偏导数典型例题及解答
第七讲：高阶偏导数、极值11题
f yx
f yy
dy ) dx
fy(
f xx
f xy
dy ) dx
fx(
( f y )2
f yx
f yy
dy ) dx
(
1 f y )3
[(
f
y
)2
f xx
2
fx
f
y
f xy
(
fx
)2
f
yy ]
0
y = y(x) 是线性函数
f (x , y) = c 为一直线
2°极值 、最值 1、局部极值
x
x2
2u x 2
2xy
2u xy
y2
2u y 2
0
可化为
2u
2 0
, 其中 u 具有连续的二阶偏导数
解 把ξ,η看作中间变量
u x
u
x
u
x
y x2
u
u u u 1 u u y y y x
2u
y
2u
2
y
1 2u 2 2u 2u
x2 2 x 2
2u xy
1 x2
[ u
y(
2u
2
y
2u
y
)]
1 u y 2u y 2u
三角函数二阶偏导数练习题I1
☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
☂4：求z=sin(x 5+5y)的二阶偏导数。
☂5：求z=sin 6(4x+23y)的二阶偏导数。
☂6：求函数z=sin 11x-x 2y 2+e 4的二阶偏导数。
三角函数二阶偏导数的练习题及参考答案：☂1：y=sin 9x 求二阶导数。
解：y=sin 9x ，求复合函数求导法则有：y'=9sin 8x*cosx;y"=9(8sin 7xcos 2x-sin 8xsinx),=9sin 7x(8cos 2x-sin 2x)。
☂2：求函数y=cos7xtan5x 的二阶导数。
解：y=cos7xtan5x ，求函数乘积求导法则有：y'=-7sin 7xtan 5x+5cos 7xsec 25x;y"=-7(7cos 7xtan 5x+5sin 7xsec 25x)+5(-7sin 7xsec 25x+10cos 7xsec 25xtan 5x),=-72cos 7xtan 5x-70sin 7xsec 25x+50cos 7xsec 25xtan 5x 。
☂3：求函数y=cos(3x+8)x的二阶导数。
解：y=cos(3x+8)x，求函数商求导法则有： y'=-3sin(3x+8)x-cos(3x+8)x 2; =-3sin(3x+8)x+cos(3x+8)x 2=-A B; y"=-A'B-AB'B 2,其中： A'=32cos(3x+8)x+3sin(3x+8)-3sin(3x+8)=32cos(3x+8)x,B'=2x,代入上述二阶导数，有：y"=-32cos(3x+8)x*x 2-2x[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 4, =-32cos(3x+8)x 2-2[3sin(3x+8)x+cos(3x+8)]x 3。
高数偏导数复习
1. 偏导数求解方法：例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得23zx y x∂=+∂ 把x 看作常量，得32zx y y∂=+∂ 将（1,2）带入上述结果，就得12|21328x y z x==∂=⋅+⋅=∂ 12|31227x y z y==∂=⋅+⋅=∂ 2. 高阶偏导数求解方法.设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数(x,y)x zf x∂=∂(x,y)y z f y ∂=∂ 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：22()(x,y)xx z z f x x x∂∂∂==∂∂∂, 2()(x,y)xy z zf y x x y ∂∂∂==∂∂∂∂2()(x,y)yx z z f x y y x ∂∂∂==∂∂∂∂, 22()(x,y)yy z zf y y y∂∂∂==∂∂∂3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x yz z ye xe x y∂∂==∂∂222211|,|2x x y y z ze e x y ====∂∂==∂∂ 所以222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dydt。
解：sin cos t dz z du z dv zve u t t dt u dt v dt t∂∂∂=++=-+∂∂∂ cos sin cos (cos sin )cos t t te t e t t e t t t =-+=-+例题2：求22(xy ,x y)z f =的22zx∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.解：22''122'2'1222'''''2''2''1112221224''3''22''111222()(2)2()(y 2)2(2)y 44z z y f f yx x x x xf y y f x x xy f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂=+∂∂=++++=++5. 隐函数求导公式.定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有x ydy Fdx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，且000F(x ,y ,z )0=，000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件000(x ,y )z f =，并有xz z F x F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.解：令(x,y,z)F xyz =+-Fx yz =+，Fy xz =+Fz xy =+z Fx x Fz ∂=-=∂yz F y y F z z ∂=-=∂(1,0,1)(1,0,1)|1,|z zx y --∂∂==∂∂(1,0,1)dz |dx -=-.6. 空间曲线的切线和法平面。
