高二上学期期末数学试卷及答案

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高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)

镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。

又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。

天津市部分区2024_2025学年高二数学上学期期末考试试卷含解析

天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程干脆计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定干脆写出结果即可推断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算实力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有微小值，无极大值B. 无微小值有极大值C. 既有微小值，又有极大值D. 既无微小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可推断函数的极值状况。

广东省梅州市2023-2024高二上学期期末数学试卷及答案

梅州市高中期末考试试卷（2024.1）高二数学注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．1．答卷前，考生务必用黑色字迹铜笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上，2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在空间直角坐标系中，已知点()()0,1,2,1,2,1,2A B AP AB −−=，则点P 的坐标是（）A ．()2,6,6−−B ．()2,5,4−−C ．()2,7,8−−D ．()3,8,7−−2．若过点()()1,,1,0M m N −的直线的倾斜角为34π，则m 的值为（）A ．2−B ．CD ．23．已知3,,,,15a b c 五个数成等差数列，则a b c ++=（）A ．21B ．24C ．27D ．304．如图，在三棱台111ABC A B C −中，112,AC AC M N =、分别为11AC A B 、的中点，设1,,AB a AC b AA c ===，则MN 可用,,a b c 表示为（）A ．111422a b c −+B ．1142a b c −+C ．111242a b c ++D ．1124a b c −+ 5．已知定点()1,0,A P −为圆22:4C x y +=的动点，则线段AP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．22112x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ B ．22(1)1x y ++= C ．22122x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ D ．22(1)2x y ++= 6．已知点()1,0P ，点Q 为椭圆22:13x C y +=上一动点，则PQ 的最小值为（）A ．3B 1−C ．2D ．2 7．空间直角坐标系中，已知点()0,3,1P −，向量()2,1,1u =−，则过点P 且以u 为法向量的平面方程为（）A ．24x y z −+=−B ．27x y z +−=C ．25x y z −+=−D ．25x y z −++=8．已知“整数对”按如下规律排成一列：()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1，……，则第60个数对是（）A ．()2,10B ．()5,7C ．()6,6D ．()7,5二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．9．关于双曲线22:136x y C −=，下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的焦点坐标为)和()B ．双曲线CC ．双曲线221918x y −=与双曲线C 的离心率相等 D ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±10．已知数列{}:2,4,6,8,10,n a −−，记{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（） A ．1(2)n n a +=− B ．{}212n n a a −−是一个等差数列 C ．1719S S > D ．20232024S =11．设圆22:4630C x y x y +−−−=与直线:410l kx y k +−−=相交，交点为A B 、，则（）A ．当1k =时，直线l 平分圆CB ．k R ∈C ．弦长AB 的最小值为D ．ABC △只能是钝角三角形12．将()23n n ≥个互不相等的数排成下表：。

