3.6 线性方程组解的结构A (1)
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
线性方程组的解的结构
(A)T x (A) x 0 A x 0
2x2
x3
2x4
0
x1 11x2 2x3 x4 0
x1－x2 5 x3 x4 0
x1 3 x1
x2 2x3 3x4 x2 8x3 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
-22-
例3 重要结论 证明 r(A )r(A TA )r(AT)A
证 设 Amn, 首先证明
又形如(3)的向量( k i 任取)都是(1)的解. 由此得: 注：非齐次方程组的解集不是空间。
-26-
定理4.3.1
设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为
x k 1 1 k 2 2 k n r n r ( k i R )
例4
xx11xx22xx333xx440,1,
因 n r ( A ) 此 n r ( A T A ) r ( A ) r ( A T A ) 利用这一结论 r ( A T ) A r (A T ( ) T A T ) r ( A T ) r ( A )
-23-
第四章 线性方程组的解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
线性方程组的解的结构
在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程 组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深 入研究解的性质和解的结构。
线性方程组解的结构
§3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构11211000s a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⋅⋅⋅+=⎧⎪⋅⋅⋅+=⎪⎨⎪⎪⋅⋅⋅+=⎩11221n n 12222n n 1s22sn n ++++…………………………++（1）1．解的性质性质1 方程组（1）的两个解的和还是（1）的解. 证明 设),,,(21n k k k 与),,,(21n l l l 是方程组⑴的两个解.则∑==nj j ijk a10 ),,,2,1(s i =∑==nj jij la 10 ).,,2,1(s i =两个解的和为),,,(2211n n l k l k l k +++ (2)代入方程组，得∑∑∑====+=+=+nj nj nj j ij j ij j j ijl a k a l k a111000)().,,2,1(s i =即⑵是方程组的解. 证毕性质2 方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解； 证明 设),,,(21n k k k 是⑴的一个解，因为 00)(11=⋅==∑∑==c k a c ck a nj nj j ij j ij ).,,2,1(s i=所以),,,(21n ck ck ck 还是方程组的解.证毕由性质1和性质2得：性质3 方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解． 2．基础解系定义 齐次线性方程组（1）的一组解12,r ηηη,,，若满足1) ,ηηη12r ,,线性无关； 2)（1）的任一解可由,ηηη12r ,,线性表出．则称,ηηη12r ,,为（1）的一个基础解系．3 ．基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中)(A R r =．证：若()R A r n =<，不防设112110r a a a a a a a a a ≠121r222r r2rr?… ?…………………?…，则方程组（1）与方程组11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=---⎧⎪++⋅⋅⋅+=---⎪⎨⎪⎪++⋅⋅⋅+=---⎩（2） 同解,用n r -组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++⋯⋯，就得到（2）的解，也就是（1）的n r -个解111121221222--,1-,2-,(,,,,100(,,,010(,,,001r r n r n r n r n r r c c c c c c c c c ηηη=⎧⎪=⎪⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪=⎩，，，），，，，），，，，） 则r n -ηηη,,,21 为方程组(1)的一个基础解系. ⅰ) r n -ηηη,,,21 线性无关 事实上，若 1122k k ηη++--0n r n r k η+=，即112212(*,*,*,,,)(0,0,,)n r n r n r k k k k k k ηηη---+++==……，，0比较最后n －r 个分量，得 021====-r n k k k .因此, r n -ηηη,,,21 线性无关.ⅱ) 任取方程组（1）的一个解),,,(21n c c c =η，η可由12,n r ηηη-,，线性表出．事实上，由12n r ηηη-,,,是方程组（1）的解知：r n n r r c c c -+++++ηηη 2211也为（1）的解，又 r n n r r c c c -+++++ηηη 2211=（n r c c ,,,*,*,1 +）它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即11r n n r c c ηηη+-=++……．由ⅰ) ⅱ)知，r n -ηηη,,,21 为（1）的一个基础解系． 证毕推论 任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（1）的基础解系．证明：12t ηηη，，，为（1）的一个基础解系，12,s ααα,,线性无关，且与12t ηηη，，，等价，则s t =，且i α可由12t ηηη，，，线性表出，即i α也为（１）的解向量．任取方程组（１）的一个解向量η，则η可由12t ηηη，，，线性表出，从而η可由12,t ααα,,线性表出．又12,t ααα,,线性无关，所以12,t ααα,,也是基础解系．证毕4 .基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的n r -个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n r -个未知量移到等式右端，再令右端n r -个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到n r -个解向量r n -ηηη,,,21 ，这n r -个解向量r n -ηηη,,,21 构成了方程组的基础解系. 方程组（1）的任一解即通解可表为1112,t t t k k k k k P ηηη=++∈……,,,例1 求齐次线性方程组12451234123451234530,20,426340,242470.x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 的一个基础解系。
线性代数课件：3.6 线性方程组解的结构
下面证明1 ,2 ,,nr 是齐次线性方程组解空 间的一个基．
(1)证明1,2 ,,n 线性无关.
