2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 (IV)
2020-2021学年人教版高二上册数学期末数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合A={x|(x−7)(x+12)<0}，B={x|x+6>0}，则A∩B=( )A.{x|−6<x<12}B.{x|−6<x<7}C.{x|x>−12}D.{x|6<x<7}2. “四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 双曲线x2−4y2=−8的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12x C.y=±√2x D.y=±√22x4. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则a1+a2a5=()A.18B.20C.22D.245. 已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为()A.y2=4xB.y2=−3xC.x2=6yD.y=−8x26. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（）A.√3015B.√3030C.815D.2√3015|PQ|=|PF2|，则动点Q的轨迹方程为( )A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x−2)2+y2=34D.(x−2)2+y2=688. 如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30∘，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45∘．已知小车的速度是20km/ℎ，且cos∠AOB=−3√38，则此山的高PO=()A.1kmB.√22km C.√3km D.√2km二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9. 设命题p:∀n∈N，6n+7为质数，则()A.¬p为假命题B.¬p:∃n∈N，6n+7不是质数C.¬p为真命题D.¬p:∀n∈N，6n+7不是质数10. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1=2，a3=8，则()A.a5=12B.公差d=3C.S2n=n(6n+1)D.数列{1a n a n+1}的前n项和为n6n+411. 已知a>b>0，且a+3b=1，则()A.ab的最大值为112B.ab的最小值为112C.1 a +3b的最小值为16 D.a2+15b2的最小值为58轴上，直线AP 与直线y =−3交于点C ，直线BP 与直线y =−3交于点D ．设直线AP 的斜率为k ，则满足|CD|=36的k 的值可能为( )A.1B.−17C.110D.−7+2√109三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．)13. 设向量AB →=(1,2,4)，CD →=(m,1,1)，AB →⊥CD →，则实数m =________．14. 若双曲线x 26−y 2m =1的虚轴长为6√2，则该双曲线的离心率为________．15. 在△ABC 中，若B =π3，tan C =2√3，AC =2，则AB =________．16. 已知点P (m,n )是抛物线x 2=−8y 上一动点，则√m 2+n 2+4n +4+√m 2+n 2−4m +2n +5的最小值为________.四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．)17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2−a 2=58bc ，sin C =2sin B ．(1)求cos A ；(2)若△ABC 的周长为6+√15，求△ABC 的面积．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =AA 1=2BC ，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点．(1)证明：BF//平面A 1C 1E ；(2)求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19. 已知数列{a n}的首项为4．(1)若数列{a n−2n}是等差数列，且公差为2，求{a n}的通项公式；(2)在①a3−a2=48且a2>0，②a3=64且a4>0，③a2021=16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：若{a n}是等比数列，________，求数列{(3n−1)a n}的前n项和S n．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20. 如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=√5，AC=4.(1)证明：AD⊥CF；(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．−y2=1有相同的焦点F．21. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线x23(1)求C的方程，并求其准线l的方程；(2)如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线OA与准线l交于点N，过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．22. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，且焦距为8．(1)求C的方程；(2)设直线l的倾斜角为π3，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．2.【答案】A【解析】利用充分条件和必要条件的定义，结合平面几何知识进行判断，即可得到答案．3.【答案】B【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．4.【答案】D【解析】设这根木棰的长度为1尺，分别计算每一次截取的量可得剩余的量，可得答案．5.【答案】C【解析】利用已知条件推出p>2，然后判断选项的正误即可．6.【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角计算公式即可得出．7.【答案】B【解析】由椭圆的方程求出a，b，c的值，由此可得|PF1|+|PF2|=2a=2√17，再由已知可|QF1|=2√17，进而可以求解．8.【答案】设OP＝x，由题意可得：Rt△OBP中，∠PBO＝45∘；在Rt△OAP中，∠PAO＝30∘，即可得出OB，OA．AB＝×20＝2.5．在△OAB中，利用余弦定理即可得出．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.【答案】B,C【解析】先判断命题p为真命题，然后利用含有一个量词的命题的否得到￢p，利用命题的否定与原命题的真假相反得到答案．10.【答案】B,C,D【解析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，根据已知条件即可计算出d的值，判断选项B，然后根据通项公式计算出a5的值，判断选项A，再根据等差数列的求和公式计算出S2n的表达式，判断选项C，最后计算出等差数列{a n}的通项公式，进一步计算出数列{}的通项公式，运用裂项相消法计算出数列{}的前n项和，判断选项D．11.【答案】A,C,D【解析】根据基本不等式的性质分别判断A，B，C，根据二次函数的性质判断D即可．12.【答案】A,D【解析】设出点P的坐标，求出直线PA，PB的斜率的乘积，然后再设出直线PA，PB的方程，进而可以求出点C，D的横坐标，进而可以求出|CD|，即可求解．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.【答案】−6【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得m的值．14.【答案】215.【答案】8√1313【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而根据正弦定理即可求解AB的值．16.【答案】3【解析】抛物线的准线为y＝2，焦点F坐标为(0, −2)，表示点P(m, n)与点F(0, −2)的距离与点P(m, n)与点A(2, −1)的距离之和，由抛物线的定义和两点之间线段最短可得最小值，进而可得结论．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17.【答案】解：(1)∵b2+c2−a2=58bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =58bc2bc=516．(2)∵sin C=2sin B，∴c=2b.由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=154b2，∴a=√152b.∵△ABC的周长为6+√15，∴3b+√152b=6+√15，解得b=2，∴S△ABC=12bc sin A=12×b×2b√1−(516)2=12×2×4×√23116=√2314．【解析】（1）由已知利用余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用正弦定理化简可得c=2b，由余弦定理得a＝√152b，根据△ABC的周长，可求b的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．18.(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵ BB 1=CC 1，BB 1//CC 1，E ，F 分别为侧棱BB 1，CC 1的中点， ∴ BE//FC 1，BE =FC 1，∴ 四边形BEC 1F 是平行四边形，∴ BF//EC 1 .∵ C 1E ⊂平面A 1C 1E ，BF ⊄平面A 1C 1E ， ∴ BF//平面A 1C 1E ．(2)解：以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，设BC =1，则A 1(2,0,2)，C 1(0,0,2)，E(0,1,1)，B 1(0,1,2)，C(0,0,0)， C 1A 1→=(2,0,0)，EC 1→=(0,−1,1) ，CB 1→=(0,1,2) ． 设平面A 1C 1E 的法向量为n →=(x,y,z )，则{n →⋅C 1A 1→=2x =0,n →⋅EC 1→=−y +z =0,令y =1，得n →=(0,1,1)，则sin <CB 1→⋅n →>=|cos <CB 1→⋅n →>|=3√5⋅√2=3√1010， 故B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值为3√1010. 【解析】（1）推导出BE C 1F ，从而四边形BEC 1F 是平行四边形，进而BF // EC 1，由此能证明BF // 平面A 1C 1E ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B 1C 与平面A 1C 1E 所成角的正弦值． 19.【答案】解：(1)因为a 1=4，所以a n−2n=2+2(n−1)=2n，所以a n=2n+2n．(2)选①：a3−a2=48且a2>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3−a2=48，得4q2−4q=48，解得q=4或q=−3，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n，所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83选②：a3=64且a4>0；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a3=64，得4q2=64，解得q=±4，又a2>0，所以q=4．所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4所以S n=(3n−2)4n+1+8．3选③：a2021=16a2a2017；由题意，设数列{a n}的公比为q.由a2021=16a2a2017，得a2021=16a1a2018=64a2018，则q3=64，解得q=4，所以a n=4×4n−1=4n，所以(3n−1)a n=(3n−1)4n．所以S n=2×4+5×42+⋯+(3n−1)×4n，4S n=2×42+5×43+⋯+(3n−1)×4n+1，两式相减，得−3S n=8+3(42+43+⋯+4n)−(3n−1)4n+1，+(1−3n)4n+1=(2−3n)4n+1−8，即−3S n=8+3×42−4n+11−4．所以S n=(3n−2)4n+1+83（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式，再得到{a n }的通项公式；（2）根据条件分别求出数列的通项公式，然后利用错位相减法，求出数列{(3n −1)a n }的前n 项和．20.【答案】(1)证明：∵ 四边形ACDE 为正方形，∴ AD ⊥CE .∵ 平面ABCDE ⊥平面CEFG ，平面ABCDE ∩平面CEFG =CE ，∴ AD ⊥平面FECG ．又CF ⊂平面FECG ，∴ AD ⊥CF .(2)解：以C 为坐标原点，CD →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ．∵ AB =BC =√5，AC =4， ∴ 点B 到AC 的距离为1，∴ G(0,0,4√2)，F(4,4,4√2)，B (−1,2,0)，GF →=(4,4,0)，BG →=(1,−2,4√2)．设平面BFG 的一个法向量为n →=(x,y,z )，则n →⋅GF →=n →⋅BG →=0，即4x +4y =x −2y +4√2z =0，令y =4√2，得n →=(−4√2,4√2,3)．取m →=(0,0,1)为平面ABCDE 的一个法向量，∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →||n →|=3√73=3√7373， ∴ 平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值为3√7373．【解析】（1）由四边形ACDE 为正方形，可得AD ⊥CE ，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面FECG ，从而得到AD ⊥CF ；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．21.【答案】(1)解：∵ 双曲线x 23−y 2=1的右焦点为F (2,0)，∴ p 2=2， 解得p =4，∴ C 的方程为y 2=8x ，其准线l 的方程为x =−2．(2)证明：由题意可知，直线AB 过点F 且斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x −2)(k ≠0)，联立{y =k (x −2),y 2=8x,整理，得ky 2−8y −16k =0，则Δ=64+64k 2>0恒成立，y 1y 2=−16k k =−16，故y 1y 2为定值．