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

2024年上海师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解

上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________6.已知双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.11.能使得命题“曲线2221(0)9x ya a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC体积的最大值为________.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A . B.C. D.14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若2AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.【答案】18y =-【分析】由22y x =得212x y =，根据准线方程定义即可求解．【详解】由22y x =得212x y =，所以准线方程为18y =-．故答案为：18y =-2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.【答案】6090θ︒≤≤︒【分析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，结合直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒即可得.【详解】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，且直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是6090θ︒≤≤︒.故答案为：6090θ︒≤≤︒.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.【答案】【分析】根据长方体的几何特征列方程组，用已知表示体对角线即可.【详解】设长，宽，高分别为,,x y z ，则()()252,436xy xz yz x y z ++=++=，===.故答案为:4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________【答案】【分析】根据等腰直角三角形的几何性质，结合由斜二测画法得到的直观图与原图的面积关系，可得答案.【详解】方法一：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，∴直角三角形的面积是112=，∴原平面图形的面积是1⨯=方法二：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，则O A ''=，根据斜二测画法，原图如下图：则OA =2OB =，则12ABO S AO BO =⋅⋅=V故答案为：6.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x=±【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b a c a b，双曲线的渐近线方程为y x =±故答案为y x=±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.【答案】217【分析】证明AB ⊥平面11ACC A ，再利用等体积法求解【详解】因为11,2,1AB BC AC AA ====，所以222,BC AB AC AB AC =+⊥，又三棱柱为直棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面A B C ，又平面11ACC A 平面,ABC AC =,AB AC AB ⊥⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11ACC A ，易得1A B ==12A C ==在△1A BC中由余弦定理：得1co s BA C ∠=，故1414sin BA C ∠=，于是111117sin 22A BC S A C AB BAC =⋅⋅∠= ，由棱柱性质得11//B C BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC ，点1B 到平面1A BC 的距离即点1C 到平面1A BC 的距离，设为d因为1111C A BC B A C C V V --=，所以111171131323232A C CC d AB ⋅⨯=⨯⨯=⨯,解得217d =故答案为：2178.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.【答案】106【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱1111ABCD A B C D -和正四棱锥1111O A B C D -的侧面积，即可求解.【详解】如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA=，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积分别为142324S =⨯⨯=，正四棱锥1111O A B C D -=所以正四棱锥1111O A B C D -的侧面积21422S =⨯⨯=，所以21246S S ==.故答案为：6.【点睛】本题主要考查棱柱和棱锥的几何结构特征，以及棱柱和棱锥的侧面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，利用侧面积公式准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.【答案】9【分析】分类讨论.第一类为当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，；第二类当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧.【详解】如图所示，有两种情况：①当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，若AB 为底面棱有两种（平面ABC 左右两侧各一组），同理BC AC 、为底面棱时有各两种，故共有6种；②当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧，若AB 为底面对角线则有一组，同理BC AC 、为底面对角线各有一组，故共有3种；综上所述，共有9种.故答案为：911.能使得命题“曲线2221(0)9x y a a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.【答案】3a >或3a <-的任意实数，例如4【分析】由题意可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，可得m n =，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【详解】曲线()222109x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形，可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，则AB AD =，即22m n =，即m n =，由曲线的方程可得2221(0)9x y a a-=≠，即2221(0)9m m a a-=≠有解，即有222999a m a =>-，可得290a ->，解得3a >或3a <-，故答案为：3a >或3a <-的任意实数，例如4．【点睛】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC 体积的最大值为________.【答案】92##4.5【分析】作出图形，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠.要解决三棱锥-P ABC 体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，接下来就根据条件把APC S 和BM 用同一个变量表示出来即可求解.【详解】由题意APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠，由题意得：13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，因为60APC ∠= ，45BPC ∠= ，所以120cos cos cos 322cos sin sin 322γαβθαβ-⋅-⋅==-⋅，()0,πθ∈，sin 3θ∴=，sin sin 333BM BD BD PB PB θβ=⋅==⋅⋅=⋅，133sin 22APC S PA PC PC α=⋅=⋅ ，()21111633222P ABC APC V S BM PB PC PB PB PB PB -∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅-=-+ 当3PB =时，P ABC V -的最大值为92.故答案为：92.【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.【详解】解：对于选项A ：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；对于选项B ：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；对于选项C ：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；对于选项D ：截面的形状不可能是等腰梯形；故选：D14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥ D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥【答案】B【分析】对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得αβ⊥；对于C ，l 与β平行或l β⊂；对于D ，l 与β相交、平行或l β⊂．【详解】设l 是直线，α，β是两个不同的平面，对于A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，若//l α，则α内存在直线//l l '，因为l β⊥，所以l β'⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ⊥，l α⊥，则l 与β平行或l β⊂，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误．故选：B ．15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C 【分析】由题设()()F x k f x ''=-，令y kx =与()y f x =切点横坐标为12,x x 且12x x <，由图存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，则()F x '有三个不同零点102x x x <<，结合图象判断()F x '的符号，进而确定()F x 单调性，即可确定答案.【详解】由题设，()()F x kx m f x =+-，则()()F x k f x ''=-，又直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点且横坐标为12,x x 且12x x <，所以()0F x '=的两个零点为12,x x ，由图知：存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，综上，()F x '有三个不同零点102x x x <<，由图：1(0,)x 上()0F x '<，10(,)x x 上()0F x '>，02(,)x x 上()0F x '<，2(,)x +∞上()0F x '>，所以()F x 在1(0,)x 上递减，10(,)x x 上递增，02(,)x x 上递减，2(,)x +∞上递增.