浅谈线性方程组和矩阵方程
矩阵在解线性方程组中的应用
矩阵在解线性方程组中的应用摘要线性方程组的求解是代数学中一个比较重要的内容. 线性方程组求解过程中，掌握各种求解线性方程组的方法是至关重要的. 基于线性方程组和矩阵之间的联系，可以用线性方程组系数和常数项所构成的行列式矩阵来研究线性方程组的求解问题. 本文主要讨论矩阵的秩在方程组的解的判断中的应用、矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用. 关键词: 矩阵；线性方程组；矩阵的秩；初等变换一、引言矩阵和线性代数在高等代数中占据重要的位置，而解线性方程组在高等代数中也是十分重要的知识点. 中学时我们也初步了解并学习了解简单的线性方程组，知线性方程组的重要性，但是不是每一个线性方程组都有解，所以我们首先要做的就是判断线性方程组有无解， 通过对矩阵的学习，我们知道矩阵的秩可以判断线性方程组有无解，在有解的情况下可以利用矩阵求解线性方程组.在文献[1]中总结了矩阵、线性方程组的相关概念；文献[2]给出了线性方程组的一般解法的主要内容；文献[3-5]给出了矩阵的初等变换、矩阵的逆的相关概念概念以及龝矩阵的逆的一些相关问题；文献[6]给出了线性方程组解的判断条件；文献[7-10]给出了一些关于矩阵分析和解线性方程组问题分析中的简单的概念和应用. 本文主要研究矩阵和线性方程组的一些基本概念和其应用，通过矩阵来解线性方程组，并结合具体实际问题说明矩阵在解线性方程组中的应用，为今后的学习与研究提供有利工具.二、线性方程组的有关概念1. 线性方程组的定义定义 1[1] 一般线性方程组的定义是形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的方程组，这里的n x x x ，，， 21代表n 个未知量，s 则表示为线性方程的未知个数. 如果我们知道一个线性方程组的全部系数以及它的常数项，那么这个线性方程组就可以确定了，线性方程组就可以用下面的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s sns s n n b a a a b a a ab a a a 21222221111211进行表示. 令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21，可知线性方程组的系数矩阵A ，未知数矩阵为X ，常数项矩阵为b ，则可得到b AX =. 若常数项矩阵为零矩阵即0=AX ，那么我们称之为齐次线性方程组. 反之，若常数项矩阵b 为非零矩阵，则称为非齐次线性方程组. 2. 线性方程组的一般解法对于线性方程组的求解，除了可以进行特殊变换而获得特定形式的特殊型之外，还有两种线性方程组的一般解法： （1）消元法[2]所谓消元法，就是在方程中利用矩阵的初等变换，一步一步地消去未知量的个数，最终得到一个具有阶梯性的方程组，如果我们把最终初等变换得到的关于“00=”的恒等式(如果出现的话)全部去掉，观察其余的阶梯形方程看是否有零等于一个非零的常数的，如果有，这个常数的方程组无解，如果没有，则有解. 假设在方程组有解的情况下，令r 为阶梯形方程中未知量的个数，由上述定义1知，s 则表示为线性方程的未知个数，当s r =时，方程组有唯一确定的解；当s r <时，方程组可以有无穷多个解. 消元法也是我们在中学时解线性方程组是常用的一种方法，但当未知量有n 个的时候，一个一个的消元工作量也会很大. （2）克拉默法则[2]克拉默法则是建立在逆矩阵的使用基础上，对于线性方程组进行的一般解法，但要注意的是，使用克拉默法则求解线性方程组是有条件的：一是方程组必须是线性的，二是待求解的线性方程组中的方程的个数和未知量的个数相等，三是满足未知系数的矩阵行列式D 不等于0，即0≠D ，满足以上三种情况则可使用克拉默法则.定义 2[1]给出克拉默法则的一般描述：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式，即它的系数行列式为0≠=A d 那么这个线性方程组有解，有且只有唯一的解，其系数的表达如下：d d x 11=，d dx 22=， ，dd x n n =，则可以得到线性方程组的解. 但克拉默法则并不适用于所有的满足条件的线性方程组，因为它的计算量太大，一般我们也不怎么会使用克拉默法则的方法求解线性方程组.三、矩阵的有关概念1. 矩阵的概念定义 3[1] 由n m ⨯个数),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ==构成m 行n 列并括以圆括弧或方括弧的数表. 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a La a M M M M a L a a a L a a A 212222111211称为n m ⨯矩阵. 例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=852*******A .2. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换不仅在矩阵的学习中是一个重要内容，在线性方程组中也有广泛的应用，首先，给出矩阵的初等变换.定义 4[3] 下面三种变换成为矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零数k 乘矩阵的某行（列）； （3）矩阵的某行（列）的k 倍加到另一行（列）.3. 矩阵的秩[4]讨论矩阵和线性方程组的关系时，矩阵的秩是较为重要的概念. 定义 5 矩阵的秩是指矩阵()nm ija A ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rankA 或rA . 