08-线性方程组的解的结构定理
3[1].5_线性方程组有解的结构定理
![3[1].5_线性方程组有解的结构定理](https://img.taocdn.com/s3/m/cd85f7ea998fcc22bcd10da2.png)
, k n − r为任意常数.
+ k n − rξ n − r ,
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系． ３．若ξ1 ,ξ 2 , ,ξ n− r 是Ax = 0 的基础解系，则 其通解为【解得结构】
2008年10月9日星期四
§5 线性方程组有解的结构定理
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪ a x +a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪am 1 x1 + am 2 x2 + ⎩ + a1n xn = 0 + a2 n xn = 0 + amn xn = 0
2008年10月9日星期四数学科学学院施行初等行变换对增广矩阵b2008年10月9日星期四数学科学学院可见故方程组有解并有2008年10月9日星期四数学科学学院2008年10月9日星期四数学科学学院2008年10月9日星期四数学科学学院设线性方程组的试确定a的值使方程组有解并求出全部解2008年10月9日星期四数学科学学院因此当a1时方程组有解为自由未知量2008年10月9日星期四数学科学学院2008年10月9日星期四数学科学学院为任意常数得出导出组的一个基础解系为2008年10月9日星期四数学科学学院满足的三个解向量方程组如果非齐次线性补充例题12008年10月9日星期四数学科学学院无关的解向量个线性的基础解系中含有2008年10月9日星期四数学科学学院ax的通解为为任意实数其中2008年10月9日星期四数学科学学院为四元非齐次线性方程组三个解向量求该方程组的解的通解非齐次的特解导出组的通解所以2008年10月9日星期四数学科学学院备用题例1填空题设线性齐次方程组ax0的系数矩阵a是n阶方阵1如a各行元素之和均为零且ran1则方程组的通解为2已知线性方程组有无穷多解则a3已知线性方程组有解则abcd满足条件2008年10月9日星期四数学科学学院nxnx试问a取何值时该方程组有非零解并求出其通解
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
线性方程组解的结构
性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs
r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2
1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0
0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构在数学领域中，线性方程组是一个包含多个线性方程的集合。
解析线性方程组是解决实际问题和在数学中的基础问题之一。
线性代数作为数学分支的一个基石，研究线性方程组解的结构是至关重要的。
本文将探讨线性方程组解的结构及相关性质。
一、线性方程组的定义线性方程组是形如以下形式的方程组：$$ \\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = b_m \\\\ \\end{cases} $$其中，a ij和b i是已知的常数，x i是未知数。
二、线性方程组解的结构1. 解的存在性和唯一性对于线性方程组而言，可能出现以下几种情况：•若线性方程组有解，则解的存在性表明至少存在一组解；•若线性方程组有唯一解，则意味着只存在一组满足所有方程的解；•若线性方程组有无穷多个解，则说明有无穷多组解。
2. 解的结构线性方程组的解可以表示成一个通解和一个特解之和的形式。
具体而言，设A 是线性方程组的系数矩阵，X是未知数的向量，B是常数项的向量，通解可以表示为：X=Xℎ+X p其中Xℎ是方程组的齐次解，而X p是方程组的特解。
3. 解的分类根据线性方程组的系数矩阵的行、列数以及特殊性质，线性方程组的解可以分为以下几种情况：•若系数矩阵的行数等于列数且满秩（行列式不为零），则方程组有唯一解；•若系数矩阵的行数大于列数或者系数矩阵的秩小于行数，方程组可能无解或者有无穷多组解；•若线性方程组有特殊结构（如三角形方程组、对角矩阵方程组等），可以通过特殊性质简化解的求解过程。
三、线性方程组解的应用线性方程组解的结构在数学和应用领域均具有重要意义。
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。
本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。
一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。
二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。
第三章2线性方程组解的结构定理
1 ,2 , ,n线性相关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 ,
系数矩阵A的秩R(A) n.
