《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用

§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。

1、 参数方程的情形设空间曲线l 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩()a t b ≤≤ 其中t 的参数。

又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。

向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。

()r t 的导数定义为000()()()limlim()()()()()()lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，rt∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。

2、 空间曲线l 是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？设有一个方程组（两个曲线方程的联立）⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，又设F 、G 关于x ，y ，z 有连续的偏导数，点0000(,,)p x y z 满足方程组：0),,(000=z y x F ，0),,(000=z y x G ，并且F ，G 的Jacobi 矩阵⎝⎛∂∂∂∂xG x F yG y F ∂∂∂∂ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂z G z F在点0p 的秩为2，不妨设 yG y F∂∂∂∂00≠∂∂∂∂P zG z F 。

由方程组的隐函数存在定理（P 526定理3）知道，在点0p 的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数)(x y y =，)(x z z =从几何上看，即曲面下0),,(=z y x F 和0),,(=z y x G 在点0p 的近分端定了一条光滑的曲线l （两曲面的交线），其方程为：x x = ，)(x y y =，)(x z z =， 此处x 是参数，与该切线l 的切向量是))(),(,1(x z x g ''其中)(),(x z x y ''的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出）),(),(),(),()(z y G F x z G F x y ∂∂∂∂='； ),(),(),(),()(z y G F y x G F x z ∂∂∂∂=' 例1、 求两柱面的交线⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222z x y x 在点0p )21,21,21(的切线方程和法平面方程。

二、 曲面的法向量、法线和切平面1、0),,(=z y x F 的情形若光滑曲线S 的方程组0),,(=z y x F ，),,(0000z y x M 为曲面上一点，过点0M 任做一条在曲面上的曲线l ，设其方程为：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =。

则切平面方程：0)()()()()()(000000=-+-+-z Z F y Y F x X F M z M y M x ；过点0M 并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点0M 的法线，方程为：00)()()(000M z M y M x F z Z F y Y F x X -=-=-。

2、),(y x f Z =：0),(),,(=-=y x f Z z y x F ， ),,(000z y x ()),(000y x f z = 切平面方程：0)()()()()()(0),(0),(0),(000000=-∂∂=-∂∂=-∂∂z Z zzy Y y z x X xz y x y x y x 法线方程：1)()(0),(0),(00000z Z yz y Y x z x X y x y x -=∂∂--=∂∂-- 3、曲面方程由方程组给出：),(v u x x =，),(v u y y =，),(v u z z =v u ,是参数，并假定Jacobi 矩阵⎝⎛∂∂∂∂xx u xv y u y ∂∂∂∂ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂v z u z 的秩为2。

法线方程：00)),(),(()),(),(()),(),((000M M M v u y z z Z v u x z y Y v u z y x X ∂∂-=∂∂-=∂∂- 例3、求曲面122-+=y x z 在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。

例4、证明对任何常数ϕρ,，球面2222ρ=++z y x 和锥面ϕ222tg y x =+正交。

三、 方向导数和梯度（一）数量场数量场：设D 是n R 中的一个区域，f 是定义在D 内的一个实值函数，即R D f →:。

则称在D 内有一个数量场f ，或称f 是D 内的数量场。

例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切； 磁铁周围磁力的大小。

等量面（等值面）：设f 是D 内的一个数量场，称})({C x f D x s =∈= （C 是常数）是数量场f 的等量面（等值面），即在S 内每一点x 处，f 所对应的数值是相同的，都等于C 。

特别当D 是2R 中的区域时，称S 是等量线（或等值线）。

例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等的线（海报相同）。

（二）方向导数过点0P 引出两个模长相同的向量21,l l 。

1l 4-1=3 从数量场变化的观点看：当一个动点从0P 出发2l 3-1=2 1、 什么是方向导数？为方便计，在3R 中考虑。

定义设D 是3R 中的一个区域，f 是D 内的一个数量场，D P ∈0，l 是3R 中的一个单位向量，即,1=l 如果tP f tl P f t )()(lim 000-++→，存在，则称此极限是数量场f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记为)(0P l f ∂∂，即tP f tl P f P l f t )()(lim )(0000-+=∂∂+→。

也称它是函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，它表示数量场f 在点0P 沿方向l 的变化率。

2、 方向导数存在的一个充分条件以及它的求法定理1、设函数f 在点0P 可微，则f 在点0P 沿任何方向l 的方向导数存在，并且有γβαcos )(cos )(cos )()(0000zP f y P f x P f P l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 其中γβαcos ,cos ,cos 是方向l 的方向余弦。

3、 定理1应用：例1、设x ze z y xy u +-=2，求u 在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。

4、 平面的情形（即2R 中的情形）设D 是2R 中的一个区域，),(y x f 是D 内的一个二元可微函数，那么在D 内每一点),(y x ，f 沿单位向量l 的方向导数是ααsin cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂，其中α是x 轴的正向（即x 轴上单位向量i ）和向量l 之间的夹角。

（三）梯度1、引言在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。

2、梯度的定义设数量场),,(z y x f 定义于某个三维区域D 内，又设函数f 具有关于各个多元的连续偏导数，称向量k zz y x f j y z y x f i x z y x f ∂∂+∂∂+∂∂),,(),,(),,(是f 在点),,(z y x 的梯度，记为),,(z y x gradf ，即 k zz y x f j y z y x f i x z y x f z y x gradf ∂∂+∂∂+∂∂=),,(),,(),,(),,( （它是一个向量，是由数量场f 产生的向量）。

3、gradf 的性质： 设g f ,可微，则（1）gradg gradf g f grad +=+)(；gradf c cf grad ⋅=)( （c 是常数）（2）gradf g gradg f g f grad ⋅+⋅=⋅)(； （3）2)()(ggradfg f grad f gf grad ⋅-⋅= （0≠g ） （4）),,()()),,(((),,(z y x gradf u z y x f grad z y x f u ⋅'==ϕϕ （)(u ϕ'在),,(z y x f u =可微）例2、设在空间原点处有一个点电荷q ，在真空中产生一个静电场，在空间任一点),,(z y x 处的电位是： rqV =，222z y x r ++= 则（1）V 是{}0\3R 内的一个数量场；（2）gradr rq gradV 2-=r zk yj xi rq ++⋅-=2)(3zk yj xi rq++-= 4、gradf 的意义总结：gradf 的方向表示数量场f 在l 分三元沿此方向的方向导数达到最大；gradf 的根长就是这个最大的方向导数。

四Taylor 公式1、 复习：一元的情形 定理2（P173）、若)(x f 在点a 的邻域)(a O δ上1+n 次可微，则对每个)(a O x δ∈，记x a x ∆=- 存在),(x a ∈ξ使得)()(!)()(!2)())(()()()(2x r a x n a f a x a f a x a f a f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 1)1()()!1()()(++-+=n n n a x n f x r ξ——（Lcegrarg 型余项）1)1()()!1())((++-+-+=n n a x n a x a f θ，10<<θ。