线性方程组解的几何意义
线性代数的几何意义
线性代数的几何意义注解线性代数是优雅和有趣的一门学科，应用也很多，只是目前多数线性代数教材似乎都偏重"代数"而较少涉及"线性"一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让同学产生兴趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程师自编的一本小册子叫《线性代数的几何意义》，加上后来阅读matlab 作者的书籍，才发现原来线性代数的几何含义真的印证了“数学之美”，的确很美，所以想借鉴这些零散的阅读，加上自己后来的理解，把它的部分几何意义注解一下，希望以前对线代没有很多兴趣的同学能喜欢上它，同时我也会保持更新，不断完善，一起体会数学无与伦比的美丽矩阵的几何意义1、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量的集合或由这些向量为基张成的空间（在力学分析，向量空间应用时常取此几何含义，后文把此类几何含义称作矩阵的向量空间）如矩阵5673⎛⎫⎪⎝⎭按照行向量可表示为如下形式2、一个矩阵是由若干向量组成的，矩阵可以看作是这些向量终点组成的图形（在计算机图形学中常取此几何表示，后文把此类几何含义称作矩阵的图形），如矩阵579 635⎛⎫ ⎪⎝⎭按照列向量可表示为如下图形如下图是在matlab 中将z=sin(x)*cos(y)算得的离散点组成的矩阵表示成几何图形注1：如果单独查看一个矩阵m n A ⨯，可以有两种解读：矩阵A 由m 个n 维向量组成，或者由n 个m 维向量组成；在使用时会根据实际情或约定选择其中一种，而在参与变换或其他运算时，这两种解读一般不能混淆，一定要确定注2：当我们把矩阵表示成图形时，其作图没有固定标准，并不一定是把所有向量终点连接起来构成一个多边形，规则是使用者制定的，可以是网格，可以是离散面片等行列式的几何意义一个方阵n n A ⨯的行列式的绝对值是其行向量或列向量所张成的平行几何体的空间积，对于二阶行列式，就是向量张成的平行四边形的面积，对于三阶行列式，就是对应平行六面体的体积；如方阵5673⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式绝对值为27，它就是下图平行四边形的面积注：行列式其实是带有符号的，实际上，正负号表征了这些向量作为线性空间基的手性，正号表示右手系，负号表示左手系，在二阶矩阵的向量空间里，其判别方法是，伸出右手和矩阵的第一个列向量或行向量平行，然后调整手的正反使得能从此向量转过小于180度的角到达第二个向量，这时大拇指如果朝上（从纸面指向自己）则为右手系，矩阵的行列式为正，反之则为左手系，对应行列式为负；如果是三阶矩阵，则从第一个向量转向第二个向量时，如果大拇指指向第三个向量方向（不必重合），则为右手系，其行列式为正，反之为左手系，行列式为负；其实这一点上更广义的表述应是向量空间的基相对自然坐标系的顺序性（代数上可用逆序数表达）克拉默法则的几何意义以二维形式为例来说明其几何意义:方程A x =b ，设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，b =12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待求的x =12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将A 的两个列向量分别表示为a1,a2，那么原方程可表示为1x a1+2x a2=b ，这样可以把1x 与2x 看作是列向量a1,a2的伸缩因子，经过伸缩后再叠加即得到和向量b ，故原方程可以看作已知列向量被伸缩并叠加后的向量b ，求伸缩因子i x我们已经知道行列式的几何意义，显然矩阵A 对应的平行四边形的面积就是|A|（这里以带符号的有方向面积表示，因为伸缩因子也是有符号的），当某一个向量被伸缩后，如图将OB 边伸长至OE ，形成新的平行四边形OAFE ，记其面积为OAFE S ，这样a1的伸缩因子1x 可表示为||OAFE S A ，显然只要求出OAFE S 即可解出未知量；图中OG 即向量b ，因为它是1x a1，2x a2的线性叠加，所以G 点必在EF 的延长线上，这样OG 和OE 相对OA 边的高就是相同的，故OA 与OG 组成的平行四边形面积和OAFE 相同，即OAFE S =|b a2|，所以可求得1x =|b a2|/|A|，同理可得2x =|a1 b |/|A|，可以看出此表达式和克拉默法则等价矩阵乘法的几何意义我们知道矩阵是由若干向量组成的，因此可自然地把矩阵乘法看作是两个矩阵的同维向量之间做内积（或点乘），而内积的意义是两向量同向投影的乘积，但这只是一个表面的几何含义，比较抽象（也有应用之处，后面会提到）；实际上，对于矩阵乘法C=AB ，作用后得到的新矩阵C 可以看作是矩阵A 经过某种变换得到的，也可以看作是矩阵B 经过某种变换后得到的，而这种变换显然就是乘以另一个矩阵的过程，结合前面提到的矩阵的几何意义，故可以把矩阵乘法C=AB 看作是图形A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新图形C ，或者是向量空间A （或B ）经过变换B （或A ）后得到新的向量空间C ，对于简单的变换矩阵这一点最容易感性体会到；例如变换矩阵100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原3D 图形向x-y 面投影，变换矩阵100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭会把原图形对x 轴镜像，变换矩阵cos30sin 30sin 30cos30-⎛⎫ ⎪⎝⎭会把原2D 图形相对原点逆时针旋转30度。
