偏导数在几何上的应用
《高数课件23偏导数》课件
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的 函数，其中的某些变量 无法用其他变量来显式 表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用 偏导数链式法则来计算 隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以 求得隐函数的导数，进 一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间 上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、 拉格朗日乘数法等方法来求解 极值问题。
最值问题可应用于现实生活中 的优化场景，如最大化收益、 最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义
第7-6节(偏导数的几何应用(二)、方向
第 六 节
偏导数的几何应用(二)
方向导数与梯度
江西理工大学理学院
一、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
r n
M
r T
⎧ x = φ (t ) ⎪ Γ : ⎨ y = ψ ( t ), ⎪ z = ω (t ) ⎩ r 曲线在M处的切向量 T = {φ ′( t 0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )},
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 = = , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . 1 4 6
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
江西理工大学理学院
通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
高等数学-偏导数
z
记为
,
x x x0
y y0
f x
,
x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
2
同理,可定义函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处
对y的偏导数为
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0,
y0
y) y
f ( x0,
y0 )
z
记为
, y x x0
x 导数,则 2z ( ).
xy
yf ( xy) ( x y) y( x y)
z x
1 x2
f ( xy)
y x
f ( xy)
y( x y)
26
设u
yf
x y
xg
y ,其中f , g有连续的 x
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0
解
u x
f
x y
u x x x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
利用函数关于自变量的对称性
2u y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0
24
例 验证函数 z sin( x ay)满足波动方程:
2z y2
a2
2z x 2
.
证 因 z cos( x ay), x
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数计算与应用
偏导数计算与应用偏导数是微积分中的重要概念，它在求解多元函数的极值、描述函数的局部行为以及解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的计算方法，并探讨其在不同领域的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数衡量了函数在某一变量上的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，可以通过求取关于变量 xi 的导数来得到。
对于一元函数 f(x)，其导数表示为 df/dx。
对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，要计算偏导数，需要将其他变量视为常数进行求导。
举例来说，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，我们可以计算关于 x 的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，关于 y 的偏导数为∂f/∂y = 2x + 2y。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义，它们能够描述函数在不同方向上的变化率。
对于函数 f(x, y)，其关于变量 x 的偏导数∂f/∂x 表示函数在x 轴方向上的变化率，而关于变量 y 的偏导数∂f/∂y 表示函数在 y 轴方向上的变化率。
偏导数还可以用于描述函数的切线和法向量。
对于函数 f(x, y)，在点 (a, b) 处，函数的切线的斜率等于∂f/∂x(a, b)。
类似地，函数的法向量可以由∂f/∂x 和∂f/∂y 所确定，即法向量为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
