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2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+，即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ，所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===，故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=，所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3，且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

2017-2018学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3

章末分层突破①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)②y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)③(±a,0)(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0)⑦2c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)⑩y ＝±b a x ⑪y ＝±a bx⑫y 2＝±2px (p ＞0)⑬x 2＝±2py (p ＞0)⑭⎝ ⎛⎭⎪⎫±p2，0⑮y ＝±p2要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．【精彩点拨】要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．【自主解答】由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.(1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72. (2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．) 所以|PF 1||PF 2|＝2.1．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)【解析】设PM 、PN 与⊙C 分别切于点E 、F ，如图，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．【答案】 A和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .【精彩点拨】求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离，转化为离心率e 的方程求解．【自主解答】由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0. ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.2．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 【解析】由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m －y 23n ＝0，y 2＝3n 22m x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x . 【答案】 D1.直线l ：f (x ，y )＝0和曲线C ：g (x ，y )＝0的公共点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0，g x ，y ＝0的解，l 和C 的交点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．2．弦长公式：(1)斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]或当k 存在且不为零时，|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|，(其中x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)根据根与系数的关系求得)．(2)抛物线y 2＝2px (p ＞0)过焦点F 的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)． ①若|AB |＝425，求直线l 的倾斜角；②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．【精彩点拨】 (1)建立关于a ，b 的方程组求出a ，b ；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解．【自主解答】 (1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2. 由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意，知12·2a ·2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知点A 的坐标是(－2,0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2 ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k 2.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 22＝41＋k21＋4k2. ①由|AB |＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425. 整理，得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.②设线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k ，2k 1＋4k . 以下分两种情况：a ．当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.b ．当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2.QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝16k 2－41＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k ＋6k 1＋4k ＝4 16k 4＋15k 2－1 1＋4k 2 2＝4，整理，得7k 2＝2，故k ＝±147. 所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.3．在抛物线y 2＝16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．【解析】设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2,1)得b ＝－15；故所求直线方程为y ＝8x －15.【答案】 8x －y －15＝0(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t 就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的普通方程，设直线y ＝ax ＋b 与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点，求P (a ，b )的轨迹方程．【精彩点拨】求点P (a ，b )的轨迹方程，即探究a ，b 满足的关系式，通过条件“以AB 为直径的圆过原点”即可找出a ，b 满足的条件．【自主解答】联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，3x 2－y 2＝1，消去y 得：(a 2－3)x 2＋2abx ＋b 2＋1＝0. ∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3≠0，Δ>0解得：a 2<3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2ab a 2－3，x 1·x 2＝b 2＋1a 2－3.由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(ax 1＋b )(ax 2＋b )＝a 2x 1x 2＋ab (x 1＋x 2)＋b 2，∴有b 2＋1a 2－3＋a 2·b 2＋1a 2－3－2a 2b 2a 2－3＋b 2＝0，化简得：a 2－2b 2＝－1.故P 点的轨迹方程为：2y 2－x 2＝1(x 2<3)．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．【解】 (1)由e ＝ca ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)法一：由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，则P (1，y )．因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x .所以此轨迹是抛物线．法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .1.(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值． 2．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．如图31所示，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．图31(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．【精彩点拨】 (1)利用AB ⊥x 轴发现定点再证明．(2)设直线AB 与x 轴交点M ，利用S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y A |＋|y B |)求解．【自主解答】 (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p,0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k x －a ，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，则y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB . ∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0，则x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p . 故直线AB 过定点(2p,0)．(2)由(1)知：AB 恒过定点M (2p,0)．∴S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝12|OM |(|y 1|＋|y 2|)≥p (2|y 1y 2|)．又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1y 2)2＝4p 2x 1x 2.又∵y 1y 2＝－x 1x 2，于是|y 1y 2|＝4p 2.故S △AOB的最小值为4p 2.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，B 为椭圆短轴的一个顶点，过B 点作椭圆的弦BM ，求弦长的最大值．【解】设M (x ，y )，B (0，－b )，则有|BM |2＝x 2＋(y ＋b )2，由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2b2(b 2－y 2)，代入上式得|BM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2b 2y 2＋2by ＋a 2＋b 2＝b 2－a 2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 3a 2－b 22＋a 4c 2(－b ≤y ≤b )，由于a ＞b ＞0，b 2－a 2b 2＜0，b 3a 2－b2＞0，所以当b 3a 2－b 2≤b ，即a 2≥2b 2时，|BM |2max＝a 4c2；当b 3a 2－b2＞b ，即a 2＜2b 2时，函数|BM |2＝f (y )在上单调递增，当y ＝b 时，|BM |2max ＝4b 2.所以当a ≥2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝a 2c；当a ＜2b 时，弦长的最大值为|BM |max ＝2b .又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数．已知P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切．【精彩点拨】根据椭圆的定义，结合图像中三角形中位线定理来解决问题．【自主解答】设以PF 2为直径的圆的圆心为A (如图所示)，半径为r . ∵F 1、F 2为焦点， ∴由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2r ， ∴|PF 1|＋2r ＝2a ，即|PF 1|＝2(a －r )．连接OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |＝12|PF 1|＝12×2(a －r )＝a －r .故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切．6．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】画出图形，由图形知交点有4个．【答案】 D1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 【答案】 A2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B ．23C.22D ．1【解析】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2 0－y ′ ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．【答案】 C3．如图32，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.图32(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．【导学号：32550097】【解】 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2 1＋k 21＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2＝ 1＋k 2x 2－x 1 2＝22 1＋k 21＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而PC ＝2 3k 2＋1 1＋k2|k | 1＋2k 2. 因为PC ＝2AB ，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【导学号：32550098】【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图33，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．图33(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．【解】 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围为0<e ≤22.。

2023-2024 学年度下学期南昌一中高二数学期末复习卷含参考答案(教师版)

2023-2024学年度下学期高二数学期末复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数ax x x f +=4)(，若12)()2(lim 0=∆∆--∆→∆x x f x f x ，则实数a 的值为(C )A ．36B ．12C ．4D ．22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且首项1,111=-=+n n S S a ，则=n a (A )A ．12-n B ．nC ．12+n D ．12-n 3.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若20109876=++++a a a a a ，则=15S (D)A ．150B ．120C ．75D ．604.已知函数b e x x g x -+=-)1()(的图象在点))1(,1(--g A 处的切线过原点，则实数=b (C )A ．2-e B ．1-e C ．eD ．2e 5.一个质点做直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足如下关系式34)13(-+=t t s ，当1=t 秒时，该质点的瞬时速度为(B )A ．16米/秒B ．40米/秒C ．9米/秒D ．36米/秒6.在各项均为正数的等比数列}{n b ，若25213386111=++b b b b b b ，则131b b 的最大值为(B)A ．25B ．425C ．52D ．57.若数列}{n c 满足++∈+-==N ,1,23211n c c c c n n n ，则202421111c c c m +⋅⋅⋅++=的整数部分是(A )A ．1B ．2C ．3D ．48.已知定义在区间[)+∞,0上的函数)(x f 满足对任意的[)2121,,0,x x x x ≠+∞∈，都有2)()(2121>--x x x f x f ，,2020)1(=f 则满足不等式)1012(2)2021(->-x x f 的x 的取值范围为(B )A ．()+∞,2021B ．()+∞,2022B ．()+∞,2023D ．()∞+，2024二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.朱世杰是中国历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只见初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升。

教育最新K12河南省正阳县第二高级中学2017-2018学年高二数学下学期周练(二)文

河南省正阳县第二高级中学2017-2018学年下期高二文科数学周练（二）一.选择题（只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）：1.不等式304x x+≥-的解集为（） A.[-3,4] B.[3,4)- C.(,3)(3,)-∞-+∞ D. (,3](4,)-∞-+∞ 2.数列{}n a 的前n 项和2(0),n S An Bn q A =++≠则q=0是{}n a 为等差数列的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3.曲线f(x)=ln x x在x=e 处的切线方程为( ) A.y=e B.y=x-e+1e C.y=x D.y=1e 4.已知实数x,y 满足约束条件4003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值是（）A.-4B.-3C.0D.35.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为/()f x ，且函数f(x)在x=-2处取得极小值。

