山东省高二数学上学期期末
山东高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:(2)10,:30l ax a y l x ay +-+=++=12l l ⊥a A ．3 B ．0或3C ．1D ．或12-【答案】B【分析】直接由两直线垂直的条件求解．【详解】∵，∴，解得或． 12l l ⊥(2)0a a a +-=0a =3a =故选：B ．【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．两直线与垂直的充要条1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=件是．12120A A B B +=2．双曲线的渐近线方程为（ ）2214x y -=A ． B ．C ．D ．4y x =±2y x =±12y x =±14y x =±【答案】C【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．【详解】双曲线的渐近线方程为，即，2214x y -=2204x y -=12y x =±故选：C.3．若抛物线上的点到焦点的距离为则（ ） 22(0)x py p =>(),1A m 4,||m =A ．B ．C ．6D ．112【答案】D【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.p 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，22(0)x py p =>(,1)A m 142p+=6p =，所以212x y =212,||m m ==故选：D.4．从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．4351763515【答案】C【分析】根据题意可知，从7个整数中随机取3个不同的整数共有种组合，再列举出这三3C 35=个数能作为锐角三角形三边长的所有情况，即可求出其概率.【详解】由题可知，从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，共有种组合，37C 35=若要这三个数能作为锐角三角形三边长，设三角形的三边长为，且， ,,a b c a b c <<由余弦定理可知，只需满足即可；222a b c +>三角形的三边长为4，5，6时，，满足题意； 222456+>三角形的三边长为4，6，7时，，满足题意； 222467+>三角形的三边长为4，7，8时，，满足题意； 222478+>三角形的三边长为5，6，7时，，满足题意； 222567+>三角形的三边长为5，7，8时，，满足题意； 222578+>三角形的三边长为6，7，8时，，满足题意； 222678+>所以，共6种组合满足题意；即能作为锐角三角形三边长的概率为. 635P =故选：C.5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底{},,a b c {,,}a b a b c +- p下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） {},,a b c (4,2,3)p{,,}a b a b c +- A ． B ．C ．D ．(4,0,3)(1,2,3)(3,1,3)(2,1,3)【答案】C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.p{,,}a b a b c +- (),,x y z 【详解】∵在基底下的坐标为p{},,a b c (4,2,3)∴=423p a b c ++ 设在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- (),,x y z 则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- ()3,1,3故选：C6．设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线1F 2F E ()222210x y a b a b +=>>()2,0F c l与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）2a x c=P 12PF F △E e AB ． CD13【答案】A【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率. P 60︒【详解】由于为等腰三角形， 12PF F △所以，21cos 6022a c c c -︒==222212,,2c c a c a a ===故选：A7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为221:20C x y x m +--=222:40C x y y m +++=m （ ） A ． B ． C ． D ．()0,4()1,4-()1,0-[)0,4【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以221:(1)1C x y m -+=+222:(2)4C x y m++=-10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨<解得 1 4.m -<<故选：B ．8．双曲线C ：的左，右焦点分别为，，过的直线与C 交于A ，B 两()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 2F 点，且，，点M 为线段的中点，则（ ） 222AF F B = 160ABF ∠=︒2AF 112F MF F =A ．B C ．D 4353【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 2BF t =22AF t =12BF t a =+122AF t a =+在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得12BFF △1BF A A 121cos cos 0AMF F MF +=，进而得解 【详解】设，因为，所以， 2BF t =222AF F B =22AF t =由双曲线定义知，则 122B F B F a -=12BF t a =+由双曲线定义知，则122AF AF a -=122AF t a =+设，，因为， 122FF c =222c a b =+160ABF ∠=︒在中，①； 12BF F △22222212(2)(2)1cos 24402(2)2++-∠==⇒++-=⨯+⨯t a t c F BF t at a c t a t 在中， 1BF A A 22221(2)(3)(22)1cos 31002(2)32++-+∠==⇒-=⨯+⨯t a t t a F BA t at t a t 解得：，代入①式，得．103t a =73c a =点M 为线段的中点，所以， 2AF 2103A a M MF ==因为，所以121cos cos 0AMF F MF+=，2222221111102610143333010102233a F M a a F M a a F M a F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯又因为12143F F a =故选：B二、多选题9．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝“两次都击中飞机”，B ＝“两次都没击中飞机”，C ＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D ＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝ ∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D【答案】ABC【分析】根据试验过程，分析出事件A 、B 、C 、D 的含义，对四个选项一一判断.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A ⊆D ，A ∪C ＝D .故A 、C 正确；因为事件B ，D 为互斥事件，所以B ∩D ＝.故B 正确；∅对于D ：A ∪B ＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B ∪D 为必然事件，这两者不相等.故D 错误. 故选：ABC.10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ l α∥B ．若对空间中任意一点，有，则四点共面 O 111444OP OA OB OC =++P A B C ，，，C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量，，则在上的投影向量为(9,4,4)a =- (1,2,2)b = a b()1,2,2【答案】CD【分析】选项A ，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面0e n ⋅= l eαn l α内，也可能与平面平行；选项B ，根据空间向量四点共面条件即可判断B ；选项C ，根据平面向α量基底的定义可判断C ；选项D ，根据投影向量的公式即可判断D.【详解】选项A ，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以，所以直线或，故A 错误；220e n ⋅=-+=e n ⊥ l ⊂αl α∥选项B ，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，111444OP OA OB OC =++ 111314444++=≠四点不共面，故B 错误；P A B C ，，，选项C ，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C 正确；选项D ，由，，(9,4,4)a =-(1,2,2)b = 在上的投影向量为，故D 正确. a b()()1,2,29881,2,233a b b b b⋅+-⋅=⋅=故选：CD.11．下列说法错误的是（ ）A ．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为()2,3A --l 5x y +=-B ．直线必过定点 2(1)(3)750m x m y m ++-+-=()1,3C ．经过点，倾斜角为的直线方程为()1,1P θ()1tan 1y x θ-=-D ．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=()3,1M -()3,2N k 1322k -≤≤【答案】ACD【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A ；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B ；由可判断C ；计算出端点处的斜率结合图形可判断D π2θ=【详解】对于A ：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， y kx =()2,3A --32k -=-32k =此时直线方程为，故A 错误； 32y x =对于B ：直线可变形为，由()()213750m x m y m ++-+-=()252370x y m x y +-+-+=解得， 2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩13x y =⎧⎨=⎩即直线必过定点，故B 正确； ()()213750m x m y m ++-+-=()1,3对于C ：当倾斜角时，无意义，故C 错误； π2θ=tan θ对于D ：直线即，经过定点，10kx y k ---=()11y k x +=-()1,1P -当直线经过点时，斜率为， ()3,1M -()111312k --==---当直线经过点时，斜率为，()3,2N ()213312k --==-由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D 错误；MN y k 12k ≤-32k ≥故选：ACD12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直221:1,2x C y F +=C x m =C ,A B A 线与椭圆的另一个交点为，则（ ） 1AF C E A ．B ．当时，e =1m =1F ABA C ．D ．的周长的最大值为1111AF EF +=1F AB A 【答案】AC【分析】对A ：由方程求，进而求；对B ：根据方程结合题意运算求解；对C ：设直线,,a b c ce a=，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D ：根据椭圆定义分析求解.1AF 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以A 项正2212x y +=2211c =-=1,c a=c e a =确；当时，点到的距离为2，所以的面积为B 项错误； 1m =1,A F ⎛ ⎝AB 1F AB A 122=因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点A 1AF 1AF k ()()1122,,,A x y E x y ，∵，则直线，()11,0F -()1:1AF y k x =+联立方程，得到 ()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++-=∴， 22121222422,1212k k x x x x k k -+=-=++∵在椭圆上，则，即()11,A x y 221112xy +=221112x y =-∴ 11AF ===同理， 12EF =于是1111AF EF +===2222224412422421212k k k k k k ⎫- ⎪+⎝⎭===--+++=故C 项正确；设椭圆的右焦点为，2F当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为 x m =2F 1F AB A 4a =如果不经过右焦点，则连接，，2F 2AF 2BF 可知的周长小于， 1F AB A 11224AF BF AF BF a +++=所以的周长的最大值为D 项错误. 1F AB A 故选：AC.三、填空题13．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为___________. 【答案】8【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果. ||PF P 【详解】由，得，准线方程为：，212y x =-(3,0)F -3x =过作准线的垂线，垂足为，P 3x =M 则，PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=当且仅当三点共线时，等号成立. ,,A P M 故答案为：814．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：415．如图，空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c =2OM MA =BN NC =____________．MN =【答案】211322a b c -++【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】如图，因为，，2OM MA =BN NC =所以，，13MA OA = ()1122BN BC OC OB ==- 又因为，，，OA a = OB b = OC c =所以.()()1132M OA OB OA OC A N MA B B OB N +-++-==+ 211211322322OA OB OC a b c =++-++-= 故答案为：.211322a b c -++16．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直A ,,AB AD AQ x y z 角坐标系．令两正方形边长均为2．则,()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-= cos ,EM AF EM AF EM AF ⋅∴〈〉===⋅设异面直线与所成的角为,．EM AF θcos cos ,EM AF θ∴=〈〉= 【解析】异面直线所成的角．四、解答题17．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么 32(1)写出试验的样本空间．(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率． D 【答案】(1)()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =(2) 25【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.D 【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为112,a a 212,b b 3，12,c c 则样本空间为()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =.()()()()()()()}22121112212212,,,,,,,,,,,,,a c b b b c b c b c b c c c （2）由（1）知：，()15n Ω=，，()()()()()(){}121221211221,,,,,,,,,,,D a b a c a b a c b c b c = ()6n D ∴=. ()62155P D ∴==18．如图，在四棱锥中，是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，P ABCD -PAD A //BC AD ，，E 是PD 的中点.CD AD ⊥222PC AD DC CB ====（1）证明：平面PAB ；//CE （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，再由线面平行PA M BM EM BCEM 的判定定理即可得证；（2）由平面，知点到平面的距离即为所求，由线面垂直的判定定理证平面//CE PAB E PAB BC ⊥，以为原点，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，写PNB B BC PB ⊥PB 120PNB ∠=︒出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离P E PAB nE PAB 即可得解.·n BEd n= 【详解】（1）证明：取的中点，连接､，PA M BM EM 为的中点，，， E PD //EM AD ∴12EM AD BC ==四边形为平行四边形，，∴BCEM //CE BM ∴平面，平面，平面.CE ⊄ PAB BM⊂PAB //CE ∴PAB （2）平面，点到平面的距离即为所求. //CE PAB ∴E PAB 设，222PC AD DC CB ====取的中点，连接､，则四边形为矩形，AD N BN PN BCDN 1BN CD ==是以为斜边的等腰直角三角形，，， PAD A AD PN AD ∴⊥112PN AD ==，，､平面，平面， BN AD ⊥ PN BN N Ç=PN BN ⊂PNB AD ∴⊥PNB ，平面，∴，//BC AD Q BC ∴⊥PNB BC PB ⊥平面，平面平面，BC ⊂ ABCD ∴ABCD ⊥PNB 以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面， B BC BN x y PNB Bz ⊥ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，()0,0,0B ()1,1,0A -()1,1,0D 在中，，，Rt PBC △PB ===1BN PN ==，，又是的2221cos 22BN PN PB PNB BN PN+-∠===-⋅120PNB ∴∠= 30,2P ⎛∴ ⎝E PD 点，15,24E ⎛∴ ⎝ ，，， 30,2BP ⎛=⎝ ()1,1,0BA =-15,24BE ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，PAB (),,n x y z =则， 令，则，，300200n BP y n BA x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩1x =1y =z =∴(1,1,n =点到平面的距离∴E PABn BE d n⋅===故直线与平面CE PAB19．