由题意，得点N 在准线l 上，设点N (−2,m )，由k OA =k ON ，得y 1x 1=m −2， 又∵ y 2=−16y 1，∴ m =−2y 1x 1=−2y 1y 128=−16y 1=y 2，∴ BN//x 轴//AM .又∵ x 1≠x 2，|AM|≠|BN|，∴ 四边形AMNB 为梯形．【解析】（1）根据题意可得双曲线的右焦点为(2, 0)，则，解得p ，进而可得C 的方程和准线l 的方程；（2）设直线AB 方程为y ＝k(x −2)(k ≠0)，联立直线AB 与抛物线的方程得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得y 1∗y 2为定值；设点N 为(−2, m)，由k OA ＝k ON ，推出可得m ＝y 2，进而可得BN // x 轴 // AM ，|AM|≠|BN ，即可得证．22.【答案】解：(1)依题意可知{e =c a =2√55,2c =8,a 2=b 2+c 2,解得a =2√5,c =4，故C 的方程为x 220+y 24=1.(2)依题意可设直线l 的方程为y =√3x +m .联立{y =√3x +m,x 220+y 24=1,整理得16x 2+10√3mx +5m 2−20=0，则Δ=300m2−64(5m2−20)>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−5√3m8,x1x2=5m2−2016，|AB|=√1+3√(x1+x2)2−4x1x2=√−5m2+3204，原点到直线l的距离d=√1+3=|m|2，则△AOB的面积S=12d⋅|AB|=12×|m|2×√−5m2+3204=√−5(m2−32)2+512016，当且仅当m2=32，即m=±4√2时，△AOB的面积有最大值2√5.【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．（2）依题意可设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，可得△>0，解得−8<m<8．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再计算三角形AOB的面积最大值，即可．。
2020-2021学年人教版高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab<b2B.ab>a2C.1a <1bD.1a>1b2. 抛物线y=−4x2的准线方程为（）A.y=−116B.y=116C.x=−1D.x=13. 下列求导结果正确的是()A.(cosπ6)′=−sinπ6B.(3x)′=x⋅3x−1C.(log2x)′=log2exD.(sin2x)′=cos2x4. 已知命题p:∃x0∈(1, +∞)，使得；命题q:∀x∈R，2x2−3x+5> 0．那么下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.(￢p)∨qC.p∨(￢q)D.(￢p)∧(￢q)5. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B＝（）A. B. C. D.6. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A. B.6 C. D.47. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，a1a2a3＝−27，则a5＝（）A.81B.24C.−81D.−248. 已知a>0，b>0，且3a+2b＝ab，则a+b的最小值为（）A. B. C. D.9. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且该双曲线的一个焦点在直线l上，则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.10. 若函数f(x)＝e x−2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）)11. 已知在数列{a n}中，a5=4，其前n项和为S n，下列说法正确的是（）A.若{a n}为等差数列，a2=1，则S10=45B.若{a n}为等比数列，a1=1，则a3=±2C.若{a n}为等差数列，则a1a9≤16D.若{a n}为等比数列，则a2+a8≥812. 已知曲线C:mx2+ny2＝1，下列说法正确的是（）A.若m＝n>0，则C是圆，其半径为．B.若m>0，n＝0，则C是两条直线．C.若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）)13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5＝a3+4，则S13＝________．14. 设点P是曲线上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．（用区间表示）15. 若△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的内切圆半径等于________．16. 设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 设命题p：实数x满足x2−4mx+3m2<0(m>0)；命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；a n，，求数列{c n}的前n项和T n．(Ⅱ)设b n＝log319. 已知函数f(x)=x3−2x2+x．(1)求曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程；(2)求曲线y=f(x)过点(1, 0)的切线方程．20. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c＝12．(Ⅰ)若a＝2，b＝5，求cos A的值；(Ⅱ)若sin A cos2＝2sin C，且△ABC的面积为10sin C，试判断△ABC的形状并说明理由．21. 已知椭圆经过如下四个点中的三个，，P2(0, 1)，，．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C （A，B均不与点C重合），证明：直线l过定点．22. 已知函数f(x)＝ln x+ax2+(2a+1)x+1．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<0时，证明：f(x)≤−−1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可判断出．2.【答案】B【解析】利用抛物线的标准方程及其性质即可得出．3.【答案】C【解析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可．4.【答案】B【解析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．5.【答案】A【解析】利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角B的大小6.【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．7.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由S2n＝4(a1+a3+...+a2n−1)(n∈N∗)，令n＝1，则S2＝4a1，可得a2＝3a1，根据a1a2a3＝−27，可得a23=−27，解得a2．利用等比数列的通项公式即可得出．8.【答案】B【解析】将3a+2b＝ab变形为，再由“乘1法”，即可得解．9.【答案】B【解析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．10.【答案】C【解析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)＝0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）11.【答案】A,C【解析】对于A，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝0，d＝1，由此能求出S10；对于B，利用等比数列能通项公式求出q2＝2，进而能求出a3；对于C，利用等差数列通项公式得a1+a9＝2a5＝8，当a1，a9一正一负时，a1a9≤16成立，当a1，a9均大于0时，则a1a9≤（）2＝16；对于D，{a n}为等比数列时，a2a8＝＝16，当a2，a8均大于0时，a2+a8≥2＝8，当a2，a8均小于0时，a2+a8＝−(−a2−a8)≤−2＝−(8)12.【答案】A,B,D【解析】通过m，n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项．三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】52【解析】利用等差数列{a n}的通项公式列方程求得a1+6d＝4，再由S13＝＝13(a1+6d)，能求出结果．14.【答案】【解析】求出原函数的导函数，利用配方法求得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值，即可求得曲线在点P处的切线的倾斜角α的范围．15.【答案】【解析】由已知结合余弦定理可求C，易得三角形的面积，所以内切圆半径满足关系：S＝(a+b+c)r．16.【答案】【解析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】由x2−4mx+5m2<0，得(x−m)(x−5m)<0，又m>0，所以m<x<3m，由，得0<4−x<5因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．设A＝(3, m)B＝(2，则B是A的真子集，故或即．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，根据￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，进行转化求解即可．18.【答案】（1）当n＝1时，2a6＝2S1＝2a1−1，∴a8＝1当n≥2时，8a n＝2S n−2S n−2＝(3a n−3)−(8a n−1−3)即：，∴数列{a n}为以3为首项，4为公比的等比数列．∴（2）由(Ⅰ)知，a n＝n，所以b n＝log3故．即①所以②①②得所以．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．19.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，∴曲线y=f(x)在点(−1, −4)处的切线方程为y+4=8(x+1)，即8x−y+4=0.(2)设切点为(x0, y0)，∵切点在函数图象上，∴y0=x03−2x02+x0，故曲线在该点处的切线为y −(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(x −x 0).∵ 切线过点(1, 0)，∴ 0−(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(1−x 0)即(x 0−1)2(2x 0−1)=0，解得x 0=1或x 0=12，当x 0=1时，切点为(1,0)，∵ f ′(1)=0，∴ 切线方程为y −0=0⋅(x −1)即y =0.当x 0=12时，切点为(12,18)， ∵ f ′(12)=−14， ∴ 切线方程为y −0=−14(x −1)即x +4y −1=0.综上可得，切线方程为y =0或x +4y −1=0．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到函数在x ＝−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1, 0)的切线方程．利用导数研究某一点的切线方程问题（含参问题）.20.【答案】（1）∵ a +b +c ＝12，a ＝2，∴ c ＝5． ∴ -（2）∵ △ABC 为直角三角形，， ∴，即sin A +sin B +sin A cos B +cos A sin B ＝4sin C ，∴ sin A +sin B +sin (A +B)＝4sin C ，∵ A +B +C ＝π，A +B ＝π−C ．∴ sin A +sin B ＝3sin C ，由正弦定理得a +b ＝3c ，∵ a +b +c ＝12，可得8c ＝12．从而a +b ＝9．又∵ △ABC 的面积为10sin C ，∴．即ab＝20，∴a＝5，b＝5，又∵c＝6，可得cos B＝＝，可得B为直角，∴△ABC为直角三角形．【解析】（1）由题意可求c的值，进而根据余弦定理即可求解cos A的值．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A+sin B＝3sin C，由正弦定理得a+b＝3c，解得c，可得a+b＝9，利用三角形的面积公式可求ab＝20，解得a，b的值，即可判断得解．21.【答案】（1）；由题意，点与点，根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点和点，又因为点与点，即椭圆过点，P3（，），P7(0, 1)，所以，且，故a6＝4，b2＝3，所以，椭圆M的方程为．（2）证明：直线l恒过点．由题意，可设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，联立消去x2+4)y2+2kmy+m2−4＝0，设A(x1, y8)，B(x2, y2)，则有，①又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴，由，，得(x2−2)(x2−8)+y1y2＝5，将x1＝ky1+m，x6＝ky2+m代入上式得，将①代入上式求得或m＝2（舍），则直线l恒过点．【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可得椭圆过点，，P2(0, 1)，代入椭圆的方程，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．(Ⅱ)设直线AB的方程x＝ky+m(m≠2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线AB与椭圆的方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，由线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，得，用坐标表示，可得m，进而可得答案．22.【答案】（1）因为f(x)＝ln x+ax2+(2a+5)x+1，所以，当a≥7时，f′(x)≥0恒成立，+∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)>5，所以，令f′(x)<0，则2ax+2<0，所以f(x)的增区间为，减区间为．综上：当a≥3时，f(x)的增区间为(0；当a<0时，f(x)的增区间为．（2）证明：由(Ⅰ)知，当a<0时max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+3(t>0)，则，令g′(t)>0，则5<t<1，则t>1，所以g(t)在(6, 1)上单调递增，+∞)上单调递减，故g(t)max＝g(1)＝0，所以ln t−t+3≤0又因为，所以则，从而，所以．【解析】(Ⅰ)对f(x)求得，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)max＝f(−），，令g(t)＝ln t−t+1(t>0)，利用导数可得g(t)的最大值为0，可得，从而可得．。
