齐次线性方程组解
齐次线性方程组解法
齐次线性方程组解法
矩阵分析非常普及，并且被用于解决各种线性规划问题。
其中最重要的技术就是齐次线性方程组矩阵解法（CLFS）。
从它的定义，就可以推测出它可以更好地帮助企业、学校和科技行业等组织团体解决许多复杂的高级数学问题。
齐次线性方程组矩阵解法是由一组一般的线性方程组组成的多项式问题，主要用于求解若干多项式的根。
简而言之，就是一系列的方程的集合，称为齐次方程。
每一组方程都可以用相应的系数向量来表示，通过组合矩阵和变量矩阵，便可建立一个矩阵表达式来表示这组方程。
解决这一类数学问题，一般来讲亦分三大步骤：首先要把一组多项式方程转化为一组方程组，然后将该方程组转换为齐次线性方程组矩阵，最后便可以采用矩阵分解算法来求解。
可以以Kronecker积的矩阵分解算法，根据矩阵的特点，将原矩阵的表达形式转换成更加适合求解的格式，这时问题就更加易于求解，也就是得到需要的正确答案。
谈到互联网，齐次线性方程组矩阵解法能够为搜索引擎、数据库、移动应用程序等互联网技术开发提供极大的帮助。
例如，搜索引擎在构建搜索引擎索引池时，需要解决各种复杂的数学问题求总结数据库相关信息，或者对移动应用程序开发同样需要做大量的数学运算，而这些难以解决的线性规划问题，均可通过使用齐次线性方程组矩阵解决，从而使得开发运算更加简单，优化得到更准确的结果。
总而言之，齐次线性方程组矩阵解法在解决线性规划问题上有着举足轻重的地位，可以大大减少运算量，优化求解的正确性和可解性，并且是解决网络、数据库和移动信息技术开发等问题的有效方法，因而已被广泛应用。
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。
主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。
首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。
该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。
另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。
该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。
最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。
这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。
总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
第二十一讲齐次线性方程组解的结构
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
? ?
????????????
??am 1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
（1）
若记
?? a11
A
?
? ?
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
???am1 am 2 ? amn ???
?? x1 ??
x
?
? ?
x2 ? ??
??? xn ???
3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
? ?
2
x
1
?
5x2 ?
3x3 ?
2 x4
?
0,
?? 7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 0
的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
?
???
2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
3-4齐次线性方程组解的结构
信息系 刘康泽
x 1 b1, r 1 k 1 b1, r 2 k 2 b1 n k n r x 2 b 2 , r 1 k 1 b 2 , r 2 k 2 b 2 n k n r x r b r , r 1 k 1 b r , r 2 k 2 b rn k n r 即有： x k1 r 1 x k2 r2 x knr n
解：对系数阵 A 作行初等变换：
1 3 A 0 5
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 2 3
1 1 3 0 0 6 1 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 2 2
1 6 6 6
信息系 刘康泽
解系。
证 明 ： 设 1 , 2 , , t 是 A x 0 的 一 个 基 础 解 系 ， 而
1 , 2 , t 是 A x 0 的 任 意 t 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ， 因 此
只 需 证 明 A x 0 的 任 意 一 个 解 可 由 1 , 2 , t 线 性 表 示 即可。
封闭的。
信息系 刘康泽
二、齐次线性方程组解的结构
【定理】设 A 是 m n 矩阵， r ( A ) r n ，则方程组
Ax 0 必有 n r 个线性无关的解向量 1 , 2 , , n r ，
使得 Ax 0 的任意一个解都是 1 , 2 , , n r 的线性组 合，并且当 k 1 , k 2 , , k n r 遍取任何数时，
故 1 , 2 , 3 为 所 求 的 基 础 解 系 。
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
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则方程组(1)与下面方程组(2)同解（为什么？）
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(2)
ar1x1 ar2 x2 arn xn 0
(1)若r=n，则方程组只有零解，没有基础解系
(2)若r<n，则方程组(2)可以变化为
a11x1 a12 x2 a1r xr a1,r1xr1 a1n xn
证明 对于齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(1)
as1x1 as2 x2 asn xn 0
设其系数矩阵的秩为r，不失一般性，设其 左上角的 r 级子式不等于零，即
a11 a12 a1r a21 a22 a2r 0, ar1 ar2 arr
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r ，若满足
1) 1,2,…,r 线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由
1,2,…,r 线性表出， 则称1,2,…,r 为齐次线性方程组(1) 的一个基
础解系.
基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解 向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵 的秩.
注 定理的证明过程实际上就是一个具体 找基础解系的方法.
a21x1 a22 x2 a2r xr a2,r1xr1 a2n xn
...............................................
(3)
ar1x1 ar2 x2 arr xr ar,r1xr1 arn xn
一个事实：方程组(1)的任意两个解，只要自 由未知量的值一样，这两个解就完全一样
给出方程组(3)右端中自由未知量的 n-r 组取法：
(1, 0, , 0), (0,1, , 0), , (0, 0, ,1)
得到方程组(3)的n-r个解：
1 (c11, c12, , c1r ,1, 0, , 0） 2 (c21, c22, , c2r , 0,1, , 0）
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnr,r , 0, 0, ,1）
下面就来证明，这n-r个解就是我们要找 的齐次线性方程组(1)的一个基础解系
(a) 证明 1,2 ,,nr 线性无关
(b) 任取(1)的一个解,可由 1,2 ,,nr
线性表出．
推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解
系等价的向量组都是(1)的基础解系.
齐次线性方程组解的结构
xx民族学院 数学系 xx
给定齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn0(1) Nhomakorabeaas1x1 as2 x2 asn xn 0
其解有下面两个重要性质：
(1) 两个解的和还是方程组的解， (2) 一个解的倍数还是方程组的解. 即：其解的线性组合还是方程组的解