【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题同
数学(浙教版)九年级上册第1章 1.4.2二次函数的实际应用(距离和利润问题)(解析版)
二次函数的实际应用(距离和利润问题)知识讲解用二次函数知识解决实际问题时，通常是将实际问题转化为数学问题．其步骤一般为：(1)寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；(2)用含自变量的代数式表示相关的量；(3)根据给出的数据确定函数的表达式；(4)利用二次函数的有关知识求解；(5)检验结果的合理性．典型例题例：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？解答：(1)(30－20)×[105－5×(30－25)]＝800(元)，即一个月可获利800元．(2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元．由题意，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)]＝－5x2＋330x－4600＝－5(x－33)2＋845.∵a＝－5<0，∴当x＝33时，y取得最大值，为845.故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是845元．同步练习一、选择题1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(C)A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值2．当m 在取值范围内取不同的值时，代数式27－4m ＋2m 2的最小值是( B )A ．0B ．5C ．33D ．91. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米2. [2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m)与飞行时间t (s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( D )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m【解析】 A ．当t ＝9时，h ＝－81＋216＋1＝136，当t ＝13时，h ＝－169＋312＋1＝144，升空高度不相同，故A 选项说法错误；B.当t ＝24时，h ＝－576＋576＋1＝1，火箭的升空高度是1 m ，故B 选项说法错误；C.当t ＝10时，h ＝－100＋240＋1＝141，故C 选项说法错误；D.根据题意，可得最大高度为4ac －b 24a ＝－4－576－4＝145(m)，故D 选项说法正确，故选D.3. 如图，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( D )A ．0.71 sB ．0.70 sC ．0.63 sD ．0.36 s【解析】 ∵抛物线h ＝3.5t －4.9t 2的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫514，58，而514≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36 s ．故选D.6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m二、填空题1. 函数y ＝x 2－2x ＋3(－2≤x≤2)的最小值为_2_______，最大值为_11_______．2. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为 y ＝－112（x －4）2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是 10 m.3．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是__24__m.【解析】 ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，滑行到最大距离600 m 时停止；当t ＝16时，y ＝576，所以最后4 s 滑行24 m.4. 竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t （s ）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝ 1.6 Ｗ.【解】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a （t －1.1）2＋h . 由题意，得a （t －1.1）2＋h ＝a （t －1－1.1）2＋h ，解得t ＝1.6.5. 如图，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和正方形BPEF ，M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值为 5 Ｗ.【解】 过点M 作MG ⊥DC 交DC 的延长线于点G .设MN ＝y ，PC ＝x .根据题意，得GN ＝5，MG ＝10－2x .在Rt △MNG 中，由勾股定理，得MN 2＝GN 2＋MG 2，即y 2＝52＋（10－2x ）2. ∵0<x <10，∴当10－2x ＝0，即x ＝5时，y 2最小，为25，∴y 最小＝5，即MN 的最小值为5.三、解答题1. 水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x 月满足函数表达式式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图2所示．(1)求y 2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意，得函数y 2的图象经过两点(3,6)，(7,7)，∴⎩⎨⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的表达式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b .∵函数y 1的图象过两点(4,11)，(8,10)，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的表达式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元，则w ＝y 1－y 2＝⎝⎛⎭⎫－14x ＋12－⎝⎛⎭⎫18x 2－x ＋638＝－18x 2＋34x ＋338＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214.故第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大， 最大利润是214元/千克．2.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该新型药的月销售量为P （单位：t ），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P ＝120t ＋4（0＜t ≤8）的图象与线段AB 的组合.设第t 个月销售该新型药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋8（0<t ≤12），－t ＋44（12<t ≤24）.（1）当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数表达式. （2）设第t 个月销售该新型药的月毛利润为w （单位：万元）. ①求w 关于t 的函数表达式.②该药厂销售部门分析认为，336≤w ≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值.【解】（1）当8＜t ≤24时，设P ＝kt ＋b ，将点A （8，10），B （24，26）的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝10，24k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴P ＝t ＋2.（2）①当0＜t ≤8时，w ＝（2t ＋8）·120t ＋4＝240；当8＜t ≤12时，w ＝（2t ＋8）（t ＋2）＝2t 2＋12t ＋16；当12＜t ≤24时，w ＝（－t ＋44）（t ＋2）＝－t 2＋42t ＋88.综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧240（0＜t ≤8），2t 2＋12t ＋16（8＜t ≤12），－t 2＋42t ＋88（12＜t ≤24）.②当8＜t ≤12时，w ＝2t 2＋12t ＋16＝2（t ＋3）2－2，∴当8＜t ≤12时，w 随t 的增大而增大，当2（t ＋3）2－2＝336时，解得t 1＝10，t 2＝－16（不合题意，舍去），当t ＝12时，w 取得最大值，最大值为448， 此时月销量P ＝t ＋2在t ＝10时取得最小值12，在t ＝12时取得最大值14.当12＜t ≤24时，w ＝－t 2＋42t ＋88＝－（t －21）2＋529，当t ＝12时，w 取得最小值448，解－（t －21）2＋529＝513，得t 1＝17，t 2＝25（不合题意，舍去），∴当12＜t ≤17时，448＜w ≤513， 此时P ＝t ＋2的最小值为14，最大值为19.