已知直线l ：x+2y-2=0．试求：（1）点P （-2，-1）关于直线l 的对称点坐标； （2）直线l 关于点（1，1）对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）.219(,)55240x y +-=【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所P l l 在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程l 1-组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所l ()1,1l 求的直线方程.试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为， P l ()00',P x y 则线段的中点在对称轴上,且.'PP M l 'PP l ⊥∴即的坐标为.0000001121,,225{{1921,220522y x x x y y +⎛⎫⨯-=-= ⎪+⎝⎭⇒--=+⨯-='P 219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定l ()1,1A 'l l ()11,P x y A ()',P x y 在直线上,反之也成立.由'l 11111,2,2{{2,12x x x x y y y y +==-⇒=-+=将的坐标代入直线的方程得.()11,x y l 240x y +-=∴直线的方程为.'l 240x y +-=点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且(),A a b ()00Ax By C B ++=≠()',A m n 'AA 的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于'AA 1{22n b A m a B a m b n A B C -⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭++⨯+⨯+=点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 20．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN A 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN A 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN A 21．已知双曲线221.416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N 是线段的中点，求直线的方程； (1,4)N ,S T ST ST (2)直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、(2)y kx m k =+≠±y 轴于，两点．当点M 运动时，求点的轨迹方程. 0(,0)A x 0(0,)B y 00(,)P x y 【答案】(1)30.x y -+=(2). 221(0)10025x y y -=≠【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案； 11(,)S x y 22(),T x y ST （2）根据直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到，(2)y kx m k =+≠±224(4)m k =-从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可00,x y 得答案.【详解】（1）设，，则 ， 11(,)S x y 22(),T x y 2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得，即， 22221212416x x y y --=121212124y y x x x x y y -+=⨯-+因为点是线段的中点，所以， (1,4)N ST 1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯即直线的斜率为1，ST 所以直线的方程为，即,ST 41y x -=-3y x =+联立方程组,得，满足， 2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩236250x x --=0∆>故直线的方程为ST 30.x y -+=（2）联立方程组,得， 22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩222(4)2(16)0k x kmx m ---+=因为直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ， (2)y kx m k =+≠±根据双曲线的对称性可知都不等于0，,k m ，得， ()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩224(4)m k =-则,则, 244M km k x k m ==--4(16)Mk m y k mm =⨯+=--所以M 的坐标为，其中， 416(,)k m m--0km ≠因为过点M 且与l 垂直的直线方程为， 1614()ky x m k m+=-+令，得，令，， 0y =020kx m =-0x =020y m=-所以， 222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+故点的轨迹方程为：.00(,)P x y 221(0)10025x y y -=≠【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线2:2(0)T y px p =>F P T Q P (0)x t t=<上的投影.当为等边三角形时，其面积为.PQF △(1)求抛物线的方程；T (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B 和C ，D ，x (,0)(0)E a a >T 点H ，K 分别为，的中点，求面积的最小值. AB CD EHK A 【答案】(1)； 28y x =(2)16.【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P 的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.||PF （2）设出直线AB 、CD 的方程，求出点H 坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借||,||EH EK 助均值不等式求解作答.【详解】（1）抛物线的焦点，准线，2:2(0)T y px p =>(,0)2p F 2p x =-为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，PQF △||||PQ PF =Q P (0)xt t =<2pt =-由，设，则点，21||sin 602PQFS PF ==A ||8PF =200(,)2y P y p 0(,)2p Q y -于是由得：，解得，88PQ QF ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022082264y pp y p ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩4p =所以抛物线的方程为：.T 28y x =（2）显然直线AB ，CD 都不与坐标轴垂直，设直线AB 方程为：，则直线CD 方程为：x ty a =+，1x y a t=-+由消去x 并整理得：，设，则， 28x ty a y x =+⎧⎨=⎩2880y ty a --=1122(,),(,)A x y B x y 128y y t +=于是得弦AB 中点，2(4,4)H t a t +||4|EH t==同理得，11||4|4|EKt t =-=因此，直角面积 EHK A 111||||4|4|22S EH EKt t =⋅=⋅，当且仅当，即时取“=”， 16==≥=221t t =1t =±所以面积的最小值为16.EHK A 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.。
2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题(含解析)
2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈R ③*0N ∈④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．12i12i+=-A ．43i 55--B ．43i55-+C ．34i55--D ．34i55-+【正确答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．[]2,13B ．[]3,13C ．[]2,10D ．[]5,10【正确答案】A【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，求出,m n 的值，根据,x y x y +-的范围，即可求出答案.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩，因为11,15x y x y -≤+≤≤-≤，所以()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈，故选：A.4．若5cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 3B ．23-C ．23D 【正确答案】A【分析】令512πθα=-，则cos 3θ=，所以sin sin 122ππαθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得结果.【详解】令512πθα=-，则512παθ=+，且cos θ=sin sin cos 1223ππαθθ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5．函数()21f x x =在点1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）A ．12B ．9C ．34D ．92【正确答案】D【分析】先利用()f x 的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.【详解】由题，()32f x x '=-，1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以切线为11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，整理得1612y x -+=，易得切线的截距为34和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为13912242⨯⨯=，故选：D6．已知数列{}n a 是等比数列，若912111,01a a a ⋅><<，且数列{}n a 的前n 项乘积1n T >，n 的最大值为（）A ．10B ．11C ．20D ．21【正确答案】C【分析】由等比数列的性质可推出：201T >，211T <，可得结论.【详解】数列{}n a 是等比数列，912111,01a a a ⋅><<，()()10119109111102022021T a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅=> ，211911212122011a a a a T a a ⋅⋅⋅==< ，所以使1n T >的n 的最大值为20.故选：C7．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设,M N 是锐角ABC ∠的一边BA 上的两定点，点P 是边BC 边上的一动点，则当且仅当PMN ∆的外接圆与边BC 相切时，MPN ∠最大．若()()0,1,2,3M N ，点P 在x 轴上，则当MPN ∠最大时，点P 的坐标为A ．1,0)B ．(1-C ．(1-D ．1,0)【正确答案】A【分析】设点P 的坐标为(,0)x ，求出线段MN 的中垂线与线段MP 的中垂线交点的横坐标，即可得到PMN ∆的外接圆圆心的横坐标，由PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，可知PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即可得到点P 的坐标．【详解】由于点P 是边BC 边上的一动点，且点P 在x 轴上，故设点P 的坐标为(,0)a ；由于()()0,1,2,3M N ，则直线MN 的方程为：1y x =+，点B 为直线MN 与x 轴的交点，故点B 的坐标为(1,0)-；由于ABC ∠为锐角，点P 是边BC 边上的一动点，故1a >-；所以线段MN 的中垂线1l 方程为：3y x =-+；线段MP 的中垂线2l 方程为：21122y ax a =-+；故PMN ∆的外接圆的圆心为直线1l 与直线2l 的交点，联立231122y x y ax a =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：252(1)a x a +=+；即PMN ∆的外接圆圆心的横坐标为252(1)a a ++ PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，边BC 在x 轴上，则PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即252(1)a a a +=+，解得：1a或1（舍）所以点P的坐标为1,0)；故答案选A本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题8．如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大【正确答案】D【分析】分2ND CN =和2CN ND =两种情况，分别过N 作BC 的平行线，可得直线MN 与所作的平行线成的角即为角θ可得答案.【详解】当2ND CN =时，如下图作//NF BC 交BD 于F 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NF 所成的角，即MNF θ∠=，设正四面体的棱长为3，则1,2CN BF FN ===，可求得MF MN =，所以在FNM中，有cos [0,3])x θ=∈，令2187()37xf x x x -=-+，则()2227365)37(x x x x f x -+'-+=，[0,3]x ∈时，()2227365)37(x x x x f x -+'-+=有正有负，函数有增有减，所以故A 与B 错误；当2CN ND =时，如下图作//NE BC 交BD 于E 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NE 所成的角，即MNE θ∠=.同样设正四面体的棱长为3，则2,2CN BF FN ===，可求得ME ，AN BN =在ABN 中，有cosABN ∠=所以2227237MN x x x x =+-⨯⨯-+，即MN =所以在MNE 中，有cos [0,3])x θ=∈，令295()37xf x x x -=-+，则()22251880(37)x x x x f x '-+--=<，所以()f x 在定义域内单调递减，即x 增大，()f x 减小，即cos θ减小，从而θ增大，故D 正确，C 错误.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为110；B ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D ．一组数据1x ，2x ，……，100x 的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是10099．【正确答案】ABD【分析】根据分层抽样的计算规则分析A 选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD 选项.【详解】选项A ：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占10060%60⨯=人，所以每位男生被抽中的概率601100060%10P ==⨯.A正确；选项B ：平均数1231(...)n x x x x x n=++++，将这组数据中每个数据都乘以3后12312311(333...3)3(...)3n n x x x x x x x x x n n++++=⨯++++=.B 正确；选项C ：方差222221231[(((...()]n s x x x x x x x x n=-+-+-++-，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差222221231[(33)(33)(33...(33)]9n x x x x x x x x s n-+-+-++-=.C 错误；选项D ：，因为123100,,,...,x x x x 的平均数是5，所以123100...500x x x x ++++=，新平均数1(5005)599x =-=，又因为123100,,,...,x x x x 的方差是1，所以2222212399[(()()...((55)]100x x x x x x x x -+-+-++-+-=，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差211001009999s =⨯=.D 正确.故选：ABD.10．若椭圆()222:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列b 的取值能使以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点的是（）A ．b =B ．b =C ．2b =D ．b 【正确答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以12F F 为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范围作答.【详解】令椭圆()222:108x y C b b +=>的半焦距为c ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，因圆222x y c +=与椭圆C 有公共点，则有22c b ≥，即228b b -≥，解得02b <≤，显然选项A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11．已知某声音信号的波形可表示为()2sin sin 2f x x x =+，则下列叙述正确的是（）A ．()f x 在[]0,2π内有3个零点B ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增C ．()2,0π是()f x 的一个对称中心D ．