则函数/()y xf x =的图象可能为（）6.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,若22()6c a b =-+，C=60°，则ABC ∆的面积是（）D.7.命题p:方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是（）A.4<m<5 B.3<m<5 C.1<m<5 D.1<m<38.已知动圆P 过定点A （-3,0），并且与定圆B ：22(3)64x y -+=内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（）A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆 9.双曲线22221x y a b -=与椭圆22221(0,0)x y a m b m b+=>>>的离心率互为倒数，那么以a,b,m 为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.给出下列四个命题，则真命题的个数是（）①.函数f(x)=lnx-2+x 在区间(1,e)上存在零点②若/0()0f x =，则y=f(x)在0x x =处取得极值；③已知p:x R ∃∈,使cosx=1,q: x R ∀∈,则210x x -+>，则“()p q ⌝∧”为假命题 ④在ABC ∆中，A>≠的左右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.12PF F ∆的内切圆圆心在直线2a x =上 B. 12PF F ∆的内切圆圆心在直线xb =上 C. 12PF F ∆的内切圆圆心在直线OP 上 D. 12PF F ∆的内切圆经过点(a,0)12.已知3()3f x x x =-，过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数m 的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-2,3)C.(-1,2)D.(-3,-2)二.填空题（每小题5分，共20分）：13.若实数a,b 满足210(1)ab a b a --+=>，则(a+3)(b+2)的最小值为（）14.已知数列cos2n n a n π=，则此数列前2016项之和为（） 15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴垂线，垂足为M ，若4PF =，则PFM ∆的面积是（）16.设a R ∈，若函数()xf x e ax =+有大于0的极值点，则a 的取值范围是（）三.解答题：17.（10分）已知两个命题：2():cos sin ,():10r x x x m s x x mx +>++>，若对于任意的x R ∈，r(x)和s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围18.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点（1）求出抛物线C 的方程以及焦点坐标，准线方程（2）若直线l 经过抛物线的焦点F ，当线段AB 的长为5时，求直线l 的方程19. （12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为B )=0 (1)求A （2）若a =求b+c 的取值范围20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，138(2)n n a S n -=+≥（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式（2）在（1）成立的条件下，设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T21.（12分）已知函数3()()f x ax bx x R =+∈（1）若函数f(x)的图象在x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f(x)在x=1处取得极值，求f(x)的解析式和单调区间（2）若a=1,且函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数，求实数b 的取值范围22. （12分）在平面直角坐标系XOY 中，过椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线x y +=M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，直线OP 的斜率为0.5（1）求椭圆M 的方程（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值参考答案：1-6.BCDACB 7-12.ADBBDD 13.25 14.1008 15.17.2m ≤-或2m <18.2x-y-2=0或2x+y-2=019.(1)A=60°（2）20.（1）21n b n =+（2）69n nT n =+21.（1）3()3f x x x =-，f(x)的减区间为(-1,1) (2)3b ≤-22.(1)22163x y +=。

专题1-1-1 正弦定理-2017-2018学年高二数学必修5 含解析精品

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC△中，角A，B，C的对边为a，b，c，若ab＝3，B＝60°，则A=A．45°B．45°或135°C．135°D．60°或120°【答案】A【解析】∵ab＝3，B＝60°3sin60=︒，∴sin A＝23．又a<b，∴A＝45°．故选A．2．ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝13，bB，则a=A．BC．32D【答案】D【解析】由sin sina bA B=，得1sin3sin sinBB Bab A⨯===D．3．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，A＝2B，则cos B=AB．C．D【答案】B4．在ABC △中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长是A B C ．12D 【答案】A【解析】∵B 角最小，∴最短边是b ，由sin sin c bC B=，得b ＝sin sin 45sin sin 603c B C ︒==︒．故选A ． 5．在ABC △中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°【答案】C【解析】由a ＝14，b ＝16，A ＝45°及正弦定理，得sin sin 1614B A=，所以sin =7B ．又b a >，所以C 选项有两解．故选C ． 6．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝A ．1:2:3B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为在ABC △中，A ＋B ＋C ＝π，且A :B :C ＝1:2:3，所以A ＝6π，B =3π，C =2π，由正弦定理的变形，得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C 1=1=2．故选C ． 7．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A :cos B ＝b :a ，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D8．在ABC △中，b =4B π∠=，tan A =，则实数的值是 A ．210B．C ．10D ．2【答案】B【解析】因为sin tan cos AA A ==22sin cos 1A A +=，∴sin 3A =，由正弦定理可得πsin 4=，解得a =B ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．在ABC △中，ABAC ＝1，B ＝30°，则cos C = ______________．【答案】12或12-【解析】由正弦定理可得1sin 30=︒，∴sin C∵0°<C <180°，AB AC >，∴C ＝60°或120°，11cos 22C ∴=-或．10．在ABC △中，若B ＝30°，AB ＝AC ＝2，则ABC △的周长为______________．【答案】6＋4＋11．如图，在ABC △中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为ABC △内一点，∠BPC ＝90°，∠APB ＝150°，则tan ∠PBA ＝______________．【解析】设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在PBA △中，由正弦定理得sin sin(30)αα︒-α＝4sin α，即tan αtan ∠PBA＝12．在ABC △中，23A π=，a =，则b c =______________．【答案】1【解析】由正弦定理知sin sin A aC c ==，所以2sin 1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B πππ=π--=，所以b c =，故1b c =．13．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______________．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，sin sin[()]sin()sin cos cosB AC A C A C A =π-+=+=+63sin 65C =，又s in s i n a bA B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．在ABC △中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-．试判断ABC △的形状．【答案】ABC △是直角三角形．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足C b a cos 3=．（1）求BCtan tan 的值；（2）若3tan ,3==A a ，求边长b 的值．【答案】（1）；（2。

倾斜角与斜率6题型分类(讲+练)(教师版) 2024-2025学年高二数学精讲与精练(人教选修一)