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．两个事件互斥是两个事件对立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据互斥事件和对立事件的定义及必要不充分条件定义可得答案.【详解】互斥事件是指事件A 和B 的交集为空，也叫互不相容事件，也可叙述为：不可能同时发生的事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生； 对立事件是指AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称A 事件与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 和事件B 必有一个且仅有一个发生，不会同时发生. 所以对立一定互斥但互斥不一定对立． 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查必要不条件充分的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2C D ．【答案】A【分析】求出双曲线的右焦点坐标，根据抛物线22y px =的焦点(,0)2p与双曲线2213x y -=的右焦点重合可得4p =. 【详解】由双曲线2213x y -=得223,1a b ==，所以222314c a b =+=+=，2c =，所以双曲线的右焦点为(2,0)，因为抛物线22y px =的焦点(,0)2p 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以22p=，所以4p =. 故选：A 3．曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为（ ） A ．2πB ．2π-C ．-2πD ．24π【答案】B【分析】求出函数的导数，然后可得答案. 【详解】2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为（ ） A ．38B ．316C ．516D ．58【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可.【详解】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A5．已知()()201f x x xf =-'-，则()2f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【分析】对函数()f x 求导，求出()0f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()2f 的值. 【详解】()()201f x x xf =-'-，()()20f x x f ''∴=-，()()00f f ''∴=-，可得()00f '=，()21f x x ∴=-，因此，()22213f =-=.故选：C.6．已知向量OA →=(1，0，1)，OB →=(0，1，1)，O 为坐标原点，则三角形OAB 的面积为（ ） A ．12B ．3C ．1D ．3 【答案】D【分析】利用向量的夹角公式可得cos AOB ∠，进而可求出sin AOB ∠，最后由三角形面积公式可得结果.【详解】∵()1,0,1OA =，()0,1,1OB =， ∴2OA =，2OB =，1cos 2OA OB AOB OA OB⋅∠==⋅， 由于0AOB π<∠<，所以3AOB π∠=，所以三角形OAB 的面积为1133sin 2223222OA OB π⨯=⨯⨯⨯=， 故选:D.7．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=，平方得：()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线. 故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)； (2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式． 8．过点P 32,4m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆C :224690x y x y +-++=作切线，切点分别为A ，B .则PA PB →→⋅的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．92【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，画出草图，设APC θ∠=，则()()22212sin P C B P P ACA θ→→⋅=--，又sin AC PCθ=，所以223212P PB PA PC C →→+-⋅=，利用平面直角坐标系下任意两点的距离公式及二次函数的性质得到216PC ≥，再根据对勾函数的性质计算可得；【详解】解：圆C :224690x y x y +-++=，即圆C :()()22234x y -++=，圆心为()2,3C -，半径2r如图，设APC θ∠=，由对称性BPC θ∠=且PA PB =，所以()()()222222cos 2cos 2cos 212sin PA PA P P PB PB A A A PC C CCθθθθ→→→→→⋅=⋅==-=--因为sin AC PCθ=，所以()222222321212AC PB ACPC PA PC PC PC →→⎛⎫ ⎪⋅=--+ ⎪⎭-=⎝ 因为32,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2222322522316164165m PC m m +⎛⎫⎛⎫=-++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令2t PC =，则[)16,t ∈+∞，所以3212P t PB A t →→=+-⋅，因为函数()3212f x x x+=-在)82,⎡+∞⎣上单调递增，(0,82上单调递减，因为[)16,x ∈+∞，所以()()min 166f x f ==故选：B【点睛】本题解答的关键是将PA PB →→⋅进行转化，转化为223212PC PC+-，再根据对勾函数的性质计算可得；二、多选题9．下列说法不正确的是（ ） A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．曲线的切线和曲线可能有无数个交点C ．已知ln 2y =，则12y '=D ．函数3()f x x =在原点处的切线为x 轴 【答案】AC【分析】对选项A 、B ，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项C ，这个错误很明显；对选项D ，利用导数的几何意义求切线即可.【详解】对选项A ，例如：cos y x =在(0,1)处的切线和cos y x =有无数个交点，故A 错误，从而也可知B 正确；对选项C ，2,0y ln y ='=，故C 错误；对选项D ，由3()f x x =，得2()3f x x '=，所以(0)0f '=.所以函数3()f x x =在原点处的切线方程是0y =，即为x 轴，故D 正确. 故选：AC.10．已知曲线22:1C mx ny +=，m 、n 为实数，则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 可能表示两条直线B ．若0m n >>，则C 是椭圆，长轴长为C ．若0m n =>，则CD ．若0m n ⋅<，则C 是双曲线，渐近线方程为y = 【答案】AC【分析】取0m >，0n =可判断A 选项的正误；将曲线C 的方程化为标准方程，可判断B 选项的正误；将方程化为圆的标准方程，可判断C 选项的正误；分00m n >⎧⎨<⎩和0m n <⎧⎨>⎩两种情况讨论，将曲线C 的方程化为标准方程，求出双曲线的渐近线方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若0m >，0n =，则曲线C 的方程为21mx =，即x=， 此时，曲线C 表示两条直线，A 选项正确；对于B 选项，若0m n >>，则110n m>>，曲线C 的标准方程为22111x y m n+=，此时，曲线C 表示焦点在y，B 选项错误； 对于C 选项，若0m n =>，曲线C 的方程为221x y m+=， 此时，曲线CC 选项正确； 对于D 选项，若0m >，0n <，则曲线C 的方程为22111x y m n-=-， 曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则21a m=，21b n =-，此时，双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=； 当0m <，0n >时，则曲线C 的方程为22111y x n m-=-， 曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则21a n =，21b m=-， 所以，双曲线C的渐近线方程为a y x b =±=. 综上所述，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建c a的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 11．下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤⋅B ．2,,11a b R a b+∈≥+C ．,0a b c c >>>，则b b ca a c+<+D．,a b R +∈≥【答案】ACD【分析】根据向量的数量积和基本不等式判断各选项．【详解】因为cos ,1a b <>≤，所以cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，A 正确；0,0a b >>，11a b +≥211a b≤=+B 错；因为,0a b c c >>>，()0()b bc c b a a a c a a c +--=<++，C 正确； 22,,2a b R a b ab+∈+≥，222a b ab +≥≥D 正确．故选ACD ．12．已知函数()sin(cos )f x x =，下列关于该函数结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x的图象关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根【答案】ACD【分析】计算出()(2)f x f x π+=，可判断A ，由()()f x f x π-=-可判断B ，max ()sin1sin3f x π=<，即可判断C ，令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，利用单调性和零点存在定理可判断D.【详解】()()()()(2)sin cos 2sin cos f x x x f x ππ+=+==，故A 正确 因为()()()()()()sin cos sin cos sin cos fx x x x f x ππ-=-=-=-=-所以()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误 因为[]cos 1,1x ∈-，所以max ()sin1sin3f x π=<=C 正确令()()()sin cos ,0,2g x f x x x x x π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭()()sin cos cos 10g x x x '=--<所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为()0sin10g =>，022g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭所以()f x x =在区间（0,2π）内有唯一的根，故D 正确故选：ACD三、填空题13．一组数据2，4，x ，8，10的平均值是6，则此组数据的方差是_______. 【答案】8【分析】由条件求得6x =，然后算出答案即可. 【详解】因为2481065x ++++=，解得6x =所以此组数据的方差是()()()()()2222226466686+106=85-+-+-+--故答案为：814．已知球的体积V 是关于半径r 的函数，34()3r V r π=，则r =2时，球的体积的瞬时变化率为________ 【答案】16π【分析】利用瞬时变化率的概念求解即可.【详解】3324(2)424[126()](2)(2)333r r r r V V r V πππ+∆⋅∆+∆+∆∆=+∆-=-=， 24[126()]3V r r r π∆∴=+∆+∆∆， 当r ∆趋于0时，Vr∆∆趋于16π.故答案为：16π.15．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),0A c -、(),0B c ，求出点C 的坐标，利用32AE EC =求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线方程，可得出关于e 的方程，即可解得该双曲线的离心率的值. 【详解】2AB CD =，以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由于双曲线的焦点为A 、B ，可设(),0A c -、(),0B c ， 由于双曲线过C 、D 两点，且//CD AB ，由双曲线的对称性可知，点C 、D 关于y 轴对称，则12CD AB c ==， 将12x c =代入双曲线方程可得222214c y a b -=，可得22214ey b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2,124c e C ⎛- ⎝， 设点(),E x y ，由()322AE EC AC AE ==-可得25AE AC =， 即()223,,1524c e x c y ⎛+=- ⎝，可得2352154c x c b e y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2252154x c b e y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以，点2221554c b e E ⎛-- ⎝，将点E 的坐标代入双曲线方程可得22441125254c e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2225144e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，可得27e =，1e >，解得e =..【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、双空题16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱彼此的夹角都为60，3AB AD ==，12AA =.则（1）对角线1AC =________；（2）三棱锥1A ABD -的外接球的体积为_________.【分析】（1）计算出()2211AC AB AD AA =++的值，即可求得对角线1AC 的长；（2）在射线1AA 上取点M ，使得3AM =，则三棱锥A BDM -为正四面体，可将正四面体A BDM -置于正方体APMQ EBFD -，以点A 为坐标原点，AP 、AQ 、AE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 (含解析)