()f x 的最大值为3【正确答案】AC【分析】当[]0,2x π∈时，解方程()0f x =，可判断A 选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当[]0,2x π∈时，()()2sin 2sin cos 2sin 1cos 0f x x x x x x =+=+=，可得sin 0x =或cos 1x =-，可得{}0,,2x ππ∈，故A 对；对于B 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，()()()()22cos 2cos 222cos cos 122cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，故B 错；对于C 选项，()()()()42sin 4sin 242sin sin 2f x x x x x f xπππ-=-+-=--=-⎡⎤⎣⎦ ，故()2,0π是()f x 的一个对称中心，C 对；对于D 选项，因为sin 1x ≤，sin 21x ≤，可得()2sin sin 23f x x x =+≤，若函数()f x 在0x x =处取得最大值3，则()0022,Z 222x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，即()0022,Z4x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，这样的0x 不存在，所以，()f x 的最大值不为3，D 错.故选：AC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m =__________．【正确答案】3或5【分析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．【详解】解：因为椭圆2214x y m +=的焦距为2，所以1c =，若焦点在x 轴上，则有24m c =+，解得5m =；若焦点在y 轴上，则有24m c =+，解得3m =；综上所述，3m =或5．故3或5．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【正确答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15．已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +的取值范围为__________．【正确答案】⎣【分析】由题意建立平面直角坐标系，写出各点坐标，设()01AM AC λλ=≤≤，求出()2224MB MD λλ+=--，，即可求其模长，利用二次函数的图像与性质求范围即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则()00A ，，()20B ，，()12C ，，()02D ，，设()01AM AC λλ=≤≤，则()2M λλ，，故()22MB λλ=-- ，，()22MD λλ=--，，则()2224MB MD λλ+=--，，()()2223422242055MB MD λλλ⎛⎫+=-+-=-+ ⎪⎝⎭ 当0λ=时，MB MD +取得最大值为22当35λ=时，MB MD + 255，MB MD ∴+ 的取值范围为25225⎡⎢⎣，故答案为.25225⎣，四、双空题16．在ABC 中，AB AC >，23BC =60A =︒，ABC 的面积等于23则sin B =______，BC 边上中线AM 的长为______．【正确答案】127【分析】根据面积公式得到8AB AC ⋅=，再根据余弦定理得到6AB AC +=，解得4AB =，2AC =，根据勾股定理逆定理得到90C =︒，计算得到答案.【详解】113sin 3222ABC S AB AC A AB AC =⋅=⋅⋅△，故8AB AC ⋅=，根据余弦定理：()22222cos 312BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=，故6AB AC +=，AB AC >，解得4AB =，2AC =，故222AB AC BC =+，故90C =︒，30B =︒，1sin 2B =.故AM =故12.本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、解答题17．已知集合2{|760}A x x x =-+<，22{|440}B x x x t t =-+-<，R 为实数集.（1）当5t =时，求A B ⋃及()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数t 的取值范围.【正确答案】（1）{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< ；（2）2t - 或6t.（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，由5t =解得集合B ，R C B ，然后利用并集，交集和补集的运算求解.（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，转化为A B Ü求解.【详解】（1）由2760x x -+<得：16x <<，即16{|}A x x =<<，当5t =时，15{|}B x x =<<-，则{|1R C B x x =- 或5}x，所以{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< .（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B Ü，22{|440}{|()·[(4)]0}B x x x t t x x t x t =-+-<=---<，显然4t t ≠-，2t ∴≠①当4t t ->时，即2t <时，{|4}B x t x t =<<-，要满足A B Ü，则146t t ⎧⎨-⎩，解得2t - ；②当4t t -<时，即2t >时，{|4}B x t x t =-<<，要满足A B Ü，则416t t -⎧⎨⎩，解得6t；综上：实数t 的取值范围为：2t - 或6t.本题主要考查了二次不等式的解法､集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，满足()2cos cos a c B b C -=．(1)求B 的大小；(2)如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大．【正确答案】(1)3π(2)8【分析】（1）由正弦定理将(2)cos cos a c B b C -=中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可求得1cos 2B =，从而得解；（2）由（1）可推得ABC 为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理可求得22016cos AC D =-，再根据1sin 2ACDSAD CD D =⋅和1sin 2ABC S AB BC B =⋅△，可推出四边形ABCD 的面积8sin()3S D π=-，最后由角(0,)D π∈和正弦函数的性质即可得解．【详解】（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，(2)cos cos a c B b C -= ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，(0,),sin 0A A π∈≠ ，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈ ，3B π∴=．（2）由（1）知，3B π=，AB AC = ，ABC ∴为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理知，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-，而11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin223ABCSAB BC B AC D π=⋅==⋅，∴四边形ABCD 的面积4sin 8sin()3ACD ABC S S S D D D π=+=+=+-△△，(0,)D π∈ ，(33D ππ∴-∈-，2)3π，∴当32D -=ππ即56D π=时，S 取得最大值，为8+，故四边形ABCD 面积的最大值为8．19．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[)2,4，[)4,6，[)6,8，[]8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在[]8,10内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【正确答案】(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有1000.1220⨯⨯=件，乙生产线的样品中优等品有1000.05210⨯⨯=件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F .从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率815P =.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD =且1PA AB BC ===，PA ⊥平面ABCD .（1）求PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E ，满足90AEC ∠=︒？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.【正确答案】（133（2）不存在，详见解析.（1）以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，根据空间向量夹角公式求出PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1）90BAD ∠=︒Q ，PA ⊥平面ABCD ，∴可以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，从而()0,0,1PA =- ，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =- .设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，020a b c b c +-=⎧∴⎨-=⎩，取1a =，得1b =，2c =，∴平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =，设直线PA 与平面PCD 的夹角为θ，则23sin cos ,316PA n θ-=<>==⨯（2）()01PE PD λλ=≤≤，则()0,2,1E λλ-，()1,21,1CE λλ∴=--- ，()0,2,1AE λλ=-，若90AEC ∠=︒，则()()222110AE CE λλλ⋅=-+-= ，此方程无解，故在棱PD 上不存在一点E ，满足90AEC ∠=︒.本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.21．已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C (1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【正确答案】(1)()221393x y x -=≥(2)存在，点(12,6).-【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与0PA PB ⋅=，可得2218318720m mt t t +-+-=，后通过分解因式可得m t ，之间关系，从而可得l 所过定点.【详解】（1）如图，设圆E 的圆心为(,)E x y ，半径为r ，由题可得圆M 半径为173，圆N 半径为13则17||3EM r =+，1||3EN r =-，所以||||6||EM EN MN -=<，由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又()()00，M N -.所以动圆的圆心E 的轨迹方程为22193x y -=，(3)x.（2）设直线l 的方程为x my t =+，将直线方程与曲线E 方程联立，有：()221393x y x x my t ⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩，，消去x 得222(3)290m y mty t -++-=，由题直线与曲线有两个交点，则230m -≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中13x ，23x ，由韦达定理有.21212222933，mt t y y y y m m --+==--又0PA PB ⋅=，()()11226363,，,PA x y PB x y =--=-- 则1212(6)(6)(3)(3)0.x x y y --+--=又11x my t =+，22x my t =+，则1212(6)(6)(3)(3)PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+--()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+22222(1)(9)2(63)(1245)(3)03m t mt mt m t t m m +----+-+-==-，即2218318720m mt t t +-+-=，又2221831872183(6)(12)(36)(612)m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+0=，故612t m =+或36t m =-+，若36t m =-+，则直线l 的方程为(3)6x m y =-+，此时l 过点(6,3)P ，与题意矛盾，所以36t m ≠-+，故612t m =+，所以直线l 的方程为(6)12x m y =++，3m ≠则直线l 恒过点(12,6).-关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将221831872m mt t t +-+-分解因式.22．已知函数()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R 在区间(1,0)-内存在极值点．(1)求a 的取值范围；(2)判断关于x 的方程()0f x =在()1,π-内实数解的个数，并说明理由．【正确答案】(1)()1,+∞(2)实数解有三个，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论1a ≤和1a >，讨论导数的正负即可求解；（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.【详解】（1）()()1cos 101f x a x x x'=--<<+．①当1a ≤时，因为0cos 1x <<，所以()11011x f x x x'<-=<++．所以()f x 在（－1，0）上单调递减，所以()f x 在（－1，0）上无极值点．故1a ≤不符合题意．②当a >1时，因为cos y a x =在（－1，0）上单调递增，11y x=-+在（－1，0）上单调递增，所以()f x '在（－1，0）上单调递增．又()111,0a -∈-，111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010f a '=->，所以存在唯一的111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x '=．当()11,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 在（－1，0）内存在极小值点1x ，满足题意．综上，a 的取值范围是()1,+∞．（2）当02x π<<时，()()2sin 11x f x a x ''=-++单调递减．又()010f ''=>，()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=．当00x x <<时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当02x x π<<时，()0f x ''<，()f x '单调递减，又()()0010f x f a ''>=->，2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=．当()0,x α∈时，()0f x ¢>；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．又当2x ππ≤<时，()0f x '<恒成立，结合（1）知，()f x 在()11,x -上单调递减，在()1,x α上单调递增，在(),απ上单调递减．又因为()()e 1sin e 10a af a a ---=-+>，()00f =，()0f π<，()10<f x ，()0f α>，所以()f x 在()1,π-内共有三个零点，方程()0f x =在()1,π-内的实数解有三个．关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.。
