特征值估计
第四章 特征值的估计与摄动-1
1) | i | n max | aij |,
i, j
2) | Re i | n max | bij |,
i, j
3) | Im i | n max | cij |,
i, j
返回
定理 3 (Bendixson)
设A R
akj x j xk
j 1 jk
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk jk
| xk || akk | | akj x j |
| akj || x j || xk | | akj |
jk
返回
| akk | Rk
例 1 估计矩阵
1 1 A 2 0 1 1 2 3 2 i 2 0 1 2 i 5 0 0 0 i 2 5i
的特征值 的分布范围
返回
解：
S1 :| z 1| 1;
3 3 S2 :| z | ; 2 2
5
S4
返回
A (aij ) C nn 定义 2
行对角占优 列对角占优 行严格对角占优 列严格对角占优
| aii | Ri | aii | Ci
j 1,n i j
n
| aij | (i 1, 2, , n) | a ji | ( i 1, 2, , n) | aij | (i 1,2, , n) | a ji | (i 1,2, , n)
返回
an ,n
a 22
a kk
a11 G
ak 1, k 1
返回
推论 2 设A C nn ,则A的任一特征值
特征值范围估计
特征值范围估计特征值是矩阵的一个重要属性，并具有广泛的应用。
特征值与特征向量的求解是数学中的一个经典问题。
用于数值计算的矩阵通常是大型矩阵，因此求解其特征值和特征向量需要使用高效的算法。
在实际应用中，需要对特征值的范围进行估计，以确定有效的计算区间。
本文将介绍特征值范围估计的基本概念和方法。
特征值范围估计是指对一个矩阵的特征值的上下界进行估算，以便确定计算该矩阵特征值的有效区间。
在数学中，有多种方法对矩阵的特征值进行估计。
这些方法可以大致分为两类：直接方法和迭代方法。
下面分别介绍这两类方法。
直接方法是在不求解特征值和特征向量的情况下，在给定的一些限制条件下估算矩阵特征值的范围。
这些限制条件可以是矩阵的谱范数、对称性、压缩后的矩阵等等。
直接方法的优点是计算简单快速，通常用于对小型矩阵的特征值范围进行估算，但在求解大型矩阵的特征值时不太适用。
常见的直接方法包括以下几种。
1.圆盘定理圆盘定理是用于估算矩阵特征值上下界的一种常见方法。
该方法基于一个名为圆盘定理的性质。
圆盘定理是指对于一个n阶矩阵A和所有的x，其所组成的球形区域B是圆盘定理的开放。
2.双曲线定理双曲线定理是利用矩阵的谱范数估算特征值的上下界的方法。
其本质是矩阵范数不等式，根据Taussky-Todd定理的细节，可以得到这些结果。
3.对称矩阵定理对称矩阵定理是一个比较特殊的特征值范围估计方法，因为对称矩阵具有特殊的性质，使该方法适用于此类矩阵。
此类矩阵的特殊性质表明，它们的特征向量可以正交，自然的特征值也必须是实数。
这使得对称矩阵的特征值范围估计更加简单和可靠。
迭代方法是另一种近期广泛使用的特征值估计方法。
迭代方法通常适用于大型矩阵，其计算量较大。
在这种方法中，需要定义一个初值，通过迭代不断逼近特征值区间的上下界。
不同的迭代算法适用于不同类型的矩阵。
最常见的迭代算法是幂法。
幂法是一种求解矩阵特征值中最大特征值和对应特征向量的迭代方法。
其基本思想是通过不断地将向量乘以矩阵来逼近最大的特征值，并将得到的向量作为新的初始向量，直到收敛。
矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
必修3数学§80
练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计 众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计 极差, 方差, 标准差
① 课本P：74 例
X甲 X 乙
② 课本P：77 例2
2 乙
注：我们一般碰到的习题大多数是：
S S
2 甲 2 甲
若是： X甲 X 乙 若是： X甲 X 乙
S S
2000
1500
（1）求该公司职员月工资的平均数，中位数，众数 （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元， 董事长的工资从5500元提升到30000元，那么 新的平均数，中位数，众数又是什么
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 结合问题谈一谈你的看法
解:
(1)平均数为2091元，中位数为1500元，众数为1500元 (2)平均数为3288元，中位数为1500元，众数为1500元
已知某组数据Y1,Y2,Y3,„„的平均值为μ ,标准差为σ 则在正常状态下，可以认为： ①数值Yi分布在区间（μ-σ,μ+σ)内的概率为0.6826
②数值Yi分布在区间（μ-2σ,μ+2σ)内的概率为0.9544 ③数值Yi分布在区间（μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.9974
即在正常状态下，可以认为：
数据Yi的取值几乎全部集中在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内 而落在该区间之外的可能性不到3‟ 这在统计学上称为3σ 准则(三倍标准差原则)， 也称3σ 原则，或3σ 规则，3σ 原理
练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计 众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计 极差, 方差, 标准差 3.结构性特征值估计 频率, 3δ 原则
第5章 特征值的估计
在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n
12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理
第十二讲 矩阵特征值估计特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。