山东省潍坊市2020-2021学年高二（上）期末考试数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣42．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）＝0.6826，则P（x＞4）＝（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15853．已知直线l的一方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则+++等于（）A．4B．3C．2D．5．“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能．某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，若“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，那么这两名同学都未选到“御”的概率为（）A．B．C．D．6．设随机变量X，Y满足Y＝4X+1，X～B（2，p），若P（X≥1）＝，则D（Y）＝（）A．B．3C．6D．87．如图，矩形ABCD是圆柱OO1的轴截面，且AB＝π，其中C1，D1在平面ABCD同侧，则异面直线CD与C1D1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．2D．1二、多项选择题（共4小题）.9．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作一条直线l与抛物线相交于不同A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则下列说法中正确的是（）A．|AB|＝x1+x2+2pB．|AB|的最小值为2pC．D．以线段AB为直径的圆与y轴相切10．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是（）A．B．C．D．11．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当2＜k＜6，曲线C为椭圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞6或k＜2”是“曲线C为双曲线”的充要条件D．不存在实数k使得曲线C为离心率为的双曲线12．某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知10只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取5只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的5只动物再逐个化验，直到查出患病动物（）A．若利用方案甲，平均化验次数为5.4B．若利用方案乙，化验次数为3次的概率为0.2C．若利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.1D．方案乙比方案甲更好三、填空题（共4小题）.13．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2＝4相交，则它们交点所在的直线方程为．14．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有种（用数字作答）．15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点．则点E到体对角线BD1的距离为．16．已知双曲线上一点P坐标为为双曲线C的右焦点，且PF垂直于x轴．过点P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在的展开式中．（1）求含x5的项；（2）求各项系数和与各项二项式系数和的比．18．有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．19．在①C上的点A到的距离比它到直线的距离少1，②F是椭圆的一个焦点，③B（0，1），对于C上的点A，|AB|+|AF|的最小值为，这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，满足_______．（1）求抛物线C的标准方程；（2）D（2，y）是抛物线C上在第一象限内的一点，直线l：y＝x+m与C交于M，N两点，若△DMN的面积为m2，求m的值．20．在图1中，△ABC和△ACD都是直角三角形，，∠CAD＝30°，∠ACD＝90°．将△ABC沿AC折起，使得AB⊥BD，如图2．（1）证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）若E，F分别为AD，CD的中点，求二面角B﹣EF﹣A的大小．21．．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．（1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；（2）现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．22．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的左焦点F1（﹣c，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，且椭圆C截直线x＝c所得弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围；（3）试问在x轴上是否存在一点Q，使得恒为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．山东省潍坊市2020-2021学年高二（上）期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4解：∵直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，∴1×a+2×2＝0，即a＝﹣4．此时两直线不重合．故选：D．2．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）＝0.6826，则P（x＞4）＝（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解：P（3≤X≤4）＝P（2≤X≤4）＝0.3413，观察上图得，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（3≤X≤4）＝0.5﹣0.3413＝0.1587．故选：B．3．已知直线l的一方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tanθ＝，∴θ＝60°．故选：B．4．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则+++等于（）A．4B．3C．2D．解：如图，，，，，∴＝．故选：A．5．“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能．某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，若“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，那么这两名同学都未选到“御”的概率为（）A．B．C．D．解：六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能．某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，基本事件总数n＝＝36，这两名同学都未选到“御”包含的基本事件个数m＝＝9，∴这两名同学都未选到“御”的概率为P＝＝＝．故选：A．6．设随机变量X，Y满足Y＝4X+1，X～B（2，p），若P（X≥1）＝，则D（Y）＝（）A．B．3C．6D．8解：由题意得，P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝，解得，p＝，∴D（X）＝2×P×（1﹣P）＝，∴D（Y）＝42D（X）＝16×＝6．故选：C．7．如图，矩形ABCD是圆柱OO1的轴截面，且AB＝π，其中C1，D1在平面ABCD同侧，则异面直线CD与C1D1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°解：如图，作D1E∥DC，连接C1E，∴∠C1D1E为CD与C1D1所成的角，∵，，∴，∵O1C1＝O1E＝1，∴C1E＝1．又∵，在Rt△D1C1E中，tan∠C1D1E＝，即∠C1D1E＝．故选：A．8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．2D．1解：∵P是焦点为F1、F2的椭圆上一点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，∴|PM|＝|PF1|，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝10，由题意知OQ是△F1F2M的中位线，∴|OQ|＝a＝5，∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝5﹣4＝1．故选：D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作一条直线l与抛物线相交于不同A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则下列说法中正确的是（）A．|AB|＝x1+x2+2pB．|AB|的最小值为2pC．D．以线段AB为直径的圆与y轴相切解：因为直线l过抛物线的焦点F，由抛物线定义可得|AB|＝x1+x2+p，A错误，当直线l⊥x轴时，|AB|有最小值且为2p，B正确，由抛物线的方程可得F（，0），设直线l的方程为x＝my+，代入抛物线方程可得：y2﹣2mpy﹣p2＝0，则y，所以x，C正确，又y1+y2＝2mp，所以x，所以AB的中点的横坐标为，，则AB的中点到直线x＝﹣的距离为＝p（1+m2），即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D错误，故选：BC．10．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是（）A．B．C．D．解：对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG交延长，并AB延长线与H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C 正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选：AC．11．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当2＜k＜6，曲线C为椭圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞6或k＜2”是“曲线C为双曲线”的充要条件D．不存在实数k使得曲线C为离心率为的双曲线解：对于A：当曲线C表示椭圆时，k﹣2＞0且6﹣k＞0，解得2＜k＜6，但k＝4时，曲线C为x2+y2＝2，表示圆，故A错误；对于B：当k＝0时，曲线C为﹣＝1，渐近线为y＝±x＝±x＝±x，故B正确；对于C：当曲线C为双曲线，则（k﹣2）（6﹣k）＜0，解得k＜2或k＞6，故C正确；对于D：当曲线C为离心率为e＝的双曲线时，则a＝b，即|k﹣2|＝|6﹣k|，解得k＝4，经检验k＝4时，曲线C表示圆，故D正确，故选：BCD．12．某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知10只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取5只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的5只动物再逐个化验，直到查出患病动物（）A．若利用方案甲，平均化验次数为5.4B．若利用方案乙，化验次数为3次的概率为0.2C．若利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.1D．方案乙比方案甲更好解：根据题意，依次分析选项：选项A：利用方案甲，设化验次数为X，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，同理可得P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）＝P（X＝7）＝P（X＝8）＝，P（X＝9）＝，所以选项方案甲的平均化验次数为E（X）＝（1+2+3+4+5+6+7+8）×＝5.4，A正确，选项B：利用方案乙，化验次数为3次，有两种情况：①头5只均为阴性，则P，②头5只有阳性，则P，所以化验次数为3次的概率P＝，B正确，选项C：由选项A的解析可得利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.2，C错误，选项D：利用方案乙，化验次数为X，则X取2，3，4，5，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝0.2，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝1﹣0.04﹣0.2﹣0.2＝0.56，所以E（X）＝2×0.04+3×0.2+4×0.2+5×0.56＝4.28，和选项A中的期望比较，利用方案乙更好，D正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2＝4相交，则它们交点所在的直线方程为2x+y﹣4＝0．解：根据题意，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，x2+y2＝4，则有，联立可得4x+2y﹣8＝0，即2x+y﹣4＝0，故两圆交点所在的直线方程为2x+y﹣4＝0．故答案为：2x+y﹣4＝014．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有36种（用数字作答）．