2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．曲线43y x x =-在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为343y x '=-，所以11x y ='=，故所求切线的倾斜角为4π． 故选：B ．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是（ ） A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x －2y ＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案.【详解】因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为3122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 故选：A.3．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +=（ ） A ．72 B ．36 C ．24 D ．20【答案】C【分析】由等差数列的性质转化2324a S a +=，3536a S a +=，求出2a 、3a 的值，利用等差中项的性质求出4a 的值，进而可得出4748a S a +=的值. 【详解】由等差中项的性质可得()1323223442a a a S a a ++=+==，得21a =， 同理可得35336122a S a a +==⇒=，由等差中项的性质得3242a a a =+，43223a a a ∴=-=，因此，47444788324a S a a a +=+==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用等差中项求值，考查计算能力，属于基础题.4．椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足()12OM OP OF =+，则OM =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．52【答案】C【分析】根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1()2OM OP OF =+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出||OM 即可．【详解】解：由椭圆2212516x y +=得5a =，4b =，左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2200336x y ++=又220012516x y +=解得053x =或0553x =-（舍去）；又P 在椭圆上，则将053x =代入到椭圆方程中求出0y =所以点5(3P ，； 由点M 满足1()2OM OP OF =+，则得M 为PF 中点，根据中点坐标公式求得2,3M ⎛- ⎝⎭， 所以||(2OM =-= 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．5．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2ae B ．12e+C ．e 2-D ．2e【答案】D【解析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案.【详解】()()()1x x xf x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =. 故选：D.6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．12D 2【答案】A【分析】将AM 用,AB AC 表示，CN 用,AD AC 表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，π3BAC BAD CAD ∠=∠=∠=， 因为M ，N 分别为BC ，AD 的中点， 所以()11,22AM AB AC CN AN AC AD AC =+=-=-， 且3AM CN == 则()1122AM CN AB AC AD AC ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2111222AB AD AB AC AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭11111124242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭， 所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==， 即直线AM 和CN 夹角的余弦值为23. 故选：A.7．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线28y x =，焦点(2,0)F ，准线:2l x =-，直线AB 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=， 弦AB 中点Q 的横坐标1262Q x x x +==，过点Q 作准线l 的垂线，垂足为点D ，如图，令QD 交抛物线于点P ，在抛物线上任取点P '，过P '作P D l ''⊥于点D ，连接,,P Q P F QD '''， 即有,PF PD P F P D '==''，P F P Q P D P Q QD QD PD PQ PF PQ +=+≥≥=''''''+=+， 当且仅当点P '与P 重合时取等号，所以||||PF PQ +的最小值为||(2)8Q QD x =--=. 故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，()*121n na a n =+∈N ＋，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由已知得()1+112n n a a =+＋，根据等比数列的定义得数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求得n a ，然后利用裂项求和法求得n T ，进而求得k 的取值范围. 【详解】解：依题意()1+112n n a a =+＋，当1n =时，11a =，则1+12a =，所以数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，+12n n a =，即21nn a =-，所以()()()()111+12112221212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，所以12231111111212121212121n n n T +=-+-++-++++++ 11113213n +=-<+， 所以k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y-=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4C D ．渐近线方程为0x =【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出a 、b 、c ，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.【详解】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b=，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 故选：BD10．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（ ） A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5rC ．若两圆的公共弦长为rD ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =. 设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， 则22292,25,52r r r -=-==， 此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， ()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以223,1d d -==，即22291,291010r r -=-=，则解得r =r C 选项错误. D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ， 根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,r C D C C r r ==-=-=，D 选项错误. 故选：AB11．已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 使4PM =，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y =C ．43y x =D ．21y x =+【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析，分别求出定点M 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．A ．因为4d ==，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；B ．因为24d =<，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；C ．因为4d ==，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；D ．因为4d ==>，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC.12．若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =【答案】AD【分析】设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，再由导数为3求解.【详解】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>， 又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >， 所以2b =，7n =. 故选：AD三、填空题13．已知椭圆2213x y +=的上顶点为A ，左顶点为B ，则直线AB 的斜率为___________.【分析】依题意可得a =1b =，即可得到上顶点A ，左顶点B 的坐标，即可求出AB 的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为2213x y +=，所以23a =，21b =，即a =1b =，所以椭圆的上顶点为()0,1A ，左顶点为3,0B ，所以AB k =；14．各项均为正数的等比数列，若19563924a a a a a a ++=，则65a a +=___________. 【答案】2【解析】根据等比数列性质化简为()2564a a +=，开方即可.【详解】解：由各项均为正数的等比数列得()219563956252566224a a a a a a a a a a a a ++=++==+ 所以562a a +=. 故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅⋅=”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.15．过点()4,3作圆22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________. 【答案】2350x y +-=【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0C ，半径1r =，设()4,3D ，CD =以D 为圆心，半径为()()224312x y -+-=，即2286130x y x y +--+=①，圆22(2)1x y -+=即22430x y x +-+=②， 由①-②得直线AB 的方程为46100x y --+=， 即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=16．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【分析】设切点为()3,t t at a -+，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a .【详解】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--②．将点()1,0代入②式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0=t 或32t =．分别将0=t 和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278.四、解答题17．直线l 经过两直线1l ：0x y +=和2l ：2320x y +-=的交点. (1)若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程； (2)若点()3,1A 到直线l 的距离为5，求直线l 的方程. 【答案】(1)340x y ++= (2)125340x y -+=或2x =-【分析】（1）求出交点坐标，设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点即可求出；（2）当直线l 的斜率不存在时，符合条件，当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，利用点到直线的距离公式列方程求解.【详解】（1）直线1l 方程与2l 方程联立02320x y x y +=⎧⎨+-=⎩,得交点坐标为()2,2- 设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点()2,2-得4m =， 所以l 的方程为340x y ++=（2）当直线l 的斜率不存在时，得l 的方程为：2x =-，符合条件. 当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，根据5d ==，解得125k =， 所以直线l 的方程为125340x y -+=. 综上所述，l 为125340x y -+=或2x =-18．已知函数3(),(1)2,(1)2f x ax ax b f f =-+=='． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,(1))f --处的切线方程． 【答案】(1)3()2f x x x =-+； (2)240x y -+=.【分析】(1)对函数()f x 求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.. 【详解】（1）由3()f x ax ax b =-+求导得：2()3f x ax a '=-，又(1)2,(1)2f f =='，则222b a =⎧⎨=⎩，解得1,2a b ==，所以()f x 的解析式为3()2f x x x =-+.（2）由(1)得，2()31x f x '=-，则(1)2,(1)2f f -=-='，()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=，所以f (x )在(1,(1))f --处的切线方程是：240x y -+=. 19．已知数列{}n a 是等差数列，其中24a =，且459a a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设142n a n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n a n =；(2)144133n n n T n +=+-+.【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）有1141n n n n b +=-+，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题设，1114278a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，可得12a d ==， 所以{}n a 的通项公式22(1)2na n n =+-=. （2）由（1）知：11144(1)1n n n n n n n b -+=+=++， 所以12...n n T b b b =+++，令111111...22311n M n n n =-+-++-=++，24(14)4(41)44 (4143)n n n N --=+++==-， 所以144133n n n T n +=+-+. 20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点．（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离．【答案】（16（23 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求；（2）利用PB 在平面PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．在PAD 中，PA PD ⊥，2PA PD ==，所以2AD =．在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以1OA BC ==，所以OC AD ⊥．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --，所以()1,1,1PB =--．因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，所以OA ⊥平面POC ．所以()0,1,0OA =-为平面POC 的一个法向量，3cos ,3||PB OA PB OA PB OA ⋅〈〉==∣， 所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为63． （2）因为()1,1,1PB =--，()1,0,1CP =-，()0,1,1PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩． 取1z =，得()1,1,1u =．则B 点到平面PCD 的距离33PB ud u ⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法. 21．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈且2n ≥，使得()()()2111n T n n n λ-≤-+成立，求实数λ的最小值．【答案】(1)123n n a -=⋅；(2)3.【分析】（1）根据给定前n 项和，利用n a 与n S 的关系求解作答.（2）利用错位相减法求出n T ，再借助数列单调性求出最小值作答.【详解】（1）依题意，当2n ≥时，111(31)(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=⋅，而1112a S =-=满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅， 0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯， 则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得：231212(3333)(21)3n nn T n --=+++++--⨯13(13)12(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--， 于是得(1)31n n T n =-⋅+，*N n ∈且2n ≥，()()()2111n T n n n λ-≤-+23(1)n n n λ⋅⇔≥+， 令23(1)n n c n n ⋅=+，2n ≥，则136331222n n c n c n n +==-≥>++，即1n n c c +>，当2n ≥时，数列{}n c 是递增数列，即min 2()3n c c ==，因此，3λ≥，所以实数λ的最小值是3.【点睛】方法点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}·n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由离心率得c a =，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22142x y +=； （Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+， 把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -，由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264880812120(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．。
2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析
可得 a8 a16 16, a8a16 14 ，根据等比数列的性质，可得 a6a18 a4a20 a8a16 14
则 a6a18 a8
a4a20 a16
14 a8
14 a16
14(a8 a16 ) a8a16
16 .
故选：B.
10、B
【解题分析】根据正弦定理直接计算可得答案.
a2 b2
∴ x2 a2b2 c2 ， a2 b2
可得 b2 ac ， c2 ac a2 0 ，即 e2 e 1 0 ，又 e 1
解得 5 1 e 1. 2
故选：C. 8、B 【解题分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于 A，如 a 5,b 10 ，满足条件，但 b2 a2 不成立，故 A 不正确；
A.54
B.71
C.81
D.80
4．焦点坐标为（1，0） 抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=-4x
B.y2=4x
的 C.x2=-4y
D.x2=4y
5．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则
x y 4
15．若
x,
y
满足约束条件
x
y
2
，则
z
2x
y
的最小值为________.
