数值分析10(线性方程组的条件)
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数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
数值分析10迭代法的收敛性分析
例如，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是两种常见的求解线性方程组的迭代法。通过收敛性分析，可以发现Jacobi迭代 法在一般情况下是收敛的，但收敛速度较慢；而Gauss-Seidel迭代法在一般情况下也是收敛的，且收敛速度较快。因此，在 实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代方法。
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有 效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳 定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中 的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决 实际问题提供更有力的支持。同时，随着数 学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加 深入和完善。
感谢您的观看
THANKS
例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问 题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法 在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢 或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛 的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实 际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代 方法。
06
迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
01
02
03
迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度 的一个直观指标，迭代次 数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重 要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要 方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性 分析在非线性方程求解中也有着重要的作用 。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛 速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和 参数，提高求解效率。
研究方向
进一步深入研究迭代法的收敛性，探索更有 效的迭代公式和算法，以提高收敛速度和稳 定性。
展望
随着计算技术的发展，迭代法在数值分析中 的应用将更加广泛，其收敛性分析将为解决 实际问题提供更有力的支持。同时，随着数 学理论的发展，迭代法的收敛性分析将更加 深入和完善。
感谢您的观看
THANKS
例如，梯度下降法和牛顿法是两种常见的求解优化问 题的迭代法。通过收敛性分析，可以发现梯度下降法 在一般情况下是收敛的，但可能会遇到收敛速度较慢 或者不收敛的情况；而牛顿法在一般情况下也是收敛 的，且收敛速度可能比梯度下降法更快。因此，在实 际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代 方法。
06
迭代法收敛的充要条件
迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。谱半径是迭代矩阵所有特征值的模的最大值。
收敛性的判定方法
可以通过计算迭代矩阵的特征值来判断迭代法的收敛性，也可以通过迭代矩阵的范数来近似判断。
收敛速度的度量
01
02
03
迭代次数
迭代次数是衡量收敛速度 的一个直观指标，迭代次 数越少，收敛速度越快。
在非线性方程求解中的应用
非线性方程的求解是数值分析中的另一个重 要问题，迭代法也是求解非线性方程的重要 方法之一。与线性方程组求解类似，收敛性 分析在非线性方程求解中也有着重要的作用 。通过收敛性分析，可以判断迭代法的收敛 速度和收敛性，从而选择合适的迭代方法和 参数，提高求解效率。
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
西安石油大学研究生数值分析10 11年试题
2010/2011学年第I学期数值分析考试题（卷）
一、填空题（每题2分，共20分） 1.近似数 x =0.231关于真值x=0.229有
位有效数字。 。
n
2.求方程 f ( x) 0 的根时，对应的牛顿切线法迭代公式为 3.设 l i ( x) （i=0,1,2,…,n）是n次拉格朗日插值基函数，则
4 0 x1 5 2 3 1 1 x 2 9 2 2 0 x 3 3
四、（12分）写出解线性方程组
4 x1 2 x3 4 x1 4 x 2 2 x3 1 的高斯—赛德尔迭代法的迭代格式，并判断其收敛性。 3 x 5 x x 2 2 3 1
l ( x) =
i 1 i
。
4.求解微分方程初值问题
y ' f ( x, y ) 时，设x节点步长为h，则欧拉预估— y ( x0 ) y 0
迭代法和
校正方法的局部截断误差为 。 5.若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则 迭代法收敛。 6.差商与向前差分满足关系： 差商与向后差分满足关系： 7.用数值方法求积分 。 。
