高二数学上学期期末测试试卷及答案

浮山中学-高二数学期终模拟试题命题：高二数学备课组本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，建议考试用时150分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．02>+b a 是使]1,0[0∈>+x b ax 在上恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=++a a a a a a ，则75a a +为（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．243．设0<x<1，b a ,为常数，则xb x a -+122的最小值是（ ） A 2)(b a - B 2)(b a + C 22b a + D 22b a -4．若对于任意实数x ，不等式a x x >--+|2||1|恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．)3,(-∞B ．]3,(-∞C ．)3,(--∞D ．]3,(--∞5．在极坐标系中，曲线5)0(4,0=>==ρρπθθ和所围成的图形的面积是（ ）A ．25π B ．225πC ．625πD ．825π6．6.已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．627B ．657C ．647D ．6377.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13-C ．213+ D ．13+8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时能卖出400个，已知这种商品每个上涨1元时，其销售就减少20个，为了赚取最大利润销售价应定为每个（ ）元 A ．95 B ． 100 C ． 105 D ．110 9.已知点Q b a P 与点),(（1，0）在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法正确的是（ ） ①0132>+-b a ②0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③M b a R M >+∈∃+22,使恒成立 ④且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b 的取值范围为（-),32()31,∞+⋃-∞ A ．①② B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 10.已知凸函数的性质定理：如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，则对于区间内的任意n x x x 21,，有n 1［()()()(21n x f x f x f +++ ］≤)(21nx x x f n++.已知x y sin =在区间),0(π上是凸函数，那么在ABC ∆中，C B A sin sin sin ++的最大值为（ ）A.2B.233 C.23D.3 11.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示.设a=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，b=（b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n ），规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当a=(1, 1,1,1…,1)，b=(－1, －1, 1, 1,…,1)时，cos θ= （ ）A ．nn 1- B ．nn 3- C ．nn 2- D ．nn 4- 12、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，BC=10，则△ABC 的周长是 ____14.4sin()4x π=+与曲线122122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是： 15．已知变量x 、y 满足20,350,x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22x y z +-=的最大值为__________。

16．如果直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于N M 、两点,且点N M 、关于直线0=+y x 对称,则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积为________. 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)17.(本题满分12分) 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边，tan tan tan A B A B ⋅--=72c =（1）求C ∠（2）a b +18.(本题满分12分) 设椭圆为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标是（0.5，0.5），当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）求|NP|的最大值与最小值。

19.(本题满分12分) 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kW ，劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1t 需煤4t ，电力5kW ，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200kW ，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少t ，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。

20．（本小题满分12分）已知数列｛n a ｝中211=a ，点（n n a a n -+12,）在直线x y =上，其中1,2,3....n =(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,11--=+(Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

21．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点． （1）求O 点到面ABC 的距离；（2）求异面直线BE 与AC 所成的角的余弦值； （3）求二面角E AB C --的余弦值．22．（本小题满分14分）设数列{}n a 是首项为6，公差为1的等差数列；n S 为数列{}n b 的前n 项和，且22n S n n =+（1）求{}n a 及{}n b 的通项公式n a 和n b ；（2）若,(),n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，问是否存在*k N ∈使(27)4()f k f k +=成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数n ，不等式1211112(1)(1)(1)nna n ab b b -≤-++++…恒成立，求正数a 的取值范围。

ＡＯＥＣＢ浮山中学2019-2019学年度高二数学期终模拟试题参考答案一．选择题1、B2、A3、B4、C5、D6、B7、D8、A9、C 10、B 11、D 12、C 二．填空题13、50 14、相交 15、2 16、41三．解答、证明17、解：（1）由条件的3tan tan 3tan tan -=+B A B ABA BA B A B A C tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan -+-=+-=+-=π3tan tan 13tan tan 3=---=BA B A ……………………………4分又0C π<<……………………………………………………5分3π=∠C ………………………………………………………6分（2）由余弦定理及27=c 得22494a b ab +-=，即4493)(2=-+ab b a ………①………8分又由2ABC S ∆=即得2323sin 21=πab 6ab =…②………10分 ∴由①②消去ab 解得112a b +=………………………………12分 18.解：（1） 设P ),(y x ，又因A ),(11y x 、B ),(22y x 在椭圆上，则有442121=+y x (1)442222=+y x ………（2） …………………………1分由)(21OB OA OP +=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x …（3）……………2分（1）-（2） 当021≠-x x 得 yxy y x x x x y y K AB 4421212121-=++-=--= (4)又xy K K PM AB 1-==……（5） 由（4）（5）得 0422=-+y y x …（6）………………5分当021=-x x 时，点A 、B 的坐标分别为（（0，2），（0，-2），这时P 的坐标为（0，0）也满足（6），所以所求的轨迹方程是：0422=-+y y x 1)5.0(41622=-+⇒y x 。