y 3
16．已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）已知椭圆 C :
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。
2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二上学期期末数学试题一、单选题1．设等差数列的前n 项和为，若，，成等差数列，且，则的公差{}n a n S 2S 3S 5S 110a ={}n a （ ）d =A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】D【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.【详解】，，成等差数列，且，2S 3S 5S 110a =，3252S S S ∴=+，3221542310210510222d d d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝∴⎭⎭解得．2d =-故选：D ．2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的(1,2,3)A (3,2,1)C (4,3,0)D AB CD 位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B 【详解】因为，，，，所以,,可()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D (3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-得，所以，线与的位置关系是平行，故选B ．3AB CD =- AB CD ∥AB CD 3．已知直线与平行，则实数a 的值为1:(2)20l ax a y +++=2:10l x ay ++=A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1【答案】D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作AB 的垂线，22221x y a b +=0a b >>交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a 99a100a101a【答案】D【分析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关12||||2i i F P F P a +=1112199||||||F P F P F P 、、、于纵轴成对称分布，得到结果．【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P⋯99P y ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a += 故所求的值为．101a 故选：D ．5．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦(0,2,1),(2,0,4)a b =--=值等于（ ）A ．B ．C ．D 25-25【答案】B【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.【详解】因为，所以.4,|||a b a b ⋅=-==42cos cos ,105||||a b a b a b θ⋅-====故选：B【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.6．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ）{}n a 212a =418a =A ．B ．C ．D ．8122-9122-10122-11122-【答案】B【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列的公比为，q∵，∴，∵，∴.422a a q =21182q =⨯0q >12q =∵，∴，∴.21a a q =11a =()1010110911112211212a q S q ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---故选：B.7．已知数列满足，且对任意都有，则的{}n a 2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈*n ∈N 12111...n ta a a +++<t 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅2(1)12312n n a a a a --⋯=212n n a -= 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121412111...n a a a +++【详解】∵数列 满足，{}n a 2123(2*)nn a a a a n N ⋯=∈ 时， 时， ，可得 .1n ∴=122a n =≥；2(1)12312n n a a a a --⋯=212n na -= ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .21112n n a -∴=1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1214.1211(1)11121224(1)134314n nn a a a -∴++⋯+==-<-∵对任意 都有，则 的取值范围为 N*n ∈12111...n t a a a +++<t 2[)3+∞，．故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题n8．设椭圆C ：的左、右焦点分别为、，P 是C 上的点，⊥，22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 2PF 1F 2F ∠=，则C 的离心率为12PF F 30 AB ．C ．D1312【答案】D【详解】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m，|F 1F 2|m ，故离心率e ＝D.121222F F c a PF PF ===+点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等,,a b c 式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用,,a b c b ,a c ,,a b c 椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果，，()2,1,4AB =--()4,2,0AD =，则下列结论中错误的是（ ）()1,2,1AP =--A ．B ．AP AB ⊥⊥ AP AD C ．是平面ABCD 的法向量D ．AP AP//BD【答案】D【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.【详解】因为，所以，故A 正确；2240AB AP ⋅=--+=AB AP ⊥ 因为，所以，故B 正确；4400AP AD ⋅=-++= ⊥AP AD 由A ，B 知，C 正确；与不平行，故D 错误．()2,3,4BD AD AB =-=()1,2,1AP =--故选：D.二、多选题10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）2:0l ax by r +-=222:C x y r +=(,)A a bA ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线222,a b r +与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l 的距离()0,0C d =若点在圆C 上，则，所以(),A a b 222a b r +=d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点在圆C 内，则，所以(),A a b 222a b r +<d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点在圆C 外，则，所以(),A a b 222a b r +>d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点在直线l 上，则即，(),A a b 2220a b r +-=222=a b r +所以l 与圆C 相切，故D 正确.d =故选：ABD.11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线从点射入，经过抛物线上的24y x =1l ()3,1M 点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是()11,P x y ()22,Q x y 2l （ ）A ．B ．121=x x 43PQ k =-C ．D ．与之间的距离为4254PQ =1l 2l 【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项PQ F 2124p x x =A ；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率P M 1l P 2124p x x =Q 公式即可判断选项B ；根据抛物线的定义可知，，可判断选项C ；12||PQ x x p =++由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D ．1l 2l 1l 2l 12||d y y =-【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A 正确；PQ (1,0)F ∴21214p x x ==由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，P (1,14)Q (4,4)-，即选项B 正确；∴4141344PQ k --==--由抛物线的定义可知，，即选项C 正确；12125||4244PQ x x p =++=++=与平行，1l 2l 与之间的距离，即选项D 错误；1l ∴2l 12||5d y y =-=故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．12．素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．4710131619 (7)1217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……………………该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在数阵中，则一定是合数，21n +反之如果正整数n 不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（ ）A ．第4行第921n +列的数为80；B ．第6行的数公差为13；C ．592不会出现在此数阵中；D ．第10列中前10行的数之和为1255．【答案】BD【分析】依次判断选项正误即可.【详解】对于A ，第四行是以为首项，公差为9的等差数列，则第九列数为：13，故A 错误；138985+⨯=对于B ，由题第六行为等差数列，又，故B 正确；1221193213，a a d a a ==⇒=-=对于C ，若592不在数阵中，则一定是素数，但为合数，故C 错误.25921´+259211185⨯+=对于D ，由题可得第10列第1行为，第10列第2行，49331+⨯=79552+⨯=则第10列为以为首项，公差为的等差数列，则第10列中前10行的数之和为3121，故D 正确.10910312112552⨯⨯+⨯=故选：BD三、填空题13．过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．()2,1P l 1y x =-【答案】2x =【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，l 1l 45所以所求直线的倾斜角为，又过点，90()2,1P所以所求直线的方程为．2x =故答案为：2x =14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.{}n a {}n b n n S n T 731n n S n T n -=+55a b =【答案】6【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.n 【详解】由已知得，，()()2112121212n n n n S a a n a ---=+=-()()2211121212n n n n b b T n b ---=+=-令n =5，则，，959S a =959T b =所以，5959793691a S b T ⨯-===+故答案为：6.15．在长方体中，，，点E 为AB 的中点，则点B 到平面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =的距离为________．1D EC【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可D 1D EC n EB d n⋅=求解.【详解】∵在长方体 中,,，1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =点为的中点，E AB 以为原点，建立空间直角坐标系，如图：D ∴, ,,，(1,2,0)B (0,2,0)C (1,1,0)E 1(0,0,1)D即，，()1,1,0EC =-()10,2,1D C =-()0,1,0EB =设平面的法向量，1D EC (,,)n x y z =则，即，100n EC n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y y z -+=⎧⎨-=⎩令，则，所以1y =1,2x z ==(1,1,2)n =∴点 到平面的距离：B 1D ECn EB d n ⋅===四、双空题16．已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M22221(0)x y M a b a b +=>>：22221x y N m n -=：的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】21【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N 的22,m n离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得c ，解得椭圆M的离心率.2c a =【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以c 2c a =椭圆M的离心率为 1.c a ==双曲线N 的渐近线方程为，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为ny xm =±，222ππtan 333n m ∴==，222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，；．12［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆22221x y m n -=n y x m =22221x y a b +=()00,A x y 的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O 为坐标原2(,0)F c 2,A F 260AOF ∠=︒点）．所以．因此双曲线的离心率．tan 60n m ︒==2e ===由与联立解得．n y x m =22221x y a b +=A因为是正三角形，所以．2AOF △||OA c =c =将代入上式，化简、整理得，即，解得222,n b a c ==-4224480a a c c -+=42840e e -+=，（舍去）．1e =1e =，双曲线的离心率为2．1；．12［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N 在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N 的离心率为y =．2=设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A ，椭圆的左、右焦点分22221x y m n -=22221x y a b +=别为．在中，．12,F F 12AF F △122112,,632AF F AF F F AF πππ∠=∠=∠=由正弦定理得．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF ==∠∠∠于是．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF +=∠+∠∠即椭圆的离心率．sin 2212sin sin 63c e a πππ===-+；．12【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．五、解答题17．已知等比数列的前项和为，且，.{}n a n n S 1310a a +=2420a a +=(1)求的通项公式；{}n a (2)求.1212nn S S S a a a ++⋅⋅⋅+【答案】(1)2n n a =(2)11222n n --+【分析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；{}n a q 1,a q {}n a （2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.122n n S +=-1122n n nS a -=-【详解】（1）解：设的公比为，{}n a q 因为，，则，1310a a +=2420a a +=42312a a q a a +==+又因为，解得，1311410a a a a +=+=12a =所以的通项公式为.{}n a 1222n n n a -=⨯=（2）解：由，可得，2n n a =11222212n n n S ++-==--则，11221222n n n n n S a +--==-所以.1211211122221212n n n n S S S n n a a a --++⋅⋅⋅+=-=-+-18．如图，在三棱锥中，为的中点.-PABC ,2,AB BC AB BC PA PB PC O ⊥=====AC (1)证明：平面；AC ⊥PBO (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.M BC M PA C --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；PO AC ⊥AC OB ⊥AC ⊥PBO （2）以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,OB OC OP x y 【详解】（1）为的中点，.,PA PC O = AC PO AC ∴⊥为的中点，.,= AB BC O AC AC OB ∴⊥平面，平面，,,,PO AC AC OB OB PO O OB ⊥⊥⋂=⊂ PBO PO ⊂PBO 平面.AC ∴⊥PBO（2）为的中点，,2,AB BC AB BC PAPB PC ⊥===== O AC AC =.222,BO PO PO OB PB PO OB ∴==∴+=∴⊥又平面，,,,AC OB AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂ PAC 平面.OB ∴⊥PAC 分别以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，如图.,,OB OC OP x y所以,,,,,()0,0,0O ()0,A )B ()C (P.M⎫⎪⎪⎭所以.(,0,AM PA ⎫==⎪⎪⎭ 记为平面的法向量，(),,n x y z = AMP 则，即，不妨令，则0 0n AMn PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩y =⎪=⎩1z =().n = 而平面的法向量，APC ()1,0,0m = 易知二面角的平面角为锐角记为，则M PA C --θ.cos cos ,n m n m n m θθ⋅=====⋅19．某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，,,O A B AO km 岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位B O 10km O O x 1km长度，建立平面直角坐标系，如图所示．(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；,A B ,A B (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距,,O A B M O 岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？O 20km 【答案】(1)，(20,20),(10,0)AB (2)有触礁的危险【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向AO km B O 10km.，(20,20),(10,0)A B ∴由两点间的距离公式知．||AB ==（2）设过三点的圆的方程为．,,O A B 220x y Dx Ey F ++++=将代入上式，得(0,0),(20,20),(10,0)O A B ，解得．222020202020010100F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩10300D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆的方程为，∴2210300x y x y +--=则该圆的圆心为，半径．()5,15r =设船起初所在的点为，则，M (10,M --又该船航线所在直线的斜率为1，该船航线所在的直线方程为．∴100x y -+-=圆心到此直线的距离．∴d <若不改变方向，该船有触礁的危险．．∴20．已知数列满足，且.