解：根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有C42C31＝18种分法，②剩下的2本安排给其余2人，有A22＝2种分法，则有18×2＝36种借阅方式，故答案为：36．15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点．则点E到体对角线BD1的距离为．解：如图，连接BD1，ED1，构成三角形BED1，，BE＝1，，由余弦定理可得，cos，则sin，则，设点E到体对角线BD1的距离为h，由等面积法可得：，即h＝．故答案为：．16．已知双曲线上一点P坐标为为双曲线C的右焦点，且PF垂直于x轴．过点P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是或．解：由题意知，a2+b2＝c2＝5，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，设过点P且与渐近线y＝x平行的直线与渐近线y＝﹣x相交于点A，如图所示，∴直线AP的方程为y﹣m＝（x﹣），将其与y＝﹣x联立，解得x＝，y＝，即A（，），∴|OA|＝＝，点P（，m）到直线y＝﹣x的距离为d＝＝，∵所围图形面积等于1，∴|OA|•d＝1，即•＝1，化简得，|5b2﹣a2m2|＝2ab，∵点P（，m）在双曲线上，∴，即5b2﹣a2m2＝a2b2，∴ab＝2，又a2+b2＝5，∴a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，∴离心率e＝＝或．故答案为：或．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在的展开式中．（1）求含x5的项；（2）求各项系数和与各项二项式系数和的比．解：（1）由题意知，令7﹣2k＝5，得k＝1，所以含x5的项为．（2）令x＝1得各项系数和为47，又由题意知各项二项式系数和为27，所以，所以各项系数和与各项二项式系数和的比为128．18．有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．解：（1）根据题意，记事件A1：从甲箱中取一球为红球，事件A2：从乙箱中取一球为红球，事件A3：从丙箱中取一球为红球，记事件B：取得的三球都为红球，且事件A1，A2，A3相互独立，所以，所以三球都为红球的概率为．（2）记事件C：该球为红球，事件D1：取甲箱，事件D2：取乙箱，事件D3：取丙箱因为，所以P（C）＝P（D1）⋅P（C|D1）+P（D2）⋅P（C|D2）+P（D3）⋅P（C|D3）＝，所以该球为红球的概率为．19．在①C上的点A到的距离比它到直线的距离少1，②F是椭圆的一个焦点，③B（0，1），对于C上的点A，|AB|+|AF|的最小值为，这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，满足_______．（1）求抛物线C的标准方程；（2）D（2，y）是抛物线C上在第一象限内的一点，直线l：y＝x+m与C交于M，N两点，若△DMN的面积为m2，求m的值．解：（1）选条件①：由条件可解，A到点的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．选条件②：因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为所以由已知得椭圆的一个焦点为．所以，又p＞0，所以p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．选条件③：由题意可知得，当F，A，B三点共线时，，由两点间距离公式，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．（2）把D（2，y）代入方程y2＝2x，可得D（2，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组消去y可得x2+（2m﹣2）x+m2＝0，由△＝（2m﹣2）2﹣4m2＞0，解得，又知，所以＝，由D（2，2）到直线l的距离为，所以，即，解得或经检验均满足△＞0，所以m的值为或．20．在图1中，△ABC和△ACD都是直角三角形，，∠CAD＝30°，∠ACD＝90°．将△ABC沿AC折起，使得AB⊥BD，如图2．（1）证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）若E，F分别为AD，CD的中点，求二面角B﹣EF﹣A的大小．【解答】（1）证明：因为AB⊥BD，AB⊥BC且BC∩BD＝B，所以AB⊥面BCD，因为CD⊂面BCD，所以AB⊥CD，因为CD⊥AC且AB∩AC＝A，所以CD⊥面ABC，因为CD⊂面ACD，所以面ABC⊥面ACD．（2）解：取AC的中点O，连接OB，则BO⊥AC，因为面ABC⊥面ACD，面ABC∩面ACD＝AC，所以BO⊥面ACD，连接OE，则OE∥CD，所以AC⊥CD，所以OE⊥AC．以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，显然OB是平面AEF的一个法向量．设平面BEF的一个法向量为，则，即，所以y＝0，令z＝1，可得，所以，因为所以二面角A﹣EF﹣B的大小为60°．21．．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．（1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；（2）现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．解：（1）抽取的100件产品是﹣级品的频率是，故从出厂的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，设从出厂所有产品中随机选3件，至少有一件是一级品的事件为A．则．（2）由题意可知10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，故ξ的取值范围是{0，1，2}，，，，∴ξ的分布列为：ξ012P（3）今年利润为：（万元），明年预计利润为：（万元）因为23200＞15200，所以该升级方案合理．22．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的左焦点F1（﹣c，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，且椭圆C截直线x＝c所得弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求点P横坐标的取值范围；（3）试问在x轴上是否存在一点Q，使得恒为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，则满足方程组，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为，（2）设直线MN的方程为y＝k（x+1）（k≠0），联立方程，消去y整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，△＞0，设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x p，y P），MN的中点R（x R，y R），则，所以，MN的垂直平分线RP的方程为，令y＝0得，因为k≠0，所以，所以点P的横坐标的取值范围为．（3）假设存在，设Q（x Q，0）．结合第（2）问知：，所以＝所以）＝x＝＝设则对任意k≠0恒成立，所以，解得x ，，所以存在点，使得为定值．21。
2020-2021学年湖北省高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若直线l的斜率为−√3，则直线l的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.若等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，则等差数列{a n}的公差d=()A. 2B. 1C. 0D. −13.已知a=20.3，b=0.32，c=log0.32，则()A. b<c<aB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a4.将全班50名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是()A. 12B. 16C. 13D. 3505.已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n=2a n−1，则a1a3a5=()A. 8B. −8C. 64D. −646.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯−波得定则”.根据规律，新数列的第8项为()A. 14.8B. 19.2C. 19.6D. 20.47.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点.若△ABD的重心是点(2,3)，且|AF|+|BF|+|DF|=15，则p=()A. 4B. 6C. 8D. 128.已知圆M：x2+y2+2x=0，点P是曲线C：y=1x+1(x>−1)上的动点，过点P 作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB的面积最小时，线段AB 的长为()A. √2B. √3C. 12D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：x−ay+1=0(a∈R)，则下列说法正确的是()A. 直线l过定点(−1,0)B. 直线l一定不与坐标轴垂直C. 直线l与直线l′：−x+ay+m=0(m∈R)一定平行D. 直线l与直线l′：ax+y+m=0(m∈R)一定垂直10.已知正数x，y满足x+y=2，则下列结论正确的是()A. xy的最大值是1B. 1x +1y的最小值是2C. x2+y2的最小值是4D. 1x +4y的最小值是9211.已知函数f(x)=|√3sin(2x−π6)|，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)的最大值为√3C. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称D. 函数f(x)的图象关于直线x=7π12对称12.设数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，S1=1，S n+1=n+2n S n，且b n=a n+12a n a n+2，则下列结论正确的是()A. a2020=2020B. S n=n(n+1)2C. b n=1−1n(n+2)D. 13≤T n−n<34三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(−2,t)，若a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若方程x2+y2+2ax−2√5y+12a−15=0表示圆，则实数a的取值范围是______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，直线l：y=x与双曲线C交于M，N两点，若|MN|=√2b，则e的值是______ ．16.如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36°按35计算，则棱长为6的正二十面体的外接球半径等于______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.①2bsinA=atanB；②a2+c2+bc−6b=2accosB；③sin2B−sin2C=sinB+sinC4，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，A=π6，且______，求△ABC的面积．18.已知正项数列{a n}的前n项和为S n.若a2=4，S n+1=S n+√a n+1+a n+√a n．(1)求证：数列{√a n}是等差数列；(2)设b n=a a，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知α∈(0,π)，a⃗=(−1,cos(π2−α)),b⃗ =(sin(3π2+α),1)，且a⃗⋅b⃗ =15．(1)求sinα−cosα的值；(2)若β∈(π,2π)，tan(α−β)=7，求β的值．20.已知直线l的斜率为−2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于1.圆C的圆心在直线l上，且被x轴截得的弦长为4．(1)求直线l的方程；(2)若直线l′：x−2y−1=0与圆C相切，求圆C的方程．21.如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，∠ASD=∠ADC=∠BCD=90°，AD．SA=SD且BC=DC=12(1)求证：SC⊥BD；(2)若点M是线段SD的中点，求二面角M−AB−D的余弦值．22.设曲线C：mx2+ny2=1(m>0,n>0)过M(2,3),N(2√2,√6)两点，直线l：y=k(x−2)与曲线C交于P，Q两点，与直线x=8交于点R．(1)求曲线C的方程；(2)记直线MP，MQ，MR的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k2=λk3，其中λ为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，∵l的斜率为−√3，∴tanα=−√3，又∵0≤α<π，∴α=120°；故选：C．由直线l的倾斜角α与斜率k的关系：当α≠90°时，斜率k=tanα，当α=90°时，斜率k不存在，求出α的范围．本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，∴(a5+a7)−(a1+a3)=(a1+a3+8d)−(a1+a3)=8d=−8，解得d=−1．故选：D．利用等差数列通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=20.3>20=1，0<b=0.32<0.30=1，c=log0.32<log0.31=0，∴c<b<a．故选：D．4.【答案】B【解析】解：可以不考虑其他人，则甲、乙、丙三人的不同排法有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，．故甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是p=16故选：B．可以不考虑其他人，利用列举法求出甲、乙、丙三人的不同排法有6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，由此能求出甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：当n=1时，3S1=3a1=2a1−1，解得a1=−1，当n≥2时，3S n=2a n−1，3S n−1=2a n−1−1，=−2，两式相减得3a n=2a n−2a n−1，即a na n−1∴a n=−(−2)n−1，a3=−4，a5=−16，∴a1a3a5=a33=−64，故选：D．利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解a1a3a5．