第十七讲 线性方程组的通解
解线性方程组的直接法
a23x3 a33x3
a24x4 a34x4
b2 b3
a41x1 a42x2 a43x3 a44x4 b4
增广矩阵 a11 a12 a13 a14
A
a21
a22 a23
a24
a31
a32 a33
a34
a41 a42 a43 a44
b1
b2
b3
b4
32
计算3个消元因子(乘子向量)
-3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 =6
1 2 1 4 13
1 2 1 4 13
2 0 4 3 28 4 2 2 1 20 -3 1 3 2 6
-主元行＊2 -主元行＊4 -主元行＊-3
0 –4 2 -5 2 0 –6 –2 –15 -32 0 7 6 14 45
24
1 2 1 4 13
0 –4 2 -5 2
消元过 程
回代：x4=2,x3=4,
x2=-1,x1=3
25
有回代的高斯消去法
(Gaussian Elimination with Back Substitution)
如果A是NN非奇异矩阵（存在A-1），则存 在 线性方程组UX=Y与线性方程组AX=B等价，这 里U 是上三角矩阵，并且akk0。当构造出U和Y后， 可用回代法求解UX=Y，并得到方程组的解X。
16
➢ 高斯消元法： 思 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解。
路
=
17
4 初等变换(Elementary Transformation) 下列三种变换可使一个线性方程组变换成另一
个等价的线性方程组 交换变换：对调方程组的两行 比例变换：用非零常数乘方程组的某一行 替换变换：将方程组的某一行乘一个常数再加到
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
线性方程组的解的结构
例：求线性方程组
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
1
解：容易看出
*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 0 x4 0
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
(x1 ,x2 ,
b11
b21
,xnr
)
br 1
,1
0
0
b12 b22
br ,2 0 1
0
b1,nr
b2 , n r
br ,nr
0
0
1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
br ,nr xn .
xr+1 1 0
令
xr
+2
0
,
1
,
xn
0 0
0
x1 b11 b12
,
0
，则
x2
,
b21
,
b22
,
1
xr br1 br2
b1,nr
,
b2,nr
线性方程组的解法讨论(本科毕业论文)
线性方程组的解法讨论(本科毕业论文)本科生毕业论文论文题目:线性方程组的解法讨论作者、学号：XXX学院、年级：数学与信息科学学院2010级学科、专业：数学与应用数学指导教师：XXXX完成日期：2014年5月20日曲靖师范学院教务处线性方程组的解法讨论摘要科学技术、工程和经济领域中的一些实际问题建立数学模型时通常可以与线性方程组对应起来，因此，AX=b的求解是科学计算的中心问题.本文介绍了线性方程组的概念及解的基本理论，针对齐次线性方程组和非齐次线性方程组，结合例题讨论了它们的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU分解法、逆矩阵及广义逆矩阵A-法，并对每种方法的优缺点及适用性进行了分析，得出线性方程组的解法虽多，但要根据线性方程组的结构选择合适的方法，方能顺利求解的结论.关键词：线性方程组；高斯消元法；克拉姆法则；LU分解法；逆矩阵A-法Discussion about the Solution of Linear System of EquationsAbstract:Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solution of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gauss elimination method, LU decomposition method, Crum method, inverse matrix and generalized inverse matrix method, and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate method according to the linear equation the form of a group, can be solved smoothly conclusions.Key words: linear System of equations；Gauss elimination method；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix；1 引言求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题[1].对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐.因此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学计算中的一个重点和难点.目前，求解线性方程组的主要方法有高斯消元法[2]，克拉姆法[4]，广义逆矩阵A 法[3]，LU分解法[9]，如何选择是大家关心的一个问题.在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程.有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组[10].随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高，使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模线性代数方程组，并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展，加之直接方法理论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如Ax=b的大型线性方程组.许多源于工程技术的数学问题，都可以归结为求解线性方程组.因此在各种数据处理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一.