{}n a ()*2144n n n a a a n N ++=-∈124,12a a ==(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；{}12n n a a +-{}n a (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并1n n n b a a +=-2log n n a b n =21n n n n a b a a ++=加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第{}n b {}n b n n T 一个解答计分）【答案】(1)证明见解析，()12nn a n =+⋅(2)答案见解析【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；n 若选③：根据裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为，2144n n n a a a ++=-所以，又，于是，()211222n n n n a a a a +++-=-124,12a a ==2124a a -=所以是以4为首项2为公比的等比数列.{}12n n a a +-所以，两边除以得，.1122n n n a a ++-=12n +11122n n n n a a ++-=又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.122a =2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，即.12n n a n =+()12n n a n =+⋅（2）若选①：，即.1n n n b a a +=-()()()1221232n n n n b n n n +=+⋅-+⋅=+⋅因为，()12342526232n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ 所以.()2341242526232n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得，()()12314222232n n n T n +-=⨯++++-+⨯ ，()()()11142183222421n n n n n -++⨯-=+-+⨯=-+⨯+-所以.()1224n n T n +=+⨯-若选②：，即.2log n n a b n =22211log log 2log n n n n b n n n ++=+=+所以()222231log log log 1212n n T n n +⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭ ()21231log 122n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++若选③：，即.21n n n n a b a a ++=11144114n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫-==- ⎪⎝⎭所以12231111111444n n n T a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()111111111441.42222n n n a a n n +-+⎡⎤⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．CM BN a ==(0a<<（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2）；（3）||MN =a =||MN 13【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，B BA BE BC x y z 求得、、、、、的坐标．A C F E M N （1）直接由两点间的距离公式可得；||MN （2）把（1）中求得利用配方法求最值；||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接M N MN M N MN G ，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，AG BG G AG BG AGB ∠MNA MNB 再由与的夹角求解．GA GB 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，， ， ，()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E，， ．CM BN a == M ∴N ⎫⎪⎭（1）||MN ==（2），||MN ==当；a =||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，M N MN 则，0，，，，，取的中点，连接，，1(2M 1)21(2N 120)MN G AG BG 则，，，1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是平面与平面的夹角或其补角．AGB ∴∠MNA MNB ，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =---．·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 平面与平面夹角的余弦值是．∴MNA MNB 1322．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.()22:10,0C ax by a b -=>>1y =（1）求双曲线的方程；C （2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；C D E 、OD OE 12211OE OD + （3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是(),0P t t ⎛> ⎝m C ,M N m ，是否存在直线（其中恒成立？（其中2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭00:l x x =0x <M N PM d d PN =分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.,M N d d,M N 0l 0x 【答案】（1）；（2）8；（3）存在且221241x y -=0112x t=【详解】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲C 1y =线的方程；C （2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，求出，，可证；221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-2OD 2OE 22118OD OE +=（3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，得到，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<1212,x x x x +根据得，整理得，由M N d d 101202x x t x x x x t --=--112x t =t >0112x t =<在直线．详解：（1）双曲线；22:1241C x y -=（2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-，()2222211124D k OD OD k x k +==+=- ，222221*********k k OE k k ++==-- ；22222211124124811k k k k OD OE --+=+=++ （3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--根据得，M N PM d d PN =101202x x t x x x x t --=--整理得，2222222841211241248122124m t m t t m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-∵t>∴符合题目要求，存在直线．0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。
山东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，若，则（ ） ()2,1,3a = (),2,1b x x =- a b ⊥x =A ． B ．C ．D ．5-541-【答案】B【解析】根据，利用求.a b ⊥0a b ⋅= x 【详解】因为，所以，得. a b ⊥223(1)0a b x x ⋅=++-=5x =故选：B.2．已知数列13，，……，则是这个数列的（ ）11A ．第21项 B ．第23项 C ．第25项 D ．第27项【答案】B【分析】将.【详解】因为题中数列的第 n而 ==所以是题中数列的第23项. 故选：B. 3．抛物线的焦点坐标是（ ） 213y x =A ．B ．C ．D ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭1,012⎛⎫ ⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先将抛物线化为标准方程，即可求出焦点坐标. 213y x =【详解】由，所以抛物线的标准方程为：，即 ， 213y x =23x y =32p =∴所以抛物线的焦点坐标为： 213y x =304⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D.4．已知直线和互相平行，则实数（ ） 1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=m =A ． B ．C ．或D ．或3-1-1-313-【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解. 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠【详解】由题意，直线和互相平行，1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=可得且， 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠即且，解得或. 2230m m --=212m ≠1m =-3m =故选：C.5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ） 40.5 4.5A ．尺 B ．尺C ．尺D ．尺6.513.514.515.5【答案】D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知1a 13540.5a a a ++=，芒种的日影长为，33340.513.5a a =⇒=12 4.5a =，解得：，， 11213.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5a =1d =-所以冬至的日影长为尺. 15.5故选：D6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量111ABC A B C -M 11A C BA a = BC b = 1BB c =与相等的是（ ）BMA ．B ．1122a b c --+ 1122+-a b c C ． D ．1122-++ a b c 1122a b c ++ 【答案】D【解析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.,,a b c BM【详解】 11112BM BA AA A M BA BB AC =++=++()11111222BA BB BC BA BA BB BC =++-=++1122a c b =++ 故选：D7．已知椭圆与轴交于点A ，B ，把线段AB 分成6等份，过每个分点作轴的垂线交221369x y +=x x 椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C 的右焦点，则1P 2P 3P 4P 5P F （ ） 12345PF P F P F P F P F ++++=A ．20B ．C ．36D ．30【答案】D【分析】由题意知与，与分别关于y 轴对称，设椭圆的左焦点为，从而1P 5P 2P4P 1F ，，利用15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==即可求解． 12345||||||||||5PF P F P F P F P F a ++++=【详解】由题意，知与，与分别关于y 轴对称 1P 5P 2P 4P 设椭圆的左焦点为，由已知a =6,1F 则，同时15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==∴ 12345||||||||||530PF P F P F P F P F a ++++==故选：D ．8．已知圆O 的半径为5，，过点P 的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长||3OP ={}n a 为，最长弦长为，则其公差为（ ） 1a 2021a A ．B ．C ．D ．1202011010310101505【答案】B【解析】可得过点P 的最长弦长为直径，最短弦长为过点P 的与垂直的弦，分别求出即可得出OP 公差.【详解】可得过点P 的最长弦长为直径，， 202110a ∴=最短弦长为过点P 的与垂直的弦，，OP 18a ∴==公差.∴20211212021120201010a a d -===-故选：B.二、多选题9．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）221:1C x y +=222:40C x y x +-=A B A ． B ．直线的方程是 12||2C C =AB 14x =C ．D ．12AC AC ⊥||AB =【答案】ABD【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求. AB AB 【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，1C ()0,011r =()222:24C x y -+=()2,022r =，故A 正确；122C C ∴=两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B 正确； AB 1414x x =⇒=，，，，所以不正确，故C 不正确；11AC =22AC =122C C =2221212AC AC C C +≠12AC AC ⊥圆心到直线的距离，D 正确. ()0,014x =14d =AB ===故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ） (0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -A ．B ．2OA OB ⋅=-2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线D ．O ，A ，B ，C 四点共面BC 【答案】ABC【解析】计算数量积判断A ，求向量夹角判断B ，利用向量垂直判断C ，根据空间向量共面定理判断D ．【详解】， (0,1,2),(2,0,1)OA OB ==-，A 正确；02102(1)2OA OB ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，B 正确； 2cos ,5OA OB <=- ，，所以O 到直线(1,2,2)BC = 2102(1)20OB BC ⋅=⨯+⨯+-⨯= OB BC ⊥ BC C 正确； ，(3,2,1)OC =假设若O ，A ，B ，C 四点共面，则共面，设， ,,OA OB OC OC xOA yOB =+则，此方程组无解，所以O ，A ，B ，C 四点不共面，D 错． 23221y x x y =⎧⎪=⎨⎪-=⎩故选：ABC ．11．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．记}{n F 11F =21F =)(123,n n n F F F n n N *--=+≥∈}{n F 数列的前项和为，则（ ）}{n F n n S A ．B ．26571F F F =+681S F =-C ． D ．135910F F F F F +++⋅⋅⋅+=2222123678F F F F F F +++⋅⋅⋅+=【答案】BC【分析】由递推式分别求出，，，，再逐个选项判断即可． 3F 4F ⋯10F 【详解】因为，，， 11F =21F =*12(3,)n n n F F F n n N --=+∈…所以，，3212F F F =+=4323F F F =+=，，5435F F F =+=6548F F F =+=，， 76513F F F =+=87621F F F =+=，，98734F F F =+=109855F F F =+=所以，，，故错误；2664F =57166F F +=26571F F F ≠+A ，，，故正确；611235820S =+++++=8120F -=681S F =-B ，故正确；135910125133455F F F F F +++⋯+=++++==C，，2222123611492564104F F F F +++⋯+=+++++=781321273F F =⨯=所以，故错误． 2222123678F F F F F F +++⋯+≠D 故选：．BC 12．已知常数，点，动点M (不与A ，B 重合)满足：直线与直线的斜0a >(,0),(,0)A a B a -AM BM 率之积为，动点M 的轨迹与点A ，B 共同构成曲线C ，则关于曲线C 的下列说法正确的是(0)m m ≠（ ）A ．当时，曲线C 表示椭圆0m <B ．当时，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆1m <-C ．当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为 0m >y =D ．当且时，曲线C 1m >-0m ≠【答案】BCD【解析】设，则，即曲线C 的方程为，然后利用椭圆和双曲线(),M x y y y m x a x a ×=+-22221x y a ma-=的知识逐一判断即可. 【详解】设，则，所以，即曲线C 的方程为(),M x y y y m x a x a ×=+-()222y m x a =-22221x y a ma-=当且时，曲线C 表示椭圆，故A 错误0m <1m ≠-当时，，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故B 正确 1m <-22ma a ->当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为，故C 正确0m >y =当时，曲线C0m >=当时，曲线C D 正确10m -<<=故选：BCD三、填空题13．在直角坐标系中，直线的倾斜角是___. 30x +-=【答案】150︒【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为. 150︒故答案为：150︒14．已知双曲线＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝，则它的离心率为________．2222x y a b-【答案】2【详解】由题意，得e ＝2. c a 15．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二ABCD 2,,E F ,AB CD EF AEFD 面角的大小为，则两点间的距离为__________． A EF B --60 ,A C【分析】取BE 的中点G ，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最AEB ∠A EF B --AG GC ⊥后通过勾股定理求得答案.【详解】如图，取BE 的中点G ，连接AG ,CG ，由题意，则是二面角,EF AE EF BE ⊥⊥AEB ∠的平面角，则，又，则是正三角形，于是A EFB --=60AEB ∠︒1AE BE ==ABE A,AG BE AG ⊥=根据可得：平面ABE ，而平面ABE ，所以，,,EF AE EF BE AE BE E ⊥⊥⋂=EF ⊥AG ⊂EF AG ⊥而，则平面BCFE ，又平面BCFE ，于是，，又,AG BE BE EF E ⊥⋂=AG ⊥GC ⊂AG GC ⊥，所以222174GC BC BG =+=AC ==四、双空题16．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记{}n a n n S 1n a =+n a =[]x 表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则x [][]3, 1.52π=-=-110n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦{}n b n n T __________．22T =【答案】 ； 60.21n -【分析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n 的取值范围，讨论1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.n b n T 【详解】由题意，，n =1时，，满足，()214nna S +=()2111114a a a +=⇒=10a >时，，于是，2n ≥()21114n n a S --+=()()()()221111112044nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++=-=-⇒+--=，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，0n a >11202n n n n a a a a ----=⇒-={}n a 所以.