如何求非齐次线性方程组axb的通解修订版
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
matlab 非齐次方程的通解
matlab 非齐次方程的通解非齐次方程是数学中常见的一种方程形式，与齐次方程相对应。
在解非齐次方程时，我们需要找到其通解。
本文将介绍如何求解非齐次方程并得到其通解。
一、什么是非齐次方程？非齐次方程是指形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的方程，其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数，y(x)是未知函数。
这个方程中的f(x)项使得它与齐次方程不同，也使得解的求解变得更加复杂。
二、如何求解非齐次方程？对于非齐次方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是，假设非齐次方程的解可以表示为齐次方程的通解和一个特解的和。
具体步骤如下：1. 求解齐次方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的通解。
我们可以使用特征方程法或级数法来求解齐次方程，得到通解y_h(x)。
2. 假设非齐次方程的特解为y_p(x)，代入非齐次方程，得到一个关于y_p(x)的方程。
3. 根据非齐次方程的形式，我们可以猜测特解的形式，并将其代入方程。
根据猜测的形式，我们可以确定特解的形式。
4. 将特解代入非齐次方程，并求解得到特解y_p(x)。
5. 非齐次方程的通解为y(x) = y_h(x) + y_p(x)，其中y_h(x)为齐次方程的通解，y_p(x)为非齐次方程的特解。
三、非齐次方程的通解举例考虑一个具体的非齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 2x + 1。
我们可以按照上述步骤求解该方程。
1. 求解齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0的通解。
该方程的特征方程为r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1，重根。
因此齐次方程的通解为y_h(x) = (c1 + c2x)e^{-x}，其中c1和c2为常数。
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组解法(定稿)
线性方程组解的结构〔解法〕一、次性方程的解法【定】r )=,假设AX=0〔Amn矩〕的一解ξ1,ξ2,L,ξnr,且足：A(1)ξ1,ξ2,L,ξn r性无关;(2)AX=0的)任一解都可由解性表示.称ξ,ξ,L,ξAX=0的基解系.12nr称X k1ξ1k2ξ2Lknrξnr AX=0的通解。
其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数).次性方程的关就是求通解，而求通解的关是求基解系.【定理】假设次性方程AX=0有解，(1)假设次性方程AX=0〔A m n矩〕足r(A)n，只有零解；次性方程有非零解的充要条件是r(A)n.〔注：当mn，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.〕注：1、基解系不唯一，但是它所含解向量的个数相同，且基解系所含解向量的个数等于nr(A).2、非次性方程AX B的同解方程的出方程〔称“出〞〕次性方程AX O所的同解方程。
由上述定理可知，假设m是系数矩的行数〔也即方程的个数〕，n是未知量的个数，有：〔1〕当mn，r(A)m n，此次性方程一定有非零解，即次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；〔2〕当m n，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0；〔3〕当m n且r(A)n，假设系数矩的行列式A0，次性方程只有零解；〔4〕当m n，假设r(A)n，存在次性方程的同解方程；假设r(A)n，次性方程无解。
1、求AX=0〔Amn矩〕通解的三步〔1〕A 行C〔行最形〕;写出同解方程CX=0.(2)求出CX=0的基解系ξ1,ξ2,L,ξnr;(3)写出通解Xk1ξ1k2ξ2L knrξn r其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0, 【例题1】解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0, 4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有r(A)4n ，那么方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 40.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数〔即mn 〕〔注意：方程组的个数不等于未知量的个数〔即n 〕，不可以用行列式的方法来判断〕，从而可计算系数矩阵A 的行列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 3270，知方程组仅有零解，即x 1x 2x 3x 40.4 6 1247注：此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题2】解线性方程组x 2 2x 3 2x 4 6x 5 0,5x 14x 23x 33x 4x 50.解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得r(A)2n ，那么方程组有无穷多解，其 同解方程组为x 1x 3 x 4 5x 5,〔其中x 3，x 4，x 5为自由未知量〕x 22x 3 2x 46x 5.令x 3 1，x 4 0，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 3 0，x 4 1，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 30，x 40，x 51，得x 1 5,x 26，于是得到原方程组的一个根底解系为11522611，20，30.010001所以，原方程组的通解为X k 11 k 22 k 33〔k 1，k 2，k 3R 〕.二、非齐次线性方程组的解法求AX =b 的解〔A mn,r(A)r 〕用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关c11c12Lc1rLc1n d1c22Lc2r Lc2n d2OM M M行c rr L c rn d r其中c ii 0(i1,2,L,r),所以知(AMb) d r1M0(1)d r10时,原方程组无解.d r10,rn时,原方程组有唯一解.(3)d r10,r<n时,原方程组有无穷多解.其通解为X 0 k1ξ1k2ξ2Lk nrξnr ，k1,k2 ,L,k nr为任意常数。
第九讲 求解非齐次线性方程组
中基础解系向量个数为
9.1 复习
以上例说明： 令
为主变量，
分别得
的解为
则
为自由变量.
9.2 求特解
这次课，考虑求解一般线性方程组
已知：(1)
有解
(2)设 是
的一特解，则
是方程全部解.
9.2 求特解
例
一个特解
则原方程组解集
从图像上看，
和
是两条平行直线.
9.2 求特解
如何求特解？ 例 解：考虑增广矩阵
§9 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
设是
阶矩阵，考虑
行变换
行变换
(阶梯形)
主变量：主列对应的变量. 主列个数 主元个数 主变量个数
秩 无关行向量个数 无关列向量个数
列对换
9.1 复习
(1) 中主列设为第
列，则 中
列线性无关
(称为 中主列)，且 中其余列均是这些主列的线性组合.
例:
容易看出
则
(2)
则 是可逆的.
有唯一解
9.3 解的一般性讨论
则 有唯一解(特解).
只有零解，此时
例：
的列数. 考虑
无解或
有解
9.3 解的一般性讨论
则 行消去得到 个主元，即
列对换
则
变为
此时自由变量有
故这种情况下
(同解). 个.
有无穷多解.
总有特解
9.3 解的一般性讨论
有解
有解.
满足
若有解，则有无穷解
有无穷解.
9.3 解的一般性讨论
注记：
列满秩.
即 有左逆 行满秩.
即 有右逆
9.3 解的一般性讨论
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
一阶非齐次线性方程的通解
一阶非齐次线性方程的通解
如今，大数据、云计算正在发力，助力互联网的发展与改变。
一阶非齐次线性方程也作为一种重要的解决复杂算法问题的数学模型，被广泛应用在日常的计算过程中。
一阶非齐次线性方程定义为：ax + b = 0，该方程组有一个形如x=`-b/a`的解，a、b均为实数，a ≠ 0。
它是一个相对简单的一阶线性方程，意味着方程中只有一个未知数x，且对应一次阶，因其只含一个未知量，所以只有一个解。
一阶非齐次线性方程经常被用来解决多种数学方法的计算问题，而且调用起来也可以比较快捷，提高计算效率。
例如该方程可以用来确定特定的上涨速度，根据实际数据设定方向下降点，便可着手处理复杂的优化问题。
此外，一阶非齐次线性方程的求解过程也相对简单，只要将所有的参数封装入恰当的初始值中，可求得该方程的解，从而通过指定精确的值来完成解决这一复杂计算问题。
可见，一阶非齐次线性方程在互联网行业有着重要的应用价值，它能够快速解决各种复杂的计算问题，并对对网络安全也起着重要作用。
因此，熟练掌握一阶非齐次线性方程，对于现代互联网行业来说，势在必行而易之。
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如何求非齐次线性方程
组a x b的通解修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解?
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。