偏导数(习题课)
的二元函数，记作 z f (x, y) 其中x, y为自变量， z为因变量，(x, y)变化的范围 D称为函
数的定义域。设点 (x0, y0 ) D,则，z f (x, y)称为对应于 (x0, y0 )
的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。
Hale Waihona Puke 2 z ex cos(2x y) 2ex sin(2x y) yx
JPZX９
学生练习：
1.求下列函数的偏导数:
(1) z xe y
(2) z arctan x y
2.求下列函数的二阶偏导数:
(1) z exy
(2) z sin2 (x y)
JPZX10
x x2 y2
f y(x, y) 1 2
2y 1
x2 y2
y x2 y2
所以
f (3,4) 1 3 2 55
f y(0,5) 11 0
JPZX5
高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设
函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数：
§18～6 偏导数（习题课）
• 复习回忆:
1.二元函数的定义 2.偏导数的概念 3.二元函数的偏导数 4.高阶偏导数
• 例题分析: • 学生练习:
例一: 例二: 例三:
JPZX1
二元函数的定义 定义1 设有三个变量 x, y和z,如果当变量 x, y在某一给定
的二元有序实数对 D内任取一对值 (x, y)时，变量z按照一定
x
z ex cos(2x y) y
高数下偏导数例题
例1． 设222(,),(,){(0,0)}xyf x y x y D x y=∈=-+ ，讨论极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →。
解：令y mx =，2222(,)(0,0)0lim (,)lim 1x y x y mxx mx mf x y x m x m →→=⋅==++——随m 的不同而不同。
所以，(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
例2．设22222(,)()x y f x y x y x y =+-，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →， 解：取y x =，则2222(,)(0,0)0lim (,)lim 10x y x y x x y f x y x y →→===+， 取0y =，则2(,)(0,0)00lim (,)limlim000x y x x y xf x y x →→→====+，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在。
注：若取2y x =，则22222224(,)(0,0)0()1lim(,)lim ()2x y x y x x x x x f x y x x x x →→=--==-+，也能证明。
例3（1）设y z x =，求z x ∂∂，zy∂∂ （2）设22sin y zx u e y=+，求u x ∂∂，u y ∂∂，u z ∂∂例4．设2(,)arctan y f x y x-=，求(1,2)y f解：（二种解法）下面的例子指出，00(,)x f x y 和00(,)y f x y 不蕴含f 在0P 处连续，这是与一元导数的不同之处。
例5．22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(,)x f x y 和(,)y f x y 在2 上都存在，但(,)f x y 在原点不连续。
证：当(,)(0,0)x y ≠时，22222()(,)()x y y x f x y x y -=+；22222()(,)()y x x y f x y x y -=+；当(,)(0,0)x y =时，00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→--===，(0,0)0y f =；例6．求22z x y xy =-的全微分dz 及点(1,1)处的全微分；解：因222,2z zxy y x xy x y∂∂=-=-∂∂在2 上连续，故22(2)(2)dz xy y dx x xy dy =-+-， 所以(1,1)dz dx dy =-。
高等数学偏导数第一节题库
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
10 分【090102 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】求函数 ux 2y 2arcsin的定义域。
zx 2 y 2 10 分【试题答案及评分标准】 11z【090103 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 z xf ( y) ，此中 x 0 ，假如当 x 1 时， z 1y 2 ，试确立 f ( x)x及 z 。
【试题答案及评分标准】时， zf ( y)1 y2 ，因此 f ( x)1 x 25 分x 12z x 1y x x 2 y 210 分xx【 090104 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 zx yf ( x y) ，已知 y0 时， z x 2 ，求 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】 y0 时， z x 2 ，得 xf ( x)x 2因此 f (x) x 2 x5 分 因此 z xy ( x y) 2( x y) ( x y) 22 y10 分【090105 】【计算题】【中等】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】 【试题内容】设 z y f ( x 1) ，此中 x 0, y 0 ，假如 y 1时 z x ，试确立函数 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】y 时， z 1 f (x 1) x 因此 f ( x 1)x 13分1令x 1 t x (t 1 2, ) 因此f (t )(t 1) 21 t2 2t , f ( x)x 22x7 分因此 z y ( x1)2 2( x 1)y x 1 x 0, y 010 分【090106 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】【试题内容】求极限limy sin 2 x。