显然),min()(n m A r ≤易得：若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在),min(n m r <时，A 中所有的1+r 阶子式全为零，则A 的秩为r .矩阵的秩是判断线性方程组是否有解的重要条件. 因此，如何求解矩阵的秩是至关重要的. 目前，矩阵的秩的求解有如下两种方法.（1）矩阵的初等变换可以求解矩阵的秩（2）若矩阵为k 行，则先计算k 阶子式，若k 阶子式不为零，则秩为k ；如果k 阶子式为零，则计算1-k 阶子式，若1-k 阶子式中有一个不零，则秩为1-k ，若所有的1-k 阶子式都为零，则计算2-k 阶子式，以此类推，指导计算到m k -阶子式中不全为零，则秩为m k -为止.但第二种方法适应于k 较小时，当k 较大时，计算量大，也容易出错，此时可以利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.有关矩阵的秩的求解，下面，我们提供了一些例题. 例 1[5] 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1003011-60302-42-20121-1A . 解 由题意，利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100300400001211040001403004000012111003014030040000121110030116030242201211------------， 所以矩阵A 的秩为3.例 2 求下列矩阵的秩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=814331116321B .解 矩阵B 经过初等变换，可得到矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001， 则矩阵B 的秩为3.例 3 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=510312223A 的秩. 解 矩阵A 有3行，则计算0=A ，则计算2阶子式. 因为01-22-3≠，所以2)(=A r .下面总结了用初等变换法求矩阵的秩在解题过程中的步骤主要为： (1)通过初等行（列）变换将矩阵化为阶梯形；(2)由定理可知非零行的个数即为该矩阵的秩数，因此可以求出秩.4. 基于矩阵的线性方程组解的判断条件定理 1 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111有解的充分必要条件为：线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即r(A )=r(A )，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn s s n nb a a a b a a a b a a a A21222221111211. 若是n n ⨯阶的线性方程组，在判定线性方程组有解的条件下，我么还能通过矩阵的秩来进一步判定线性方程组解的个数：当n r <时，线性方程组有无穷解； 当n r =时，线性方程组有唯一的解.在一个齐次线性方程组中有非零行方程组解的充要条件，也就是它的系数增广矩阵的行列式等于零.例 4[6]判断下面的方程组有无解⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346212432131321x x x x x x x x 解 由题意可以知道，上式方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=426101214A ，它的增广矩阵可以写为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=341621011214A ，由初等变换，我们可以将增广矩阵化为矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9-2-1021012000， 可知2)(=A r ,3)(=A r ，因为2≠3，所以方程组无解.我们学会了利用矩阵的秩来判断方程组是否有解，那在方程组有解的情况下，我们就应该利用矩阵求解线性方程组.四、矩阵在解线性方程组中的应用以及解题思路矩阵的初等变换是解线性方程组的基本的方法，主要是将矩阵化为阶梯形的矩阵，主要的步骤有以下几步：第一步，写出线性方程组的一个增广矩阵；第二步，通过将增广矩阵化为阶梯形以此来判断线性方程组到底是否有解，当解存在时可以对矩阵进行以下步骤：第三步，把矩阵通过初等变换化为最简形式； 第四步，求出线性方程组的一个特解； 第五步，求线性方程组的一个通解. 例 5[7] 解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8433632321321321x x x x x x x x x解 由题意，利用初等行变换可得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110010101001110032100101110032106321121032106321814331116321--- 可得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===111321x x x ， 所以原方程的解为（1,1,1）.