故()F x 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】C 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．故选C.考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．【答案】（1）高为6，斜高为43213（2）表面积为3，体积为483【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出OH ，进而在Rt SOH △中，可求出SO ,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰SBC △中可求得侧棱长；（2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可.【小问1详解】如图：在正六棱锥S ABCDEF -中，SB SC =，H 为BC 中点，所以SH BC ⊥．因为O 是正六边形ABCDEF 的中心，所以SO 为正六棱锥的高．32OH BC ==，在Rt SOH △中，60SHO ∠=︒，所以tan 606SO OH =⋅︒=．在Rt SOH △中，SH ==在Rt SHB 中，SH =，2BH =，所以SB ==．故该正六棱锥的高为6，斜高为【小问2详解】SBC △的面积为11422BC SH ⨯=⨯⨯=OBC △的面积为11422BC OH ⨯=⨯⨯=，所以正六棱锥的表面积为66⨯+⨯=体积为13⨯=ABCDEF S SO 1663⨯⨯=18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.【答案】（1）12（2）10【分析】（1）根据题干条件作出辅助线，求出cos303DE AC AB a === ，即23b a =，进而求出离心率.（2）先推出BC ⊥平面ACD ，设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，推出BC ⊥平面ACE ，从而可得点D 的轨迹是矩形AEFC ，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】（1）如图：由题意得：30BAC ∠= ，2AB a =，2DE b =，且AC DE =，则在直角三角形ABC 中，cos303AC AB a == ，所以23b a =，于是此椭圆的离心率22112c b e a a ==-=.（2）因为AB 是圆柱下底面圆O 的直径，所以BC AC ⊥，又BC AD ⊥，AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，如图：因为⊥AE 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE BC ⊥，因为AE AC A = ，,AE AC ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，所以点D 在平面ACE 内，又点D 在圆柱的表面，于是点D 的轨迹是矩形AEFC .依题意得5AE =，2OA OC ==，π3AOC ∠=，所以2AC =，所以矩形AEFC 的面积为5210⨯=.故点D 的轨迹所围成图形的面积为10.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.【答案】（1）15π192（2）89【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.【详解】（1）如图所示：由题意母线长为正方形边长，即1PE =，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，不妨设圆锥底面半径为OE r =，所以π2π12r =⨯，解得14OE r ==，所以圆锥的高4PO h ===，所以圆锥的体积为2211111515πππ33344192V Sh r h ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题意不妨设AB h =，则4222h AD r h -===-，所以2h r =-，所以圆柱的体积可表示为()()()22ππ2,02V r r h rr r ==-<<，求导得()()()π43,02V r r r r '=-<<，所以当403r <<时，()0V r '>，()V r 单调递增，当423r <<时，()0V r '<，()V r 单调递减，所以当圆柱的体积最大时43r =，此时矩形ABCD 的面积为()4282339S rh r r ==-=⨯=.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.【答案】（1）9π（2）6个（3）43π【分析】（1）确定点P 以点A 为球心的，半径为（2）确定P 在平面11ADC B 上，根据1||P AB d PQ -=得到P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案．（3）确定P 点轨迹为圆的一部分可求解【小问1详解】若62AP =，则点P 以点A 为球心半径为62的球面上运动，又P 在正方体表面运动，6,AD AD =⊥平面11CDD C ，则P 在以D 为圆心，半径为()226266-=的圆上（正方形11CDD C 内部），如图所示： 1632D C ππ=⨯=，同理可得 111632B C B D ππ==⨯=，故点P 的轨迹长度为339ππ⨯=【小问2详解】若P 到平面ABCD 、11ADD A 距离相等，根据对称性知P 在平面11ADC B 上，AD ⊥平面11AA B B ，AD ⊂平面11ADC B ，故平面11ADC B ⊥平面11AA B B ，故P 到平面11ABB A 的距离即P 到1AB 的距离，设正方体的中心为Q ，即1||P AB d PQ -=，故P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，正方体棱长为6，1AB 中点为M ，以MQ 所在的直线为x 轴，以线段MQ 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，抛物线方程为26y x =，当32y =±932x =<，故抛物线与棱11B C 和AD 相交，故共有236⨯=个点满足条件．【小问3详解】易知正方体中AD ⊥平面11DCC D ，MC ⊥平面11DCC D ，,DP PC ⊂平面11DCC D ，所以,AD DP MC CP ⊥⊥，又APD MPC ∠=∠，所以~Rt ADP Rt MCP 2PD AD PC MC ∴==即2PD PC =如图，在平面11DCC D 中，以D 为原点，1,DC DD 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系：则()()()0,0,6,0,,D C P x y 由2PD PC =知()()()()222200260x y x y -+-=-+-化简整理得()22816,06x y x -+=≤≤所以点P 的轨迹为圆()22816,x y -+=在正方形11DCC D 内部的部分，即 EF ,其中24CM MF ==，，则3FMC π∠=，由弧长公式知4433ππ⨯=21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）,222p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦（3）28y x=【分析】（1）根据题意画图象，由斜率可得MF ，从而利用BF KF MF =-即可得证；（2）同理（1）求FA ，结合π4θ≥和cos y θ=单调性可得FA 的取值范围；（3）先求直线CD 的倾斜角，再结合（1）（2）求出CF ，DF ，并求出ACF △与BDF V 面积之和的表达式，通过不断换元，并利用导数判断函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p 的值，从而得出抛物线的方程．【小问1详解】证明：抛物线2Γ:2(0)y px p =>的准线方程1:2p l x =-，分别作11,BB l BM x ⊥⊥轴，1l 与x 轴交于点K ，AFH θ∠=，如图：由抛物线的定义可知，1,BF BB KF p ==，在Rt BFM 中，BFM AFH θ∠=∠=，cos MF BF θ=，由图可知，1cos BF BB KM KF MF p BF θ===-=-，即()1cos BF p θ+=，进而得1cos p BF θ=+.所以1cos p BF θ=+.【小问2详解】同理（1），1cos AF AA KF FH p AF θ==+=+，可得1cos p AF θ=-.因为函数cos y θ=在()0,π上单调递减，而π,π4θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是1cos 2θ-<≤，进而221cos 22θ≤-<，则11221cos θ<≤+-.所以(221cos p p p θ<≤+-，即(22p FA p <≤+.故π4θ≥时，FA 的取值范围,22p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【小问3详解】由（1）（2）可知，1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，因为AB CD ⊥，所以直线CD 的倾斜角为π2θ+，因此，π1sin 1cos 2p p CF θθ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，π1sin 1cos 2p p DF θθ==-⎛⎫++ ⎪⎝⎭.ACF ∴△的面积为：()()21221cos 1sin ACFp S AF CF θθ=⋅=-+ ()()2222sin 2cos 2sin cos 12cos 2sin cos 1p p sin θθθθθθθθ==+---+-+()2222(sin cos )2sin cos 1(1sin cos )p p θθθθθθ==-+-++-，即22(1sin cos )ACF p S θθ=+-△.同理可得BDF V 的面积为：22(1sin cos )BDFp S θθ=-+△.令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知0πθ<<，即πππ444θ-<-<，则()1,1t ∈-.则ACF △与BDF V 面积之和为：()2222222221(1)(1)(1)p t p p t t t ++=+--，再令[)211,2x t =+∈，则ACF △与BDF V 面积之和为：()222222221224(1)(2)4p t p x p t x x x+==--+-，令44y x x =+-，当[)1,2x ∈时2240x y x-'=>，所以函数44y x x =+-在[)1,2上单调递减，于是4041x x <+-≤，则1144x x ≥+-，所以222244p p x x≥+-.综上所述，当1x =时，ACF △与BDF V 面积之和取到最小值，即2232p =，由于0p >，得4p =，因此，抛物线的方程为28y x =．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，通过换元法得到面积最值的表达式，利用对勾函数的单调性求出最值的情况，从而得到方程，解出即可.。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2024北京西城高二（上）期末数学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯，由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈，则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=，即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−，同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立，所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++，解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试数学(含答案)