因此，找到一种行之有效的方法来解线性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率.2 文献综述2.1 国内外研究现状目前，国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一系列的成果，文献[1-2]中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法，文献[3]中漫谈了线性方程组的改革，文献[4-5]中系统地介绍了线性方程组的基本理论，文献[6]中系统地讲述了线性方程组的各种解法，文献[7-10]中介绍了一些线性方程组的典例与解法，文献[11]中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用，文献[11-12]周均介绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例，文献[13-14] 花威谈了线性方程组在高等代数中的应用.2.2 国内外研究现状评价国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究，分别从商品利润问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多.2.3 提出问题针对国内外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进行了综合，对线性方程组的解法作了归纳总结，弥补其中的一些不完善的地方，并例举一些具有针对性、典范性的例题.3 线性方程组的概念及解的基础理论形如 11112211212222112212n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (1.1)的方程组，叫做线性方程组，其中x 1, x 2,… x n 代表n 个未知量的系数，m 是方程的个数；a ij (i=1,2, …,m,j=1,2, …,n) 称为方程组的系数b i (i=1,2, …,s)称为常数项.3.1 齐次线性方程组若方程组(1.1)中12,,m b b b 全为0，即111122112122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （1.2） 形如（1.2）的方程组叫做齐次线性方程组[7].常记为矩阵形式: Ax=0其中111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.2)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数[9]．定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.解的性质：记{}0V x Ax ==, (1)如果12,V ξξ∈，那么12V ξξ+∈； (2)如果,V k ξ∈为任意常数，那么k V ξ∈. (3)齐次线性方程组的通解为1122n r n r c c c ξξξ--+++, 12,,,n r c c c -是任意常数，其中12,,,n r ξξξ-是0Ax =的一个基础解系.例1[15]解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解 方法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.方法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.例2[2] 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解 将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.例3[3]求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解.解 将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵121112111215A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1312(1)(1)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→121100020004-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦12232(1)()r r r ⨯-+⨯-−−−−−→121000010000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，原方程组的通解为1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.注：基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A).由上面的定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，此时系数矩阵的行列式0A ≠，故齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.3.2非齐次线性方程组1．若方程组(1.1)中12,,m b b b 不全为0，即11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1.3） 形如（1.3）的方程组叫做非齐次线性方程组，常记为矩阵形式: Ax=b.其中11121121222212,n n m m mn n a a a b a a a b A b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.3)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数[9]．(,)A A b =称为方程组(1.3)的增广矩阵，关于非齐次线性方程组，有以下理论：(1)唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解. (2)无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解.(3)无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解. 2.解的性质：记{}0V x Ax ==,{}S x Ax b ==.(1)如果12,S ξξ∈，那么12V ξξ-∈； (2)如果,S V ηξ∈∈，那么S ηξ+∈；(3)非齐次线性方程组的通解为01122n r n r x c c c ηξξξ--=++++, 12,,,n r c c c -是任意常数,其中0η是Ax β=的一个解(称为特解)，12,,,n r ξξξ-是0Ax =的一个基础解系.例4[7] 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解 2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解.