2.1.1倾斜角与斜率6题型分类1．直线的倾斜角：(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)斜率与倾斜角的对应关系：图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <0(3)过两点的直线的斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.（一）直线的倾斜角1、直线的倾斜角：(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2、直线倾斜角的概念和范围：(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．题型1：求直线的倾斜角1-1．（2024高二·江苏·假期作业）若直线l 经过点(2,3),(4,3)M N ，则直线l 的倾斜角为（）A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°【答案】A【分析】由,M N 两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.【详解】因为(2,3),(4,3)M N 两点的纵坐标相等，所以直线l 平行于x 轴，所以直线l 的倾斜角为0°．故选：A1-2．（2024高二下·全国·课后作业）已知点()()2,13,2A B ，，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】B 【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：21tan 132k a -===-，又因为0180a °£<°所以45a °=，故选：B.（二）直线的斜率1、直线的斜率：(1)倾斜角求斜率：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)两点求斜率：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.2、求直线的斜率：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．题型2：求直线的斜率（三）倾斜角与斜率的关系1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．2、直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．题型3：由此可得π2π[0,)[,π)43a ÎÈ.故选：A.3-2．（2024高二·全国·课后作业）设直线l 的斜率为k ，且13k -£<，则直线l 的倾斜角a 的取值范围为（）A ．π3π0,,π34éöæö÷ç÷êëøèøU B ．π3π0,,π64éöéö÷÷êêëøëøU C ．π3π,64æöç÷èøD ．π3π0,,π34éöéö÷÷êêëøëøU 【答案】D 【分析】分10k -£<、03k £<两种情况讨论，求出对应的a 的取值范围，综合可得结果.【详解】由题意可知，[)0,πa Î，当10k -£<时，则a 为钝角，且3ππ4a £<；当03k £<时，此时，π03a £<.综上所述，直线l 的倾斜角a 的取值范围为π3π0,,π34éöéö÷÷êêëøëøU .故选：D.3-3．（2024高二上·江苏连云港·期末）经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是锐角，则实数m 的范围是（）A ．(,3)(2,)-¥-È-+¥B ．(3,2)--C ．(2,3)D ．(,2)(3,)-¥È+¥【答案】C【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.【详解】由题意经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是锐角，可知11-¹m ，且302mm ->- ，解得23m << ，即实数m 的范围是(2,3)，故选：C（四）直线斜率的应用1、三点共线问题（1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．①若都不存在，则三点共线；②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．（2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论．2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点,（1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线上横坐标不相等的两点；（2）在求形如y －y 0x －x 0的式子的最值时，可以将y －y 0x －x 0看作动点P （x ，y ）与定点Q （x 0，y 0）所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围.题型4：三点共线问题4-1．（2024高二上·山西临汾·期末）若三点()()()2,3,4,3,5,A B C b -在同一直线上，则实数b 等于（）A ．12-B ．6-C ．6D ．12【答案】C【分析】由题意得AB AC k k =，列式求解即可.【详解】因为AB AC k k =，又()()33333,42523AB AC b b k k ----+====--，所以333b +=，即6b =.故选：C.4-2．（2024高二上·安徽六安·阶段练习）已知点()0,8A -，()2,2B -，()4,C m ，若线段AB ，AC ，BC 不能构成三角形，则m 的值是 .【答案】4【分析】由线段AB ，AC ，BC 不能构成三角形知,,A B C 三点共线，由AB AC k k =求得m 的值.【详解】因为线段AB ，AC ，BC 不能构成三角形，所以,,A B C 三点共线，显然直线AB 的斜率存在，故AB AC k k =，即288204m -++=-，解得4m =，故答案为：44-3．（2024高二上·山西临汾·期中）三点(),2A m ，()5,1B ，()4,2C m -在同一条直线上，则m 值为（）A ．2B ．72C ．2-或72D ．2或72【答案】D【解析】根据三点共线，可得=AB BC k k ，由两点求斜率即可求解.【详解】由题意可得122121=,=5459AB BC m m k k m ---=----，因为A ，B ，C 三点共线，所以=AB BC k k ，即212159m m --=--，解得2m =或72m =．所以m 的值为2或72．故选：D ．题型5：利用直线斜率的几何意义求最值5-1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x Î，则1111y x +-的取值范围为 .【答案】(],2-¥-【分析】把1111y x +-转化为()11,M x y 与点()1,1A -所成直线的斜率，作出函数e x y =在[)0,1x Î部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解.【详解】由1111y x +-表示()11,M x y 与点()1,1A -所成直线的斜率k ，又由()11,M x y 是e x y =在[)0,1x Î部分图象上的动点，如图所示：可得(0,1),(1,e)C B ，则2AC k =-，所以2k £-，即k 的取值范围为(],2-¥-.故答案为：(],2-¥-.5-2．（2024高二·全国·专题练习）若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -££，则代数式32y x ++的取值范围为【答案】5,73éùêúëû【分析】作图，根据代数式32y x ++的几何意义，结合图象即可得出答案.【详解】如图，()1,2A ，()1,4B -，()2,3C --，则325213AC k --==--，()34721BC k --==---.因为()()3322y y x x --+=+--，可表示点C 与线段AB 上任意一点(),M x y 连线的斜率，由图象可知，AC MC BC k k k ££，所以有53732MC y k x +£=£+.故答案为：5,73éùêúëû.113110,31121AB BC k k -+-====+-，因为D 为ABC V 的边AC 上一动点，所以直线BD 斜率k 的变化范围是(]),03,é-¥È+¥ë.故选：D.6-2．（2024高一上·宁夏中卫·期末）已知3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k -££B ．344k ££C ．12k ¹D ．4k £-或34k ³【答案】D【分析】因为3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,画出图像,即可求得直线l 的斜率k 的取值范围.【详解】画出图像,如图:312134,21314PA PB k k ----==-==---Q \ 结合图像可知,要保证线段AB 与直线l 相交需满足斜率k 的取值范围: 4k £-或34k ³故选:D.【点睛】本题考查了求过定点直线的斜率范围问题,解题关键是根据题意画出图像,数形结合,考查了分析能力,属于基础题.6-3．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点()2,1A -，()B 5,3--，直线l 过点()1,1，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是（）A ．(]2,2,3éö-¥-È+¥÷êëøB ．22,3éù-êúëûC ．2,23éù-êúëûD ．[)2,2,3æù-¥-È+¥çúèû【答案】A【分析】根据直线过定点P ()1,1，画出图形，再求出PA ，PB 的斜率，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：若直线l 与线段AB 相交，则PA k k £或 PB k k ³，因为11221PA k --==--，312135PB k --==--，所以直线l 的斜率取值范围是(]2,2,3éö-¥-È+¥÷êëø.故选：A.【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.6-4．（2024高二上·江苏南通·阶段练习）经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角a 的取值范围是．【答案】π3π0,,π44éùéöÈ÷êúêëûëø【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线l 与线段AB 有公共点的直线l 的斜率的范围与倾斜角的范围．【详解】解：如图，(1,2)A -Q ，(2,1)B ，(0,1)P -，2(1)110PA k ---\==--，11102PB k --==--，则使直线l 与线段AB 有公共点的直线l 的斜率k 的范围为[1k Î-，1]，又直线倾斜角的范围是：[)0,π，且tan k a = \直线l 的倾斜角的范围为a Îπ3π0,,π44éùéöÈ÷êúêëûëø．故答案为：π3π0,,π44éùéöÈ÷êúêëûëø．6-5．（2024高三·全国·专题练习）直线l 过点()1,2M -，且与以()4,1P --、()3,0Q 为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是．【答案】[)1,1,2æù-¥-+¥çúèûU 【分析】作出图形，求出MP k 、MQ k ，观察直线l 与线段PQ 的交点运动的过程中，直线l 的倾斜角的变化，可得出直线l 的取值范围.【详解】如下图所示：设过点M 且与x 轴垂直的直线交线段PQ 于点A ，设直线l 的斜率为k ，且21114PM k +==-+，201132QM k -==---，当点B 从点P 移动到点A （不包括点A ）的过程中，直线l 的倾斜角为锐角，此时，1MP k k ³=；当点B 从点A （不包括点A ）移动到点Q 的过程中，直线l 的倾斜角为钝角，此时，12MQ k k £=-.综上所述，直线l 的斜率的取值范围是[)1,1,2æù-¥-+¥çúèûU .故答案为：[)1,1,2æù-¥-+¥çúèûU .一、单选题1．（2024高二上·江苏南京·期末）若直线经过(1,0)A ，B 两点，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线AB 的斜率，再求对应的倾斜角即可．【详解】由直线经过(1,0)A ，B =设直线的倾斜角为q ，则有tan q =，又0180q °£<°，所以30q =°.故选：A.2．（2024高二上·全国·课后作业）对于下列命题：①若q 是直线l 的倾斜角，则0180q °£<°；②若直线倾斜角为a ，则它斜率tan k a =；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若q 是直线的倾斜角，则0180q °£<°；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为a 且90a ¹°，它的斜率tan k a =；倾斜角为90°时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90°时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.3．