五、（12分）已知一组观察数据为 i 0 1 2 2 3 3 4
xi
1
yi
0
-5
-6
3
试用此组数据构造3次牛顿插值多项式 N 3 ( x) ，并计算 N 3 (1.5) 的值。 六、（12分）试确定经验公式 y ae 中的参数a和b（a为正数），使该函数曲线与下列数
bx
据按最小二乘原则相拟合（至少保留ห้องสมุดไป่ตู้位小数）。 1 2
xi
3 20
一、填空题（每题2分，共20分） 1.近似数 x =0.231关于真值x=0.229有
位有效数字。 。
n
2.求方程 f ( x) 0 的根时，对应的牛顿切线法迭代公式为 3.设 l i ( x) （i=0,1,2,…,n）是n次拉格朗日插值基函数，则
4 0 x1 5 2 3 1 1 x 2 9 2 2 0 x 3 3
四、（12分）写出解线性方程组
4 x1 2 x3 4 x1 4 x 2 2 x3 1 的高斯—赛德尔迭代法的迭代格式，并判断其收敛性。 3 x 5 x x 2 2 3 1
l ( x) =
i 1 i
。
4.求解微分方程初值问题
y ' f ( x, y ) 时，设x节点步长为h，则欧拉预估— y ( x0 ) y 0
迭代法和
校正方法的局部截断误差为 。 5.若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则 迭代法收敛。 6.差商与向前差分满足关系： 差商与向后差分满足关系： 7.用数值方法求积分 。 。
五、（12分）已知一组观察数据为 i 0 1 2 2 3 3 4
xi
1
yi
0
-5
-6
3
试用此组数据构造3次牛顿插值多项式 N 3 ( x) ，并计算 N 3 (1.5) 的值。 六、（12分）试确定经验公式 y ae 中的参数a和b（a为正数），使该函数曲线与下列数
bx
据按最小二乘原则相拟合（至少保留ห้องสมุดไป่ตู้位小数）。 1 2
xi
3 20
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
数值分析10线性方程组的条件
x3(k ) ) / 10
x ( k 1) 3
(13
x ( k 1) 1
x2(k1) ) / 15
x ( k 1) 1
(1 )x1(k)
(7
x(k) 2
x3(k ) ) /
9
x ( k 1) 2
(1 )x2(k)
(8
x ( k 1) 1
iter = iter + 1; for i=1:n
s=0; for j = 1:i-1, s=s+A(i,j)*x(j); end for j = i+1:n, s=s+A(i,j)*xold(j); end x(i,1)= (1-omega)*xold(i)+omega*(b(i)-s)/A(i,i)%% x(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i); end xold=x; r=b-A*x; err=norm(r)/r0; end
x ( k 1) 1
(7
x2(k )
x
(k 3
)
)
/
9
x ( k 1) 2
(8
x(k) 1
x3(k ) )
/
10
x ( k 1) 3
(13
x(k) 1
x2(k ) )
/
15
x ( k 1) 1
(7
x2(k )
x3(k ) ) /
9
x ( k 1) 2
(8
x ( k 1) 1
加速收敛序列
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( k 1) (k ) (k ) x2 (8 x1 x3 ) / 10
( k 1) (k ) (k ) x3 (13 x1 x2 ) / 15
x
x
( k 1) 1
(1 ) x
(1 ) x
(k ) 1
(7 x
(k ) 2
x )/9
(k ) 3
L6 3, L12 3.10582854, L24 3.13262861, L48 3.13935020
4 1 L(1) L n 3 2n 3 Ln (1) (1) L(1) 3.141 10472, L 3.141 56197, L 6 12 24 3.14159073
x M 1 Nx M 1b, 其中A M N
对任意的f 和任意的初始 向量X 迭代法收敛的充 分必要条件是 ( B ) 1和 充分条件是||B|| 1
(0)
中止准则
|x
(k ) *
12:47
|| B || L (k ) (k ) ( k 1) || X ( k ) X ( k 1) || x | |x x | || X X * || 1 || B || 1 L
《数值分析》 10
逐次超松驰迭代法
线性方程组的条件数
12:47
1/33
统一的不动点框架 迭代法构造 x ( x) 收敛条件(局部vs全局)
x *为 ( x )的不动点, ( x ) 在x *的某邻域N (x * )连续 且 | ( x * ) | 1, 则迭代法 对任意x (0) N (x * )收敛
0 a12 a1n 0 a 0 U L 21 0 a n 1, n 0 a n1 a n , n 1 0
12:47
( k 1) 2
(k ) 2
(8 x
( k 1) 1
x ) / 10
(k ) 3
( k 1) (k ) ( k 1) ( k 1) x3 (1 ) x3 (13 x1 x2 ) / 15
12:47
7/33
A=
D
-L
-U
a11 a 22 D a nn
1 ( x ) 0 1 ( x )
加速收敛序列
( ( x )) ( x ) ( x ) ( x) x
2
x n 1
12:47
( ( xn ) xn ) xn ( ( xn )) 2 ( xn ) xn
5/33
12:47
14/33
预备知识:
思路:
i
det( A)
a11
f ( ) det( I A) a n1
a1n ( 1 ) ( n )
ann
上式中令 =0既得结论。
12:47
15/33
定理4.7 SOR方法收敛的必要条件是0< <2 。
松弛技术
xi( k 1)
(1 ) x x
k
( k 1)
(k ) a x ij j ] n