所以方程组的解为 1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩例5[1] 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解 1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.例6 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解 1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.4 线性方程组的解法4.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一种古老的方法[4]，基于高斯消元法的基本思想而改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）把某个方程的k 倍加到另外一个方程上去； （2）交换某两个方程的位置； （3）用某个常数k 乘以某个方程. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换.高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量.现举例说明如下： 例7 解线性方程组解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以1-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T Tx x x =--. 小结：高斯（Gauss)消元法的思想比较简单，操作起来比较容易，但它只适用于未知数较少的线性方程组；当方程个数和未知数较多时，消元较为困难.4.2 用克拉默（Cramer ）法则解线性方程组定理1 如果方程组Ax=b 中D=|A|≠0，则Ax=b 有解，且解是唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成列矩阵b 所得的行列式.定理2 如果方程组Ax=b 中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件：(1)未知数的个数等于方程的个数. (2)系数行列式不等于零定理3[3] 当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解.定理4[4] 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=.例8 解线性方程组12312312312494x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪++=⎩解 111123300149D =--=≠ 所以，方程组有唯一解.111122320449D =--=，21111232,149D =--=- 311112312149D =--=因此，线性方程组的解为：12320212,,303030x x x -===. 小结：Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况[12].当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一.如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解.如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零. 用克拉默（Cramer ）法则解线性方程组比较简单，操作起来也比较容易，但它只适用于解未知数的个数和方程个数相同的线性方程组，而且通常是解非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，只能求出零解，非零解无法求出.4.3 LU 分解法LU 分解法是直接分解法中的一种算法[10]，将方程组Ax=b 中的稀疏矩阵A 分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，其中A=LU,令y=Ux,那么在方程租的运算中可以先解Ly=b,再解Ux=y 在编程过程中分两步进行，先对矩阵A 进行LU 分解，然后再解方程组. 例9 用LU 分解法解方程组解 由LU 分解()14131211u u u u ()30102-=()Tl l l 4131211()T 25.05.11-=()2423220u u u ()5.812110-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------139144432113124330102⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=72510()Tl l 423210()T 11/611/310--=()343300u u ()11/211/300--=()Tl 43100()T 9100-=()44000u ()4000-=得解,b Ly =()Ty y y y 4321()T 1611/172010--=得解,y Ux =()Tx x x x 4321()T4321=小结：LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变[13]，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组. 设n 阶线性方程组Ax=b .将方程组左端系数矩阵A ，分解成两个三角阵的乘积[14]，即A=LU ，式中，L 为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U 为主对角线以下的元素均为零.4.4逆矩阵法及广义逆矩阵A -法1. 线性方程组AX=b,当A 可逆时，1,Ax b x A b -==线性方程组等价于(注：A 是方阵).例10 解线性方程组Ax=b ,其中111111143A =-，b=(1，-2，4).解 111123300149=--=≠ A , 所以，系数矩阵A 可逆.1111222535--=--- A ， 方程组变形为 x=A -1b因此，线性方程组的解为：12320212,,303030x x x -===. 注：针对线性方程组AX=b,上述解法只适用于A 是方阵且可逆的线性方程组.下面主要讨论如何将上述方法加以推广，使之能运用到一般的线性方程组的求解中.2. 设m nA C⨯∈.如果存在n m G C ⨯∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵A 的{1}-逆的全体记为{1}A .