高等代数3.6 线性方程组解的结构
又设 ( l1 , l2 , … , ln ) 是导出组 (1) 的一个解，即
n
aijl j 0 (i 1,2,, s) ,
j 1
显然
n
n
n
aij (k j l j ) aijk j aijl j
j 1
j 1
j 1
bi 0 bi (i 1,2,, s) .
推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解
是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.
证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的
解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.
必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解.
x3 x3
4 3
, ,
x1 2 bx 2 x3 4 .
讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解.
单击这里开始求解
三、直线平面间的位置关系的判断
平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明.
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
线性方程组解结构的几何意义
线性方程组解结构的几何意义
线性方程组解可以用几何方法表示，这有助于我们理解它的含义和推断它的结果。
几何意义中所讨论的线性方程组是多变量线性方程组，即不止两个变量。
首先，让我们来了解一下什么是多元线性方程组和什么是解：多变量线性方程组由若干（通常三个或以上）变量组成的一组多项式方程组，它的解是变量的一个有限点的集合，表示为（x，y，z）。
多元线性方程组的解，如下所示：
Ax+By+Cz=D
Ea+Fb+Gc=H
Ix +Jy +Kz=L
以上方程的解是几何意义的另一个概念，它表示一个特定的平面上的一个点集，由多个方程构成，每个方程提供了三个变量（x，y，z）的一个坐标。
这些坐标形成了一个平面上的点集，换句话说，线性方程组解的几何意义，就是一个三维空间中某一特定平面上某个特定点集，这种特定点集表示了线性方程组有多个解的几何意义。
以上给出的线性方程组的解的几何意义可以用图标表示：其中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K和L这12个常数分别在三个变量x，y，z上形成了一个解空间，即解的几何意义；而这个解空间中的每一个坐标点（x，y，z）都代表了一个解，也是线性方程组解的几何意义。
综上所述，我们可以发现，线性方程组的解的几何意义是比较清楚的：它是一个三维空间中的特定的平面上的特定的点集，这些点所代表的解就是线性方程组的解。
因此，我们可以用几何的角度更好地理解线性方程组的解的几何意义，从而推断它的结果。
线性方程的几何意义
线性方程的几何意义
《线性方程的几何意义》
一、线性方程的定义及含义
线性方程是由一系列由变量及其系数组成的非高次多项式所构成的一种数学表达式，并服从一定的结构规律。
一般的形式如：ax+by+c=0。
其中的a、b和c为实数，a或b是非零数字，x和y为变量；而0为常数。
线性方程反映了变量之间的线性关系，解决线性方程组可以获取变量之间定量关系的信息，这也是线性方程最有用的作用之一。
二、线性方程的几何意义
线性方程有着丰富的几何意义：它可以用来绘制一条直线，反映出x和y的关系，也能够描述出几何图形的特殊特征和形状。
1、绘制直线
线性方程可以把它表示成 y=kx+b的形式，也就是说，如果给出x的值，就可以确定y 的值；或者给出y的值，也可以确定x的值。
对于y=kx+b格式的方程，可以把它想象成是一条斜率为k的直线和b点在y轴上，将它们画到坐标系上，可以绘制出一条直线，从而完成线性方程可视化的目标。
2、多元线性回归
多元线性回归是指用一个或多个线性方程组来表示多个变量之间的关系，可以把多元线性回归方程形象地表述为：y=b0+b1x1+b2x2+…..bnxn，其中y为受自变量影响的变量，
x1,x2,xn则是有影响力的自变量，而b0,b1,b2……bn则是自变量对受变量的影响程度，也可以画出回归线。
三、总结
线性方程具有丰富的几何意义，能够表示变量之间的线性关系，也能够从几何角度对数据进行分析，为我们提供了一种从定量研究中获得多重信息，从而实现根据实验结果制定更精准的管理政策和更有效的解决方案。
线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系
线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系数学系数052 蒋春摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。
