齐次线性方程组解的结构
§6线性方程组解的结构
§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.一、齐次线性方程组的解的结构设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；2）t ηηη,,,21 线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9) 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1. 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2. 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.3. 秩A =2.这时A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为⎩⎨⎧+=+=.,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程3222111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3222111t x t c d x t c d x (13)这就是直线的参数方程.(11)的导出方程组是⎩⎨⎧=++=++.0,0323222121313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是⎪⎩⎪⎨⎧===.,,32211t x t c x t c x (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例1 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0793,083,032,054321432143214321=+-+=++-=+-+=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x的一个基础解系.例2 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.2193164,432,14523,42354321543215432154321-=-+++-=+----=--++-=-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.。
4.5 线性方程组解的结构
0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
为什么要取下列n-r组数？因为我们要得到线性无关的解
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
B的列向量组只是解向量全体的部分向量组，故
R(B) R 1 2 L s n r
于是有 R(A) R(B) n
例6 设A为n阶方阵，证明(可当结论记住直接用)
n, 当 R A n,
R
A*
1,
当 R A n 1,
0, 当 R A n 1.
证（1）当 R A n时， A 0,
2020/5/6
三、应用-求通解
解：根据非齐次线性方程组的解的结构，可知本题 中 C、E是正确的
例5 证明 当 Amn Bns O时，R(A)+R(B) ≤n
(做题时可直接当结论用)
证明 AB=0，将B按列分块，有：
B 1 2 L s
则B的每一列均是线性方程组Ax=0的解。 若R(A)=r, 解向量的全体为S，则R(S)=n-r.
n R( A)=未知量的个数－系数矩阵的秩
（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要特征 基础解系即Ax=0解向量全体的一个最大无关组。 基础解系中的向量共有__n_-_R_(_A_)_个； 基础解系中的向量一定线性_无____关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 任意n-R(A)个线性无关的满足Ax=0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
且当 c1, c2 ,L , ck 为任意常数时，
3-4齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
x 1 b1, r 1 k 1 b1, r 2 k 2 b1 n k n r x 2 b 2 , r 1 k 1 b 2 , r 2 k 2 b 2 n k n r x r b r , r 1 k 1 b r , r 2 k 2 b rn k n r 即有： x k1 r 1 x k2 r2 x knr n
解：对系数阵 A 作行初等变换：
1 3 A 0 5
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 2 3
1 1 3 0 0 6 1 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 2 2
1 6 6 6
信息系 刘康泽
解系。
证 明 ： 设 1 , 2 , , t 是 A x 0 的 一 个 基 础 解 系 ， 而
1 , 2 , t 是 A x 0 的 任 意 t 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ， 因 此
只 需 证 明 A x 0 的 任 意 一 个 解 可 由 1 , 2 , t 线 性 表 示 即可。
封闭的。
信息系 刘康泽
二、齐次线性方程组解的结构
【定理】设 A 是 m n 矩阵， r ( A ) r n ，则方程组
Ax 0 必有 n r 个线性无关的解向量 1 , 2 , , n r ，
使得 Ax 0 的任意一个解都是 1 , 2 , , n r 的线性组 合，并且当 k 1 , k 2 , , k n r 遍取任何数时，
故 1 , 2 , 3 为 所 求 的 基 础 解 系 。
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
§4.4齐次线性方程组解的结构
r 11 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故 也是Ax 0的 解.
下面来证明 .
r 11 r 2 2 n n r
b11 b12 b1 ,n r c1 b b b c r r1 r2 r ,n r r 1 1 r 2 0 n 0 r 1 0 1 0 r2 0 0 1 n
3
b1 x11a1 x 21a 2 x 31a 3 , b2 x12a 1 x 22a 2 x 32a 3，
对矩阵( A B )施行初等行变换，若 A能变为E， 则a1 , a 2 , a 3为R 的一个基，且当 A变为E时，B变为 X A1 B.
2 1 1 4 2 ( A B ) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
§ 4.4 齐次线性方程组解的结构
一、向量空间的基与维数
定义10 设 V 是向量空间，如果r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个
齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1, n
r
0 A~
0
1 br1
br ,n r
0
0 0
1
0
b11
b1,nr
x1 x2
0 Ax 0
0
1
br1
br
,nr
0
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
0
0 0 xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1 ,, xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
二、齐次线性方程组的解空间
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组解的结构
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的 方解 程， 组 则该 方 程 组 有 非 所 零 以 解 。 该 方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线 的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线 解 .性 都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定 理4. 4: m n型 齐 设次线 AX 性 0的 方 系 程 数 组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初 等行 变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与 于 都是 A 方 x 0 的 程 ,而 解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn
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crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
x1 c1,r 1 c1,r 2
c1n
x2
c2
,r
2
, c2,r 2
,L
,
c2
n
,
M M M M
2
1 1 1 3
2
1 0 1 2
A 0 1 0 2 0 1 0 2
0
0
0
0
0 0 0 0
2 1
于是方程组的一般解为
x 2 k 0 (k为任意常数).