（2024高二下·河南安阳·开学考试）已知点()()2,3,1,A B x -，直线AB 的倾斜角为2π3，则x =（）A ．3-B ．3C ．3+D ．6【答案】C【分析】根据斜率公式列式计算即可.【详解】因为直线AB 的倾斜角为2π3，()()2,3,1,A B x -，可得直线AB 的斜率为32πtan 123-===--AB x k可得3x =+.故选：C4．（2024高二上·四川南充·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距1i i PP +（1i =，2，…，9）均为3.8m ，拉索下端相邻两个针的间距1i i A A +（1i =，2，…，9）均为15m ．最短拉索的针1P ，1A ，满足160m OP =，180OA =，则最长拉索所在直线的斜率约为（）（结果保留两位有效数字）A ．0.47±B ．0.45±C ．0.44±D ．0.42±【答案】C【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出点1010,A P 的坐标，再利用斜率坐标公式及对称性求解作答.【详解】依题意，以直线1010A B 为x 轴，直线110PP 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，显然10||80915215(m)OA =+´=，10||609 3.894.2(m)OP =+´=，因此点1010(215,0),(0,94.2)A P ，直线1010A P 的斜率为94.200.440215-»--，由对称性得直线1010B P 的斜率为0.44，所以最长拉索所在直线的斜率约为0.44±.故选：C5．（2024高二上·四川）已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角a 的取值范围是（）.A ．090a £<o o B ．0180a <<o oC ．90180a £<o oD ．90180a <<o o【答案】D【分析】由于直线l 经过第二、四象限，可知直线的倾斜角为钝角，从而可求得答案【详解】直线倾斜角的取值范围是0180a £<o o ，又直线l 经过第二、四象限，∴直线l 的倾斜角a 的取值范围是90180a <<o o ，故选：D.6．（2024高二上·全国·课后作业）若如图中的直线123,,l l l 的斜率为123,,k k k ，则（）A ．123k k k <，所以312tan 0,tan 0,tan 0k k k g a b =>=<=<，又tan y x =在π,π2x æöÎç÷èø上单调递增，故12tan tan k k a b =>=，所以213k k k <<.故选：C7．（2024高二上·贵州黔西·期末）已知直线l 的倾斜角为30o ，则直线l 的斜率为（）A ．12B C D 【答案】D【分析】根据tan k a =计算即可.【详解】由题意可得直线l 的斜率tan 30k ==o 故选：D8．（2024高一上·福建福州·期末）若直线的倾斜角为120° ）A B ．C D ．【答案】B【分析】求得倾斜角的正切值即得．【详解】k =tan120°=故选：B ．9．（2024高一下·河北邯郸·期末）图中的直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则有（）A ．123k k k <>C ．132k k k <<D ．312k k k <<【答案】C【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，1320k k k <<<，故选：C10．（2024高二上·湖南娄底·期末）已知直线的倾斜角是π3，则此直线的斜率是（）【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】因为直线的倾斜角是π3，所以此直线的斜率是πtan 3=故选:C.11．（2024高二上·湖北武汉·期末）已知直线l 的倾斜角为a ，斜率为k ，那么“1k >”是“π4a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由直线的斜率1k >可得tan 1a >，解得ππ24a >>，所以“1k >”是“π4a >”的充分不必要条件，故选：A12．（2024高一上·江西景德镇·期末）已知三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，则实数m 的值为（）A ．0B ．5C ．0或5D ．0或-5【答案】C【解析】根据()4,2B ，()4,2C m -知直线斜率存在，利用斜率相等求解.【详解】因为三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，且直线斜率存在，所以212244(4)mm --=---，解得0m =或5m =故选：C13．（2024高二下·湖北荆州·阶段练习）若直线经过两点(),1A m ，()23,2B m -，且其倾斜角为135°，则m 的值为（）224【答案】D【分析】根据两点斜率公式求解即可.【详解】经过两点(),1A m ，()23,2B m -的直线的斜率为2112324k m m m-==---，又直线的倾斜角为135°，∴1124m=--，解得34m =．故选：D14．（2024高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（）A ．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B ．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C ．任何一条直线都有唯一的斜率；D ．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于A :直线的倾斜角2ππ,,33a b a b ==>,1212tan 0,tan 0,k k k k a b =<=><,所以A 错误；对于B :两直线的倾斜角相等为π2,斜率不存在,所以B 错误；对于C :当直线的倾斜角为π2时直线斜率不存在，所以C 错误；对于D :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以D 正确.故选：D .15．（2024高二上·辽宁大连·期末）若直线l 的方向向量是(e =r，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是(e =r得直线l设直线的倾斜角是()π0πtan 3a a a a £<=Þ=，，故选：B.16．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ³或4k £-B ．34k ³或14k £-C ．344k -££D ．344k -££【答案】A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：依题意，312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则34k ³或4k £-，故选：A17．（2024高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点(11),(3,0)A B --，若点(,)M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围是（）A ．1,)2æù-¥-È+¥çúèûB ．11,2éù--êúëûC ．(,1])-¥-+¥U D ．11,22éù-êëû【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解【详解】21y x -+可看作(,)M x y 与(1,2)N -的斜率，则AN k ==201132BN k -==---，因为点(,)M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围为1,)2æù-¥-È+¥çúèû，故选：A18．（2024高二上·广东深圳·期中）已知点()2,1A --，()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（）A ．[)1,3,2æù-¥-È+¥çúèûB ．1,32éù-êúëûC ．(][),13,-¥-+¥U D ．[]1,3-【答案】A 【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果.【详解】设()1,2Q -，则()()21312QA k --==---，201132QB k -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是[)1,3,2æù-¥-È+¥çúèû，故选：A.19．（2024高三上·新疆昌吉·期中）坐标平面内有相异两点()2cos ,sin A q q ，(0,1)B ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（）A ．,44p p éù-êúëûB ．30,,44p p p æùéöç÷úêèûëøUC ．30,,44p p p éùéöÈ÷êúêëûëøD ．3,44p p éùêúëû【答案】B 【分析】利用斜率公式求出AB k ，再利用三角函数求出AB k 的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围.【详解】因为点()2cos ,sin A q q ，(0,1)B 是相异两点，22sin 1cos cos cos cos AB k q q q q q--\===-，且cos 0q ¹，[)(]1,00,1AB k \Î-U 设直线的倾斜角为a ，则[)(]tan 1,00,1a Î-U 当01tan a <£，倾斜角a 的范围为04p a <£．当1tan 0a -£<，倾斜角a 的范围为34p a p £<．30,,44p p a p æùéö\ÎÈç÷êèûëø故选：B【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，利用cos q 求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.20．（2024高三上·新疆）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°【答案】C 【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E 并确定∠OO 3E 的大小，即可知AB 所在直线的倾斜角.【详解】∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如下图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.故选：C21．（2024高二·全国·期中）已知直线斜率为k ，且1k -££，那么倾斜角a 的取值范围是（）A ．30,,324p p p éùéö÷êúêëûëøU B ．30,,34p p p éùéöÈ÷êúêëûëøC ．30,,624p p p éùéö÷êúêëûëøU D ．30,,64p p p éùéö÷êúêëûëøU 【答案】B 【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角a 的取值范围.【详解】解：直线l 的斜率为k ，且1k -£，∴1tan a -££[0,)a p Î.∴30,,34éùéöÎ÷êúêëûëøU p p a p .故选：B.22．（2024·四川绵阳·二模）已知直线l 的方程为sin 10x a +-=，R a Î，则直线l 的倾斜角范围是（）A ．203π,π,π3æùéöÈç÷úêèûëøB ．π5π0,,π66éùéö÷êúêëûëøUC ．π5π,66éùêúëûD ．π2π,33éùêúëû【答案】B【分析】计算k éÎêë，再考虑k éÎêë和k éöÎ÷ê÷ëø两种情况，得到倾斜角范围.【详解】sin 10x a +-=，则k a é=Îêë，设直线l 的倾斜角为π02q q æö£<ç÷èø，故tan k q é=Îêë，所以当k éÎêë时，直线l 的倾斜角π0,6q éùÎêúëû；当k éöÎ÷ê÷ëø时，直线l 的倾斜角5π,π6q éöÎ÷êëø；综上所述：直线l 的倾斜角π5π0,,π66q éùéöÎÈ÷êúêëûëø故选：B二、多选题23．（2024高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知经过点()5,A m 和()2,8B 的直线的倾斜角ππ,63q æöÎç÷èø，则实数m 的可能取值有（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】ABC【分析】根据斜率公式求解.【详解】由题可得8tan 3AB m k q -==Î，所以(8m Î++，结合选项可得实数m 的可能取值有11,12,13，故选:ABC.24．（2024高二·全国·课后作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线1l ，2l ，3l ，其对应的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则下列选项中错误的是（）A ．312k k k >>B ．120k k ->C ．120k k ×<D ．