例 6[8] 解下列齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+++=-++-=+-+=++-0441520410305202302343214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 分析 这是一个齐次线性方程组，但它的未知量的个数比较多，用消元法计算量还是很大的，这时我们就应该选择一种简单的方法去求解，我们可以利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，这时我们只要把方程的系数矩阵描述出来，不写未知量，这也为我们节省了大量的计算和时间.解 方程的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡44-152-411031-152-21-31121-3 将系数矩阵初等化为阶梯形矩阵，可得→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡55-10031-11031-1105-510-021-3144-152-411031-152-121-321-3144-152-411031-152-21-31121-3⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000095-1001-41021-310000005-9002-41021-31⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000000095-100920109130010000000095-10092010913031 所以方程的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=434241959297x x x x x x ， 其中4x 为未知量. 当取94=x 时，方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=952-7-η，所以原方程通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==9527k k X η.例 7[9] 求解下列线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=-+-=+--0411226234432134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x分析 首先计算出方程组的系数矩阵和增广矩阵，并对这两个矩阵进行简化，然后对比两个矩阵的秩是否相等从而判断解的存在情况. 解：对增广矩阵进行下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000004-000022-500113-1-12-25-0026-150022-500113-1-104112-262-34-431-21-1113-1-1A ，首先判断方程组是否有解，根据增广矩阵A 和系数矩阵A 的关系可以知道,2)(=A r ,3)(=A r ，可以看出32≠，所以我们可以知道这个线性方程组没有解.例 8[10] 讨论b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解；无解；无穷多解，当有无穷多解时，求出通解.分析 此线性方程组为非齐次线性方程组，这题中通过判断线性方程组是否有解来求出未知数，判断线性方程组是否有解，就是要判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相同，若有解，则可求出线性方程组的解.解 对线性方程组的增广矩阵进行过下列变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=01000101001221001111132102310122100111110232-31-01221001111a b a a b a a b a A（1）当1≠a 时，方程组有唯一的解； （2）当11-≠=b a 且时，方程组无解； （3）当11-==b a 且时，方程组有无穷多解. 此时方程组为⎩⎨⎧=++=+++12204324321x x x x x x x ， 可得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011-α，导出组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-1012-121ηη，，于是通解为2211ηηαβk k ++=.总结 在解线性方程组的问题中，首先先准确地判断方程组是否有解，以在方程组解存在的情况下为基础，那么在齐次线性方程组中，若齐次线性方程组的任何一组基础解为r n -ξξξ，，， 21，我们称它为方程组的一个基础解系，齐次线性方程组的任何一解都能表成r n -ξξξ，，， 21的线性组合.而在非齐次线性方程组中，应先求出0=Ax 的基础解系，则0=Ax 的通解为r n r n k k k x --+++=ξξξ...2211，设η为非齐次线性方程组b Ax =的特解，r n -ξξξ，，， 21为对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解为ηξξξ++++=--r n r n k k k x ...2211，在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.结论矩阵在我们求解解线性方程组中已经有了广泛的研究和应用，主要是通过矩阵的初等变换求线性方程组的解，而且矩阵的初等变换还可以很好地帮助我们更准确地判断线性方程组解是否存在的实际情况. 