若m n A C ⨯∈，A -n m C ⨯∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵[2]，则对,n mV W C⨯∈为任意的n m⨯矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为 G A V A A V A A---=+-, 同时还可以表示为()()m n G A V E A AE AA W ---=+-+-. 广义逆矩阵A -的计算：(1)设(0)mn r A C r ⨯∈>，且有m m m P C ⨯∈和n 阶置换矩阵Q 使得 (),(),r r nr E K P A Q KC OO ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则对任意的()()nr m r L C-⨯-∈，n m ⨯矩阵 r E O G Q P O L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是A 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在n nn T C ⨯∈使得,r E O P A T O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则矩阵的{1}-逆的全体12()()()()1221222122{1},,.r r m r n r r n rm r E L A T P L C L C L C L L ⨯--⨯-⨯-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2)设m nA C ⨯∈，则A 有惟一{1}逆的充分必要条件是mn =，且()r A n =，即A 可逆.这个惟一的{1}逆就是1A -.定理1 [12] 设m n A C ⨯∈，m b C ∈,则A A b b -=是线性方程组Ax b =有解的充要条件,其中{1}A A -∈.如果线性方程组Ax b =有解，其通解可表示为()x A b EA A y--=+-，其中y 是任意的n 维列向量. 定理2[14] 设线性方程组Ax b =有解，A -是m n ⨯矩阵A 的一{1}-广义逆矩阵，并且()H AA AA--=，则y A b -=为线性方程组Ax b =的最小范数解. 定理3[15] 设A -为m n ⨯矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，且()H A A AA--=，则对任意的n 维列向量b ,y A b -=一定是线性方程组Ax b =的最小二乘解. 例11 解线性方程组12341241234235,5814,223 4.x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩ 解 令231158011223A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，5144b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.通过行初等变换得到4203()()102211AE HP P -⎡⎤⎢⎥|→|→=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 取4Q E =，再令0α=，0β=，得100010000A Q P αβ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=20310222αααβββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦20310200000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可以验证 (5,14,4)TA A b b-== 所以，线性方程组有解，且通解为123420*********()0001000001y y x A b E A A y y y ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1234,,,y y y y C ∈任意)[7]. 小结：该方法对线性方程组解的讨论更加完整，表达形式也更加简洁系统.在无穷多个解向量中，此法可求出一个长度最短解向量，当方程组无解时，又可求出其最优近似解，而且该方法在概率统计、线性规划等领域中应用比较广泛.5 结论5.1 主要发现线性方程组有多种解法，每种解法都有它的优越性和局限性.线性方程组是线性代数的心脏，它可以应用到很多方面，根据其重要理论可以解决很多问题，使得一些问题得到意想不到的简单解法.5.2 启示线性方程组的解法虽多，要选择一种适合的并不容易，我们需要先对线性方程组进行分类：齐次线性方程组和非齐次线性方程组.根据不同的线性方程组的不同特征，进而采用适当的方法求解.5.3 局限性线性方程组的解法还有多，由于本人的能力和时间有限，只对其中的几种方法进行讨论和分析.5.4 努力方向除了文章所述线性方程组的理论知识和求解方法外，由于线性方程组的解法相当多，在今后的学习中将不断的深入研究，以弥补文章中许多不足之处.参考文献[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京: 高等教育出版社, 1988:25-50.[2]张禾瑞.,郝鈵新.高等代数[M].第四版.北京: 高等教育出版社, 1999:35-68.[3]丘维声. 高等代数[M].北京: 高等教育出版社, 1996:32-65.[4]北京大学数学系几何与代数教研代数小组.高等代数[M].第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.[5]熊廷煌.高等代数简明教程[M].武汉:湖北教育出版社,1987:30-55.[6]邓建中,刘之行.计算方法[M].西安:西安交通大学出版社,2001:25-60.[7]张元达.线性代数原理[M]. 上海:上海教育出版社,1980:45-60.[8]蒋尔雄.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1996:100-128.[9]霍元极.高等代数[M].北京:北京师范大学出版社,1988:77-120.[10]关治,陈精良.数学计算方法[M].北京:清华大学出版社,1990:45-90.[11]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理[J].中国西部科技,2009: 20-31.[12]周均,韩乐文.应用matlab求线性方程组的Cramer法则方法探讨[J].重庆职业技术学院学报,2004,13(3):109-130.[13]常双领. 张传林. 求解线性方程组的一种迭代解法[J]. 暨南大学学报, 2004,22(3): 06.30-70.[14]花威.线性方程组的迭代解法及Matlab实现程序[J],长江工程职业技术学院学报,2009,26(4):95-120.[15]谢邦杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1999:100-144.致谢我的毕业设计的完成，首先应当归功于指导老师梁XX老师.梁老师在我的毕业设计的选题、设计方法以及设计报告的撰写等各个方面都给予了我大量的指导和帮助，梁老师以他敏锐的洞察力、渊博的知识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风以及高度的责任感悉心指导我的设计.设计中离不开梁老师的帮助，如果没有梁老师的指导，我的设计就不能顺利完成.我在设计中遇到困难时都能够向老师请教，老师悉心的指导和帮助及其严谨的工作态度、创新的精神使我受益匪浅，使得我的问题都能迎刃而解.本设计是在梁老师的悉心指导和帮助下完成的，在论文设计、修改的整个过程中，花费了老师很多的宝贵时间和精力，我在此向梁老师表示衷心地感谢！。
