非齐次线性方程组的解
非齐次线性微分方程组有解的充要条件
假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解（注：由于对于矩阵的秩有：max{R(A),R(B)}<=R(A,B)，故不存在其它情形）若n>m时，则按照上述讨论，4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）扩展资料：非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
齐次线性方程组解的性质：定理1 若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理2 若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。
4_6非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
解证 对增广矩阵B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
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0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 B 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
例１ 求下述方程组的解 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 7 , 3 x x 2 x x 3 x 2, 1 2 3 4 5 2 x 2 x 3 2 x 4 6 x 5 23, 8 x1 3 x 2 4 x 3 3 x 4 x 5 12.
下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关 系.
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(1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的一个解,则 u1+v1也是Ax=b的解. 证: ∵ Au1=b, Av1=0 故A(u1+v1) =Au1+Av1 =b+0 =b (2)如果u1,u2是Ax=b的两个解,则u1-u2是Ax=0的解.
显然，R( A) 2, R( B ) 3,
故方程组无解．
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x1 x2 x x 3 2 例３ 证明方程组 x3 x4 x x 5 4 x5 x1 求出它的一切解．
a1 a2 a3 a4 a5 有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
由R A R B ,知方程组有解又R A 2, n r 3, .
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
x1 x2 x3 x4 x5 7 2 x2 x3 2 x4 6 x5 23
怎么解非齐次方程得出基础解系
怎么解非齐次方程得出基础解系
非齐次线性方程组的解法和齐次线性方程组的解法不同，需要求
出特解和基础解系，基础解系也称为齐次线性方程组的解。
非齐次线性方程组解法步骤如下：
1. 求出对应的齐次线性方程组的基础解系。
首先，要求出对应的齐次线性方程组的基础解系是必须的。
因为
非齐次线性方程组的解等于其对应的齐次线性方程组的解加上特解，
特解会在后面进行求解。
设对应的齐次方程为：
Ax = 0
其中，A 表示系数矩阵，x 表示未知向量，0 表示零向量。
2. 求出非齐次线性方程组的一组特解。
将非齐次线性方程组表示为：
Ax = b
其中，b 表示非零右端向量，即非齐次线性方程组。
设 x0 为 Ax0 = b 的一组特解。
可以使用高斯消元法或矩阵求
逆法求解。
3. 求出非齐次线性方程组的通解。
使用齐次线性方程组的基础解系，以及特解来求出非齐次线性方
程组的通解，即形如：
x = x0 + c1x1 +c2 x2+...+cnxn
其中，cx 表示常数。
通过上述步骤，我们就能得到非齐次线性方程组的通解。
在确定
了特解之后，基础解系的选择可以使用高斯消元法或矩阵求逆法进行。
本文主要介绍了非齐次线性方程组的解法，包括求对应齐次方程
的基础解系和求出非齐次方程的特解，最终得到非齐次线性方程组的
通解。
掌握这些知识可以更好地解决非齐次线性方程组问题。
非齐次线性方程的解
非齐次线性方程的解
这个结论在微分方程里很好用
之前回答的可能有点啰嗦了，
直接点就是
1 非齐次线性方程组的解由特解，齐次通解构成，
2 齐次通解由基础解系和系数构成，
3 相同的基础解系对应相同的特解，
4 同一方程组的基础解系是可以相互转化的
这样两个解一减就消掉了特解
以下是之前的回答
有一个直观的方法:
可以从非齐次线性方程组通解的结构入手
x ＝特解 + 齐次通解
其中特解和齐次通解是线性无关的
而齐次通解，之所以叫通解，是因为他可以表示所有的解，只是选不同的自由变量，可能会有不同的形式（基础解系不同），但可以转化为同一个解系
所以说本质上，非齐次的特解“只有一个”
所以非齐次解k·x1 －k·x2 会消去特解，（k表示相同倍数），只剩下齐次方程组的解
再详细说明一下过程: 用非齐次通解表示x1，x2，只要用同样的齐次通解的基础解系，必然可以有相同的特解，可以消去。
补充说明:
在解方程时，我们可以发现特解是由你的齐次通解(因为它必须是线性无关的)和系数矩阵决定的，其中系数矩阵是主体条件，不会改变。
那么决定特解的因素就是齐次通解，实际上是基础解系，而同一题目有不同的基础解系，是因为选取的自由变量不同（自由变量个数＝n－r）
从以上两段论述可以看出，特解的不同本质在于选取自由变量的不同，写一下算一算就知道可以通过调整基础解系的系数ki，来将不同解系转化为同一个
（突然看到问题，手机打的，后续有空会补充形式化描述和相关例子）。
3 非齐次线性方程组
( k1 , k2 R ).