另外，通过矩阵的初等变换可以求出矩阵的秩以此来快速判断线性方程组的解也是非常重要的一种解题方法. 总而言之，矩阵再解线性方程组中有重要的作用，能够帮助我们更好地理清这类复杂问题的基本解题方法和思路，从而能让我们在实践中更好的灵活运用矩阵来快速求解线性方程组.参考文献[1] 北京大学数学系前代数小组. 高等代数[M]. 第四版. 北京：高等教育出版社，2013. [2] 林清. 矩阵在解线性方程组中的应用[J]. 湛江市高级技工学校，2015(11)：583. [3] 郑庆云，宋一杰，杨晓叶. 利用矩阵初等变换求解方程组的解[J]. 阴山学刊，2017(01)： 23-26.[4] 王玉兰. 矩阵求逆和齐次线性方程组的基础解系的统一算法[J]. 内蒙古科技与经济，2002(11)：142.[5] 吴英柱. 矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨[J]. 广东石油化工学院学报，2017(1)：71-75,94.[6] 王卿文. 线性代数核心思想及应用[M]. 北京：科学出版社，2012.[7] 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索[J]. 黑龙江科技信息，2012(02)：222-222.[8] 于永新. 用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的标准正交解系[J]. 辽宁科技大学学报， 2016(3)：17.[9] 付美鑫. 利用行列式、矩阵求解线性方程组[J]. 黑龙江科学，2017(3)：45-46.[10] 骆旗，褚青涛. 浅析矩阵在解线性方程组中的作用[J]. 时代教育，2018(7)：139-139.11。
线性方程组和矩阵的概念及运算 (1)
主讲：凌婷
本章要点：
P204
1.线性方程组、矩阵的概念及运算 2.行列式的性质及计算、克莱姆法则 3.矩阵的初等变换及矩阵的秩、逆矩阵 4.求解线性方程组
2
§12.1 线性方程组和矩阵的概念及运算
P204
自然科学、工程技术和经济管理中的许多问题经常可以归 结为解线性方程组。那什么叫线性方程组呢？
a11x1 a12x2 ... a1n xn 0 a...21x1 a22x2 ... a2n xn 0 am1x1 am2 x2 ... amn xn 0
称为齐次线性方程组，相应的，当常数项 bi (i 1,2,..., m)
不全为0时，方程组称为非齐次线性方程组。
例如：
给定一个线性方程组a21x1 a22x2 ... a2n xn b2
...
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
如果保持每个变量前面系数的相对位置不变，将得到 一个矩形数表，这样的矩形数表被定义为矩阵。
a11
记作A
a21 ... am1
a12 a22 ... am2
aij (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) 为常数，也称为第i 个方程第 j 个
个未知数 x j 的系数，bi (i 1,2,..., m)为常数项。
3
线性是指未知数 x1, x2 ,..., xn 的次数均为一次。特别的， 当线性方程组中的常数项 bi (i 1,2,..., m)全为0时，方程组
1 13
2 列
4
c22 10
c12 4
c11 0
c31 4
(1) 2 21 0 3 1 4 4
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
线性方程组与矩阵的表示与运算
线性方程组与矩阵的表示与运算一、线性方程组1.概念：线性方程组是由多个线性方程构成的组合，通常表示为：a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0amx + bmy + cm = 0其中，ai, bi, ci (i = 1, 2, …, m) 是常数，x, y 是未知数。
2.线性方程组的解：线性方程组的解是指能够满足所有方程的未知数的值。
线性方程组可能有唯一解、无解或有无限多解。
3.高斯消元法：高斯消元法是一种求解线性方程组的算法，通过初等行变换将线性方程组化为阶梯形或行最简形矩阵，从而求出解。
4.克莱姆法则：克莱姆法则是一种根据线性方程组的系数矩阵的行列式求解线性方程组的方法。
二、矩阵的表示与运算1.概念：矩阵是一个由数列组成的数列，通常表示为：A = [a_{ij}]其中，a_{ij} 是矩阵A的第i行第j列的元素，矩阵A有m行n列，称为m×n 矩阵。
2.矩阵的元素：矩阵的元素可以是实数、复数、向量等。
3.矩阵的运算：(1)矩阵加法：两个矩阵相加，对应元素相加。
(2)矩阵乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
(3)矩阵的标量乘法：矩阵与标量相乘，矩阵的每个元素都乘以标量。
(4)矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行。
(5)矩阵的逆：矩阵的逆是指满足AA^(-1) = A^(-1)A = I的矩阵A^(-1)，其中I是单位矩阵。
4.特殊矩阵：(1)单位矩阵：单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
(2)零矩阵：零矩阵是一个所有元素都是0的矩阵。
(3)对角矩阵：对角矩阵是一个只有对角线上有非零元素的矩阵。
(4)正交矩阵：正交矩阵是一个满足AA^(-1) = A^(-1)A = I的方阵。
三、线性方程组与矩阵的关系1.线性方程组的矩阵表示：线性方程组可以表示为一个系数矩阵A和增广矩阵(A|b)，其中A是系数矩阵，b是常数矩阵。
线性方程组的解法与矩阵运算技巧
