非齐次线性方程组有解的条件
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点;但是同学们学得时候要系统;要全面;要完整..下面是解线性方程组各种情况的标准格式;请同学们以此为准;进行练习..一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：1 若齐次线性方程组()=;则只有零解；r A n2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.注：当r A n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式m nA=.注：1、基础解系不唯一;但是它们所含解向量的个数相同;且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组..由上面的定理可知;若m是系数矩阵的行数也即方程的个数;n是未知量的个数;则有：1当m n<时;()≤<;此时齐次线性方程组一r A m n定有非零解;即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；3当m nA≠;故齐次线性=且()r A n=时;此时系数矩阵的行列式0方程组只有零解；4当m n >时;此时()r A n ≤;故存在齐次线性方程组的同解方程组;使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==;则方程组仅有零解;即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠;不可以用行列式的方法来判断;从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---;知方程组仅有零解;即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ;4x ;5x 为自由未知量令31x =;40x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;41x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;40x =;51x =;得125,6x x ==-;于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以;原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++1k ;2k ;3k R ∈.例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系;并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩其中2x ;3x 为自由未知量令21x =;30x =;得142,0x x ==；令20x =;31x =;得141,0x x =-=;于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以;原方程组的通解为1122X k k ξξ=+其中1k ;2k 为任意实数.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==;则方程组有唯一解;所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠;则原方程组无解例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;可见()3()2r A r A =≠=;所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ;4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ;4x 为自由未知量令31x =;40x =;得121,2x x =-=；令30x =;41x =;得125,7x x ==-;于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦..所以;原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++1k ;2k R ∈.例 求线性方程组 的全部解.解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可见()()34r A r A ==<;所以方程组有无穷多解;其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =;可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数;得;1233,3,1x x x ==-=;于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以;原方程组的通解为X k ηξ=+ k R ∈.。
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法线性方程组是数学中的基本概念之一，它由若干个线性等式组成，每个线性等式都可以写成\[a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b\]其中$a_1, a_2, \cdots, a_n$为已知系数，$b$为已知常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$为未知数。
如果一个方程组中的方程都是线性等式，并且未知数的个数与方程的个数相等，那么这个方程组就是一个齐次线性方程组。
否则，它就是一个非齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，我们可以很容易地得出解的性质。
通过高斯消元法，我们可以将齐次线性方程组转化为一个上三角方程组。
由于方程组是齐次的，所以最后一个未知数可以任意取值。
然后，一次逆推，我们就可以得到整个方程组的解。
如果未知数的个数为$n$，那么齐次线性方程组的解将包含$n-1$个自由变量。
接下来我们来讨论非齐次线性方程组的解法。
与齐次线性方程组不同，非齐次线性方程组的解并不总是存在，而且如果存在，解也不一定唯一。
所以我们需要找到一种方法来判断非齐次线性方程组是否有解，并且找到它的一个特殊解。
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的行秩等于增广矩阵的行秩。
如果这个条件满足，那么我们可以通过高斯消元法将方程组转化为一个上三角方程组。
当方程组用矩阵表示时，如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么方程组无解；如果两个秩相等，那么方程组有解。
我们可以对非齐次线性方程组做如下判断：1. 对方程组进行高斯消元操作，将其转化为上三角方程组。
2. 根据上三角方程组，判断方程组是否有解。
如果最后一行的最后一个非零元素对应的常数不为零，则方程组无解；否则，方程组有解。
3. 如果方程组有解，我们需要找到一个特殊解。
特殊解可以通过回代得到。
我们可以自由地选择最后一个未知数的值为任意常数，然后逐个回代即可求得特殊解。
4. 方程组的解是由特殊解和齐次方程组的解的线性组合得到的。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
非齐次线性方程组
x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
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r1
M M
0
0
cii0 i 1 , r.
其相应的同解的阶梯形方程组为
c 1 x 1 1 c 1 x 2 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1
c 2 x 2 2 a 2 r x r c 2 n x n d 2
c rx rr c rx n n d r （2）
二、非齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L a2nxn LLLL
b2
(1)
am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵形式
Axb
取b = 0，得到的齐次线性方程组
A x 0
(2 )
称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组..
方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：
这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b b 0 .
定理3.17 若 x1是Axb 的一个解, x 2 是Ax 0 的解.