关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。
1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组：11112222a x b y c l a x b y c l +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）：()11221a b a b ≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○2平行的充分必要条件是：()1112222a b c a b c =≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○3重合的充分必要条件是：()1112223a b c a b c ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，111222a b c B a b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦现记线性方程组增广矩阵的列向量112a a α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122b b α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，132c c α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则○1：由条件（1）相交的充分必要条件是（不重合）：1α与2α线性无关，即[]1112220a b A a b αα⎡⎤==≠⎢⎥⎣⎦或则Rank(A)=2 几何图形：○2由条件（2）平行的充分必要条件是： 1α与2α线性相关，1α、2α、3α线性无关，Rank(A)=1, Rank(B)=2 几何图形：○3由条件（3）重合的充分必要条件是： 1α、2α、3α线性相关，即Rank(A)= Rank(B)=1 几何图形：例：直线1l 与2l 的方程分别为269x y +=，4127x y +=确定他们的位置关系。
数学课教案解线性方程组的几何解释
数学课教案解线性方程组的几何解释标题：线性方程组的几何解释引言：数学中，线性方程组是一个重要的概念，它在实际应用中广泛运用于各个领域。
解线性方程组的几何解释是一个重要的思维方式，它能够帮助学生将数学理论与几何图形相结合，深入理解线性方程组的本质。
本教案将探讨线性方程组的几何解释，并通过实例演示解题过程。
一、线性方程组的基本概念（250字）1.1 线性方程组的定义及特征1.2 线性方程组的求解方法1.3 线性方程组的几何解释介绍二、二元线性方程组的几何解释（500字）2.1 二元线性方程组的一般形式2.2 二元线性方程组的几何解释概述2.3 二元线性方程组在平面坐标系中的图像表示2.4 二元线性方程组图像的性质与解的关系三、三元线性方程组的几何解释（500字）3.1 三元线性方程组的一般形式3.2 三元线性方程组的几何解释概述3.3 三元线性方程组在三维坐标系中的图像表示3.4 三元线性方程组图像的性质与解的关系四、多元线性方程组的几何解释（500字）4.1 多元线性方程组的一般形式4.2 多元线性方程组的几何解释概述4.3 多元线性方程组在多维空间中的图像表示4.4 多元线性方程组图像的性质与解的关系五、实例演示（250字）5.1 通过具体的实例演示线性方程组的几何解释5.2 利用几何解释求解线性方程组的步骤与方法5.3 引导学生思考，应用几何解释解决实际问题结语：本教案通过线性方程组的几何解释，帮助学生将抽象的数学概念与具体的几何图形相联系，加深对线性方程组的理解。
同时，通过实例的演示，引导学生灵活应用几何解释的方法，解决实际问题。
希望学生通过本节课的学习，能够更加深入地理解线性方程组的几何含义，提高解题能力。
线性方程组解的几何意义
线性方程组解的几何意义解的几何意义是指线性方程组的解在几何空间中的表示和意义。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，而线性方程又可以看作是一条直线的方程。
因此，线性方程组的解可以理解为几何空间中的点、线或超平面。
一元一次方程的解的几何意义非常直观，即为直线上的一个点。
当方程为二元一次方程时，解的几何意义为平面上的一个点。
当方程为三元一次方程时，解的几何意义为三维空间中的一个点。
在一般情况下，线性方程组的解可以表示为几何空间中的一个线性子空间。
对于二维的线性方程组，解可以表示为平面上的一条直线；对于三维的线性方程组，解可以表示为三维空间中的一个平面；对于n维的线性方程组，解可以表示为n维空间中的一个超平面。
具体来说，当线性方程组的系数矩阵可逆时，也即不存在自由变量，解的几何意义为一个点或一个超平面。
如果方程组存在唯一解，则解的几何意义为一个点，表示几何空间中的一个特定位置。
如果方程组有无穷多个解，则解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
当系数矩阵不可逆时，也即存在自由变量时，解的几何意义为一个超平面，表示几何空间中的一个子空间。
这是因为系数矩阵的秩小于变量的个数，导致方程组的维数被限制在一个低维的空间中。
除了几何空间中的表示外，线性方程组的解还有一些重要的几何意义。
首先，解空间的维数等于方程组的自由变量的个数，可以通过解空间的维数判断方程组的解的情况。