线性方程组的解法与矩阵运算技巧线性方程组是数学中常见的问题，它涉及到未知数和系数之间的关系。
解决线性方程组的问题，可以帮助我们理解和应用矩阵运算技巧，这在现代科学和工程领域中非常重要。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
每个方程都是未知数的线性组合，形式可以表示为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
其中，a1, a2, ..., an是系数，x1, x2, ..., xn是未知数，b是常数。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常用方法。
它通过消元和回代的方式，将方程组转化为上三角矩阵。
具体步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数和常数放在一起，形成一个矩阵。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元素。
3. 将主元素所在的行与其他行进行消元，使得主元素下方的元素都变为零。
4. 重复上述步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
5. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解未知数。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易手工计算。
但是当方程组的规模较大时，计算量会非常大，效率较低。
三、矩阵运算技巧矩阵运算是解决线性方程组的另一种方法，它利用矩阵的性质和运算规则，可以更高效地求解线性方程组。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指对应位置元素的相加和相减。
例如，对于两个矩阵A和B，它们的加法可以表示为A + B = C，其中C的每个元素都是A和B对应位置元素的和。
减法同理。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指按照一定规则将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
具体规则如下：- 两个矩阵A和B相乘，要求A的列数等于B的行数。
- 结果矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
- 结果矩阵C的每个元素是A的对应行和B的对应列的乘积之和。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
例如，对于一个矩阵A，它的转置矩阵表示为A^T，即A的行变为A^T的列，A的列变为A^T的行。
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
矩阵与方程组的解法
矩阵与方程组的解法在线性代数中，矩阵与方程组是重要的研究对象。
矩阵可以被用来表示一组线性方程，而方程组则是由多个线性方程组成的系统。
解决方程组的一个基本方法是使用矩阵运算。
本文将介绍几种常见的矩阵与方程组的解法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过一系列的行变换将方程组转化为简化行阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵与常数矩阵合并为增广矩阵。
2. 通过行变换，将矩阵转化为上三角形矩阵，即每一行从左至右的第一个非零元素为1，其它元素均为0。
3. 从最后一行开始，逐行用“倍加”法将每一行的首个非零元素化为1，同时将其它行的相应元素消为0。
通过高斯消元法，可以得到简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
二、矩阵求逆法对于方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵，如果A可逆，则可以通过以下公式求解：X = A^-1 * B其中A^-1为A的逆矩阵。
为了求得逆矩阵，可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
伴随矩阵法：1. 求得矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，即将A中每个元素的代数余子式按一定次序排成一个矩阵。
2. 计算A的行列式det(A)。
3. 若det(A)不等于0，则A可逆，将伴随矩阵Adj(A)除以det(A)，即可得到逆矩阵A^-1。
初等变换法：1. 构造一个n阶单位矩阵I，将A和I相连接成增广矩阵(A|I)。
2. 通过初等行变换将矩阵A转化为上三角矩阵。
3. 继续进行初等行变换，将上三角矩阵转化为单位矩阵。
4. 此时，矩阵I右侧的矩阵即为矩阵A的逆矩阵A^-1。
三、克拉默法则对于n个未知数和n个线性方程的齐次线性方程组，克拉默法则提供了一种求解方法。
该方法通过计算每个未知数的系数矩阵的行列式来求解。
设方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
如果矩阵A的行列式det(A)不为0，则可以通过以下公式求解：X_i = det(A_i) / det(A)其中X_i为方程组的第i个未知数，A_i是将A矩阵中第i列替换为常数矩阵B后得到的矩阵。
第二讲 矩阵与线性方程组