三、偏导数在极值和最优化问题中的应用偏导数在求解多元函数的极值问题中发挥着重要作用。
对于二元函数 f(x, y)，当∂f/∂x = 0 且∂f/∂y = 0 时，可以得到函数的驻点。
通过对二阶偏导数的研究，可以判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
除了在数学上的应用外，偏导数也在最优化问题中发挥着重要作用。
在约束最优化问题中，通过求解拉格朗日函数的偏导数方程组，可以找到函数在给定约束条件下的最优解。
偏导数几何意义
对于多元隐函数，需要使用多元函数微分法进行求导。首先确定函数中的各个自变量， 然后分别对每个自变量求偏导数，最后根据隐函数的约束条件求解出所需的导数。
偏导数在隐函数求导中作用
描述函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述多元函数在某一点处沿某一方向的变化率。在隐函数中，偏导数可以帮助我们了解函数在某一点处沿 某一自变量方向的变化情况。
02
偏导数与切线、法线关系
切线方程与偏导数关系
切线斜率
偏导数表示了函数在某一点沿着某一方向的变化率，即切线 的斜率。
切线方程
通过偏导数和函数在某一点的取值，可以确定该点处的切线 方程。
法线方程与偏导数关系
法线斜率
法线与切线垂直，因此法线的斜率与 切线的斜率互为负倒数。偏导数可用 于计算法线的斜率。
性质。例如，在曲面上，切平面和法线可以用于定义曲面的定向、曲率
以及曲面上的测地线等概念。
03
偏导数与方向导数关系
方向导数定义及性质
方向导数定义
方向导数是函数在某一点沿某一方向的 变化率。对于二元函数$z = f(x, y)$，在 点$P(x_0, y_0)$处沿方向$l$（与$x$轴 正向夹角为$alpha$）的方向导数定义为 $lim_{rho to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$，其 中$rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$，$Delta x = rho cos alpha$， $Delta y = rho sin alpha$。
方向导数在几何图形中应用
切线斜率
多元函数的偏导数及其应用探究
多元函数的偏导数及其应用探究多元函数是数学中重要的概念，它描述了多个变量之间的关系。
偏导数是研究多元函数变化率的重要工具之一。
本文将探究多元函数的偏导数及其应用。
一、多元函数的偏导数偏导数可以理解为多元函数关于某个变量的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果我们只关注其中一个变量的变化而将其他变量视为常数，那么我们可以计算该变量的偏导数。
示例：考虑一个二元函数f(x, y)，我们可以将其表示为f(x, y) = x² + 2y。
偏导数∂f/∂x表示在变量x变化时，函数的变化率，而∂f/∂y表示在变量y变化时，函数的变化率。
计算偏导数的方法与计算一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于上述示例函数f(x, y) = x² + 2y，我们可以计算∂f/∂x = 2x和∂f/∂y = 2。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数f(x, y)为例，其偏导数可以理解为函数在坐标轴上的切线斜率。
具体而言，∂f/∂x表示函数在x轴方向上的切线斜率，而∂f/∂y表示函数在y轴方向上的切线斜率。
以二元函数f(x, y) = x² + 2y为例，我们可以通过计算偏导数的值来分析该函数的切线斜率。
当x增加时，∂f/∂x = 2x增加，表示函数在x轴方向上的切线变陡；当y增加时，∂f/∂y = 2不变，表示函数在y轴方向上的切线不变。
三、偏导数的应用1. 最优化问题：偏导数在最优化问题中有广泛应用。
通过计算偏导数，我们可以确定函数的极值点。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，通过计算∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0可以找到函数的极小值或极大值点。
2. 梯度下降算法：梯度下降算法是一种常用的优化算法，它利用偏导数来确定函数的最小值。
通过计算函数在当前点的偏导数，我们可以朝着使函数值下降的方向进行迭代。
3. 泰勒展开：对于一个多元函数，我们可以使用泰勒展开来近似计算函数值。
偏导数几何意义
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
zx xx0 , 或 fx(x0, y0).
y y0
类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f
x
(x0,
y0)
lim
x0
f (x0 x, y0) x
fxy(x,
y)
,
x
(z ) y
2z yx
f yx(x,
y)
,
y
(yz )
2z y2
f yy (x,
y)
.
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
x
(z ) x
2z x2
,
(z ) 2z , y x xy
提示：当点P(x, y)沿直线ykx趋于点(0, 0)时, 有 因此, 函(ffx数x,(y(ylx)i0fm,(,k0xx(00),),0y))0x在dd2,xx([y0fyf,(2(00x,),的y0lxi)m)]极00x限02,k不xk2f2存yx(20在,0,1)当kkd然d2y [.也f (不0,连y)]续.0 .