321k k k >>【答案】ABC 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系.【详解】由题图可知，10k <，20k <，30k >，且12k k <，可知A ，B ，C 错误.故选：ABC ．25．（2024高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线1l ，2l ，3l ，4l ，斜率分别是1k ，2k ，3k ，4k ，倾斜角分别是1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系正确的是（）A ．2143k k k k <<，20a =，2143a a a a \<<<，故C 正确；由tan k a =，知20k =，30k <，140k k <<，3214k k k k \<<<，故B 正确；故选：BC26．（2024高三·全国·专题练习）在下列四个命题中，错误的有（）A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[]0,p C ．若一条直线的斜率为tan a ，则此直线的倾斜角为aD ．若一条直线的倾斜角为a ，则此直线的斜率为tan a【答案】ABCD【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此判断选项是否正确.【详解】对于A ：当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以A 错误；对于B ：直线倾斜角的取值范围是[0,)p ，所以B 错误；对于C ：一条直线的斜率为tan a ，此直线的倾斜角不一定为a ，如y x =的斜率为5tan 4p ，它的倾斜角为4p ，所以C 错误；对于D ：一条直线的倾斜角为a 时，它的斜率为tan a 或不存在，所以D 错误.故选：ABCD三、填空题27．（2024高二上·全国·课前预习）已知直线1l 的倾斜角115a =o ，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向所成的角为120o ，如图，则直线2l 的倾斜角为．【答案】135o【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线2l 的倾斜角.【详解】设直线2l 的倾斜角为2a ，因为1l 和2l 向上的方向所成的角为120o ，所以，120BAC Ð=o ，故2112012015135a a =+=+=o o o o ．故答案为：135o .28．（2024高二上·广西百色·期末）已知直线l 过点()1,0P 且与以()2,1A ，()4,3B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．【答案】[]1,1-【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段AB 有公共点的临界情况分析.【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接,PA PB ，如图当直线l 恰好经过,A B 时为临界情况，又100(3)1,12114PA PB k k ---====---，当直线从PA 位置顺时针转动到PB 位置时，由倾斜角和斜率的关系可知，[]1,1k Î-.故答案为：[]1,1-29．（2024·湖南株洲·一模）过原点的直线l 与曲线1e x y -=交于不同的两点A ，B ，过A ，B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =交于C ，D 两点，则直线CD 的斜率为．【答案】1【分析】设111(,e )x A x -，212(,e )x B x -，根据点O ，A ，B 共线，得出OA OB k k =，得出1122ln x x x x -=，再由C ，D 两点的坐标，根据斜率公式，得出1212lnCD x x k x x =-，代换即可得出答案．【详解】设111(,e )x A x -，212(,e )x B x -，则点C 的坐标为11(,ln )x x ，点D 的坐标为22(,ln )x x ，Q 点O ，A ，B 共线，OA OB k k \=，即121112e e x x x x --=，可得：1212e x x x x -=，即1122ln x x x x -=，又11221212lnln ln CD x x x x k x x x x -==--Q ，12121CD x x k x x -\==-，故答案为：1．30．（2024高二上·全国·课后作业）直线l 的斜率为k，且k æÎççè，则直线l 的倾斜角的取值范围是．【答案】π2π0,,π63éöæö÷ç÷êëøèøU 【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.【详解】如图：当直线l的斜率k æÎççè，直线l 的倾斜角的取值范围为：π2π0,,π63éöæö÷ç÷êëøèøU .故答案为：π2π0,,π63éöæö÷ç÷êëøèøU .31．（2024高二·江苏·假期作业）若经过点(1,1)P a -和(2,3)Q a 的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是．【答案】(-¥，1)3【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率31021a a -<-+，解得13a <．所以a 的取值范围是(-¥，1)3．故答案为：(-¥，13．32．（2024高二下·上海闵行·开学考试）若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为，则直线2l 的倾斜角为 .【答案】120o /23p 【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可.【详解】直线1l 的斜率为所以直线1l 的倾斜角为120o ，直线1l 与直线2l 平行所以直线2l 的倾斜角为120o .故答案为：120o33．（2024高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点()2,3A -无旋转射入，经过x 轴（桌边）上的点P 反弹后，经过点()5,7B ，则点P 的坐标为 .【答案】1,010æöç÷èø【分析】求A 点关于x 轴的对称点A ¢，由题意可知,,A B P ¢三点共线，利用斜率公式，即得解【详解】设P (),0x ，A 点关于x 轴对称的点()2,3A ¢--，则()()03322A P k x x ¢--==--+，()()7310527A B k ¢--==--，由题意，,,A B P ¢三点共线，A P AB k k ¢¢\=，即31027x =+，解得110x =，故P 点的坐标为1,010æöç÷èø.故答案为：1,010æöç÷èø四、解答题34．（2024高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）A (0，-1)，B (2，0)；（2）P (5，-4)，Q (2，3)；（3）M (3，-4)，N (3，-2).【答案】（1）斜率12，倾斜角是锐角；（2）斜率73-；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.【分析】（1）（2）过两点的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，当斜率为正时，其倾斜角是锐角，当斜率为负时，其倾斜角是钝角；（3）由于两点的横坐标相同，所以其斜率不存在，则倾斜角为90°.【详解】解：（1）kAB =101022--=-，因为kAB >0，所以直线AB 的倾斜角是锐角.（2）kPQ =437523--=--，因为kPQ <0，所以直线PQ 的倾斜角是钝角.（3）因为xM =xN =3，所以直线MN 的斜率不存在，其倾斜角为90°.35．（2024高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)()()2,3,4,5A B ；(2)()()2,3,2,1C D --；(3)()()3,1,3,10P Q --．【答案】(1)存在，1(2)存在，1-(3)不存在【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.【详解】（1）由题意，存在，直线AB 的斜率53142AB k -==-．（2）由题意得，存在，直线CD 的斜率()13122CDk --==---．（3）∵3P Q x x ==-，∴直线PQ 的斜率不存在．36．（2024高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点(3,4),(3,2)-A B ，过点(1,0)P 的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角a 的取值范围．【答案】(1)(,1][1,)¥¥--È+．(2)45135a °££°．【分析】（1）由图可知要使直线l 与线段AB 有公共点，只需直线l 的斜率k 满足PA k k £或PB k k ³，从而可求得答案；（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线l 的倾斜角a 的取值范围．【详解】（1）因为(3,4),(3,2)-A B ，(1,0)P ，所以40201,13131P PA B k k --==-==---因为直线l 与线段AB 有公共点，所以由图可知直线l 的斜率k 满足PA k k £或PB k k ³，所以直线l 的斜率k 的取值范围是(,1][1,)¥¥--È+．（2）由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，因为直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，所以a 的取值范围是45135a °££°．37．（2024高二上·全国·课后作业）过()222,3A m m +-，()23,2B m m m --两点的直线l 的倾斜角为45°，求m 的值．【答案】2-.【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出m 的值.【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率tan 451k =°=，又()()()22232123m mk m m m --==+---，整理得2320m m ++=，解得1m =-或2m =-，当1m =-时，()()22230m m m +---=，不符合，当2m =-时，()()222350m m m +---=¹，符合，综上：2m =-.38．（2024高二·全国·课后作业）已知()()()3,3,4,2,0,2A B C --．(1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC （包括端点）上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53(2)15,73éùêëû【分析】（1）根据斜率公式运算求解；（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.【详解】（1）由斜率公式可得直线AB 的斜率231437AB k -==--，直线AC 的斜率()325303AC k --==-，故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.（2）如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的倾斜角增大且为锐角，直线AD 的斜率由AB k 增大到AC k ，所以直线AD 的斜率的变化范围是15,73éùêúëû．39．（2024高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---.(1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形，且点D 在第一象限，求点D 的坐标；(3)若(),E m n 是线段AC 上一动点，求2n m -的取值范围.【答案】(1)斜率为1，倾斜角为π4；(2)()3,5；(3)1,13éù-êúëû.【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2) 设(),D x y ，根据,AB CD AC BD k k k k ==求解即可；(3) 因为2n m -表示直线BE 的斜率,求出E 与点C 重合时，直线BC 的斜率；E 与点A 重合时，直线BE 的斜率即可得答案.【详解】（1）解：因为直线AB 的斜率为4122-=--.所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）解：如图，当点D 在第一象限时，,AB CD AC BD k k k k ==.设(),D x y ，则11114212y x y x -ì=ïï+í+ï=ï--+î，解得35x y =ìí=î，故点D 的坐标为()3,5；（3）解：由题意得2nm -为直线BE 的斜率.当点E 与点C 重合时，直线BE 的斜率最小，BC 11123k ==---；当点E 与点A 重合时，直线BE 的斜率最大，1AB k =.故直线BE 的斜率的取值范围为1,13éù-êúëû，即2nm -的取值范围为1,13éù-êúëû.。