矩阵与线性方程组从历史上看, 矩阵正式作为数学中的研究对象出现, 是在行列式的研究发展起来之后. 英国数学家Arthur Cayley(1821-1895)被公认为矩阵论的奠基人,他提到矩阵概念“或是从行列式的概念而来, 或是作为一个表达方程组的方便的方法而来的”(莫里斯·克莱因《古今数学思想》第33章).矩阵在数学和物理学等其他科学分A. Cayley支中，都有着广泛而重要的应用.2.1 矩阵(matrix)与向量的乘积例：矩阵与向量的乘积等于矩阵的列向量的线性组合.上述方程组也可表示为这诱导了矩阵乘向量的另一种定义：设则通过的上述两种定义，我们对线性方程组可有两种新理解.例：理解一：求向量的线性组合，使之等于理解二：求向量使之与系数矩阵行向量的点积分别为例：将平面上所有向量绕原点旋转角度则点在此旋转变换下得像为这可表示为注：这节涉及到的矩阵都是行数与列数相同的矩阵，即方阵.线性方程组解的情形比数量方程要复杂.若对任意向量有唯一解，则是可逆的(invertible).例：任意给定方程组有唯一解故系数矩阵是可逆矩阵.对线性方程组若可逆，则可由常数项求得矩阵称为的逆.设若可逆，则的全部线性组合是整个维空间.此时写成的线性组合只有一种可能：这时我们称向量线性无关(linearly independent). 相应只有零解.否则可以写成的多种线性组合.如这种情形下，称矩阵是奇异的(singular)，向量是线性相关的(linearly dependent).即存在不全为的数使例（循环差分矩阵）给定若则为任意实数.（无穷多解）若则方程组无解.从几何上看，线性相关,它们的全部线性组合是平面总结：若方阵的列向量线性无关，则可逆，只有零解.若方阵的列向量线性相关，则奇异，有无穷多解.给定一个线性方程组 ( 个方程, 个未知量)(1)它可以写称矩阵形式(2)从行(row)的角度看，每行代表一条直线，方程组的解为两直线的交点.方程组的行图(row picture)(3)从列(column)的角度看，方程组可改写为解方程组求关于系数矩阵列向量和的线性组合.可以看出所以方程组的解为方程组的列图(column picture)(4)系数矩阵是可逆的.考虑 , 求得（唯一解）.一般地,设为矩阵,方程组的每行表示一条直线或一张平面或一张超平面解方程组考察这些直线或平面或超平面是否有交点.求满足方程组对任意有唯一解可逆此时（可表示为的列向量的线性组合）.例矩阵形式行图每行方程确定三维空间 中的一个平面,点 是三个平面的交点.列图方程组三个列向量不共面，其线性组合可产生任意三维列向量.可逆：有唯一解：例：系数矩阵的三个列向量与向量点积都为但常数项故常数项不能表示为的列向量的线性组合. 所以方程组无解.。
线性方程组和矩阵
矩阵A的
m, n元
注意：
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
1、矩阵用大写 黑体字表示（教 材26页第1 ~ 2行） 2、矩阵的记号
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
与行列式的
记号
的区别！
记号不能混淆！
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0 O0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
对角矩阵: diagonal matrix
记作
Λ diag , , , .
12
n
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
对线性方程组的 研究可转化为对
这张表的研究.
amn
bm
5、田忌赛马的故事大家都很熟悉：说的是田忌和 齐王各有上等、中等、下等马各一匹. 但是田忌 的马在同等级马中略逊一筹 , 双方每次出一匹马 比赛 , 比赛三场定出胜负.
每一场比赛中, 齐王赢加一分, 齐王输减一分. 每场比赛出场的马匹按先后共有六种策略, 即 (上、中、下) , (上、下、中) , (中、上、下) , (中、下、上) , (下、中、上) (下、上、中) 则可写出齐王的得分数表 :
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
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鞍山师范学院
数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告
课题名称：浅谈线性方程组和矩阵方程
学生姓名：田鸽
专业：数学与应用数学
班级：10级1班
学号：10号
指导教师：裴银淑
2013年12月24日
一、选题意义
1、理论意义：基于线性方程组和矩阵在线性代数以及在各个领域的广泛应用，再加上计算机和计算方法的普及发展,为矩阵的应用开辟了广阔的前景.通过矩阵来解线性方程组大大简化了计算过程,为解决许多数学问题提供了一种研究途径.研究该课题的意义是为了对矩阵在解线性方程组中的广泛应用有一个更深的了解与掌握.。
求线性方程组的一般解则是所有学习线性代数的人们必须掌握的基本技能。
通过矩阵可以使许多抽象的数学对象得到具体的表示，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使代数学的研究在一定程度上化复杂为简单，变抽象为具体，变散乱为整齐有序，矩阵是线性代数中不可或缺的处理工具，它在其它的数学理论中也有着重要的作用。
2、现实意义；大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。
学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型，，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等.另外由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。