三阶常系数线性方程组通解形式
三阶常系数线性方程组通解形式三阶常系数线性方程组通解形式是指一组三个未知数的三个线性方程组，其系数项均为常数，可以求出其通解的形式。
一、三阶常系数线性方程组的一般形式三阶常系数线性方程组的一般形式可以表示为：$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b_1$$$$a_4x_1+a_5x_2+a_6x_3=b_2$$$$a_7x_1+a_8x_2+a_9x_3=b_3$$其中，$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9$ 均为常数，$x_1,x_2,x_3$ 为未知数，$b_1,b_2,b_3$ 为常数。
二、三阶常系数线性方程组通解的计算过程1. 求解方程组的系数矩阵首先，我们将上述三阶常系数线性方程组中的系数项构成一个系数矩阵：$$\left[\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3\\ a_4 & a_5 & a_6\\ a_7 & a_8 & a_9\end{matrix}\right]$$2. 求解系数矩阵的行列式接下来，我们求出这个系数矩阵的行列式：$$\Delta=a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9$$3. 求解未知数如果$\Delta\neq 0$，那么本组方程有唯一解，我们可以利用行列式的性质，求出三个未知数的值：$$\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right]=\frac{1}{\Delta}\left[\begin{mat rix}b_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-b_2a_4a_9-b_3a_6a_7-a_1a_8a_3\\b_2a_3a_9+a_1a_6a_8+a_2a_4a_7-b_1a_4a_7-b_3a_5a_8-a_2a_9a_3\\b_3a_2a_8+a_1a_5a_7+a_3a_4a_6-b_1a_4a_6-b_2a_5a_7-a_3a_8a_1\end{matrix}\right]$$4. 求解通解最后，我们可以得到三阶常系数线性方程组的通解：$$x_1=\frac{b_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-b_2a_4a_9-b_3a_6a_7-a_1a_8a_3}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$ $$x_2=\frac{b_2a_3a_9+a_1a_6a_8+a_2a_4a_7-b_1a_4a_7-b_3a_5a_8-a_2a_9a_3}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$ $$x_3=\frac{b_3a_2a_8+a_1a_5a_7+a_3a_4a_6-b_1a_4a_6-b_2a_5a_7-a_3a_8a_1}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$三、三阶常系数线性方程组通解的应用三阶常系数线性方程组通解形式可以应用于求解一些物理、化学等自然科学方面的问题。
1线性代数 3.3线性方程组的解
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
若至少有一个bi 0(i 1, 2, , m), 则称方程组(3.3)为非齐次线性方程组;
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1, x2 , xn 称为
方程组的解.
至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.
具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
对线性方程组的认识
对《线性代数》中线性方程组的认识一、线性方程组的定义线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，通常由两个或两个以上的且未知量均为一次的方程所组成。
我们所知的线性方程组分为两种，一种是非齐次线性方程组，另一种是齐次线性方程组。
在线性方程组中，当常数列不全为零时，我们称它为非齐次线性方程组，当常数列全为零时，我们称它为齐次线性方程组。
二、线性方程组的定理1.1定理一：线性方程组经过初等变换后，所得到的新的方程组与原方程组同解。
比方说，例1：假设一个线性方程组： x1 + 2x2 = 7 ○13x1 – 4x2 = -9 ○23○1-○2, 得 10x2 = 30, 得出x2 = 3, 再将x2 = 3 代入○1中，可得出x1 = 1, 所以得出该线性方程组的解为 x1= 1, x2= 3将该线性方程组进行初等变换，令○1*2，其他保持不变，得2x1 + 4x2= 14 ○33x1 – 4x2 = -9 ○4○3 + ○4，得5x1 = 5, 得 x1 = 1, 将x1 = 1代入3中，可得出x2 = 3, 则经初等变换后的线性方程组与原线性方程组同解。
1.2定理二：对n元非齐次线性方程组，在经消元法化为阶梯型方程组后，有：当dr = 0时，原方程组无解；当dr = 0且r = n 时，原方程组有唯一解；当dr = 0且r<n 时，原方程组有无穷多解。
（dr 指的是线性方程组中最后一个有效方程的等式的右边的常数项，r指有效方程的个数，n指方程所求未知量的个数）（1）当dr = 0时，原方程组无解，举个例子，例二：解线性方程组x1 +2x2+ =3 ○14x1 +7x2+x3=10 ○2x2 – x3 =3 ○32x1 + 3x2 +x3 =4 ○4令4○1– 2，2○1– 4，得x1 +2x2 = 3 ○5x2 – x3 = 2 ○6x2 – x3 = 3 ○7x2 - x3 = 2 ○8 令○6– ○7，○6 -○8，得x1 +2x2 = 3 ○9x2 -x3 = 2 ○100 = 0 ○110 = -1 ○12 ○11 与 ○12 互换，则得x1 +x2 = 3○13x2 -x3 = 2 ○14 0 = -1 ○15 0 = 0 ○16 此时dr =-1, dr = 0, 因为 0 = -1，矛盾，所以无解，即当dr = 0 时，该线性方程组无解。