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：观察两组数列0，3，6，12，24，48，96，……，0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，发现规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为(96×2+4)÷10=19.6．故选：C．利用两组数列，观察它们之间的关系，寻找到规律为将原数列的每一项加4，再除以10，求解即可．本题考查了推理的运用，解题的关键是寻找到两个数列之间的关系，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，=3，由△ABD的重心是点(2,3)得y1+y2+y33p=15，解得p=4，由抛物线的定义可知|AF|+|BF|+|DF|=y1+y2+y3+32故选：A．设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，利用重心坐标公式，结合抛物线的性质，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质，三角形的重心坐标公式的应用，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由x2+y2+2x=0，得(x+1)2+y2=1，则M(−1,0)，半径为1，)(a>−1)，则|PM|2=(a+1)2+设P(a,1a+11≥2，(a+1)2当且仅当(a+1)2=1，即a=0时上式取等号，∴S=|PA|⋅|AM|=|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−1≥1，四边形PAMB当且仅当|PM|=√2时取等号，此时P为(0,1)，四边形PAMB是正方形，故|AB|=√2，故选：A．由题意画出图形，求出曲线C上的点到点M的最小值，写出四边形PAMB的面积，可知当四边形PAMB为正方形时，面积最小，由此求得线段AB的长．本题考查圆与圆锥曲线的综合，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：由于直线l：x−ay+1=0(a∈R)，−1−a×0+1=0，故A 正确；对于B：当a=0时，直线l与x轴垂直，故B错误；对于C：当m=−1时，两直线重合，故C错误；对于D：因为1×a+1×(−a)=0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确．故选：AD．直接利用直线间的位置关系和直线平行和垂直的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：直线与直线的位置关系，直线平行的充要条件和垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：由x+y=2，得2≥2√xy，所以xy≤1(当且仅当x=y=1时取等号)，故A正确；1 x +1y=x+yxy=2xy≥2(当且仅当x=y=1时取等号)故B正确；∵2(x2+y2)≥(x+y)2=4，∴x2+y2≥2(当且仅当x=y=1时取等号)，故C错误；1 x +4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+yx+4xy)≥92(当且仅当x=23,y=43时取等号)，故D正确．故选：ABD．由基本不等式及其结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活利用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：由题意，将g(x)=√3sin(2x −π6)在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数f(x)的图象，对于A ：函数f(x)的最小正周期为：g(x)=√3sin(2x −π6)的周期的一半， 即函数g(x)的周期T =2π2=π的一半为π2，故A 错误；对于B ：根据函数的性质，函数f(x)的最大值为√3，故B 正确；对于C ：由于函数进行了翻折，函数f(x)的图象不是中心对称图形，故C 错误， 对于D ：由于f(7π12)=0，得D 正确． 故选：BD ．直接利用三角函数的性质和函数的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：由题意得，S n+1S n=n+2n，∴当n ≥2时，S n =S nSn−1⋅S n−1S n−2…S 2S 1⋅S 1=n+1n−1⋅n n−2 (31)⋅1=n⋅(n+1)2，当且当n =1时也成立， ∴S n =n(n+1)2，易得a n =n ， ∴a 2020=2020， 故A ，B 正确；∴b n =(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2)=n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 又T n −n 随着n 的增加而增加，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，C 错误，D 正确，故选：ABD ．直接利用叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，叠乘法的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】−4【解析】解：由向量a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(−2,t)，a ⃗ //b ⃗ 得t =2， 故a ⃗ ⋅b ⃗ =1×(−2)+(−1)×2=−4． 故答案为：−4．通过向量平行，求解t ，然后求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积的应用，平行的共线添加的应用，是基础题．14.【答案】(−∞,2)∪(10,+∞)【解析】解：由题意得，a 2−12a +20>0， 解得a <2或a >10．则实数a 的取值范围是：(−∞,2)∪(10,+∞)． 故答案是：(−∞,2)∪(10,+∞)．利用圆的一般式方程，D 2+E 2−4F >0即可求出a 的范围． 本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．15.【答案】√6【解析】解：不妨设点M(x,y)在第一象限，联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =x ，得x 2=y 2=a 2b 2b −a ，又|MN|=√2b ，∴x2+y2=b22，则2a2b2b2−a2=b22，整理得b2=5a2，所以e=√1+b2a2=√6．故答案为：√6．联立直线与双曲线方程，求解|MN|，然后推出椭圆的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】18√1111【解析】解：由图，正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，则3r =sin360=35，得r=5，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是√36−25=√11，所以R2=25+(R−√11)2，解得R=18√1111．故答案为：18√1111．根据条件得到3r =sin360=35，得r=5，进而求得球半径即可．本题考查球的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：选择①：∵2bsinA=atanB，∴2bsinA=asinBcosB，由正弦定理可得2sinBsinA=sinAsinBcosB，∵sinA≠0，sinB≠0，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3,C=π2，∵asinA =bsinB，可得412=√32，解得b=4√3，∴S=12absinC=12×4×4√3×1=8√3．选择②：∵a2+c2+bc−6b=2accosB，∴a2+c2+bc−6b=2ac×a2+c2−b22ac，∴b+c=6，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b+c)2−2bc−√3bc，∴bc=20(2−√3)，∴S=12bcsinA=12×20(2−√3)×12=5(2−√3)．选择③：∵sin2B−sin2C=sinB+sinC4，∴sinB−sinC=14=12sinA，∴b−c=12a=2，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b−c)2+2bc−√3bc，∴bc=12(2+√3)，∴S=12bcsinA=12×12(2+√3)×12=3(2+√3)．【解析】选择①：利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，可求cos B的值，结合B∈(0,π)，可求B，C的值，利用正弦定理可求b的值，根据三角形的面积公式即可求解．选择②：由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择③：利用正弦定理化简已知等式可得b−c=12a=2，进而根据余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得，S n+1−S n=√a n+1+a n+√a n，则a n+1−a n=√a n+1+√a n，∴√a n+1−√a n=1，由√a2=2可得√a1=1，∴数列{√a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得√a n=n，∴a n=n2，依题意，b n =a a =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， ∴T n =2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(1)利用数列的递推关系式推出√a n+1−√a n =1，然后判断数列{√a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)化简b n =a a =2(1n −1n+1)，利用裂项消项法，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，考查综合化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意得，a ⃗ =(−1,sinα),b ⃗ =(−cosα,1)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125， ∴2sinαcosα=−2425<0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925， 又∵α∈(0,π)， ∴sinα>0，cosα<0， ∴sinα−cosα=75；(2)联立{sinα+cosα=15sinα−cosα=75，解得{sinα=45cosα=−35，∴tanα=sinαcosα=−43， ∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=7，即−43−tanβ1−43tanβ=7，解得tanβ=1， 又∵β∈(π,2π)， ∴β=5π4．【解析】(1)由已知条件求得a ⃗ 、b ⃗ ，然后代入a⃗ ⋅b ⃗ =15求得2sinαcosα=−2425<0，再利用完全平方公式求得(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925，结合角的取值范围对所求的结果进行取舍即可；(2)联立方程组并解答求得{sinα=45cosα=−35，然后利用两角和与差的正切三角函数解答．本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，它与两坐标轴的正半轴的交点依次为(0,b),(b2,0)，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1， 所以12b ×b2=1，解得b =2，所以直线l 的方程是y =−2x +2，即2x +y −2=0． (2)由题意，可设圆C 的圆心为C(a,2−2a)，半径为r ， 所以圆心C 到直线l′：x −2y −1=0的距离，d =5=√5|a −1|=r ，又圆C 被x 轴截得的弦长等于4， 所以r 2−(2−2a)2=4， 所以5(a −1)2=4+(2−2a)2， 解得：a =−1或a =3，当a =−1时，圆心C(−1,4)，r =2√5； 当a =3时，圆心C(3,−4),r =2√5；所以圆C 的方程是(x +1)2+(y −4)2=20或(x −3)2+(y +4)2=20．【解析】(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，由坐标与图形的性质和三角形的面积公式求得b 的值即可；(2)利用圆的圆心到直线的距离与半径相等，列出方程求解即可． 本题考查圆的切线方程，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．21.【答案】(1)证明：过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC ．∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD =AD ，∴SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥BD ． ∵△SDA 是等腰三角形，∴OD =12AD =BC ，又OD//BC ，∠BCD =90°，∴四边形OBCD 是正方形，∴BD ⊥OC ． 又OC ∩SO =O ，SO ⊂平面SOC ，CO ⊂平面SOC ， ∴BD ⊥平面SOC ，SC ⊂平面SOC ，∴SC ⊥BD ． (2)解：由(1)知，OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．不妨设BC =1，则B(0,1,0),D(−1,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),M(−12,0,12)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,12)，设平面MAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y =0−32x +12z =0，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×√1+1+32=3√1111，即二面角M −AB −D 的余弦值是3√1111．【解析】(1)过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC.证明SO ⊥BD ，BD ⊥OC ，然后证明BD ⊥平面SOC ，推出SC ⊥BD ．(2)OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.求出平面MAB 的法向量，平面ABD 的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得{4m +9n =18m +6n =1，解得{m =116n =112，所以曲线C 的方程为x 216+y 212=1； (2)令x =8，则R(8,6k)，联立{x 216+y 212=1y =k(x −2)，整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16(k 2−3)=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16k 24k 2+3,x 1x 2=16(k 2−3)4k 2+3，∴k 1+k 2=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=y 1x 1−2+y 2x 2−2−3(1x 1−2+1x 2−2) =2k −3×x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −3×16k 24k 2+3−416(k 2−3)4k 2+3−32k 24k 2+3+4=2k −1，又k 3=6k−38−2=k −12，∴k 1+k 2=2k 3，∴λ等于定值2，得证．【解析】(1)通过点满足椭圆方程，然后求解m ，n ，得到椭圆方程．(2)令x =8，则R(8,6k)，联立直线与椭圆方程，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解斜率的和，然后转化求解证明即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