如量子化学（量子力学）是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，不可能掌握量子化学。
而量子化学（和分子力学）的计算在今天的化学和新药的研发中是不可缺少的。
而矩阵是一种非常常见的数学现象，例如学校课表、成绩
单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。
矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。
还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。
它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。
二、论文综述
1、国内外有关研究的综述:
(1)《九章算术》是中国古代一部重要的数学经典著作。
其“方程术”解线性方程组的方法是世界上最早、最完整的线性方程组解法,涉及方程的矩阵表示和直除法消元。
刘徽提出了比较系统的方程理论。
在西方,线性方程组的研究是莱布尼茨在17世纪后期开始的。
论述线性方程组解结构的早期研究,理清Cramer's Rule的发展脉络。
麦克劳林与克莱姆都是从线性方程组的求解入手,用线性方程组的系数给出解的表达式。
在贝祖、范德蒙、凯莱、格拉斯曼、史密斯和道奇森等数学家的努力下,线性方程组解结构理论从零散的知识发展为系统的理论体系的形成过程。
凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解,格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解;史密斯和道奇森进一步研究线性方程组的解结构。
(2)根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。
在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价.1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的
概念. 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。
到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。
2 本人对以上综述的评价：
《九章算术》据史学家考证，是历史数学家共同铸造而成，对中国数学发展与传承有着不可磨灭的作用。
它的出现标志着古代数学完整的体系。
他的线性方程组解法以及矩阵概念的提出，为后世研究奠定了基础。
莱布尼兹对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。
为后来的数学理论奠定了基础。
西尔维斯特同凯莱一起，发展了行列式理论，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础，并且也是矩阵的创立者，他们发布的用矩阵表示线性方程及线性方程组的解，使解线性方程组更加简单严谨。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
目前，矩阵己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。
三、论文提纲
前言:-------。
一、广义逆矩阵求解线性方程组
1线性方程的相容性、通解与广义{1}-逆
(1)减号广义逆或{1}-逆定义
(2)证明线性方程组AX=b有解的充要条件是AA¯b=b
2、相容性方程的极小范数解与广义{1、4}-逆
3、矛盾方程的最小二乘解与广义{1、3}-逆
4、矛盾方程组的极小范数最小二乘解与广义逆矩阵A+
二、用MATLB辅助计算求解线性方程
1、矩阵在MATLB中的实现
（1）调用函数solve来求解代数方程或代数方程组（2）通过矩阵除法来求解.
2、MATLB辅助计算求解线性方程组
(1)调用函数solve来求解线性方程组
(2)调用函数rref求解
(3)矩阵求解线性方程组
结论 -----。
四、预期的结果:---------。
五、参考文献
1.、王萼芳石生明.高等代数[M].高等教育出版社,第三版
2、金朝嵩符名培.线性代数[M].重庆大学出版社,第二版
3、王笃正。
线性方程组与矩阵[M].出版日期1980年06月第1版
4、周金森. 广义逆矩阵与线性方程组的解[J]漳州职业技术学院2006年4月P15---P27
5、曾德备. 矩阵与线性方程组[M] 玉溪师专学报（自然科学版）1989年第四期
6 、尹钊、贾尚晖. Moore-Penrose 广义逆矩阵与线性方程组的解[M](中央财经大学应用数学学院,北京100081)
7、奚传智. 用广义逆矩阵求解线性方程组[M] (山东省枣庄师专，山东枣庄277160)
8、毛剑锋吴又胜线性方程组的矩阵解法[J]咸宁师专学报,第19卷第三期
六、论文写作进度安排
2013年12月17日~12月24日搜集材料，做好论文前期准备工作，确定论文题目2013年12月24日~12月26日搜集、归纳、分析材料，撰写开题报告
2013年12月26日交毕业设计开题报告
假期及下学期第1~2周系统分析与设计，撰写毕业论文
2014年2月~4月初毕业设计院毕业论文初检
2014年4月下旬修改完善论文初稿，完成论文二稿及论文英文摘要
学院抽查英文摘要
2014年5月15日前完成毕业论文撰写工作
2014年5月中旬论文外审
2014年5月25日~6月5日毕业答辩
2014年6月初公开答辩
2014年6月中旬上报学院毕业论文相关材料。