1 0
0
由于 n r个 n r 维向量
0 ,
1
,
,
0
0 0
1
线性无关， 所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 ,,nr 亦
线性无关(定理5).
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(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
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（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax 0 的解空间,记作 S.
2
3
1
6
故通解为
x3
k1
1
k2
0
(k1, k2 R).
x4 x5
0 0
1 3
1
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事实上，为了避免分数运算，也可以把系数矩阵化为 行阶梯形矩阵,便得到基础解系.
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
A
0
2
1
1
0
0
2
1
1
0
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注: 1.解空间的基不是唯一的; 2. n元齐次线性方程组Amnx 0的全体解所构 成的集合S是一个向量空间,当R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
当R( A) n时,方程组只有零解,故没有基础解 系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).
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线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性方程组解的结构(课堂PPT)
0
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2 ,3 表示吗? 1 ,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证 记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解 因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
设一个基础解系为: 1 ,2 , ,n r 则通解为: x k11 k22 kn rn r (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和 为零，写出ＡＸ＝０的通解． 解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
-3-
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
-4-
§4.2 齐次线性方程组解的结构
设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x 是 (2)的解,从而存在 ki 使得 x k11 k22 kn rn r x k11 k22 knrnr 其中1,2, ,nr为（2）的基础解系， 由此得:
线性方程组解的结构(1)
0
0
0
0
相应的同解方程组为：
相应的同解方程组为：
x1 x3
x2
4x5 x5
x 4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1 ,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝ c11c22c1,c2R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
4 0 0
0
,
4
,
0
0 0 4
x1
9 4
x3
3 4
x4
1 4
x5
x2
3 4
x3
7 4
x4
5 4
x5
9
3
1
3
7
5
得基础系： 4 , 0 , 0
1
0
2
4
3
0
0
0
4
※ 求基础解系的两种方法: (1) 求出通解后写成向量形式找出基础解系; (2) 分别取自由变量为一组线性无关的向量,
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，分别取
xr1 1 0 0
x
r2
0
,
1
,
,
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r 1
b
2
r
1
b1r 2
b
2
r
2
线性方程组的解结构
通过迭代更新雅可比矩阵和常数项，逐步逼近方程的解。
03
线性方程组的解的结构
解的唯一性
唯一性定理
对于给定的线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该 方程组有唯一解。
唯一性条件
线性方程组有唯一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩。
唯一性判定
可以通过计算系数矩阵的行列式值或比较系数矩阵与增广矩阵的 秩来判断线性方程组是否有唯一解。
03
其中 (a_1, a_2, ..., a_n) 是已知数，(x_1, x_2, ..., x_n) 是未知 数，b是常数项。
线性方程组解的存在性
无解
01
当方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。
有唯一解
02
当方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有唯一
解。
有无穷多解
03
当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组有无数多个解。
VS
在物理学中，线性方程组还可以用来 描述波动现象、热传导、量子力学等 领域的问题。通过建立物理模型，将 实际问题转化为线性方程组，可以更 好地理解和解决物理问题。
在经济中的应用
在经济学中，线性方程组也被广泛应用，用 于描述各种经济现象和问题。例如，在微观 经济学中，线性方程组可以用来描述消费者 行为和生产者行为；在宏观经济学中，线性 方程组可以用来描述国民收入、货币供应量 等经济指标的变化规律。
在经济分析中，线性方程组还可以用来解决 最优决策、最优化资源配置等问题。通过建 立经济模型，将实际问题转化为线性方程组
，可以更好地理解和解决经济问题。
05
线性方程组解的数值稳定 性
解的误差分析
舍入误差
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x
r
2
xn
0
0
1
0
0
1
这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——也可以由基础解系求通解
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v非齐次线性方程组解的结构
定理6.2 若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组Ax0的基础解系
则方程组Axb的通解为
xk11k22 knr nr* (k1 knr R).
