非齐次线性方程组
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
第三节 非齐次线性方程组
1
43 R(A)=R(B)=3 <5
4 3
方程组有
2
无穷多个解
x1
1 2Biblioteka x41 4x5
1 4
有
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 4
x3
x4
1 2
x5
3 2
1
43
取x4=x5=0, 得方程组的一个特解:
*
4 3
对应齐次方程组
x1
1 2
x4
1 4
x5
的同解方程组为:
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 x1
x2
p
x3
15 x4
3,
x1 5 x2 10 x3 12 x4 t
当p, t取何值时,方程组无解?有唯一解?
有无穷多解?在方程组有无穷多解的情
况下,求出一般解.
32
返回
解
1 1 2 3 1
B
1 3
3 1
6 p
1 3 15 3
1 5 10 12 t
1 1 0 2
2
3 1
(2). 当 1时,
1 1 1 1
B 0 0 0 0 . 0 0 0 0
R( A) R(B) 1.
因此方程组有无穷多个解.
(n r 3 1 2. 有两个任意常数).
26
返回
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
1、非齐次方程组的求解步骤
(1) 写出B，并将B化为行阶梯形；从而求出 R( A)与 R(B)以判 断是否有解;
3-6.非齐次线性方程组
ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
4-3.非齐次线性方程组PPT
1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组
(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问 取何值时，此方程组 （1）无解； （2）有唯一解； （3）有无穷多解.
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
3 非齐次线性方程组
( k1 , k2 R ).
返回
x1 1 1 1 2 x 0 1 2 k1 k2 即 x3 2 0 x 1 0 4
例2. 求解方程组
1 / 2 0 . 1 / 2 0 ( k1 , k2 R).
0 1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 1 r3 r1 0 0 1 2 1 / 2
1 1 r 3 r2 2 0
1 1 0 0
11
0
2 0
0 4 1 . 0 0 1
返回
R( A) 2,
§3 非齐次线性方程组
一、非齐次线性方程组有解的充要条件 二、非齐次线性方程组的通解结构 三、非齐次线性方程组的解法
1
返回
一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
6
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容. ④ 可写成: 相应的齐次方程组: AX = b AX = 0 ⑥ ⑦
性质3. 若1 ,2是⑥的解, 则1 2是⑦的解. 性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解, 则 是⑥的解. 定理: 若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解 X总可写成: X . 是⑦的解.
2
返回
则方程组④可写成:
x1 1 x2 2 xn n b
④的系数阵:
⑤
a11 A am 1
a12 am 2
a1n amn
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
非齐次线性方程组
1 9
3 7
6 3 6
( k1, k2 任意常数)
解
A~
1 a
a 1
1 1
a 1
a1
1 0
0 1
1 a 1
a a2
a
1 1 a a2
0
0
a2
1
2a
a
2
1 0 0 a1,a2 0 1 0
1 a a2 1
a2
4 x4 5x4
15 22
x1 x2
5x4 9
解
1 0 1 2 1
A
0 0
1 0
1 0
3 8 0 0
0 0 0 0 0
齐次方程组 的基础解系
2
1
1 1
,
2
3 0
0
0
1
1 2a a2
a2
当 a 1,a 2 时，方程组存在唯一解
x1
1 a a2
x2
x3
1
a2 1 2a
a2
a2
当 a 1时
A~
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 0
方程组有无穷多组解
X k11 k22
1 1 1 k1 1 k2 0 0 0 1 0 ( k1, k2 任意常数)
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例 判别方程组是否有解？
2x y 2z 3w 1 3x 2y z 2w 4 3x 3y 3z 3w 5
解 方程组的增广矩阵为
2 A 3
3
1 2 3
2 1 3
3 2 3
1 4 5
2
0
0
1 1 3
2 4 12
3 5 15
1 2
5
0
7 0
1 1 0
2 4 0
3 5 0
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
X
x
2
M
x
n
m个方程 ，
n个未知数
b1
b
b2
M
bm 3
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
r3 r1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1 1 3
r3 r2
r2 ( 14 )
0
1
3
2
1 7
4
1
1
4
1
0
3 2
r1r2
0
1
3 2
3 4 7 4
5
4
1 4
0 0 0 0 0
R( A) R( A) 2
0 0 0 0 0 12
1
0
32
3 4
5 4
0
1
32
74
x 1 2
y
2
k
1
z 0 1
2
其中
1
为基础解系
1
15
例 求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有（1）唯一解？