高二数学期末总结（精选15篇）

高二数学期末总结（精选15篇）高二数学期末总结（精选15篇）时间过得真快，又到了学期末，回顾这个学期以来的工作，有什么想要跟大家分享的呢？该静下心来好好写一份期末总结了，分析这个学期的成长与不足。

我们要怎么写期末总结呢？下面是小编帮大家整理的高二数学期末总结（精选15篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

高二数学期末总结篇1针对期末考试末出现的问题，做出了以下反思和以后在数学的学习末要运用的方法：（1）记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂末拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

（2）建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

（3）熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

（4）经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

（5）阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

（6）及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

（7）学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

（8）经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

（9）无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-4 圆的方程(解析版)

专题2.4 圆的方程知识点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),C a b 为圆心，r 为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时0,0a b ==，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：0b =；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为(),a b ，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有(1)若点()00,M x y 在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00,M x y 在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00,M x y 在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 知识点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-.它表示一个点. 222x y r +=(,)22D E--(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；（2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型一：圆的标准方程1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C ：224690x y x y ++-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（）A ．()()22214x y -+-= B ．()()22324x y -++= C ．()()22214x y -++=D ．()()22324x y ++-=【答案】C【解析】圆C ：224690x y x y ++-+=的圆心()2,3C -，半径2r =．设点()2,3C -关于直线10x y -+=的对称点为00'(,)C x y ，则000000311*******22y x x y x y -⎧⨯=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪-+=⎪⎩，所以圆C 关于直线10x y -+=的对称圆的方程为()()22214x y -++=，故选:C ．2．（2022·江苏·高二）圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）． A ．()()22431x y -++= B ．()()224349x y -+-= C ．()()22431x y ++-= D ．()()224349x y +++=【答案】A【解析】：()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-，所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=．故选：A ．3．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -；(2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径；(3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-；(4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．【答案】(1)()22225x y ++=或()22625x y -+=(2)()()221329x y -++=(3)()()22122x y -+=+(4)()()221210x y +++=【解析】(1)设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=． (2)设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-；又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=． (3)设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+．(4)设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +．又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r =故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=．题型二：圆的一般方程1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程222410+-+-=x y x y 的圆心为（） A ．()2,4- B ．()1,2- C ．()1,2- D ．()2,4-【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；【详解】解：因为222410+-+-=x y x y ，即()()22126x y -++=，所以圆心坐标为()1,2-；故选：C2．（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，则ABC 的最小覆盖圆的半径为（） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C 【解析】(2,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，ABC ∴△为锐角三角形，ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆，设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420420,1640D F D FEF -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=，即22325()24x y +-=，ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2 DC设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F DEF D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =. 故选：C.题型三：点与圆的位置关系1．（2022·全国·高二课时练习）已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（） A ．()()3,22,--+∞ B ．()()3,23,--⋃+∞ C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】A【解析】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A题型四：圆过定点问题1．（2022·河北沧州·高二期末）已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点，O 为坐标原点．则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点（） A ．()10,0 B ．()0,10 C ．()2,4 D ．()4,2【答案】D【解析】设OB 垂直于直线2100x y +-=，垂足为B ，则直线OB 方程为：12y x =，由圆的性质可知：以OA 为直径的圆恒过点B ，由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得：42x y =⎧⎨=⎩，∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2. 故选：D.2（2022·上海·高三专题练习）已知二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C ，则圆C 经过定点的坐标为_______（其坐标与b 无关）【答案】(0,1)和(2,1)-【解析】二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为(,0),(,0),(0,)M m N n B b ，易知0b ≠，,m n 满足2m n +=-，m n ≠，220m m b ++=，220n n b ++=，设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=，则222000m Dm F n Dn F b Eb F ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩①②③， ①－②得22()0m n D m n -+-=，()2D m n =-+=，∴220n n F ++=，从而F b =，代入③得1E b =--，∴圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=，整理得222(1)0x y x y b y ++-+-+=，由222010x y x y y ⎧++-=⎨-+=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩．∴圆C 过定点(0,1)和(2,1)-．题型五：轨迹问题1 古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值为（） A ．1B ．5C ．1或5D ．不存在【答案】C 【解析】【分析】直接设点P (),x y ，根据2PA PO =可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得11CC r r =+或11CC r r =-．【详解】设点P (),x y∵2PA PO =整理得：()2214x y ++=∴点P 的轨迹为以()11,0C -为圆心，半径12r =的圆， ∵圆()222:2C x y r -+=的()2,0C 为圆心，半径r 的圆由题意可得：113CC r r ==+或113CC r r ==- ∴1r =或=5r 故选：C ．2已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【解析】【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果. 【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0- D ．(][),20,-∞-+∞【答案】B【解析】由2224100x y ax ay a ++--=，得()()2222510x a y a a a ++-=+，由该曲线表示圆，可知25100a a +>，解得0a >或2a <-，故选：B. 2．圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（） A ．221x y += B ．224x y += C ．()()22113+++=x yD ．()()22116x y +++=【来源】贵州省2021-2022学年高二下学期7月高中学业水平考试数学试题【答案】B 圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为224x y +=.故选：B3．方程y = ）．A ．B ．C ．D ．【来源】2.1 圆【答案】A ：对y =()2240x y y +=≤，所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x 轴及下方的部分，A 选项满足.故选：A4．若直线l 经过圆22:40C x y x ++-=的圆心，且倾斜角为56π，则直线l 的方程为（）A 0y -+= B ．10x -=C 0y ++=D ．50x +=【答案】B【解析】整理圆的方程可得：()(2227x y ++=，∴圆心(C -，l 倾斜角为56π，∴其斜率5tan 6k π==，l ∴方程为：)2=+y x ，即10x +-=. 故选：B.5．如图，点A ，B ，D 在圆Γ上，点C 在圆Γ内，11,12,5AB BC CD ===，若0BC CD ⋅=，且AB 与CD 共线，则圆Γ的周长为（）A ．410πB ．653π C ．21π D ．24π【来源】安徽省淮南第二中学2021-2022学年高二下学期博雅杯素养挑战赛数学试题【答案】B【解析】以C 为原点，BC 和CD 坐在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(12,11),(12,0),(0,5)A B D ---，设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=则144121121101441202550D E F D F E F +--+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1631180D E F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以656r =所以圆的周长为65652263r πππ=⨯= 故选：B6．已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（） A ．2310x y -+= B ．2310x y --= C ．3210x y -+= D ．3210x y --=【答案】A【解析】设点A 的坐标为()5,3-，圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ，设(,0)C x 是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线经过点(1,1)B ，由反射的性质可知：3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----，于是102131()2BC k -==--，所以反射光线所在的直线方程为： 21()231032y x x y =+⇒-+=，故选：A7．若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）．A ．250x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．30x y --=【来源】黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题【答案】D【解析】由圆()22:125C x y -+=，得()1,0C ，()01112PC k --∴==--，由垂径定理可知PC AB ⊥，所以直线AB 斜率k 满足1PC k k ⋅=-，即1k =，所以直线AB 的方程为：()()112y x --=⨯-，即30x y --=，故选：D.8．直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2242x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（）A ．[]8,12B ．⎡⎣C ．[]12,20D ．⎡⎣【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（理）试题【答案】C【解析】直线40x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴A (-4，0)，B (0，-4) ∴|AB设圆心(4，0)到直线40x y ++=的距离为d ，则d ==设点P 到直线40x y ++=的距离为h ，∴max h d r =+=min h d r =-==∴h 的取值范围为[，即ABP 的高的取值范围是[，又ABP 面积为12|AB |×h ，所以ABP 面积的取值范围为[]12,20. 故选：C.9．已知直线10(0)ax by ab +-=>过圆22(1)(1)2022x y -+-=的圆心，则22a b +的最小值为（）A ．12B ．1CD ．2【来源】安徽省宣城市2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】A【解析】由题意得圆心为（1,1），因为直线10(0)ax by ab +-=>过圆心，所以1a b +=，即1a b =-，所以22222211(1)221222b b b b b a b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝+⎭，所以当12b =时，22a b +的最小值为12. 故选：A10．已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题【答案】A 由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>，点A （1，2）在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>，求解即可【详解】由题意，22220x y mx y ++-+=表示圆故22(2)420m +--⨯>，即2m >或2m <- 点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外故22122220m ++-⨯+>，即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选：A11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A 1(,0)2-，B (1，1)，则2|MA |＋|MB |的最小值为（）A BC D 【来源】湖南省常德市临澧县第一中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题【答案】C【解析】∴当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(－1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×121=+若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |＋|MB |＝2×324=．∴当点M 不在x 轴上时，取点K (－2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以||||2||||OM OK OA OM ==．因为∴MOK ＝∴AOM ，所以△MOK ∴∴AOM ，则||||2||||MK OM MA OA ==，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，所以|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (－2，0)，所以(2|MA |＋|MB |)min＝|BK |<1，所以2|MA |＋|MB | 故选：C12．已知圆C 的圆心在x 轴上，半径为2，且与直线20x +=相切，则圆C 的方程为A ．22(2)4x y -+=B ．22(2)4x y ++=或22(6)4x y -+=C ．22(1)4x y -+=D ．22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=【来源】山西省名校联考2021-2022学年高二上学期期末数学试题【答案】D【解析】设圆心坐标(),0a ，因为圆与直线20x +=相切，所以由点到直线的距离公式可得|2|22a +=，解得2a =或6a =-.因此圆C 的方程为22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=.13．两条直线2y x a =+，2y x a =+的交点P 在圆()()22114x y -+-=的内部，则实数a 的取值范围是A ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()11,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,-C ．1,15⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．()11,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦,-【答案】A【解析】由22y x a y x a=+⎧⎨=+⎩解得(),3P a a .∴点P 在圆()()22114x y -+-=的内部.∴()()221314a a -+-<，解得115a -<<.14．已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点(1,0),(2,2)A B -，则2MA MB +的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，取点()4,0K -，连接,OM MK ， 2,1,4OM OA OK ===，2OM OKOA OM∴==， ,~MOK AOM MOK AOM ∠=∠∴∆∆，2MK OMMA OA∴==， 2MK MA ∴=，2MB MA MB MK ∴+=+，因为MB MK BK +≥,当且仅当三点共线时等号成立,2MB MA MB MK ∴+=+的最小值为BK 的长， ()()2,2,4,0B K -，BK ∴== D.15．AB 为∴C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为∴C 上一动点，则PA PB⋅的取值范围是（） A ．[0，100] B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【来源】安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二上学期1月月考数学试题【答案】D【解析】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+=，PA PB BA -=221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦，又||6BA =，4CQ ==2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∴点P 为∴C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72]. 故选：D. 二、多选题16．直线y ax b =+ 与圆 22()()1x a y b -+-= 的大致图像可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】A ：直线不经过第四象限，所以0,0a b >>，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；B ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；C ：直线不经过第一象限，所以0,0a b <<，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =，得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <，所以2b b <，因此本选项可能正确；D ：直线不经过第二象限，所以0,0a b ><，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=，在圆的方程中，令0x =，得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =，因为0b <，所以2b b <，因此本选项不可能正确，故选：AC17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为()0,1M .下列结论中正确的是（） A ．实数a 的取值范围为3a ，可得5a < ，又由题意弦AB 的中点为()M 0，1可得点M 在圆内，将点M 坐标代入圆的方程可得：30a -+<，即3a <，故A 正确，B 错误；根据圆的性质可得：MC l ⊥ ，由圆22:240C x y x y a ++-+=，得圆心(12)C -，，而(01)M ，，∴直线l 的斜率k 为11111MC k -=-=-，由点斜式可得直线l 的方程为：1y x =+ ，即10x y -+=，故C 错误，D 正确；故选：AD18．方程()()2222220x y x x y y λμ+-++-=（λ，μ不全为零），下列说法中正确的是（）A ．当0λμ=时为圆B ．当0λμ≠时不可能为直线C ．当方程为圆时，λ，μ满足0λμ+≠D ．当方程为直线时，直线方程y x = 【答案】ACD【解析】对于A ，由题可得00λμ=⎧⎨≠⎩ 或00λμ≠⎧⎨=⎩，代入得2220x y y +-=或2220x y x +-=，都是圆，故A 对；对于B ，当1,1λμ==-时，化简得y x =是直线，故B 错；对于C ，原式可化为22(+)(+)220x y x y λμλμλμ+--=，要表示圆，则必有0λμ+≠，故C 对；对于D ，只有0λμ+=时，方程表示直线y x =，故D 对. 故选：ACD.19．已知平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(1)λ≠的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,0),(4,0)A B -，若12λ=，则下列关于动点P 的结论正确的是（）A ．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16πB ．当P 、A 、B 不共线时，∴P AB 面积的最大值是6C ．当A 、B 、P 三点不共线时，射线PO 是∴APB 的平分线D ．若点(3,1)Q -，则2PA PQ +的最小值为【来源】湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试题【答案】ACD【解析】设(,)P x y ，因为PA PB=12=，整理得2280x x y ++=，即()22416++=x y ．A ：点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；B ：圆的半径为4且6AB =，当△P AB 的底边AB 上的高最大时，面积最大，所以△P AB面积的最大值是164122⨯⨯=，错误；C ：当A ，B ，P 不共线时，由12PA PB=，OA =2，4OB =，即12OA OB =，故||||||||PA OA PB OB =．由角平分线定理的逆定理知：射线PO 是∠APB 的平分线，正确；D ：因为12=PA PB，即2|PA =PB |，则2PA PQ PB PQ +=+，又P 在圆()22416++=x y 上，如图所示，所以当P ，Q ，B 三点共线时，2PA PQ +取最小值，此时[]22min (2||||)||4(3)(01)52PA PQ BQ +==--+-=，正确. 故选：ACD ．三、填空题20．已知圆1C ：()()22129x y -+-=，2C ：224210x y x y +-++=.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）【来源】广东省广州市南沙区2021-2022学年高二上学期期末数学试题【答案】350x y +-=【解析】解：圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:4210C x y x y +-++=即22(2)(1)4x y -++=， ∴两圆的圆心为： 1(1,2)C 和2(2,1)C -， ∴这两圆的连心线方程为：212121y x ---=--，即350x y +-=．故答案为：350x y +-=．21．若点P 为圆22:(1)(3)4C x y ++-=上的一个动点，则点P 到直线:34100l x y --=距离的最大值为________．【来源】湖南省张家界市2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题【答案】7【解析】圆22:(1)(3)4C x y ++-=的圆心(1,3)C -，半径2r =，点C 到直线:34100l x y --=的距离5d ==，所以圆C 上点P 到直线l 距离的最大值为527d r +=+=. 故答案为：722．已知圆C 经过(2,4)P -，(3,1)Q -两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，且圆C 不过原点，则圆C 的方程为___________．【来源】2.4圆的方程B 卷【答案】22(1)(2)13x y -+-=【解析】依题意，直线PQ 的斜率为4(1)123k --==---，线段PQ 中点为13(,)22，则线段PQ 中垂线方程为1y x =+，显然，点C 在直线1y x =+上，设(,1)+C a a ，圆C 半径r 有：222||2213r PC a a ==-+，点C 到x 轴距离|1|d a =+，因圆C 在x 轴上截得的弦长等于6，则有2223r d =+，因此有222213|1|9a a a -+=++，整理得2430a a -+=，解得1a =或3a =，当1a =时，圆心(1,2)C ，半径r =，圆C ：22(1)(2)13x y -+-=，显然此圆不过原点，当3a =时，圆心(3,4)C ，半径=5r ，圆C ：22(3)(4)25x y -+-=，显然此圆过原点，所以圆C 的方程为：22(1)(2)13x y -+-=. 故答案为：22(1)(2)13x y -+-=23．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足,2PA AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】湖南省名校联盟2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题【答案】)1π【解析】由2,2PA PB AB ==可知，正方体表面上到点A 距离最远的点为1C ，所以P 点只可能在面11ABB A ，面ABCD ，面11BB C C 上运动，当P 在面ABCD 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B ,设(,)P x y ，由PA =得：22222[(2)]x y x y +=-+，即22(4)8x y -+=，即P 点在平面ABCD 内的轨迹是以E （4,0）为圆心，以为半径的一段圆弧，因为2EA BE == ,故4BEC π∠=,所以P 点在面ABCD 内的轨迹的长即为4π⨯=同理，P 点在面11ABB A 内情况亦为22242ππ⨯=；P 点在面11BB C C 上时，因为PA ，2PBA π∠=,所以,24PAB PB π∠==，所以此时P 点轨迹为以B 为圆心，2为半径的圆弧，其长为1224ππ⨯⨯= ，综上述，P 点运动轨迹的周长为21)2ππ⨯+= ，故答案为：)1π.。