i 1 1 (1 ) xi( k ) [bi aij x (jk 1) aii j 1
j i 1
松弛因子通常的范围是(1,2), 故称为超
12:47
( k 1)
D ( LX
1
( k 1)
UX
(k )
b)
9/33
SOR迭代矩阵
xi( k 1) (1 ) xi( k )
aii
[bi aij x (jk 1)
j 1
i 1
j i 1
(k ) a x ij j ]
n
X
( k 1)
(1 ) X
(k )
D ( LX
1
1
( k 1)
UX
(k )
b)
BSOR ( D L) [(1 ) D U ]
Gauss-Siedel方法是SOR方法的特例。
A M N, M 1
( D L), N
1
[(1 ) D U ]
12:47
6/33
例 1 9 x1 x 2 x 3 7
x1 10 x 2 x 3 8 x x 15 x 13 2 3 1
x1 ( 7 x 2 x 3 ) / 9 x 2 (8 x1 x 3 ) / 10 x (13 x x ) / 15 1 2 3
迭代 格式 谱半径
Jacobi 0.6244
GaussSOR Seidel （w=1.13） 0.4166 0.2600
12/33
%%%triu(X,K) is the elements on and above %%%the K-th diagonal of X D = diag(diag(A));L = -tril(A,-1);U = -triu(A,1);
| det( BSOR ) || 1 | 12
n
n ( ( BSOR )) 1。
n
12:47
16/33
定理4.8 若A是实对称正定矩阵, 则当0< <2时, SOR方法收敛。 证明: 由 A = D – L –
1 T T B ( D L ) ((1 ) D L ) L SOR
11/33
12:47
谱半径的比较 算例
5 1 x 3 1 1 2 2 x 3 1 3 1 2 2 x3 1 1 3 1 1 3 1 x4 1 1 3 1 x5 3 2 1 5 1 3 x6 2 2
k
( k 1)
x )
( k 1) k ( x x ) 适当选取平均化系数 调整校正量
以将xk加工成某个更高精度结果。这种基于校 正量的调整或松动的方法, 称之为松弛技术。
3/33
千古绝技割圆术
祖冲之 3.1415926 3.1415927
内接多边形周长逼近, 需要内接正24576边形
证: 由于SOR方法收敛, 所以 ( BSOR ) 1。
det( BSOR ) det(( D L) ((1 ) D U ))
1
=det(( I D L) D ((1 ) D U ))
1 1 1
=det(( I D 1 L)1 ((1 ) I D 1U )) =(1- )n
(k )
(k ) j
x1 b1 0 ( k 1) b a x2 2 21 ( k 1) ann xn a bn n1
( k 1)
0 an 2
12:47
13/33
%%%Jacobi迭代矩阵D-1(L+U) eig(inv(diag(diag(A)))*(-triu(A,1)-tril(A,-1))) %%%GS迭代矩阵(D+L)-1U eig(inv(diag(diag(A))+tril(A,-1)*(-triu(A,1))) %%%%迭代格式 iD = diag((diag(A)).^(-1)); x = x - iD*(A*x - f); x = (D-L)\(U*x + f); x = (D-w*L)\(w*U*x +(1-w)*D*x+ w*f);
( k 1) (k ) (k ) x1 (7 x2 x3 )/ 9
( k 1) ( k 1) (k ) x2 (8 x1 x3 ) / 10
( k 1) ( k 1) ( k 1) x3 (13 x1 x2 ) / 15
( k 1) (k ) (k ) x1 (7 x2 x3 )/ 9
8/33
回顾高斯赛德尔迭代矩阵表示
aii x
a11 a22
( k 1) i
[bi aij x
j 1
i 1
( k 1) j
j i 1
( k 1)
a
n
ij
x ]
a1n x1 x( k ) 2 an1,n (k ) 0 xn
x1 0 a12 ( k 1) 0 x2 ( k 1) 0 xn
D X(k+1) = LX(k+1) + UX(k) +b
x
( k 1) i
1 ( k 1) (k ) [bi aij x j aij x j ] aii j 1 j i 1
12:47
17/33
x ((1 ) D L ) x (1 ) p a T x ( D L) x p a
2/33
松弛思想
目标值x*有两个精度相当的近似值x和 x ( k 1) , 如果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值,即令
x 亦即 x
( k 1) ( k 1)
(1 ) x x
k
( k 1) k
x ( x
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程序片段:
Matlab code : SOR迭代法 function [x,iter]=sor(A,b,x0,nmax,tol,omega) %SOR method [n,m]=size(A); if n~= m, error('Only square systems'); end iter=0; r=b-A*x0; r0=norm(r); err=norm(r); xold=x0; while err > tol && iter < nmax iter = iter + 1; for i=1:n s=0; for j = 1:i-1, s=s+A(i,j)*x(j); end for j = i+1:n, s=s+A(i,j)*xold(j); end x(i,1)= (1-omega)*xold(i)+omega*(b(i)-s)/A(i,i)%% x(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i); end xold=x; r=b-A*x; err=norm(r)/r0; end