（2）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。
kx y z 1
（2）当 k 2 时，增广矩阵为
x
ky
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
x
y
kz
k
2
解 方程组的系数行列式为
2 1
1
2
1 1
1 3
r1 (r2 r3 )
0
1
0 2
0 1
7 3
1 1 2 9
1 1 2 9
R( A) 2, R( A) 3 方程组无解
19
作业
• P72 2.5(1) 2.7
20
可表示为 X k11 k22 L knrnr 。
7
非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组
AX b (1) AX 0 (2)
非齐次线性方程组的解的结构
AX b 的通解为
X k 11 L k n rn r
（1）的特解 （2）的通解
8
非齐次方程解的情况总结：
AX b 无解 R (A ) R (A ) AX b 有解 R (A ) R (A )
k11 1 k 1 (k 2)(k 1)2
2 1 1 1
A
1
2
1
2
1 1 2 4
r1 2r3 r2 r3
0
0 1
3 3 1
3 3 2
9
6 4
11k
0 0 0 3
r1 r2
0
3
3
6
（1）当 k 2 且 k 1时，
1 1 2 4
方程组有唯一解。
R( A) 3 R( A) 2
am1x1am2 x 2 L amn xn bm
(4)
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
系数矩阵
a1n
a2n
M
amn
a11 a12 L a1n b1
B
a21
a22
L
a2n
b2
M M M M M
am1 am2 L amn bm
AX b 有唯一解 R (A ) R (A ) n AX b 有无穷个解 R (A ) R (A ) n
9
齐次方程组解情况总结：
r A X 0 一定有解,因为R (A ) R (A )
r AX 0 有唯一解 R (A ) n
r AX 0 有无穷个解 R (A ) n
0
k1
1
k2
0
z 0 0 1
1
1
,
2
0
0
1
为基础解系
17
练习
为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？
有无穷多解时，求解方程组。
1
x1
x1 1
x2 x2
x3 x3
1
x1
x2
1
x3
2
解 方程组的系数行列式为
1 1 1 1 1 1 2 (3 )
如果 1,2 是（1）的解，则 1 2 是（2）的解。
证明 A1 b A2 b
A1 2 0
如果 是（1）的解， 是（2）的解，则
是（1）的解。
证明 A b A 0
A b
6
●非齐次线性方程组的解的结构定理
如果 是非齐次线性方程组的特解，1,2 ,L ,nr 是对应
的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解
增广矩阵
4
●非齐次线性方程组有解的充要条件
非齐次线性方程组AX=b有解
向量b可由矩阵A的列向量组 1,2 ,L ,n 线性表示 向量组 1,2 ,L ,n 与向量组 1,2 ,L ,n , b 等价
R1,2,L ,n R1,2,L ,n,b
R( A) R( A) 其中 A Ab ，称为增广矩阵
（1）的特解 （2）的通13解
例 求解线性方程组
2x 3y z 4 x 2 y 4z 5 3x 8y 2z 13 4x y 9z 6
r1 2r2 1 2 4 5
r3 3r2 r4 4r2
0
0
7 14
7 14
14
28
r1 r2 0 7 7 14
解 将增广矩阵作行初等变换
此时，方程组无解。
16
（3）当 k 1 时，增广矩阵为
1 1 1 1
A 11
1 1
1 1
11
1 1 1 1
0
0
0
0
0 0 0 0
R( A) R( A) 1 n 3
此时方程组有无穷多解，一般解为
x 1 y z （ y, z为自由未知量）
1 1
x 1 1 1
即
y
定理 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵
的秩等于增广矩阵的秩，即 R( A) R( A) 。 当 R( A) R( A) r n 时，方程组有唯一解； 当 R( A) R( A) r n 时，方程组有无穷多解； 当 R( A) R( A) 时，方程组无解。
5
●非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组 AX b (1) 对应的齐次线性方程组 AX 0 (2)
1 1 1
（1）当 0 且 3 时，方程组有唯一解
18
（2）当 0 时，方程组的增广矩阵为
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0
r2 r1 r3 r1
1
0
0
1 0 0
1 0 0
1 1 1
R( A) 1, R( A) 2 方程组无解
（3）当 3时，方程组的增广矩阵为
1
5
8
R( A) 2, R( A) 3 所以方程组无解
11
例 解线性方程组
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
解 将方程组的增广矩阵作初等行变换
1 A 3
1
1 1 5
3 3 9
1 4 8
1 4 0
1
r2 3r1
1 4
0 0 0
0
0
即得
x1
x2
x3 x4
5
4
1 4
0
0
3
2
3
4
k1
3
2
k2
7 4
1 0
0 1
x1
3 2
x3
3 4
x4
5 4
x
2
3 2
x3
7 4
x4
1 4
x3 x3
x
4
x4
(k1,k2 R)
Ax b 的通解为
x k11 L knr nr
2 3 1 4
A
1 3
2 8
4 2
5
13
4 1 9 6
r3 2r2
r4 r2
1 7
r2
r1 2r2
1
0
0
0
0 1 0 0
2 1 0 0
1
2
0
0
14
所以 R( A) R( A) 2 3 方程组有无穷多解
一般解为
x
y
1 2z 2 z
（其中Z为自由未知量）
令Z=K，将一般解改写为向量形式，得
1
第2.5节
非齐次线性方程组
2
线性方程组的矩阵描述
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................