b2,n r
M
br ,n r
0
0
M 0
m n
后n-r列
对应的齐次线性方程组
x1
x2
+b11xr+1 +L +b1,nr xn 0, +b21xr+1 +L +b2,nr xn 0,
.
b11
b21
M
(x1 ,x 2 ,L
,x nr
)
br ,1 1
0
M 0
b12 L b22 L
M br,2 L
0L 1L M 0L
b1,n r
b2 ,n r
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbr,nr
0
0
M 1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
.
引言
问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限
多个解时，解与解之间的相互关系． 备注： 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． 下面的讨论都是假设线性方程组有解．
.
解向量的定义
定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果
x1 = x11， x2 = x21，...， xn = xn1
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个
最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的 通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt ．
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系（不唯一）．
.
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ..., xr
如果满足
① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
.
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
§4 线性方程组的解的结构
.
回顾：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ．
2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解； 当R(A) = R(A, b) < n时，方程组有无限多个解．
x2 b21xr+1 b22xr+2 L b2,nr xn,
LL
xr br1xr+1 br2xr+2 L br,nr xn.
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
齐次线性方 程组的通解
x1
M
xr
xr+1
M
b11 c 1 L b c 1 ,n r n r
.
x1 b11xr+1 b12xr+2 L b1,nr xn,
x2 b21xr+1 b22xr+2 L b2,nr xn,
LL
xr br1xr+1 br2xr+2 L br,nr xn.
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
线性方程组 的通解
x 1 b 1 1 c 1 L b c 1 ,n r n r
LL
xr +br1xr+1 +L +br,nr xn 0.
令 xr+1, …, xn 作自由变量，则
x1 b11 xr +1 L b1,nr xn ,
x2
b21 xr +1
L
b2,nr xn ,
LL
xr br1 xr +1 L br ,nr xn .
.
x1 b11xr+1 b12xr+2 L b1,nr xn,
M
M
b11
M
b12
M
b1,n r
M
xr
xr+1
br1c1
L
c1
b c r , n r n r
c1
br
1
1
+
c1
br 2 1
+L
br ,nr
+ cnr 0
xr+2