则 x1 x2 是Ax b 的解.
. 这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b 0 b .
进一步地有: 定理3.17-2 若 Ax b 有解, 则其一般解为
2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替
自由未知量，求出一个特解 x 0
3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个
基础解系: x1,x2L ,xnr
4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：
x0c1x1c2x2Lcnrxnr
其 中c1,c2,Lcnr任 意 常 数..
例1 设非齐次线性方程组 Ax b.的增广矩阵
1、r(当 A )r(A)时 ,方程 (3.1)无 组解 ( d； r1 0),
2、r当 (A)r(A)n时 ,方程 (3.1)组 有唯一 ( dr10,rn),
3、r当 (A )r(A)n时 ,方程 (3.1)有 组无穷 . 多
4 、方 (3)有 .程 1 解 (r 组 (A d ) r r 1( A )0 .,.rn),
1 1 1 0 0 0
(
A,
b)
1 2
1 2
1 0
1 1
2 2
1 1
5
5
3
4
8
4
试求 Ax b. 的一般解.
解
1
1
0
1 2
1
1
2
(A,b)初 uuu等 uuu行 uuu变uuu换uuuur0 0 1
1 2
0 0 0 0
1 12（U，d） .
0
0
0 0 0 0 0 0
取自由未知量 x2, x4, x5, 并取值 x2x4x50,
以下讨论 非齐次线性方程组(1)解的情况..
对增广矩阵 ( A , b ) 做初等行变换
最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设
c11 c12 L
0
c22 L
M M
0
0L
0 0 L
M M
0 0 L
c1r L c2r L
M c rr L 0L M 0L
c1n
d1
c2n
d2
M M
c rn
dr
0
d
k3
1 0 1 0 1
.
k1, k2 , k3 为任意常数.
【例 】 a取什么值时，方程组
axx11
x2 x2
x3 x3
a 1
x1 x2 ax3 1
0 d r1
00
00
r —— 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数..
讨论方程组（1）的解的情况：
1 、 如dr 果 10 , 则方程组（1）无解.
2 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组（1）有唯一解. 3 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组(1)有无穷多解. 推论
2
(1 2
,0,
1 2
,1, 0 )T
3 (1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T ..
于是 Axb的一般解为
0 k 11 k 22 k 33
1 0
12 0 0
k1
1 1 0 0 0
k2
1 2 0
12 1 0
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
一. 非齐次线性方程组有解的条件
设有非齐次线性方程组 非齐次组的一般形式
若记
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 a22x2 L LLLLLLL
a2nxn b2 LLLLL
（1）
am1x1 am2x2 L amnxn bm
(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式 .
因此
b 非齐次线性方程组有解 可由1,2,L,n线性表示 秩 { 1 ， 2 ， L ， n , b } 秩 { 1 ,2 , L ,n } . r(A ,b)r(A ).
于是有下面的定理
定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解 r(A ,b)r(A ).
代入 Ux d , 求得 Axb的一个特解.
0
(1,0,1,0,0)T. 22
取自由未知量 x2, x4, x5, 的3组值 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
代入 Ux 0, 求得 Ax 0 的基础解系.
(不要代入Ux d), 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T .
注意 若 x1,x2是Axb的两个解,但 k1x1k2x2(k1,k2 F ) 一 般 不 是 Axb的解. 这是因为
A (k 1x 1k 2x 2)k 1A x 1k 2A x 2 k 1 bk 2b(k 1k 2)bb .
定理3.16 若 x1,x2是Axb 的两个解,则 x1 x2 是Ax 0 的解.
x x0 x,
x 其中 0 是Ax b 的一个特解(某一个解);而
xk1x1Lkpxp
是Ax 0 (也称 Ax b的导出组) 的一般解.
求解关键： 1、方程组（1）的一个特解；
2、导出组（2）的一个基础解系..
求非齐次线性方程组的步骤：
1、A 行 变 换
Ir 0
B 0
A ( A, b)
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
x 1
a2n
,
x
x2
amn
x n
b1
b
b2 M
b
m
非齐次组的矩阵形式
则上述方程组（1）可写成矩阵形式 Ax b. ( 2 )
若令 A 1, 2, L, n 则有
x 11 x 22 L x nn b(3) 非齐次组的向量形式