()12121n a n n =+-=-若，即时，， 1112110102n a n n <⇒-<⇒<15n ≤≤1110n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，1121121021201022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<610n ≤≤1210n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，， 2131232021301022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1115n ≤≤1310n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，3141343021401022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1620n ≤≤1410n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则或22时，， 4151454021501022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<21n =1510n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦于是，. ()22123455260T =+++⨯+⨯=故答案为：2n -1；60.五、解答题17．在三角形中，已知点，，. ABC ()4,0A ()3,4B -()1,2C (1)求边上中线所在的直线方程；BC (2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程. B y x 2【答案】(1) 35120x y +-=(2)或 430x y +=220x y ++=【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求解即可【详解】（1）∵，，()3,4B -()1,2C∴线段的中点的坐标为， BC D ()1,3-又边上的中线经过点，∴，BC ()4,0A ()()03441y x -=---即，35120x y +-=故边上中线所在的直线方程BC 35120x y +-=（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为， x y y kx =代入点，则，解得，()3,4B -43k =-43k =-所以所求直线的方程为，即；43y x =-430x y +=当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为， x y 12x y m m+=代入点，则，解得， ()3,4B -3412m m-+=1m =-所以所求直线的方程为，220x y ++=综上所述，该直线的一般式方程为或. 430x y +=220x y ++=18．已知数列，若_________________． {}n a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①；2123n a a a a n ++++= ②，，；11a =47a =()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥③，点，在斜率是2的直线上． 11a =(),n A n a ()11,n B n a ++【答案】答案见解析.【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；n 若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥{}n a 即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式； 12n n a a +-={}n a （2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由，2123n a a a a n ++++=所以当，， 2n ≥()212311n a a a a n -++++=- 两式相减可得：，()22121n a n n n =--=-而在中，令可得：，符合上式，2123n a a a a n ++++= 1n =11a =故．21n a n =-若选②，由（，）可得：数列为等差数列， 112n n n a a a -+=+N*n ∈2n ≥{}n a 又因为，，所以，即， 11a =47a =413a a d -=2d =所以．()11221n a n n =+-⨯=-若选③，由点，在斜率是2的直线上得：， (),n A n a ()11,n B n a ++()121n na a n n +-=+-即，12n n a a +-=所以数列为等差数列且．{}n a ()11221n a n n =+-⨯=-（2）由（1）知：， ()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线 C x 3y x =2y x =(1)求圆的方程；C (2)若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且C ()1,0l C A B AB =l 的方程．【答案】(1)或 ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=(2)或 10x y --=10x y +-=【分析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得C (),3a a 3a 的值，即可得出圆的标准方程；a C （2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为C l l l ，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.()1y k x =-k k l【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，C (),3a a 3a因为圆心到直线， C 2y x =1a =±所以圆心的坐标为或，半径为，C ()1,3()1,3--3因此，圆的标准方程为或.C ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=（2）解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.C C ()()22139x y -+-=因为的距离AB =l d ===若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； l l 1x =C l 2所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，l l ()1y k x =-kx y k 0--=由题意可得， d ==1k =±所以，直线的方程为或，即或.l 1y x =-1y x =-10x y --=10x y +-=20．四棱锥底面为平行四边形，且，平面P ABCD -60,2,3ABC PA AB AD ∠==== PA ⊥.1,3ABCD BM BC =(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. PD N //PB AMN N (2)求直线与平面所成角的正弦值. PB PCD 【答案】(1)存在点，且，理由见解析； N 13PN ND =【分析】（1）连接相交于点，连接，利用线面平行的性质可得， AM BD 、O 、PO NO //NO PB 根据，可得答案；//AD BM 13BM BC =（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面A 、、AM AD AP x y z 、、的法向量为，利用线面角的向量求法计算可得答案.PCD 【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下： N 13PN ND =//PB AMN 连接相交于点，连接，则平面平面， AM BD 、O NO PBD =AMN NO 若平面，平面，平面，所以，//PB AMN NO ⊂AMN PB ⊄AMN //NO PB 因为，，所以， ，//AD BM 1133==BM BC AD 13=BO OD 13=PN ND 所以时平面； 13PN ND =//PB AMN（2）因为，，，113==BM BC 2AB =60ABC ∠= 由余弦定理可得，2222cos 603=+-⨯= AM AB BM AB BM 由可得， ，又平面，222AB AM BM =+AM BC ⊥AM AD ⊥PA ⊥ABCD 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， A 、、AM AD AP x y z 、、则，，，，，，()002P,,)1,0B-)C ()0,3,0D )1,2=--PB ()0,3,2=-PD ，)2,2=- PC 设平面的法向量为，PCD (),,n x y z =所以，即，令，则00PC n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩320220y z y z -=⎧⎪+-=2y =3,==z x 所以，2,3⎫=⎪⎪⎭n 设直线与平面所成角的为，PB PCD θ所以sin cos ,θ⋅====PB n PB n PB n所以直线与平面. PB PCD 21．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． {}n a {}n b 3nn na b =1a 23a 39a （1）求和的通项公式；{}n a {}n b （2）记和分别为和的前n 项和．证明：． n S n T {}n a {}n b 2nn S T <【答案】（1），；（2）证明见解析. 11()3n n a -=3n nnb =【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； 1a 29610q q -+=（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.,n n S T 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，{}n a 1a 23a 39a 所以，所以，21369a a a =+211169a q a a q =+即，解得，所以，29610q q -+=13q =11(3n n a -=所以. 33n n n na nb ==（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，211213333n n n n nT --=++++ ， 012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S 230121123111112333323333n n nn S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n n n n ．设， ⑧0121111101212222Γ3333------=++++ n n n则． ⑨1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n 由⑧-⑨得． 1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n n n n 所以． 211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n 因此． 10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n n T 故． 2nn S T <[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得， 11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，①211213333n n n n nT --=++++ ，② 231112133333n n n n nT +-=++++ ①②得 ， -23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---所以， 31(1)4323n n nn T =--⋅所以， 2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅所以. 2nn S T <[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n 1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c ，1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n 通过等式左右两边系数比对易得，所以．33,24αβ==331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，下同方法二．12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭[方法四]：导函数法 设，()231()1-=++++=- n n x x f x x x x x x由于， ()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦则．12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nxx 又，1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n 所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'，下同方法二． 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；,n n S T 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c n T 达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.22．已知椭圆的左､右焦点分别为，且，直线过与交于2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 122F F =l 2F C 两点，的周长为8．,M N 1F MN △(1)求的方程；C (2)过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围．1F C ,P Q PQ MNPQNM【答案】(1)；22143x y +=(2). (]0,6【分析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.c a (2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l 的方程，与椭圆PQNM C 的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，1c =1F MN △48a =2a =，2223b a c =-=因此椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，l l 1x my =+()()1122,,,M x y N x y 由消去并整理得：，则，221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O 为对称中心的中心对称图形， PQ MN//PQ MN C 于是得，即四边形为平行四边形，其面积PQ MN =PQNM ，1121212222MNP MNFS S S F F y y ===⨯-A A 则，S ===，则，则，t =221,1t m t ≥=-224241313t S t t t==++显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，13y t t=+[)1,+∞1t =min 4y =[)4,y ∞∈+(]0,6S ∈所以四边形面积的取值范围为.PQNM (]0,6【点睛】结论点睛：过定点的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点，，则(0,)A b 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A 面积； 121||||2OMN S OA x x =⋅-A 过定点直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点，，则面积(,0)A a 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A . 121||||2OMN S OA y y =⋅-A。
2022-2023学年山东省泰安市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线与直线平行，则实数k 的值为（）1:1l y kx =+2:3l y x =A. B. D. 313-13【答案】D 【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线与直线平行，1:1l y kx =+2:3l y x =所以两直线斜率相等，即.3k =故选：D.2. 已知等差数列的首项，公差，则（）{}n a 13a =2d =5a=A. 7 B. 9C. 11D. 13【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以{}n a 13a =2d =5143811aa d =+=+=故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为2212516x y +=P P （）A. 2 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.P 【详解】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一P 22510a =´=P 个焦点的距离为.1073-=故选：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4. 已知空间向量，满足，则实数的值是（）()2,1,2a =-()4,2,b x =-a b ⊥x A. B. C. D. 5-4-45【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.0a b ⋅=x 【详解】由已知条件得出，解得.()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=5x =故选：D.5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）2260x y x +-=A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.(1,2)【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，2260x y x +-=22(3)9x y -+=C (3,0)C 3设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的(1,2)P P CP P弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为.2==故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A. B. C. D. 4315316311031【答案】B 【解析】【分析】设第一天织布的尺数为，则由题意有，据此可x ()234122225x ++++=得答案.【详解】设第一天织布的尺数为，则x ()234122225x ++++=.52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-故选：B7. 设、是轴上的两点，点P 的横坐标为2，且，若直线PA 的方程为A B y PA PB=，则直线PB 的方程为（）10x y -+=A. B. 50x y +-=210x y --=C. D. 270x y +-=30x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据直线PA 的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，PA PA PB=A B y 可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．PB P PB 【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，PA 10x y -+=45︒又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，||||PA PB =A B y PB 135︒又当时，，即，2x =3y =(2,3)P 直线的方程为，即．∴PB 3(2)y x -=--50x y +-=故选：A ．8. 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平,,PA PB PC 60︒PC 面所成角的余弦值是（）PABD. 12【答案】B 【解析】【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之PC PAB 间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分,,PA PB PC 析.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，PC PAB PD作于点G ，于点H ，连接，CG PD ⊥CH PA ⊥HG 易得，又平面，则平面，又CG PA ⊥,,CH CG C CH CG ⋂=⊂CHG PA ⊥CHG 平面，则，HG ⊂CHG PA HG ⊥有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故．cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠已知，60,30APC APD ∠=︒∠=︒故为所求．cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．,,PA PB PC ,,PA PB PC 60︒建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B 所以，(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-设平面的法向量，则PAB (,,)n x y z =00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，所以，1x =1,1y z ==-(1,1,1)n =-所以．