x 0xy 11y【试题答案及评分标准】解： limy sin 2 xx 0 xy 11yy sin 2x ( xy 11)6 分limxyx 0y 0= 410 分【090107 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】1x 2y 1 ) 【试题内容】求极限。
多元函数求偏导数例题
多元函数求偏导数例题偏导例题：思路：题目很干练，但做法不那么容易；首先一定要把大类分好，分为两层： y=0 和 y\ne 0在这两个大类之下，分别讨论f(,y)的连续性和f_{},f_{y},一个一个说：先讨论f(,y) 的连续性，在y\ne 0 条件下是初等函数复合而成，所以一定连续；y=0 条件下，注意是y=0 ，而不是 (,y)\rightarrow(0,0) ,要是后者会容易很多，前者的话只能确定 ,y 中至少一个为0不清楚具体构造，所以要写为f(_{0},y_{0}),条件是_{0}y_{0}趋于0，在这种条件下观察f(_{0},y_{0})极限是否为0，来确定连续性可以发现为 \frac{0}{0} 型，用等价无穷小代换，进一步讨论在说f_{},f_{y},的值表达式怎么写：首先y\ne 0 直接求一阶偏导即可，y=0 的条件下偏导数要用定义求解进一步讨论f_{},f_{y} ,由于是y=0 所以就有三种情况=0,y\ne0;\ne0,y=0;=0,y=0下面是求解f_{}可见定义求解，再分类讨论全微分：理论知识：1、全微分存在，偏导必存在；全微分就是由多个偏导组成的；反过来，偏导不存在，全微分必然不存在2、偏导+连续->可微（这只是充分条件）；可微推不出偏导的连续性，只知道偏导一定存在不妨看道例题：可以充分说明这个性质偏导数表示出来之后，看偏导数趋于(0,0)极限是否0，相当于再解重极限^2+y^2存在，必然用极坐标代换既然不可以用偏导数连续来证明可微，所以只能用定义来求极坐标代换，得结果为0可微分的定义为 \frac{f(_{0}+\Delta ,y_{0}+\Delta y)-f(_{0},y_{0})-f_{}(_{0},y_{0})\Delta -f_{y}(_{0},y_{0})\Deltay}{\qrt{\Delta ^2+\Delta y^2}}=0上式中的 \Delta f=f(_{0}+\Delta ,y_{0}+\Delta y)-f(_{0},y_{0})连续，可偏导，可微的关系。
偏导数例题及解析
偏导数例题及解析1.求偏导注意对X 求偏导(把y 看作常数)对y 求偏导(把x 看作常数)1.有Z= + 2 求和z z对X 求偏导(把y 看作x常数y)对y 求偏导(把x 看作常数)解：= + 2xz yx = + 2zy2.在点处求偏x导有Z= 3 + 2 2 −3求在=1，y=3 处的偏导数。
解：注意：先求偏导数，再x代值。
=3 2 + 4zx =2 2 − 3 2zy故：=3 2 + 4 =15zx =2 2 − 3 2=-25z3.三y 元函数求偏导x y u = sin( + 2 − ) 求 、 及u u u注意： sin( +2 − )是x 复合y 函数z ，先对内层求导，再对外层求导。
解： = cos( +2 − ) ux = 2 cos( + 2 − ) uy= − cos( + 2 − ) uz 4. 求= 3 2 + 二阶偏倒数 解： = 3 2 2 + z 2z = 6 2x 2 = 2 3 + z 2 z = 2 3 y 2= 6 2 + 1 x 2z 再对 = 6 2 + 1 x 注意：y x 2 x 求偏导 y2 是在x z z yx y 的基础上分别对 y 和x 求偏导 2z 2z z2+ 2 4在（2，4）处的切线分别与 x,y 轴4正向所成的倾斜角是?作业 1. 求 =+ y 的二阶偏导数 2. 曲线z = y =答案1.解=+ y z 2z x = 2 + y z 2=+ z2z yy 2= 2✧ 2.解： 2z = + +xy ✧ 对 x 轴正向所成的倾斜角（对 x 求偏导） ✧= 1 z 2 ✧ x = 1 = 1 ∗ == tan z 2 2 4x 此倾斜角为24 1 ✧ 对 y 轴正向所成的倾斜角（对 y 求偏导） ✧= 1 2 z ✧ = 1 = 1 ∗ = = tan yz ✧ θy 2 2 = arctan 4 2 2✧ 因此倾斜角为arctan2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
偏导数典型例题及解答
1、二元函数偏导数的定义
设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有关于的偏增量：
如果极限
存在，则称此极限为函数在点处关于变量的偏导数，记作
类似地，称极限
为函数在点处关于变量的偏导数，记作
【注1】初等多元函数在定义区域内都是可导的！
【注2】函数在一点处的偏导数存在，不能推出该函数在该点连续；函数在该一点连续，也不能推出函数在该点处偏导数存在.函数在一点偏导数存在，仅仅说明函数作为相应变量的一元函数在该点处可导与连续，或者说函数的变量仅仅沿着相应坐标轴方向变化时函数可导与连续，沿着其他方向变化时函数的连续性不能确定.如在处存在，则仅仅当点时函数可导与连续.如果存在，且有偏微分中值定理的结论，即
其中介于之间.
类似有关于变量的偏微分中值定理，
其中介于之间.
2、偏导数的几何意义
平行于坐标面的平面上的曲线沿着坐标轴方向的切线的斜率.。