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

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高二上学期数学期末考试
试题卷
一、选择题（3’×10）
1、若a
=4，b =5，b a 与的夹角是120°，则b a •等于（）
A . 10 B. 310 C. - 310 D. -10
2、已知a =（1,2），b =（x ，1）且a +2b 与2a
－b 平行，则x 的
值为（）
A. 1
B. 20
C. 31
D. 2
1
3、若a =（2,1），b =（x ，-2）且a
⊥b ，则b = （）
A. 2
B. 2
C. 11
D. 5
4、下列五个式子：
①n •0=0 ②n •0=0 ③0
－AB =BA ④b a •=a b
⑤ c b a ••)(=)(c b a ••
其中正确的个数为（）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
5、直线3x －4y ＋6=0与圆（x －2）2＋（y －3）2
= 4的位置关系是（）
A. 过圆心
B. 相切
C. 相离
D. 相交但不过圆心 6、直线3x ＋4y ＋5=0和直线4x ＋3y ＋5=0的位置关系是（） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直
7、“直线与平面α内无数条直线垂直”是“这条直线与平面α垂直”的（）
A. 充分条件
B. 必要条件 B. 充要条件 D. 非充分非必要条件 8、垂直于同一平面的两个平面（）
A. 垂直
B. 平行
C. 相交
D. 以上都有可能 9、两个平行平面之间的距离是12cm ，一条直线与它们相交成60°
角，则这条直线夹在两个平面之间的线段长为（） A. 38cm B. 24 cm C. 212cm D. 36cm
10、若平面外有两点到这个平面的距离相等，则连接这两点的直线和
这个平面的位置关系为（）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交或平行
D. 相交但不垂直一、填空题（3’×8）
11、已知a
=（3,0），b =（-1，1）则cos b a ,= 。