其次，解空间可以表示为系数矩阵的零空间，也即Ax=0的解集，其中A是线性方程组的系数矩阵。
零空间可以有助于理解方程组的解在几何空间中的分布和性质。
总而言之，线性方程组解的几何意义是几何空间中的点、线或超平面的表示，反映了方程组的解在几何空间中的分布和性质。
通过几何意义，我们可以更直观地理解和分析线性方程组的解及其相关性质，为解决实际问题提供帮助。
线性代数概念的几何意义
教师：李红艳
主要内容
• 二元、三元线性方程组的几何意义 • 二阶、三阶行列式的几何意义 • 平面上线性变换的几何意义 • 二阶矩阵特征值的几何意义 • R 2 中向量组的线性相关性的几何意义
二元、三元线性方程组的几何意义
二元一次方程在几何上表示的是一条直线， 则含两个二元一次方程的方程组在几何上则 表示两条直线的位置关系：
• 方程组（4）也无解。
二阶、三阶行列式的几何意义
二维情形： 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两
点的坐标分别为：a1,b1 、a2,b2 ，如下图所示，求平
行四边形OACB的面积。
分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线
与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以得到三角形CDB
ezplot('2*x1-3*x2=-4')
% 再绘制直线2*x1-3*x2=-4
title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4')
% 在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4
grid on
% 显示网格
绘制图形如图1所示：
从运行结果可以看出:
方程组（1）的解为
x1 x2
种多样的结果 Ci = AiB。 令B=（X1，X2，X3，X4），则
AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）
用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：
B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')
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设有三元非齐次线性方程组
线性方程组解的几何意义
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,,,)1(22221111m m m m
d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.
2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=--=+,423,
32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4
7⎪⎭⎫ ⎝⎛--则方程组(1) 的解有以下三种情况:
1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面.
程所表示的平面交于一点. 例如
其几何意义如图3 -11 所示.
2x-y=-3
3x+2z=-1
x-3y+2z=4
图3-11
交直线所确定.3) 有无穷多组解
这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为
γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.
例如, 设保留方程组为
x + y + z = 3,
则可求得其通解为
.
11110101121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c x
则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1
10111:,0
11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为
为x + y + z = 3 . 如图3-12
图3 -12
向量的直线上. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++,
694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x 情形二这时方程组(1) 的一般解为
γ= c η+ γ0( c 为任意常数).
此时方程组(1) 的所有解在过点γ0且以η为方向例如A 的秩=A 的秩= 2 .
γ= c η+ γ0 为直线的参数方程的向量形式.
则其一般解为
.
021112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c x 过点(-1,2,0) 以向量(-2, 1, 1)T 为方向向量作直线
.1
1221z y x :L =-=-+则由方程组所确定的四个平面必交于直线L .如图3-13
2x +3y +z =43x +8y -2z =13x -2y +4z =-54x -y +9z =-6图3 –1311221z y x :L =-=-+。