…6分 （2）由点P 的轨迹方程知41411162≤≤-⇒≤x x ，而|NP|2=（x-0.52+(y-0.5)2=……=127)61(32++-x ，…………………………8分当621||,61 ;41||,41max min =-===NP x NP x 时时。

……………12分19、解：设每天生产甲产品xt ，乙产品yt ，总产值St ，依题意约束条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤+≤+≥≥.300103,20054,30049,15,15y x y x y x y x …………………………6分 目标函数为y x S 127+=．…………………………8分约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)．现在就要在可行域上找出使y x S 127+=取最大值的点),(y x ．作直线y x S 127+=，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12S，可以看出，当直线的纵截距越大，S 值也越大．（注：评卷时该段文字可不考虑）从图中可以看出，当直线y x S 127+=经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎨⎧=-+=-+,0300103,020054y x y x 得)24,20(A ．故当20=x ，24=y 时，4282412207=⨯+⨯=最大值S (万元)．…………………………12分答：第天生产甲产品20t ，乙产品24t ，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元．20. 解：（I ）由已知得111,2,2n n a a a n +==+2213313,11,4424a a a =--=--=-……4分又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------{}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列.…………4分（II ）由（I ）知，13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-…………………………8分（III ）解法一：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列.12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++…10分 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A nλ+=+、B 是常数)即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+-- ∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}n nS T nλ+为等差数列.…………………………12分 解法二：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n nn n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+又12131(1)313342(1)1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时，数列{}n nS T nλ+是等差数列.20．（本小题满分12分）解析：(1)取BC 的中点D ,连AD 、OD ，因为OB=OC ，得OD BC ⊥、,AD BC ⊥则BC ⊥平面OAD ，过O 点作OH ⊥AD 于H ，则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离. BC OD ===OA OB ⊥、OA OC ⊥，,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥面则AD = 在直角三角形OAD中，有3OA OD OH AD ⋅===…………4分（另解：由112,363ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知 (2)取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.求得:2521==AC EM ，522=-=OE OB BE ，21722=+=OB OM BM 22222cos ,arccos .255BE ME BM BEM BEM BE ME +-∠==∴∠=⋅ ……………8分(3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,则12EG OH == 在直角三角形OAB 中,OA OB OF AB ⋅==在直角三角形OEF 中,22431,55EF OE OF =+=+=1830sin ==∠EF EG EFG 则3076arcsin.(arccos )1818EFG ∠=或表示为 ……………12分 方法二:(1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z =则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知 由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =，则点O 到面ABC 的距离为1126.3114n OA d n ⋅===++ ……………4分 (2)(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0)EB =-=-， )1,2,0(-=AC ，cos <,EB AC22,555-==-⋅所以异面直线BE 与AC 所成的角2arccos5.……………8分 (3)设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n =由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = 则cos <1,n n11124776189636n n n n ⋅++====⋅.结合图形可知,二面角E AB C --的大小为:76arccos18. ……12分 22．（本小题满分14分）（1）1(1)615n a a n d n n =+-=+-=+ 1分第11页 共11页 又当1n =时，113b S ==；当2n ≥时,2212(1)2(1)21n n n b S S n n n n n -=-=+----=+，上式对1n =也成立， ∴*21()n b n n N =+∈，总之，5,21n n a n b n =+=+ 4分（2）由已知5,()21,n n f n n n +⎧=⎨+⎩为奇数,为偶数,∴当k 为奇数时，27k +为偶数, 由(27)4()f k f k +=，得2(27)14(5)k k ++=+,∴35235,2k k ==（舍去） 6分 当k 为偶数时，27k +为奇数，由(27)4()f k f k +=，得(27)54(21)k k ++=+，即728k =，∴4k =适合题意。