cos ,||||PC n PC n PC n ⋅〈〉===⋅设直线与平面所成角为，所以，PC PABθsin |cos ,|PC n θ=〈〉=所以cos θ=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 直线必过定点()24R y ax a a =-+∈()2,4B. 直线在y 轴上的截距为1310x y --=C. 过点且垂直于直线的直线方程为()2,3-230x y -+=210x y ++=D. 直线的倾斜角为120°10x +=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；0x =对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程，整理可得，当时，24y ax a =-+()24y a x =-+2x =，故A 正确；4y =对于B ，将代入直线方程，可得，解得，故B 错误；0x =310x y --=10y --=1y =-对于C ，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点230x y -+=20x y C ++=代入上式，可得，解得，则方程为，故C()2,3-()2230C ⨯-++=1=C 210x y ++=正确；对于D ，由直线方程，可得其斜率为，则10x ++=θ，解得，故D 错误.tan θ=150θ= 故选：AC.10. 已知椭圆内一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，22:142x y C +=11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且M 是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（）1F 2F A. 椭圆C 的焦点坐标为，()2,0()2,0-B. 椭圆C 的长轴长为4C. 直线与直线的斜率之积为1MF 2MF 14-D.AB =【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆，22:142x y C +=所以，所以焦点坐标为，A 选项错误.2,a b c ===)()12,F F 长轴长，B 选项正确.24a =，C 选项正确.1214MF MF k k ⋅==-设，则，()()1122,,,A x y B x y 222211221,14242x y x y +=+=两式相减并化简得，12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---即直线的斜率为，直线的方程为，AB 1-AB ()131,22y x y x -=--=-+由消去并化简得，2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 261210x x -+=所以，所以.121212,6x x xx +=⋅=AB ==故选：BCD11. 已知数列的前n 项和，则下列结论正确的是（）{}n a ()2*123N 43n S n n n =++∈A. 数列是递增数列 B. 数列不是等差数列{}n a {}n a C.，，成等差数列 D.，，成等差2a 4a 6a 63S S -96S S -129S S -数列【答案】BCD 【解析】【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出，n a n S {}n a 2a ，和，，，结合等差数列的定义判断选项C ，D.4a 6a 63S S -96S S -129S S -【详解】，()2*12S 3N 43n n n n =++∈ 时，，2n ∴≥()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦时，，即，.1n =114712a S ==47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩*N n ∈，因此数列不是单调递增数列，故A 错误；2117471212a a =<= {}n a 又时，不满足，1n =15212n a n =+数列不是等差数列，故B 正确；∴{}n a ，，，21712a =42912a =64112a =因此，，成等差数列，故C 正确；2a 4a 6a ，()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=成等差数列，故D 正确.6396129,,S S S S S S ∴---故选：BCD.12. 平行六面体中，各棱长均为2，设，ABCD A B C D -''''A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=则下列结论中正确的有（）A. 当时，2πθ=AC '=B. 和BD 总垂直AC 'C. θ的取值范围为2(0,3πD. θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是C C B D -'''【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体外接球体积A A BD '-C C B D -'''判断作答.【详解】平行六面体中，各棱长均为2，设ABCD A B C D -''''，A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=对于A ，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A 正确；2πθ=AC '=对于B ，，，因此，AC AB AA AD '=++' BD AD AB =-22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ ，B 正确；22224cos 4cos 0θθ=-+=-对于C ，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E ，,,BD A B A D ''A A BD '-BD 令为正的中心，连，有平面，O A BD ' ,,AE AO EO AO ⊥A BD '正三棱锥的斜高，，则A A BD '-cos2cos22AE AB θθ==2sin4sin22BD AB θθ==，2OE BD θ==显然，，即，则，从而得AE OE >2cos22θθ>tan 2θ<(0,)23θπ∈，C 正确；2(0,)3πθ∈对于D ，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，60θ= C C B D-'''A A BD '-它们全等，由C 选项知，的外接AO ===A A BD '-球球心在线段AO 上，设球半径为，r 则有，整理得，解得222()r AO r OB =-+222(2)AO rAO OE ⋅=+r =于是得三棱锥外接球的体积，D 不正确.C C BD -'''343V π=⨯=故选：ABC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______．2x =【答案】28y x =-【解析】【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线2x =224p =⨯=的标准方程是．28y x =-14. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出C 43y x=±双曲线的一个离心率______．C 【答案】（答案不唯一）53【解析】【分析】分类讨论双曲线的焦点在轴、轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离C x y 心率公式计算可得.【详解】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，C x b y xa =±43b a =所以离心率，53c e a ====当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，C y a y x b =±43a b =34b a =所以离心率，54c e a ====综上，可得双曲线的离心率为或.5354故答案为：（答案不唯一）.5315. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案7ICME -是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，11223781OA A A A A A A ===== 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，12,,,n OA OA OA ⋅ {}n a 则此数列的通项公式为_____．n a =【解析】【分析】由图可知，由勾股定理可得,利1122378...1OA A A A A A A =====2211n n a a -=+用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，1122378...1OA A A A A A A =====因为都是直角三角形，122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、,2211n n a a -∴=+是以1为首项，以1为公差的等差数列，2n a ∴，()2111n a n n∴=+-⨯=故答案为.na ∴=【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16. 已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A 和B ，在线段AB()4,1P 22:142x y C +=上存在点Q ，满足，则的最小值为______．AP QB AQ PB ⋅=⋅ OQ【解析】【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ,,,A P B Q 示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，,A B ,A B Q 再求最短距离即可.【详解】设，，，由，记()11,A x y ()22,B x y (),Q x y AP QB AQ PB⋅=⋅，又四点共线，设，则由已知，且，AP PB AQ QB = ,,,A P B Q PA AQ λ= 0λ>1λ≠.PB BQ λ=- 由，得，PA AQ λ=()()11114,1,x y x x y y λ--=--解得，同理，得，114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩PB BQ λ=- ()()22224,1,x y x x y y λ--=---解得，因为点在椭圆上，所以，即224111x x yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩A 224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，①()()()22241142x y λλλ+++=+同理点在椭圆上，所以，即B 224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，②()()()22241142x y λλλ--+=-①-②得 ，因为164442x yλλλ+=0λ>所以，故点在定直线上，220x y+-=Q 220x y +-=的最小值为点到直线的距离.OQO 220x y +-=d ==故答案为.【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知，，，且，,()11,A x y ()22,B x y (),P x y AP PB λ=0λ≠且，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为，则有:1λ≠-λ，这就是定比分点坐标公式.121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩当P 为内分点时，；0λ>当P 为外分点时， ().0λ<1λ≠-2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，直线与抛物线相交于A ，B 两点．2y x =-22y x =（1）求线段AB 的长；（2）证明：．OA OB ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.AB（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设，，由，得．()11,A x y ()22,B x y 222y x y x =-⎧⎨=⎩2640x x -+=，126x x +=124x x =所以．AB ==【小问2详解】由（1）知：，，126x x +=124x x =所以，()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=所以，OA OB ⊥ 所以．OA OB ⊥18. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，O ABC -OA OB OC ，．3OA OC ==2OB =（1）求点到直线的距离；B AC（2）求直线与平面所成角的正弦值．OB ABC 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的O OB OC OAx y z 空间直角坐标系，则，，，所以，，()0,0,3A ()2,0,0B ()0,3,0C ()2,0,3AB =-()0,3,3AC =-．()2,0,0OB =取，，则，()2,0,3a AB ==-AC u AC ⎛== ⎝ 213a = a u ⋅= 所以点到直线．B AC ==【小问2详解】解：设是平面的一个法向量，则，所以，(),,n x y z = ABC 00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 230330x z y z -=⎧⎨-=⎩取，解得，所以．2z =32x y =⎧⎨=⎩()3,2,2n = 设直线与平面所成角为，OB ABC θ则，sin cos ,OB n OB n OB n θ⋅====⋅所以直线与平面OB ABC 19. 在数列的首项为 ，且满足．{}n a 11a =132nn n a a ++=⋅（1）求证：是等比数列．{}2n na-（2）求数列的前n 项和．{}n a n S 【答案】（1）证明见解析；（2）.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即132n n n a a +=-+⋅11212n n nn a a ++-=--可求解；（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等(1)2n nn a =-+n n 比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，即，{}n a 132n n n a a ++=⋅132nn n a a +=-+⋅则，111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----又由，可得，11a =1121a -=-所以数列表示首项为，公比为的等比数列.{}2n na -1-1-（2）由（1）知，所以，121(1)(1)n n n n a --=-⨯-=-(1)2n nn a =-+所以，12=222(1)1(1)n nn S ++++-+++- 当为偶数时，可得；n 12(12)=02212n n n S +-+=--当为奇数时，可得，n 12(12)=12312n n n S +--=--综上可得，.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数20. 已知两个定点，，动点P 满足()1,0M -()1,0N MP =（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【答案】（1）22610x y x +-+=（2）或1y x =-1y x =-+【解析】【分析】（1）设点，后由(),P x y MP =（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得，则可得直线PM 方程为30PMN ∠=︒或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直)1y x =+)1y x =+线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为，因为(),xy MP ==整理得，所以点P 的轨迹方程为．22610x y x +-+=22610x y x +-+=【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，，2MN =所以，直线PM 或30PMN ∠=︒所以直线PM 的方程为或.)1y x =+)1y x =+联立轨迹方程与，)1y x =+可得，)2226104101x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩解得或．得直线PM 的方程为时，2x =+2x =)1yx =+P 的坐标为或.直线PM 的方程为时，(2++(21-)1y x =+P 的坐标为或．(21+--(2-当P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2+，即.11y x ==-1y x =-P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21--+，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21+--，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2-，即.11y x ==-1y x =-综上可得直线PN 的方程为或1y x =-1y x =-+21. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD 为一个矩形，EF ABCD -，，，棱，M ，N 分别是28AB EF ==6AD =//EF AB 5EA ED FB FC ====AD ，BC的中点．（1）求证：平面平面；EFNM ⊥ABCD （2）求平面与平面夹角的余弦值．BFC EFCD 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；EM AD ⊥MNAD ⊥（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根BFC EFCD 据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为，为的中点，所以．EA ED =M AD EM AD ⊥在矩形中，，分别是，的中点，所以．ABCD M N AD BC MNAD ⊥又，，平面，所以平面．EM MN M ⋂=EM MN ⊂EFNM AD ⊥EFNM 又平面，所以平面平面．AD ⊂ABCD EFNM ⊥ABCD 【小问2详解】在平面中，过作，为垂足．EFNM F FH MN ⊥H 因为平面平面ABCD ，平面平面，EFNM ⊥EFNM ⋂ABCD MN =平面，所以平面．FH ⊂EFNM FH ⊥ABCD 过作的平行线，交于点，则，，，H BC AB S 3HS =2HN=HF =以为坐标原点，以，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示H HS HN HF的空间直角坐标系，则，，，，()3,2,0B ()3,2,0C -()3,6,0D --(0,0,F 所以，，，．(3,2,BF =--()6,0,0BC =-(3,2,CF =-()0,8,0CD =-设平面EFCD 的一个法向量为，则，所以，(),,m x y z = 00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩32080x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取，解得，所以，z =20x y =-⎧⎨=⎩(m =-同理可得平面的一个法向量为．BFC ()n =设平面与平面夹角为．则，BFC EFCDθcos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅ 所以平面与平面．BFC EFCD 22. 已知双曲线的左，右顶点分别为A ，B ，过点且不()2222:10,0x y C a b a b -=>>()6,0D 与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，．4PD BD ==（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线分别交于点M ，N ，若恒成立，求t 的值．x t =MD ND ⊥【答案】（1）22142x y -=（2）或14t =103t =【解析】【分析】(1)由可得的值，再将点代入即可求解；4PD BD ==a ()6,4P (2) 设直线PQ 的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方6x my =+程，求出点的坐标，利用即可求出结果.,M N MD ND ⊥【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，，4PD BD ==所以，，642a OD BD =-=-=()6,4P 所以，解得，所以双曲线C 的方程为．2236414b -=22b =22142x y -=【小问2详解】设直线PQ 的方程为，，，6x my =+()11,P x y ()22,Q x y 由，得，226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22212320m my y -++=所以，．122122m y y m +=--122322y y m =-直线AP 的方程为，与联立，解得．同理可得()1122y y x x =++x t =()112,2t y M t x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭．()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭所以，，()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为恒成立，所以恒成立，MD ND ⊥0DM DN ⋅=又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以，解得或．()()22462t t -=+14t =103t =。