2020-2021学年高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.)1. 命题“对任意的x∈R，x3−2x+1≤0”的否定是（）A.不存在x∈R，x3−2x+1≤0B.存在x∈R，x3−2x+1≤0C.存在x∈R，x3−2x+1>0D.对任意的x∈R，x3−2x+1>02. “p或q为真”是“非p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若=a+bi(a, b∈R)，则a2019+b2020＝（）A.−1B.0C.1D.24. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5. 已知函数f(x)＝x3−2x2，x∈[−1, 3]，则下列说法不正确的是（）A.最大值为9B.最小值为−3C.函数f(x)在区间[1, 3]上单调递增D.x＝0是它的极大值点6. 双曲线x2a2−y23=1(a>0)有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±12x B.y＝±2x C.y＝±√33x D.y＝±√3x7. 函数y＝x cos x−sin x在下面哪个区间内是减函数（）A. B.(π, 2π) C.D.(2π, 3π)8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A.f(e)<f(π)<f(2.7)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)9. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x −4y =0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0, √32] B.(0, 34]C.[√32, 1)D.[34, 1)10. 已知函数f(x)＝ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(−∞, −2)C.(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2+y 2−4x −12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A.(6, 10)B.(8, 12)C.[6, 8]D.[8, 12]12. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)−f′(x)<1，f(0)＝2021，则不等式f(x)>2020⋅e x +1（e 为自然对数的底数）解集为（ ） A.(−∞, 0)∪(0, +∞) B.(2020, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0)∪(2020, +∞)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|＝________．14. 命题“∃x0∈R，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为________．15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为________米．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）)17. （1）已知椭圆的离心率为，点(2，）在C上．求椭圆C的方程； 17.（2）求与椭圆4x2+5y2＝20有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程．18. 设关于x的不等式x2≤5x−4的解集为A，不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a≥2)的解集为B．（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知m∈R，命题p：方程x2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆”．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围．20. 函数．（1）求曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间上的最大值．21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为F1(3, 0)，点M(4, y)(y>0)为椭圆上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．22. 已知f(x)=ax−ln x，x∈(0, e],g(x)=ln x，其中e是自然常数，a∈R．x（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)+1；2（3）是否存在实数a使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，结论否定，写出对应的命题即可．2.【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．3.【答案】D【解析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．4.【答案】B【解析】求出双曲线的半焦距，利用椭圆长轴长，求解短半轴的长，即可得到椭圆方程．5.【答案】C【解析】对f(x)求导，分析f′(x)的正负，进而得f(x)的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f(1)，f(3)，可得函数f(x)的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．6.【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．7.【答案】D【解析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．8.【答案】D【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．9.【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M(0, b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得√32+42≥45，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=ca=√1−b2a2即可得出．10.【答案】B【解析】(i)当a＝0时，f(x)＝−3x2+1，令f(x)＝0，解得x＝±√33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−2a )，令f′(x)＝0，解得x＝0或2a．对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．11.【答案】B【解析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，从而△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B−x A)+4＝6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．12.【答案】C【解析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】√22【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．14.【答案】[−4, 4]【解析】利用含有一个量词的命题的否定，将命题转化为“∀x∈R，x2+mx+4≥0”是真命题，然后利用一元二次不等式恒成立求解即可．15.【答案】【解析】先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2＝−2py(p>0)，把点B(10, −4)代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x＝2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．16.【答案】(−1, 0)【解析】讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．三、解答题（共6小题，共70分）17.【答案】由已知可得：，解得a＝2，所以椭圆C的方程为；已知椭圆的标准方程为：，所以c＝，则其焦点坐标分别为(−1, 0)，5)，当抛物线的焦点坐标为(1, 0)时，此时抛物线开口向右5＝4x，当抛物线的焦点坐标为(−1, 8)时，此时抛物线开口向左2＝−4x，综上，抛物线的方程为：y4＝±4x．【解析】（1）根据已知建立等式关系即可求解；（2）先求出椭圆的焦点坐标，然后对抛物线的开口方向讨论即可求解．18.【答案】不等式x2≤5x−8，化为x2−5x+8≤0，因式分解为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤6，∴解集A＝[1, 4]；不等式x3−(a+2)x+2a≤5，化为(x−2)(x−a)≤0，当a>2时，解集M＝[2；当a＝2时，解集M＝{6}；综上，不等式x2−(a+2)x+8a≤0(a≥2)的解集B＝{x|5≤x≤a}．∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，∴2≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3, 4]．【解析】先求解二元一次不等式解集，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．19.【答案】方程x 2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得7−m>m−1>0，解得1<m<4，则命题p是真命题，实数m的取值范围为(1, 4)；方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，即m<3且m>2，解得2<m<3，命题p和q均为假命题，可得{m≥4m≤1m≥3m≤2，解得m≥4或m≤1．则m的取值范围是(−∞, 1]∪[4, +∞)．【解析】（1）由方程表示焦点在y轴的椭圆可得7−m>m−1>0，可得所求范围；（2）由方程表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，解不等式可得m的范围，再由p，q均为假命题可得m的不等式组，解不等式可得所求范围．20.【答案】f(x)＝+ln，x∈(0，所以f′(x)＝-+＝，x∈(0．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(7．又f(2)＝ln2−，所以曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2−(x−2)，即x−4y+3ln2−4＝5．因为f′(x)＝-+＝，x∈(6，所以函数f(x)在(0, 1)上减少，+∞)上增加．所以函数f(x)在区间）或f(e)其中，f（，f(e)＝，【解析】（1）求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可．（2）判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可．21.【答案】由MOF1的面积为，则，得y＝1，5)，又点M在椭圆上，①因为F1是椭圆的焦点，所以a5＝b2+9②由①②解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为：；假设存在直线l满足题意，因为OM的斜率k＝，设l的方程为y＝，联立方程组，整理得9y5−16my+8m2−8＝0，△＝(16m)2−5×9×(8m4−9)>0，解得m，设A，B两点的坐标为(x7, y1)，(x2, y7)，则y，y，以AB为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)(y−y5)＝0，该圆经过原点，所以x1x4+y1y2＝3，又x1x2＝(5y1−4m)(7y2−4m)＝16y，所以x1x2+y1y2＝17y6y2−16m(y1+y4)+16m2＝，解得m＝，经检验满足题意，所以存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝．【解析】（1）由已知三角形的面积即可求出点M的纵坐标，把点M的坐标代入椭圆方程再由a，b，c的关系即可求解；（2）先假设存在，然后由OM的斜率设出直线l的方程，联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及以AB为直径的圆过原点满足的等式即可求解．22.【答案】解：（1）因为f(x)=x−ln x,f′(x)=1−1x =x−1x，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．当1<x≤e时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(1)=1．（2）因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0, e]上的最小值为1．又g′(x)=1−ln xx2，所以当0<x<e时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．所以g(x)的最大值为g(e)=1e <12，所以f(x)min−g(x)max>12，所以在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12．（3）假设存在实数a，使f(x)=ax−ln x，x∈(0, e]，有最小值3，则f′(x)=a−1x=ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值不是3．②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a]上单调递减，f(x)在(1a, e]上单调递增．所以f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，a=e2，满足条件．③当1a ≥e时，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f(x)的最小值是3．【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f(x)的最小值以及g(x)的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．试卷第11页，总11页。