综上所述，此范围所对应的月销售量P 的最小值为12 t ，最大值为19 t.3. (2018·湖北)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图，线段EF ，折线ABCD分别表示该有机产品每千克的售价y 1(元)，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数关系. (1)求该产品的销售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式. (2)直接写出生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式.(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【解析】 (1)设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b ，把点(0，168)，(180，60)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝168.∴产品的售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 1＝－35x ＋168(0≤x ≤180).(2)当0≤x ≤50时，y 2＝70；当130≤x ≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝mx ＋n ，把点(50，70)，(130，54)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝80，∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80.综上所述，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x ≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x ≤180）.。
浙教版数学九年级上册《1.4二次函数的应用》说课稿2
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性课程。
本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过举例说明了二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用，让学生体会数学与其它学科的密切联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。
但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往由于对实际问题的理解不深，无法将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
3.让学生体会数学与其它学科的密切联系，提高学生的学习兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用案例教学法，通过具体的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析。
2.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数在实际问题中的应用。
3.利用多媒体教学手段，展示二次函数图象，帮助学生更好地理解实际问题与二次函数之间的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何运用二次函数知识解决问题。
2.新课导入：介绍二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用。
3.案例分析：分析具体的实际问题，引导学生将实际问题转化为二次函数问题。
4.学生探究：让学生分组讨论，运用二次函数知识解决实际问题。
5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，强调关键步骤。
九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用第3课时二次函数与一元二次方程导学课件新版浙教版
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
图 1－4－5
1.4 二次函数的应用
筑方法
类型一 二次函数与一元二次方程的关系
例1 [教材例5针对练] 利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－ 10＝0的近似解(精确到0.1)．
【解析】 欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的解，必须先画出函数y＝ x2＋2x－10的图象，确定解的大致范围，再进一步估算．
1.4 二次函数的应用
【解析】对于(1)，爆竹离地15米，就是求h＝15时t的值；(2)利用二次函数的 增减性判断．
解：(1)∵g＝10，v0＝20，∴h＝20t－5t2. 当h＝15时，15＝20t－5t2，解得t＝1或t＝3. 又0<t≤2，∴t＝1.即这种爆竹在地面点燃后，经过1秒，离地面15米． (2)上升． 理由：∵h＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20， ∴当t＝2时，爆竹达到最高点， 即在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹处于上升阶段．
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1.4 二次函数的应用
类型三 一元二次方程在二次函数中的应用
例3 [教材补充例题] 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)之 间的关系符合表达式：h＝v0t－gt2(0<t≤2)，其中重力加速度g以10米/ 秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升． (1)这种爆竹在地面点燃后，经过多长时间离地面15米？ (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升还是下 降，并说明理由．
浙教版数学九年级上册《1.4二次函数的应用》说课稿
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》这一节，主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。
教材通过具体的例子，让学生了解二次函数在解决实际问题中的重要性。
这部分内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象后，进一步深入理解和运用二次函数的知识点。
教材内容紧密联系生活实际，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图象，对于二次函数的概念、性质和图象有一定的了解。
但学生在解决实际问题中的应用能力还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的已有知识基础，通过实例分析，引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将二次函数知识应用于解决实际问题的方法。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对数学问题的态度，提高学生的自信心。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将二次函数知识灵活运用于解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件、网络资源等现代教学手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数在实际中的应用。
2.知识讲解：讲解二次函数在实际问题中的具体应用，引导学生理解并掌握相关知识点。
3.实例分析：分析几个典型的实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自解决问题的方法和思路，互相学习，共同提高。
5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，提炼关键知识点，引导学生形成系统化的知识结构。
【精品推荐】2020年秋九年级数学上册第一章二次函数1.4二次函数的应用第2课时b课件新版浙教版
1≤x＜50 50≤x≤90
x＋40
90
200－2x
已知 该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每
天利润为y元
巩教固学提目升
标
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最 大利润是多少？ (3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润 不低于4800元？请直接写出结果
（2） 教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生： 像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
课教堂学小目结
标
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
谢谢观看，敬请指导