Ax b的通解= Ax b的特解+ Ax 0的通解.
例6. 3 求解方程组
法一: 令x2 c1 x4 c2
v齐次线性方程组解的性质
v性质6.1
若x1 x2为Ax0的解 则x12也是Ax0的解.
v性质6.2
若x1为Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解.
思考 假如Ax0有无穷多解，如何把这些解表示出来？ 设S是Ax0的解的集合
S0 1 2 t是S的一个极大无关组
那么 一方面 Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合
c1
1 1 0 0
c2
1 0 2 1
1 2
102,(c1,c2
0
R).
于是对应齐次方程组的基础解
系为
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T.
非齐次方程的一个解(特解)为
xx13
x2 x4 1/ 2x4 1/ 2
2
.
*(1/2 0 1/2 0)T.
例6. 3 求解方程组
法二:令x2x40 得非齐次方
xx11
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
程组的一个解(特解)
.
*(1/2 0 1/2 0)T.
x1 x2 2x3 3x4 1/ 2 对应齐次方程组的通解为
其中xr1 xn为自由未知数. 令xr1c1 xr2c2 xncnr可得
x1 x2
b11 b21
b12 b22
b1,n r
b2,nr
xr xr1
c1
br1
1
c2
br 2 0
cnr
br ,n r 0
,
(c1
cnr∈R).
v性质6.5
设x1及x2都是Axb的解 若xk11+k22为Axb的解，
则k1,k2需要满足什么条件？ k1k2=1.
因为
A(k11 k2 2) A(k11) A (k22) k1(A1) k2 (A2) (k1k2 ) b
v非齐次线性方程组解的性质
v性质6.3
设x1及x2都是Axb的解 则x12为Ax0的解.
v定理6. 1(存在性) 设mn矩阵A的秩r(A)r < n 则n元齐次线性方程组
Ax0的基础解系一定存在,而且每个基础解系中所含的解向 量的个数均为nr. >>>
v求基础解系的方法
定理6.1证明 设mn矩阵 A 的秩r(A)r < n ，
把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A用初等行变换
化为行最简形，不妨设
其中x3 x4为自由未知数.
法一: 令x3 =c1, x4 c2 得 方程组的通解为
x1
=
2 7
c1
+
3 7
c2
x2
=
5 7
c1
+
4 7
c2
x3 =c1
x4 =c2
2 3
x1 x2 x3 x4
c1
7 5 7 1
0
c2
7 4 7 0
1
故方程组的基础解系为1 2.
方程组的通解可表示为
xc11c22 (c1 c2R).
例6. 2 设AmnBnlO 证明r(A)r(B)n .
证 记B(b1 b2 bl) 则
A(b1 b2 bl)( 0 0 0)
即
Abi0(i1 2 l).