初中数学中考第十七讲一元二次方程知识点分析
第十七讲：一元二次方程知识梳理知识点1. 一元二次方程的概念 重点：掌握一元二次方程的概念 难点：判断方程是否为一元二次方程 1、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、关于x 的一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0,(a ≠0)，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
例1. .下列方程中是一元二次方程的是（ ）①20x =②243(25)x x =-③2111x x =++④213x -=2=⑥2545(2)(1)x x x x -=+-A . ①②③⑥B . ①②④⑥C . ①②④D . ②③④⑥ 解题思路：根据一元二次方程的概念 答案：B 例2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，1.(1)(2)61x x x ++=+2.2(2)(2)2(3)x x x +-=- 解题思路：根据一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0,(a ≠0) ， 例2、1.： 2.：223261310x x x x x ++=+-+=2222242(69)42121812220x x x x x x x x -=-+-=-+-+= 练习1. 当a 时，方程2(1)(21)10a x a x ++--=是关于x 的一元二次方程；当a 时，方程22(5)740a x x a ++-=是关于x 的一元二次方程.221)0x x -+=答案：1.1a ≠-，a 为任意实数2.22)20x x -++=知识点2. 一元二次方程的解法重点：掌握一元二次方程的解法难点：熟练解一元二次方程灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0) 四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法：x= (b2-4ac≥0)注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。
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15
5 x1 2 3 x2 2 4 . c1 c2 x 1 3 3 0 0 x4 1
14
小结:
1.齐次线形方程组的通解的求法. 2.非齐次线形方程组的通解的求法.
所以方程组的通解为
x1 1 1 x2 c 2 1 1 0 x 3
( c为 任 意 实 数 ）
9
二、齐次线性方程组的通解 对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 m1 1 m2 2 mn n
2 1 0
2 2 0
1 4 3 0
即得与原方程组同解的方程组
5 x 2 x3 x4 0, 1 3 4 x2 2 x3 x4 0, 3
1 r1 2 r2 0 0
0 1 0
2 2 0
5 3 4 3 0
(2)
或用矩阵方程方程组(1)表示为: A x 0 齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
10
(2)若R(A) n 则进一步把A化成行最简形 (3)设R(A) r 把行最简形中 r 个非零行的首 非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其 余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未 知数分别等于c1 c2 cnr 由A的行最简 形 即可写出含nr个参数的通解
3
例1. 求解非齐次线性方程组
解 对增广矩阵B进行初等行变换，
故方程组无解．
4
例2 求解非齐次方程组的通解
解 对增广矩阵B进行初等变换
5
故方程组有解，且有
6
所以方程组的通解为
7
x 1－ 2 x 2 5 x 3 1 例 3. 为 何 值 时 ， 线 性 方 程 组 3 x1 x 2 5 x 3 2 有 解 ， 2x 2x 1 3
(1)
或用矩阵方程,方程组(1)表示为: Ax b 非齐次线性方程组 Axb 有解的判断与求解步骤： (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B=(A, b) 化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和 R(B) 若R(A)R(B) 则方程组无解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并 令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B 的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
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例4. 求解齐次线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 0 2 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 0 x1 x 2 4 x 3 3 x 4 0
A 施行初等行变换：
.
解： 对系数矩阵
1 A 2 1 2 1 1 2 2 4
解：
并求一般解。
2 1 0 5 5 2 1 2
1 B 3 2
1 0 0
1 0 0
2 5 4
2 1 0
5 10 8
5 2 0
5 － 2 1
1 2 1
1 0 0
1 1 r2 2 r1 2 0 r3 r1 3 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
12
1 0 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
1 r3 r2 0 r2 ( 3 ) 0
2 1 4
5 2 8
1 － 2 1
2 时 方 程 组 有 解 。
8
1 B ~ 0 0
2 1 0
5 2 0
1 1 0
1 0 0
0 1 0
1 2 0
－1 1 0
x1 1 x 3 x2 1 2 x3
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解 对于方程12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
13
由此即得
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
形式
5 x 2c2 c2 , 1 3 4 x2 2c2 c2 , 3 x 3 c1 , x4 c2 ,