天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。 例2继续教学等式，教材的安排有三个特点： 第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。
【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-2二次函数的图象第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及
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第2课时 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征
知识点一 二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象及其特征
(1)题中出现顶点坐标和另一点的坐标；
(2)已知对称轴和两个点的坐标；
(3)已知最值和两个点的坐标．
二次函数y＝a(x－m)2的图象与二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象有何联系？
详解详析
【学知识】
知识点一 (m，0) x＝m 向上向下
1．[答案]D
知识点二 (m，k) x＝m 向上 向下
2．[答案] (2，5)
C．开口向下
D．顶点坐标是(2，0)
知识点二 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图象特征：抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点
坐标为________，对称轴为直线________；抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口_________．
2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是_____________．
3．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的函数表达式为____________．
类型一 利用函数图象的平移规律解题
例1 [教材补充例题]已知一条抛物线的开口方向及形状与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．
2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用--二次函数与一元二次方程》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》是2024年浙教版数学九年级上册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数图象解决一元二次方程的问题。
教材通过实例引导学生探究二次函数图象与一元二次方程解之间的关系，培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识。
但部分学生可能对一元二次方程的解法还不够熟练，对数形结合的思想还缺乏深刻的理解。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，引导他们通过观察、操作、思考、探究等活动，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握利用二次函数图象解决一元二次方程问题的方法。
2.培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，培养合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数图象解决一元二次方程问题。
2.难点：对二次函数与一元二次方程关系的深入理解，以及数形结合思想的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现数学问题，激发学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，培养学生的独立思考能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.数形结合法：利用二次函数图象，直观地展示一元二次方程的解法。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和问题，以便引导学生探究。
2.制作课件，展示二次函数图象和一元二次方程的解法。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
例如，假设一个物体从地面上抛，其高度与时间之间的关系可以表示为一个二次函数。
1.4 二次函数的应用九年级上册数学浙教版
知识点2 建立二次函数模型求解实际问题的常见类型 重难点
1.图形面积的最值问题
求图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段的长与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决.
4.会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解.
5.在解题过程中体会数形结合思想和函数建模思想的应用.
知识点1 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 重点
对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下：
（1） 求每天所获得的利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数表达式.
解：由题意，得当这款文化衫的销售单价为 （元）时，每天可售出 件，即 件.根据题意，得 解得 .
（2） 当销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大？并求出最大利润.
， 当 时， 取得最大值，最大值为 ， 当销售单价定为55元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1250元.
典例3 原计划2022年举办的杭州2022年亚运会，即第19届亚洲运动会，将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州市举办.某网络经销商购进了一批以亚运会为主题，且具有中国风范、杭州韵味的文化衫进行销售.文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件.为了扩大销售，增加盈利，该网络经销商决定采取适当的降价措施，经调查发现：若销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价）.若设这款文化衫的销售单价为 （元），销售这款文化衫每天所获得的利润为 （元）.
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第2课时利用二次函数解
决距离、利润最值问题
知识点一求含有根号的代数式的最值
1．代数式x2＋4x＋10的最小值是________．
知识点二利润问题的基本等量关系
利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝
__________×__________．
2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．
类型一用二次函数的最值解决有关“最近距
离”的问题
例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：
(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？
(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
图1－4－4
【归纳总结】求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型函数的最值的方法
(1)利用勾股定理建立y＝ax2＋bx＋c型的函数表达式；
(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；
(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝ax2＋bx＋c型函数的最值．
类型二用二次函数的最值解决有关“最大利
润”的问题
例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？
【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤
(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；
(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．
类型三掌握自变量的取值范围对最值的影响
例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)
(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；
(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．
用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？。