表明矩阵B的l个列向量都是齐次线性方程组Ax0的解,
因此矩阵B的l个列向量都能由Ax0的基础解系线性表示.
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等 行变换变为行最简形
A 721
1 5 7
1 3 3
211
~rr
1 0 0
0 1 0
2/7 5/7
0
3/ 4/
770
xx12
(2/ 7)x3 (3/ 7)x4 (5/ 7)x3 (4/ 7)x4
例6.1 求齐次线性方程组 于是方程组等价于
2x1x1x52 x2x3
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
xx12
(2/ 7)x3 (3/ 7)x4 (5/ 7)x3 (4/ 7)x4
其中x3 x4为自由未知数.
法一: 令x3 =c1, x4 c2 得 方程组的通解为
c1
xr
2
c2
x n c n r
(c1 cnr∈R). 这是方程组的通解.
v求基础解系的方法 ——可以由通解求基础解系
方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
xr br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn
v性质6.4
设x是Axb的解 x是Ax0的解则x是Axb的解.
v性质6.5
设x1及x2都是Axb的解 若k1k2=1,则xk11+k22
为Axb的解.
v非齐次线性方程组解的性质
v性质6.3
设x1及x2都是Axb的解 则x12为Ax0的解.
v性质6.4
设x是Axb的解 x是Ax0的解则x是Axb的解.
§3.6 线性方程组解的结构L/O/G/O
当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是 系数矩阵的秩 r(A) n . n元非齐次线性方程组Axb有无穷多解的充要条件是 r(A) r(A b) n .
§3.6 线性方程组解的结构L/O/G/O
一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构
xx11
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
.
x1 x2 2x3 3x4 1/ 2
解 因为增广矩阵
BBBr111100111
11 01 0 2
1003310121/11020122
可见r(A)r(B)2 所以方程组 有无穷多解 其等价于
得非齐次方程组的通解为
x1 x2 x3 x4
设1 2 t为Ax0的基础解系 则Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR).
v齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的解集的极大无关组，称为该齐次线性 方程组的基础解系.
v齐次线性方程组解的结构 设1 2 t为Ax0的基础解系 则Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR).
故方程组的基础解系为1 2.
例6.1 求齐次线性方程组 于是方程组等价于
2x1x1x52 x2x3
x4 0 3x3 2x4
0
7x17x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等 行变换变为行最简形
A 721
1 5 7
1 3 3
211
~rr
1 0 0
0 1 0
2/7 5/7
法二: 令
x3 x4
1 0
,
0 1
得
2
3
2 3
x1 x2 x3 x4
c1
7 5 7 1
0
c2
7 4 7 0
1
c11 c22
(c1 c2R)
故方程组的基础解系为1 2.
7
7
1
5 7
,
2
4 7
.
1 0
0 1
1
0
0 1
0 0
b11 b21
b12 b22
b1,n r b2,n r
r A~0
0
1
br 1
br 2
br ,n r
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
则方程组Ax0等价于
x1 x2
b11 b21
xr1 xr1
b12 xr2
b22 xr2
b1,nr xn b2,nr xn
其 xx中xrrn12xr=1100，x100n为，自由100 未，知数xxxx12rr.1
这nr个nr维的列向量 这就只是要方线程性组无的关基就础可解以系.
x x
r n
2
b11 b21
br1
1
0
0
b12 b22
，
br 0
2
1
0
xk11k22 ktt
都是Ax0的解 因此上式便是Ax0的通解.
v齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的解集的极大无关组，称为该齐次线性
方程组的基础解系.
即 设1 2 t为Ax0的有限个解 若满足 (1)1 2 t 线性无关; (2) Ax0的任何一个解均可以由1 2 t 线性表示, 则1 2 t 为Ax0的一个基础解系. v齐次线性方程组解的结构
其中xr1 xn为自由未知 x数r . br1 xr1 br2 xr2 br,nr xn