返回
x1 1 1 1 2 x 0 1 2 k1 k2 即 x3 2 0 x 1 0 4
例2. 求解方程组
1 / 2 0 . 1 / 2 0 ( k1 , k2 R).
0 1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 1 r3 r1 0 0 1 2 1 / 2
1 1 r 3 r2 2 0
1 1 0 0
11
0
2 0
0 4 1 . 0 0 1
返回
R( A) 2,
§3 非齐次线性方程组
一、非齐次线性方程组有解的充要条件 二、非齐次线性方程组的通解结构 三、非齐次线性方程组的解法
1
返回
一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
6
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容. ④ 可写成: 相应的齐次方程组: AX = b AX = 0 ⑥ ⑦
性质3. 若1 ,2是⑥的解, 则1 2是⑦的解. 性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解, 则 是⑥的解. 定理: 若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解 X总可写成: X . 是⑦的解.
2
返回
则方程组④可写成:
x1 1 x2 2 xn n b
④的系数阵:
⑤
a11 A am 1
a12 am 2
a1n amn
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组是一类常用的数学模型，它们有不同的解法，以决定一组参数的唯一值。
本文将讨论非齐次线性方程组的解的判定，其中包括非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值等。
首先，从非齐次线性方程组判定解存在性来看，它有两种情况：第一种情况是非齐次线性方程组存在一个可行解，有无数多个，那么它便是有解的方程组; 第二种情况是方程组中存在一个或多个约束条件，如果约束条件得不到满足，则此方程组就是无解的方程组。
其次，从非齐次线性方程组的唯一性判定来看，如果它的系数矩阵是可逆的，就说方程组有唯一解；如果它的系数矩阵是不可逆的，就说方程组有无数多个解。
最后，从非齐次线性方程组的极值判定来看，如果满足系数矩阵的列向量，使该系数矩阵的行列式的值为0，即该非齐次线性方程组有极值。
综上所述，从非齐次线性方程组解的判定上可以看出，非齐次线性方程组满足存在性、唯一性和极值的情况，都可以更好的反映出模型的实际情况，帮助我们更准确的判断出模型的解法。
通过对非齐次线性方程组的解的判定来总结，可以更准确的判定非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值。
进而可以辅助决策者指定模型参数和其解法，以及决定下一步采取的行动。
非齐次线性方程组解的结构
(I)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(II)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(I) 的解为 x1 302, x2 300
(II)的解为 x1 0.5075, x2 1.482
2. 把 1.015舍入为 1.02，得
(I) (II)
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
k3(1, 0, 1, 0) k4 (0, 1, 0, 1)
即
k1(1, 1, 0, 0) k2(0, 0, 1, 1) k3(1, 0, 1, 0) k4(0, 1, 0, 1)
因向量组 (1, 1, 0, 0)，(0, 0, 1, 1)，(1, 0, 1, 0)，(0, 1, 0, 1)
例 考虑方程组
(I)
x1 x1
x2 1.015 x2
2 1
(II)
x1 x2 2
x1
1.015 x2
1
在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。
讨论 首先
方程组(I)的理论解为 x1 202, x2 200 方程组(II)的理论解为 x1 0.5111, x2 1.489
1. 把 舍入为 1.01，得
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
(I) 的解为 x1 152, x2 150
(II) 的解为 x1 0.5148, x2 1.485
上述讨论可得，方程组(Ⅰ)的系数的一个极小变 化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。 而方程组(Ⅱ)则无此现象，相应称之为良态的。
例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户 有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一 人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们 共同制订了一个修理计划：
3.5 非齐次线性方程组解
a1n a2n = , ,, 1 2 n a mn
A = ( A B ) = 1, 2 ,, n ,
则有等价的矩阵形式： 则有等价的向量形式： AX＝B
x1 b1 x b 2 2 X= ,B= = xn bm
求该方程组的通解. 解 因为方程组AX＝B的导出组的基础解系含 4－3=1个解向量，于是导出组的任何一个非零解 都可作为其基础解系。
1 7 1 而 g 1 g 2 g 3 = 0 2 3 2
是导出组的非零解，故方程组AX=B的通解为
得通解为：
1 1 5 16 1 0 0 23 X = c1 2 c2 －2 c3 －6 0 . 0 1 0 0 0 0 1 0
令 x3 = x4 = x5 = 0,
得AX＝B特解：
16 0 g 0 = 23 0 0 所以，通解为
g = g 0 c11 c22 c33
(c1, c2 , c3 R)
也可由消元解法求通解：
原方程组的同解方程组为：
不唯一。 （3）AX＝B无解
r ( A) = r ( A) < n r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , < n 可由1, 2 ,, n 线性表出，表示式 r ( A) r ( A) r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , 1 不可由 1, 2 ,, n 线性表出。
方程组AX＝B的解。 证明 因为A g ＝B , A＝0，