0 1
(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t≠0，即t≠1/2时，方程组无解.
(4)当t=0时，1-4t +2pt =1≠0，故方程组也无解.
1． 非齐次线性方程组解的情况 R A R B n R A R B n
R A RB
2．非齐次线性方程组通解的求法
Ax b有唯一解.
Ax b有无穷多解.
Ax b无解.
Ax的解0.
Ax 0
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成
一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组
的解空间．
Ax 0
因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为方程 组的基础解系。
定义 1
1,2 ,L ,t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.
例 1 解齐次线性方程组
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
对A进行行初等变换，得
其对应的方程组是 基础解系为
秩r＝2<4，故有非零解. 方程组的通解为
二、非齐次线性方程组解的结构
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
解系, 如果
(1)1,2 ,L ,t是Ax 0的一组线性无关 的解;
(2) Ax 0的任一解都可由1,2 ,L ,t线性表出.
如果1,2 ,L ,t为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系,
那么, Ax 0 的任一解可表示为
x k11 k22 ktt
并称为方程组的通解。
其中k1 , k2 , , kt是任意常数 .
（1）
1 0 0 L
0
1
0L
L L L L
0
0
0L
0 L L L L L L L
0 L
L
L
0
c1,r 1
L
0
c2 ,r 1
L
L
L
L
1
cr ,r 1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
c1n
c2 n
L
crn
,
0
L
0
与之对应的方程组为
x1 c x 1,r 1 r 1 L c1n xn 0,
r( A) n
性质（1）若
x 为1, x 的解2 ，则Ax 0
x 1 2 也是
证
Q A1 0, A2 0 A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
性质（2）若
为 x 的1 解，Ax为实数0 ，则
k也是
的解．x k1
证
Ak1 kA1 k0 0.
第三章 第四讲
1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构
一、 齐次线性方程组解的结构
回顾
齐次线性方程组
（1）
a11 a12
若记
A
a21
a22
am1 am 2
a1n a2n amn
,
x
x1 x2 xn
则方程组(1)可写成向量方程
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1为方程 Ax的解 0
4x1 5x2 6x3 11x4 10x5 15,
的全部解。
解 对增广矩阵进行行初等行变换 系数矩阵与增广矩阵的秩都是2<5，故有解。
对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为
令x3＝x4＝x5＝0，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)， (不能忽略常数列)，于是它的全部解 为
1 2t 1 4 0 0 ( p 1)t
(1)当 （p 1)t 0,即p时，1有,惟t一解 0
3
42p
1 4t 2 pt
x1
2t 1 (p 1)t
,
x2
1, t
x3
1 4t 2 pt (p 1)t
.
(2)当p=1，且1-4t+2pt =1-2t=0 即t = 时，方程组有无穷1多解，此时
其中k1，k2，k3，为任意实数。
例 3 设线性方程组
解 对增广矩阵进行行初等变换
px1 x2 x1 tx2
x3 x3
4, 3,
x1 2tx2 x3 4.
试就p,t讨论方程组 的解的情况，有解 时并求出解.
p 1 1 4 1 t A 1 t 1 3 0 1
1 1 p
非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knr nr .
其中
k11 L 为k对n应r齐n次r 线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组
的任意一个 特解.
例 2 试求
x1 3x2 x3 2x4 4x5 3, 2x1 x2 8x3 7 x4 2x5 9,
x2 c x 2,r 1 r 1 L c2n xn 0,
LL
xr cr x ,r 1 r 1 L crn xn 0.
令 xr 1 , xr 2 ,L , xn 为自由未知量，得
x1 c1,r1xr1 L c1n xn ,
x2 c2,r1xr1 L c2n xn ,
xr
cr
,r
1
cr
,r
2
crn
c1,r1
c2,r
1
c1,r2
c2 ,r 2
c1n
c2 n
1
cr ,r 1 1
,
2
cr ,r 2
,
0
,nr
crn
.
0
0
1
0
0
0
1
首先，这n-r个解向量显然线性无关.
其次，设( 代入方程组得
1 a 0 0
1
练习. 设
A
0 0 a
1 0 0
a 1 0
0 a 1
,
b
1 0 0
(1) 求|A|；
（2）已知Ａｘ＝ｂ有无穷多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.
三、小结
（一）、齐次线性方程组解的结构
１．齐次线性方程组基础解系的求法 ２．齐次线性方程组解的情况
R( A) n
（二）、非齐次线性方程组解的结构
k1 ,k2 ,L ,kn )是方程组的任意解，
k1 c1,r 1kr 1 c1,r 2kr 2 c1n kn k2 c2,r 1kr 1 c k 2,r 2 r 2 c2n kn
kr kr
1
cr
k ,r 1 r 1 1kr 1
c k r ,r 2 r 2 0kr2
基础解系的求法
定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是 系数矩阵的秩。
证明：
齐次线性方程组
Ax 0
系数矩阵为
a11
A
a21
M
a12 L a22 L
M
a1n
a2 n
,
M
am1
am 2
L
amn
有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为