江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题

2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（文）试题一，选择题(每小题5分,共12小题,共60分)1.若复数Z 满足(1)34i Z i +=+,则Z 地实部为（）A ．32-B ．52- C ．32D ．522. 若函数xe x x y -++=23log ,则='y （）．A ．x e x x -++2ln 1414 B ．x e x x --+2ln 1414 C ．x e x x --+2ln 132D ．xe x x -++2ln 1323. 直线y ＝kx ＋b 与曲线31y x ax ＝＋＋相切于点()2,3 ,则b 地值为 ( )A. －15B. －7C. －3D. 94. 下面表达正确地是( )A ．“若x 2＝1,则x =1,或x =-1”地否定是“若x 2=1则x ≠1,或x ≠-1”B ．a ,b 是两个命题,假如a 是b 地充分款件,那么⌝a 是⌝b 地必要款件．C ．命题“∃x 0∈R,使得20010x x ++<”地否定是：“∀x ∈R,均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若α＝β,则sin α＝sin β”地否命题为真命题5. 已知/()(1)ln f x f x x =+,则()f e 是（）A ．1e +B ．eC ．2e +D ．36. 设抛物线24y x =地焦点为F ,不过焦点地直线与抛物线交于1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y两点, 与y 轴交于点C （异于坐标原点)O ,则ACF ∆与BCF ∆地面积之比为( )A ．12x xB ．1211x x ++C ．2122x x D ．212211x x ++7，已知定义在R 上地函数f （x ）满足f （4）=f （﹣2）=1,f′（x ）为f （x ）地导函数,且导函数y=f′（x ）地图象如图所示．则不等式f （x ）＜1地解集是（）A ．（﹣2,0）B ．（﹣2,4）C ．（0,4）D ．（﹣∞,﹣2）∪（4,+∞）8，设=)(x f 3,x x x +∈R ,当02πθ≤≤时,0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 地取值范围是（）A ．（0,1）B ．)0,(-∞C ．21,(-∞D ．)1,(-∞9，直线2by x a=与双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）地左支，右支分别交于A,B 两点,F 为右焦点,若AB ⊥BF,则该双曲线地离心率为（）A B C D ．210.设函数()f x 是定义在(),0-∞上地可导函数,其导函数为()f x ',且有x x f x x f <'+)()(,则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 地解集为（）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，11.已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤,若()f x 与()g x 地图象上分别存在点M,N,使得MN 有关直线y e =对称,则实数k 地取值范围是（）A ．224[,e e-- B ．2[,2]e e -C ．24[,2]e e- D ．24[,)e-+∞12. 已知当()1,x ∈+∞时,有关x 地方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解,则k 值范围是（）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,7二，填空题（每小5分,共4小题,共20分）13. 定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()21331x xxx f x +=地图象在点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1处地切线方程是__________.14. 复数z 1=1-2i,|z 2|=3,则|z 2-z 1|地最大值是___________．15.语文中有回文句,如：“上海自来水来自海上”,倒过来读完全一样。