6
y2
2z 6x2 y9y2 1 , 2z 6x2 y9y2 1.
xy
yx
定理
如果二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D
内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
偏导数的物理几何意义
偏导数的物理几何意义一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数=为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量- ,如果(1)存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做, , ,或例如,极限(1)可以表为=类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为=其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求的偏导数解= ,=二偏导数的几何意义二元函数= 在点的偏导数的几何意义设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率三偏导数的几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于P 时,函数值都趋于.例如,函数= ={在点(0,0)对的偏导数为同样有但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数= , =那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:,,其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, , ,,从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =我们再看用maple作求的图形第一个图形为第二个图形为从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
偏导数在几何上应用
平面的一般方程 A B x C y D z 0
平面的截距式方程 平面的三点式方程
x yz 1 a bc
xx1 x2 x1 x3 x1
yy1 y2 y1 y3 y1
zz1 z2 z1 0 z3 z1
首页
上页
返回
下页
结束
一、空间曲线的切线与法平面
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即 x 2 y 3 z 8 0 .
首页
上页
返回
下页
结束
特殊地：
xx
1.空间曲线方程为
y z
解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
首页
上页
返回
下页
结束
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
解 3 利用梯度. 记 F x 2 y 2 z 2 6 ,G x y z ,则
gr ( 1 , 2 a , 1 ) d { 2 , 4 , F 2 }g , r ( 1 , 2 a , 1 ) d { 1 , 1 , 1 } G .
由 r(t)所确定的C 空 为光间 滑曲曲 线. 线
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
偏导数在几何上的应用
引言：
偏导数是微积分中的重要概念，它描述了一个多元函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
在几何学中，偏导数的概念也有许多应用。
本文将探讨偏导数在几何上的应用，并分析其中的几个具体例子。
一、曲面的切平面和法线
在空间中，一个曲面可以用一个方程来表示。
对于一个多元函数，其图像可以看作是一个曲面。
对于这个函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲面在该点处的切平面和法线。
切平面是曲面在某一点处与曲面相切的平面。
我们可以通过求偏导数来确定切平面的方程。
偏导数表示了曲面在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切平面的法向量。
通过求解方程，我们可以得到切平面的方程表达式。
法线是与切平面垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲面在该点处的法向量。
法向量与切平面的方程相互垂直，因此可以作为法线的方向。
二、曲线的切线和法线
类似于曲面，曲线在某一点处的切线和法线也可以通过偏导数来确
定。
对于一个二元函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲线在该点处的切线和法线。
切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
我们可以通过求偏导数来确定切线的斜率。
偏导数表示了曲线在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切线的斜率。
通过求解方程，我们可以得到切线的方程表达式。
法线是与切线垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲线在该点处的斜率。
法线的斜率是切线斜率的倒数的相反数，因此可以作为法线的斜率。
三、曲面的凸凹性
通过求偏导数，我们可以研究曲面的凸凹性质。
在某一点处，如果曲面的二阶偏导数大于零，则该点是曲面的凸点；如果二阶偏导数小于零，则该点是曲面的凹点。
凸凹性可以用来描述曲面在某一点处的形状。
对于一个凸点，其周围的曲面向外凸出；对于一个凹点，其周围的曲面向内凹陷。
通过求解二阶偏导数，我们可以得到曲面在该点处的凸凹性质。
四、曲线的拐点
类似于曲面，曲线在某一点处的拐点也可以通过偏导数来确定。
对于一个二元函数，我们可以求出它在某一点处的二阶偏导数。
在几何上，这个二阶偏导数可以用来判断曲线在该点处是否有拐点。
拐点是曲线在某一点处的曲率发生突变的点。
通过求解二阶偏导数，我们可以得到曲线在该点处的曲率，进而判断是否有拐点。
如果二阶偏导数为零，则说明曲线在该点处的曲率不发生变化；如果二阶偏导数大于零，则说明曲线在该点处的曲率递增，不存在拐点；如果二阶偏导数小于零，则说明曲线在该点处的曲率递减，存在拐点。
结论：
偏导数在几何学中有许多应用。
通过求偏导数，我们可以确定曲面和曲线在某一点处的切平面、法线、凸凹性和拐点等几何特征。
这些特征对于研究曲面和曲线的形状和性质具有重要意义。
通过深入理解偏导数的几何应用，我们可以更好地理解和应用微积分的知识。