12、△ABC 是边长为4的等边三角形，则AB BC •= 。

13、已知直线l 经过点A （1,2），B （6，12）则直线l 的方程为。

14、若方程：x 2＋y 2＋2x ＋my ＋4
5
m=0表示圆,则m 的范围为。

15、经过直线x －y=0与2x －3y ＋1=0的交点，圆心为点（2,1）的圆的标准方程为。

16、若正三棱锥的侧棱长与di 底面边长都是a ，则该棱锥的高为。

17、一个球的体积为36πcm 3，该球内切于一个正方体内，那么这个正方体的棱长为㎝。

18、已知圆锥的轴截面是直角三角形，则它的侧面积与底面积之比等
于。

三、解答题（8’×3）
19、已知a =b
=1，b a 32-=2，求b a +
20、已知圆C 的方程为（x －1）2＋（y －2）2 = 4，点P （-1,6）为圆外一点，过点P 做圆的切线，求切线方程。

21、一个工件由圆柱中间挖去一个同底圆锥构成，已知圆柱的底面半径为3cm ，圆柱的高为7cm ，圆锥的高为3cm ，求工件的体积。

四、证明题（6’×2）
22、已知A （2,2），B （5,1），C （4，-2）为直角坐标系中的三个点，
求证AB ⊥BC 。

23、如图,P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，E 是PA 中点.
求证:PC//平面BDE 。

P
E D
C
B
A
五、综合题（10’）
已知圆C 1：（x －1）2＋y 2 = 1，直线l ：x －y ＋1=0
（1）求圆C 1关于直线l 的对称圆C 2的标准方程。

（2）点P 为直线l 上一动点，过点P 作圆C 2的两条切线，切点分别为A 、B ，当四边形PAC 2B 面积最小时，求点P 的坐标。

22
-a 36
高二上学期期末考试
二年级数学参考答案
选择题（每题3分，共30分）。

1、 D
2、 D
3、 D
4、 C
5、 A
6、 D 7
、 B 8、 D 9、 A 10、 C
二、填空题（每题3分，共24分） 11、 12、 -8 13、 2x-y=0 14、 m ≤1或m ≥4，或{}41><x x x 或
15、（x-2）2+（y-1）2=1 16、 17、 6 18 三、解答题（共3小题，共24分）
19、（8分）
解：
20、（8分）
解： 21、（8分）解：V 圆柱 = πr 2
h 柱 = π×9×7 = 63πcm 3
V 工件= V 圆柱- V 圆锥=54πcm 3
四、证明题（每题6分，共12分）
2
144
32112)
()(434
12944
12944)32()32(2
32=⨯++=•+•+•=+•+=+∴=
•∴=•-+∴=•-•+•∴=-•-∴=-b a b b a a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b a b a
01021432010214343
11)2(2
1622,106)1(6:k 2
2
2
=+=-+∴=+=-+∴-
=∴=++∴=+++-=∴=++-+=-x y x C x y x k k
k k k k d C k y kx x k y 或切线方程为到该直线的距离为圆心直线方程为当切线斜率不存在时，）（圆心即则直线方程为斜率为当切线斜率存在时，设 3
2cm 93931
31
πππ锥
圆锥=⨯⨯==h r V
22、（6分）证明：法一：
法二：
23、（6分）
证明：
五、综合题（10分） 24、解：（1）设(y x ,）
（2）
P
E
D
C
B
A ()()BC A
B B
C AB BC AB ⊥∴=-⨯-+-⨯=•∴--=-=0)3()1()1(33,11,3 BC
AB k k k k BC AB BC AB ⊥∴-=•=---=-=--=13541
23
12521 C 2()()()
1
2,1210122
111)
0,1(2122221
=+∴-∴⎪⎩⎪⎨⎧
⎩⎨
⎧=-=⇒=+-+-=-∴-+y x C C C y x y x x y ：圆 ()()
10,l 1
121
22,,,21222
222222222，中点为点的坐标最小的的垂线，垂足即为使作直线过最小
最小，需使要使的切线为圆设四边形四边形四边形P C C P P S C PC S PC BP BP BP BC S S BP
B C AP A C C BP AP y x P APBC APBC BPC APBC ∴∴∴∴-=
=⨯=⨯⨯==∴⊥⊥∴∆ BDE
PC BDE
PC BDE OE PC OE PAC OE PA E BD AC O ABCD EO
O BD AC 平面∥平面且平面又∥的中位线为中点
为又中点为为平行四边形
四边形连结交于点与连结∴⊄⊆∴∆∴∴ ,,。