,n ) n;
推论：齐次线性方程组只有零解：
1,2 , ,n线性无关;
向量组{1,2 , ,n }的秩R(1,2 , ,n ) n;
系数矩阵A的秩R(A) n. 5
例 讨论齐次方程组解 的
a1n
a22
a2n
am 2
amn
Ax b
x1
x=
x2
xn
b1
b=
b2
bm
a1i
i
=
a2i
ami
b 0，对应齐次线性方程组；
b≠0，对应非齐次线性方程组。
x11 x22 xnn b
4
线性方程组的一般理论
定理：齐次线性方程组有非零解：
1
记为 1,2 , ,nr ;
（2）显然 1,2 ,nr 线性无关；
14
（3）设 Ax 0 的解为 k1
kr kr 1
kn T
则
(kr 11 kr 22 knnr )
k1 b11kr 1
k2
b21kr 1
kr
br1kr 1
0
0
b1,n r kn
b2,
n
r
kn
0
之间的过渡矩阵，即
C ' CQ.
1
对于任意v V ,有
v BX B ' X ',T (v) CY C 'Y '.
设A是线性映射T在基B和C下的矩阵，可知
Y AX
由向量在不同基下的坐标之间的关系可知
QY ' A(PX ')
线性方程组解的结构
例
x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0, 求解方程组 x1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1, x − x − 2 x + 3 x = −1 2. 2 3 4 1
对增广矩阵作初等行变换
1 3 1 1 初等行变换 1 3 − 3 2 5 − 2 1 1
的基础解系及通解. 的基础解系及通解. 解
2 1 4 2 A= −1 − 2 0 0
23
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 − 1 0 0
(1)
x1 b a11 a12 L a1n 1 2 a21 a22 L a2n X = x2 , β = b 若记 A= M M , M M M x b a am2 L am n m n m1
5
二、齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
+ a11x1 +a12x2 +L a1nxn = 0 a x +a x +L a x = 0 + 2n n 21 1 22 2 L L L L L L L L L L L L am1x1 +am2x2 +L amnxn = 0 +
1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 r3 − 2 r2 r2 − 2 r1 4 A = 2 −5 3 2 r − 7r 0 − 7 5 1 3 1 7 − 14 10 8 r2 × ( − ) 7 − 7 3 1 7
21
x = k1ξ1 +k2ξ2 +L kn−rξn−r +η∗, +
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
1 2 4 1
解： A
2 3
4 6
8 2
1 0
1
初等行变换
0 0
2 0 0
4 10
0
1 1
3 0
0 0
2 0 0
0 1 0
15
3
10
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1 x1
7 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 3 x2 4 x3 0
1 2 3
解：
A
3
7
10
2 5 7
1
3
4
1 2 3
1 0 1
初等行变换
0
1
1
0
1
1
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
x1 x2
x3 x3
0 0
令
x3 1
1
得
1
1
通解 x k
即解空间S的维数dim S=n r
证明:
不妨设
1
L
M
0 L
A
化为行
0
L
最简形 M
0
L
0 b11 L MM 1 br1 L 0 0L MM 0 0L
b1,nr
M
br ,nr 0
B
M
0
x1 b11 xr1 L b1,nr xn 0
对应的方程组
x2
b21
xr 1
L
LL
b2,nr xn L
x1 1 1 1 x2 k1 1 k2 3 3 2, x3 2 2 1 2 其中k1 , k 2为任意实数.
备用习题
例 求解方程组
x1 x2 x3 x4 0,
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
0
1
所以原方程组的通解是 x k11 k22
23
例
已知四元线性方程组Ax b的三个解是 1,2,3，
1
3
且
1
2
，
3
2
3
5
，R(
7
A)
3。
求方程组的通解
4
9
解: 由 4 R(A) 1 知导出方程组基础解系有一个解
易知 2 3 21 1 1 1 1T 是导出方程组的一个解. 进而 1 1 1 1T 是导出方程组基础解系.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
1
0
1
1 2
(a
c
b)
3 1
2, 2
2
1 2
(a
b
c)
1 5
2 , 2
3
1 (b 2
c
a)
0 3 3
2, 2
1
1 2 1 ,
2
1
13 3
2
为Ax 0的基础解系中的解向量.
故Ax b的通解为
0 12
.