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2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 (IV)xx.01注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．2. 已知直线l 过点()()1120A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ▲ ． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为 ▲ /m s ．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ 个.5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为 ▲ ．6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值 是 ▲ ．7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：()1240a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ▲ ．9. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上 抛两次，则两次看不到．．．的数字都大于2的概率为 ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线 的渐近线方程为 ▲ ．Read xIf x <3 Then 2y x ← Else21y x ←+ End If Print y（第6题）12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不 等式()3281f x x <+的解集为 ▲ ．13. 已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =，G 为弦AB的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．函数()xf x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知m 为实数.命题p ：方程221313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29(2)04x m x +-+>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。
在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为[)500,600，[)600,700，[)700,800，[)800,900，[]900,1000，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求a 的值；（2）求余额不低于900元的客户大约为多少人？（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R∈(1)直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点(2,0),(1,0)A B -，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分16分）xx 扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M，(1)4当时, 求喷泉ABCD 的面积S ;(2) 求cos θ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大?.19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ，延长QM 交椭圆C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为,'k k ，证明kk '为定值; ②求直线AB 斜率取最小值时，直线PA 的方程. 20．（本小题满分16分）已知函数ln ()1xf x x =+ ,()(1)()x m x f x x ϕ=+- ()m R ∈ (1) 求()f x 在1=x 处的切线方程；(2) 当0m >时，求()x ϕ在[]1,2上的最大值； (3) 求证：()f x 的极大值小于1.扬州市xx 第一学期期末调研测试试题高二 数 学 参 考 答 案一、填空题：1. (0,)2x π∃∈，sin 1x ≥ 2．-1 3．6 4. 2 . 5. 2x =- 6. 37．充分不必要 8.()1,1- (写成[]1,1-[)(]1,1,1,1--也算对) 9．1210．14 .11．52y x =±12． 12,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 13. ()()03,,-∞+∞ 14(])23,e e ,⎡-∞+∞⎣.．二、解答题：15．解：（1）若命题p 为真命题，则()()3130m m --<，即m 的取值范围是133m <<. …………………………………………………………………4分（2）若命题q 为真命题，则0∆<，解得15m -<<．即()1,5m ∈-．…………7分 ∵命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，∴p 和q 中有且仅有一个正确．若p 真q 假，则13315m m m ⎧<<⎪⎨⎪≤-≥⎩或，解得m φ∈； ………………………………10分若p 假q 真，则13315m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪-<<⎩或，解得113m -<≤或35m ≤<．………………13分 所以，综上所述：m 的取值范围为[)11,3,53⎛⎤- ⎥⎝⎦．………………………………14分16. 解：（1）由()1000.00050.0020.0040.0011a ⨯++++=，解得0.0025a =……4分 （2）余额在[]900,1000之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为30000.1300⨯=(人) ………………………………………………………………………8分（3） 客户人均损失的估计值为：5500.056500.27500.48500.259500.1765⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)…………………14分(注: 若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分) 17．解：(1) 解：假设直线l 过定点(,)a b ，则420,k(2)40ka b k a b ---=---=即关于k R ∈恒成立， ………2分2040a b -=⎧∴⎨+=⎩，24a b =⎧∴⎨=-⎩， ………4分 所以直线l 过定点，定点坐标为(2,4)- ………6分 (2) 已知点(2,0),(1,0)A B -，设点(,)P x y ， 则222222(2),(1)PA x y PB x y =++=-+，2PA PB =，224PA PB ∴=， 2222(2)4[(1)]x y x y ∴++=-+所以点(,)P x y 的轨迹方程为圆22(2)4x y -+=， ………10分 又点(,)P x y 在直线:420l kx y k ---=上，所以直线:420l kx y k ---=与圆22(2)4x y -+=有公共点， ………12分 设圆心到直线的距离为d ，则2|2042|21k k d r k ---=≤=+，解得实数k 的范围为3k ≤-或3k ≥. ……… 14分18．解: (1) 在直角2AO M Δ中，12sin=624AM π=，212cos =12cos=624O M πθ=，则12212AD =+，B 2AM=122A = ………2分 所以AB AD=122(122+12)=288+1442S =• （平方米） ………3分 答：矩形ABCD 的面积S 为288+1442平方米. ………4分 (2)在直角2AO M Δ中，12sin AM θ=，212cos O M θ=，则24cos 12AD θ=+，所以矩形ABCD 的面积24sin (24cos 12)288(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，………8分3………10分令()2sin cos sin f θθθθ=+，03，则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-， ………12分 令'()0f θ=，得331cos 8θ-=．设0331cos 8θ-=，且03，列表如下：θ()00,θ0θ0(,)3πθ'()f θ +0 -()f θ↗ 极大值 ↘所以当0θθ=时, ()f θ最大, 即S 最大．此时0331cos 8θ-= ………………15分答：当331cos 8θ-为时，喷泉ABCD 的面积S 最大 ………………16分19. 解： (1)由题意得: 2222,2c a a == 222,1,211a c b a c ===-=-=所以 ………2分2212x y +=故椭圆方程为， ………4分(2) ①设0000(,),(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得00(,2),(,2)P x m Q x m - 所以直线PM 的斜率002m m m k x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m mk x x --==-.……6分 此时13k k =-'，所以k k '为定值13-. ………8分 ②设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222+14220k x kmx m ++-=（）， 由22222012168(1)(21))02221k m m k m x x k ⎧∆=--+>⎪⎨-=⎪+⎩，可得21202221m x k x -=+（） ，21122221m y kx m k m k x -=+=++（） 同理222022181m x k x -=+（），222202233181m y kx m k m k x -=-+=-++（）. ………10分所以221222032(1)(21181k m x x k k x --=++)(），221222002222318121m m y y k k k x k x ---=+++（）（）， 222212222200244612(1)8(1)2118121181k k y y k m k m k k x k k x ++-=-=-++++()(）()(），所以212126111(6)44ABy y k k k x x k k-+===+- ， ………12分 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k+≥ ，当且仅当66k =时取得等号. 由0(,2)P x m ，00,0m x >>在椭圆C :2212x y +=上得2028x m =-，2028m m k x m==-此时26628m m =-，即77m =， ………14分由0∆>得，2221m k <+，所以66k =，77m =符号题意. 所以直线AB的斜率的最小值，直线PA的方程为6767y x =+.………16分 ②法2：同上可得21202221m x k x -=+（）；222022181m x k x -=+（）………10分因为12112212,y ,3AB y y k kx m y kx m x x -==+=-+-所以()()1212121233ABkx m kx m x kx k x x x x +--++==--22220022220022223211812222211m m k k k x k x m m k x k x --+++=---++（）（）（）（18） 22223211811121181kk k k k k +++=-++（）（）（）（）26111(6)44k k k k+==+………12分下面同解法1.20. 解：（Ⅰ）2211(1)ln 1ln ()(1)(1)x x xx x f x x x +-+-'==++， …………2分 1(1)2f '∴=，()f x ∴在1=x 处的切线方程为1(1)(1)2y f x -=-, 即210x y --=…………4分（2）()ln x m x x ϕ=-,(0m >), 令()10mx xϕ'=-=，得x m =， 在区间(0,)m 上， ()0x ϕ'>，函数()x ϕ是增函数；在区间(,)m +∞上，()0x ϕ'<，函数()x ϕ是减函数; …………6分 故当[]max 0<1,(x)1,2,()(1) 1.m x ϕϕϕ≤==-时在上递减 当max 1<2,(),()()ln .m x x m m m m ϕϕϕ<==-时先增后减故当[]max 2,()1,2,()(2)mln2-2.m x x ϕϕϕ≥==时在上递增此时 …………10分(3)211ln ()(1)+-'=+xx f x x ，令1()1ln =+-g x x x ， 211()0'=--<g x x x ，则函数1()1ln =+-g x x x 在(0,)+∞上单调递减，(1)20=>g ，221()10=-<g e e，所以存在唯一的20(1,)∈x e ， …………12分当0(0,)∈x x 时，()0'>f x ，当0(,)∈+∞x x 时，()0'<f x ，所以函数()f x 的单调递增区间是0(0,)x ，单调递减区间是0(,)+∞x ，其中20(1,)∈x e ，所以函数()f x 有极大值. …………14分函数()f x 的极大值是000ln ()1=+x f x x ，由0()0'=f x ，得0011ln 0+-=x x ， 所以00000011ln 1()11+===++x x f x x x x ，因为20(1,)∈x e ，所以011<x ，即0()1<f x ，所以()f x 的极大值小于1. …………16分 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。