2017-2018学年高二数学人教A版选修1-2教师用书：第4章章末分层突破含答案精品

章末分层突破①流程图②工序流程图③结构图④组织结构图除判断框外，大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年；其余的都不是闰年．用程序框图表示出这个规则．【精彩点拨】解答本题可先确定算法步骤，再依据算法步骤画程序框图．【规范解答】算法步骤：第一步输入年份；第二步逐一判断该年份能否被4，被100，被400整除；第三步根据规则，输出结果．程序框图：1．执行如图41所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图41【解析】开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a ＝－12，k ＝1；第二次循环a ＝－2，k ＝2；第三次循环a ＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k ＝2.【答案】 B每一步应注意先后顺序，否则会产生错误．在实际生产中，对于图中的流程，还会再细分并添加必要的条件进行处理．在工业上用黄铁矿制取硫酸大致经过三道程序：造气、接触氧化和SO3的吸收．造气，即黄铁矿与空气在沸腾炉中反应产生SO2，矿渣作废物处理，SO2再经过净化处理；接触氧化，是使SO2在接触室中反应产生SO3和SO2，其中SO2再循环进行接触氧化；吸收阶段，是SO3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请根据上述简介，画出制备硫酸的工序流程图．【精彩点拨】按照生产工序的先后顺序分阶段绘制．【规范解答】按照工序要求，可以画出如图所示的工序流程图．2．“十一”黄金周即将到来，小强一家准备通过旅游公司到张家界旅游，联系旅行社的任务由小强完成，小强为了详细了解景色、费用、居住、饮食、交通等方面的信息，想在打电话之前画一个电话咨询的流程图，请你帮他完成．【解】电话咨询的流程图如图所示．一般用图框和文字说明表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连接起来．结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．已知某公司设有总经理、总工程师、专家办公室、咨询部、监理部、信息部、开发部、财务计划部、后勤部、编辑部．在一个公司里总经理居最高的领导位置，总工程师和专家办公室为总经理提供参考意见，总经理直接管理下属部门，请画出其组织结构图．【精彩点拨】解答本题可按照已知的各部门间的关系从左到右、从上到下画出结构图．【规范解答】公司的组织结构图如图所示：3．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；(4)出错信息处理．根据以上要求画出该系统的结构图．【解】结构图如图所示．程线的箭头以及与判断框相连的流程线上的标志“是”或“否”．【导学号：81092066】【精彩点拨】本题是一个有规律的求和问题，故可用循环结构进行算法设计，考虑到其中正负号间隔，奇数项为正，偶数项为负，因此可再利用条件结构对此进行判断．【规范解答】算法的程序图如图所示：4．已知数列{a n }的递推公式a n ＝1a n －1＋a n －1，且a 1＝1，请画出求其前5项的流程图．【解】求其前5项的流程图如图所示：1．执行下面的程序框图42，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x图42【解析】输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36；运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 【答案】 C2．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图43是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34图43【解析】因为输入的x ＝2，n ＝2，所以k ＝3时循环终止，输出s .根据程序框图可得循环体中a ，s ，k 的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(第二次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s ＝17.【答案】 C3．执行下面的程序框图44，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝( )图44A．3 B．4C．5 D．6【解析】程序运行如下：开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.【答案】 B4．执行如图45所示的程序框图，输出的s值为( )图45A．8 B．9C．27 D．36【解析】k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；s＝1，k＝2，满足k≤2；s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.【答案】 B5．执行如图46所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．图46【解析】第一次循环：S＝2－1,1<3，i＝2；第二次循环：S＝3－1,2<3，i＝3；第三次循环：S＝4－1＝1,3≥3，输出S＝1.【答案】 1章末综合测评(四) 框图(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.【答案】 B2．在下面的图示中，是结构图的是( )A.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件C.D.【解析】A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．【答案】 B3．如图1是一结构图，在处应填入( )图1A．图象变换B．奇偶性C．对称性D．解析式【解析】函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.【答案】 B4．阅读如图2所示的知识结构图：图2“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．【答案】 C5．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图3所示：图3从图中可知在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．A．1 B．2C．3 D．4【解析】该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即3处可能不被审查通过，故选C.【答案】 C6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )【解析】由学校教职工组织结构易知选A.【答案】 A7．执行如图4所示的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内应填入的条件是( )图4A．k＞2? B．k＞3?C．k＞4? D．k＞5?【解析】第一次运行：k＝2，S＝0＋2＝2；第二次运行：k＝3，S＝2×2＋3＝7；第三次运行：k＝4，S＝2×7＋4＝18，此时输出结果，满足条件．结合选项可知应填“k＞3？”，故选B.【答案】 B8．如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( ) 【导学号：81092067】图5A ．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B ．“向量的加减法”中“运算律”的下位C ．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D ．“向量的数乘”中“运算律”的下位【解析】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．【答案】 A9．执行如图6的程序框图，如果输入的N ＝100，则输出的X ＝( )A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00图6【解析】由程序框图知，输出X ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100＝99100＝0.99. 【答案】 C10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )图7A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计【解析】结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．【答案】 A11．执行如图8所示的程序框图，如果输入的t∈，则输出的S属于( )图8A．B．C．D．【解析】由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于．【答案】 D12．执行如图9所示的程序框图，输出S的值为( )图9A.299－23B.2100－23C.2101－23D.2102－23 【解析】由赋值语句S ＝S ＋2n cos n π以及n ＝n ＋1可知，该程序框图的功能就是求数列{2n cos n π}的和，由判断框内的语句n ≤100与流程线指向可知，输出的结果就是该数列的前100项和．记a n ＝2n cos n π＝2n ×(－1)n ＝(－2)n，显然数列{a n }是一个首项a 1＝－2，公比q ＝－2的等比数列，故其前100项的和S ＝－2 ×[1－－2 100]1－－2 ＝23(2100－1)＝2101－23. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．【解析】组织结构图一般采用“树”形结构．【答案】 “树”14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．图10【解析】基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．【答案】指数函数、对数函数、幂函数15．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________. 【导学号：81092069】【解析】由题意可画出工序流程图如图所示：∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.【答案】 316．执行如图11所示的程序框图，输出的结果是________．图11【解析】第一次循环后，S＝1，i＝2；第二次循环后，S＝5，i＝3，第三次循环后，S＝32，i＝4；第四次循环后，S＝48，i＝5；第五次循环后，S＝173，i＝6.故输出的结果为173.【答案】173三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．【解】如图：18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．【解】该公司局域网设置的结构图如图所示．19．(本小题满分12分)写出《数学(必修3)》第1章“统计”的知识结构图．【解】20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：图12试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．【解】先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．【解】选举过程流程图为：22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．根据以上信息，绘制出其组织结构图．【解】该公司组织结构图如下：。

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数学基础知识复习
数学精练（37）

1.在ABC中，若32sin,abA则B为（）
3.A 6.B 3.C或32 6
.D

或65

2．21()cos2fxx的周期为（）
Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．
3. 已知2tan()5，1tan()44，则tan()4等于（）
Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．1318

4. 在ABC中，若::1:2:3ABC，则::abc等于（）
A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:1 D.1:3:2
5．．在△ABC中，若)())((cbbcaca，则∠A=（）

A．090 B．060 C．0120 D．0150
6.53是数列1411,7,3n中的第（）.
（A）18项（B）19项（C）17项（D）20项

7.已知等差数列{}na的前三项依次为1123aaa，，，则此数列的通项公式为（）.
（A）25nan （B）23nan
（C）21nan （D）21nan

8．在ABC中，60A，6a，3b，则ABC解的情况（）
A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定

9、已知π4cossin365，则7πsin6的值是（）
A．235 B．235 C．45 D．45
10．若＋＝34，则（1－tan）（1－tan）等于（）
A 12 B 1 C 2 D 14

1 C 2 D 3 C 4 D 5C 6B 7B 8A 9C 10C