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
于是所求通解为
x x x x
1 2 3 4
故方程组的通解为 k 1 1 1 1T 1 2 3 4
例：已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性方程组
Ax = b 的解, R(A) = 1, 且
1
1
1
1
2
0
, 2
3
1
, 1
3
1
,
0
0
1
求方程组的通解.
解 A是m 3矩阵, R( A) 1,
Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性 无关的解向量.
第3章
线性映射
3.2 线性方程组解的结构定理
回忆： S { x | Amn x 0 } 是 Rn 的子空间，称为齐次 线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。
定义 3.2.4 齐次线性方程组的解空间的一组基称为 这个齐次线性方程组的一个基础解系。
注：
若1,2 ,L ,s 是Ax 0 的一个基础解系，则 ξ是 Ax = 0 的一个解，当且仅当ξ能被 1,2 ,L ,s
解
1 1 1 1 0
A | b 11
1 1
1 2
3 3
1 1
2
1 1 0 1 1 2
0 0
0 0
1 0
2 0
12 0
,
所以R(A)=R(A|b)=2, 原方程有解，且
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0,
则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个解 2
1 2
当 R A R A 方程组无解;
当 R Amn R A , 且 R Amn n 方程组有唯一解;
当 R Amn R A ,且 R Amn n方程组有无穷多个解;
特别地当 m n 时 Amn 0 方程组有唯一解;
当 Amn 0时方程组可能无解, 若有解则必有无穷多解
判断正误: Amn x b 满足 m n ,则方程组有无穷多解
x1 5 x2 x3 x4 1
例:
求解非齐次方程组
x1 2 x2 x3 3 x4 3 x1 8 x2 x3 x4
3 1
x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
解： 1 5 1 1 1
1 5 1 1 1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 L knrnr
齐次线性方程组的Ax=0的基础解系的求法：
1. 把矩阵A经过行初等变换变为行最简形； 2. 找出行最简形对应的自由变量； 3. 将自由变量分别取0和1； 4. 解出其余变量，它们组成n-R(A)个线性无关的 解向量，即为原方程组的基础解系。
xr 2
0
1
0
M M M
M
xn 0 0
1
（2）向量组
b11 b12
M
M
b1,nr
M
br 1
1
,
br 0
2
,
L
,
br
,n
r
0
(C)
0 1 M M
0
M
0 0
1
线性无关。
综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.
(2)
x1
2 x2
1 5
x4
0
x3
3 10
x4
0
x2 , x4 是自由变量。
在(2)中令
x2 x4
1
0
;
0
1
得
1
2
1
,
0
0
2
1 5
0
3
10
1
则通解为 x k11 k22
例 : 求下列齐次方程组的通解。
x1 2 x2 3 x3 0
3 2
1,2 ,L ,nr , 则非齐次方程组的所有解为
0 k11 k22 L knr nr|ki R, 1 i n r
称 0 k11 k22 L knrnr 为非齐次方程组的通解
(2) 非齐次方程组 Amn x b 解个数的情况.
非齐次方程组在有解的情况下解的个数取决于 其导出方程组解的个数情况.即
(2) 是 Ax b 的解, 是 Ax 0 的解, 则
是 Ax b 的解;
定理3.2.7 设0是Ax=b的一个特解，是非齐次线性
方程组任一个解,则Ax=b的任一个解 都可表示为
0 +
其中 是导出方程组Ax=0的解。
注:(1)解非齐次方程组 Ax b ,只需要找出非齐次方程组
一个解设为 0 , 并找出其导出组的 Ax 0 的基础解系设为
记
b11
b12
M
M
b1,nr
M
1
br 1 1
,
2
br 0
2
,
L
,
nr
br ,nr 0
.
0
1
0
M
M
M
0
0
1
则 1,2 ,
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
(
A
|
b)
1
2
1
3
3 8 1 1
3
0
7
2
1
0 0 0
4 0
4
0
1
9
3
7
7
0
0
0
0
0
可见R( A) R( A,b) 2, 故方程组有解, 进一步 化为行最简形：
1 0 3 7 13 7 13 7
0
1
2 7
4 7
4
7
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
21
x1
3 7
x3
13 7
0