如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
线性方程组的解的判定
1 2 0
5 7 0
2 5
,
0
得同解方程组:
x1
x2
x3 5x4 2, 2x3 7 x4 5,
即
:
x1 x2
2
x3 x3
5 7
x4 x4
2, 5,
令 x3=c1, x4=c2, 则方程组的通解为:
x1 c1 5c2 2,
x2 c1 7c2 5,
x3
c1 ,
x4 x4
,
令 x3=c1, x4=c2, 方程组的通解为:
x1
1 3
c1
7 3
c2
x2
5 3
c1
1 3
c2
,
(c1 , c2
R).
x3 c1
x4 c2
求解齐次线性方程组步骤:
将系数矩阵用初等行变换化成行最简形矩阵, 写 出同解方程组(用自由未知量表示) , 即可写出其通解.
对于齐次线性方程组 Amn x 0 有如下推论: 推论1 若 m<n , 方程组 Amn x 0必有非零解. 推论2 若 m=n , 方程组 Amn x 0有非零解的充要 条件是 | A | 0.
三、矩阵方程有解的判定
定理3.3 矩阵方程AX=B有解的充要条件 是 R(A)=R(A|B).
利用此定理可以证明如下的矩阵秩的不等式: 定理3.4 设 AB=C, 则 R(C) min{ R(A), R(B)}.
2个定理的证明均见课本Page90.
x1
b1
记: 系数矩阵为A=(aij),
x
x2
,
b
b2
,
则线性方程组可记为: Ax=b. xn
bm
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B=(A|b) 来 讨论线性方程组 Ax=b 的解?
§4.6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
)=
r < n ,
X 0 + c1 X 1 + c 2 X 2 + L + c n r X n r , 其 中 X 1 , X 2 , L , X n r 为 导 出 组 A X =0 的 一 个 基 础 解 系 , X 0为 A X = β 的 一 个 特 解 .
上述定理告诉我们判断非齐系线性方程组 AX = β 是 否 有 解 , 以 及 当 有 无 穷 解 时 求 解 % 的 方 法 : 把 增 广 矩 阵 A=(A,β )初 等 行 变 换 化 为 J o r d a n 阶 梯 形 B ,不 妨 设 为 1 0 ... 0 b11 ... b1,n r 0 1 0 0 b b 2,n r 21 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 1 br 1 ... br ,n r B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0
问 λ 取何值时 , 有解 ? 有无穷多个解 ?
作初等行变换, 解 对增广矩阵 B = ( A, b ) 作初等行变换,
λ B =1 1 1 1 1
λ
1
λ
1 1 λ ~1 2 λ λ
λ λ λ 1 λ
1பைடு நூலகம்
2
1
1
1
1 λ λ 1 2 ~ 0 λ 1 1 λ λ λ 0 1 λ 1 λ2 1 λ2 2 1 1 λ λ 2 ~ 0 λ 1 1 λ λ λ 2 2 3 0 0 2 λ λ 1+ λ λ λ
% R ( A ) = R ( A ) = 2,故 有 无 穷 多 个 解 . x 3 , x 4 , x 5为 自 由 变 量 , 分 别 代 入 值 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)解 的 导 出 组 AX=0的 一 个 基 础 解 系
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
如何求非齐次线性方程组Ab的通解
如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
【文献综述】关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比
文献综述信息与计算科学关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。
特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。
广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。
若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。
若A 是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。
若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A^g、A^-或A^(1)等符号表示，有时简称广义逆。
线性方程组的逆矩阵解法一般只适用于一种特殊情况,即适用于系数矩阵为方阵的时候，用于一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统本文探讨了线性方程组的广义逆矩阵解法。
对一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统。
本文通过运用相关定理，进行线性方程组的广义逆矩阵解法和初等矩阵法的对比。
这对于我们理解相关广义逆矩阵的应用会有帮助。
白素英（2010）在《关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比》一文中给出相容的非齐次线性方程组的两种不同的解法，即矩阵的初等变换法及广义逆矩阵法，并证明了两种方法通解的等价性，通过实例给出了惟一的极小范数解。
对于不相客的非齐次线性方程组，用广义逆矩阵法由实例给出了惟一的极小范数最小二乘解。
侯双根（1992）在《广义分块对角矩阵的广义逆矩阵》一文中对广义分块对角矩阵的广义逆矩阵给出了一个运算规则，并且利用它可以简化求广义分块对角矩阵的广义逆矩阵。