一、 特征值界的估计定理1. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有()Im Mλ≤其中，ij ji1i ,j na a Mm a x2≤≤-=证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A xx=λ，Hx x 1=，则 Hx A xλ=→()()HHHH Hx A x xA x x A xλ===()()()HHHT2jIm xAAxxAAx λ-λ=λ=-=-将x 写成[]T12n x,,,=ξξξ()()nnHTi ij ji ji 1j 1xAAx a a ==-=ξ-ξ∑∑()()()n ni ij ji ji 1j 1nn i ij ji ji 1j 12I m a a a a ====λ=ξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑n'i j ij jii ,j 1a a ==ξξ-∑（'∑表示不含i ＝j ）n'i ji ,j 12M=≤ξξ∑()2n22'i j i ,j 1I m M=⎛⎫λ≤ξξ ⎪⎝⎭∑()n22'i ji ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑()n222'iji ,j 1M n n 1==-ξξ∑nnnnn2222424'ijijiiii ,j 1i ,j 1i 1i 1i 1=====ξξ=ξξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑∑()n22iii 11==ξ-ξ∑不妨写为： ()()()n2222221122ii i 3111==ξ-ξ+ξ-ξ+ξ-ξ∑()()()222222n112222iii 311122=⎛⎫⎛⎫ξ+-ξξ+-ξ ⎪⎪≤++ξ-ξ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑12≤取等号的条件为221212ξ=ξ=，但2x1=，所以其它2iξ=∴()Im Mλ≤定理2. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ()R e n λ≤τ ()I m n sλ≤其中，ij1i,j nm a x a ≤≤ρ=，ij ji1i,j nm a x a a ≤≤τ=+，ij ji1i,j nsm a x a a ≤≤=-二、 盖尔圆法定义：设()n nijn nAa C⨯⨯=∈,由方程nii i ijj 1i jz a R a =≠-≤=∑所确定的圆称为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
矩阵理论3.1 特征值界的估计
第三部分 矩阵特征值的估计引言：矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。
幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。
比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。
§1. 特征值的界的估计引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。
即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T =引理2. 设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，则∑∑====n i nj F ij HA a AA tr 1122)(Proof :设n n ij H b AA B ⨯==)(则∑∑===++==nj j n n nj j j a a a a a a a a a b 121111212111111111∑∑====nj jn j j j a a a b 12212222∑∑====nj ij n j ij ij ii a a a b 121∑∑∑======ni nj ij ni ii Ha b B tr AA tr 1121)()(引理3. A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：A A A A H H ⋅=⋅）即存在酉矩阵U 使),,,(21n H diag AU U λλλ =Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：⇔=≤∑∑∑===ni n i nj F ij i A a 111222λA 为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——①对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①⨯②得 H H H H T T U A U AU U ⋅=⋅)()(H H H T T U AA U ⋅=⇒（为酉阵）)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ⋅==⇒即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i nj ni ni i ii ij n i nj ij t t a 1111222112λ设nn CA ⨯∈，令2,2HH A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。
估计矩阵特征值的范围例题
估计矩阵特征值的范围例题估计矩阵特征值的范围是一个重要的数学问题，它在实际应用中具有广泛的意义。
在估计矩阵特征值的范围时，可以采用多种方法。
其中一种常见的方法是使用Gershgorin圆盘定理。
该定理指出，对于一个n阶矩阵A，其特征值位于以矩阵A的每行对角线元素为圆心、以该行对角线元素绝对值之和为半径的圆盘内。
因此，通过计算每行对角线元素的绝对值之和，可以得到特征值的范围估计。
另外，还可以利用Rayleigh商来估计矩阵特征值的范围。
Rayleigh商是一种特征值的估计方法，通过对矩阵A和一个非零向量x计算Rayleigh商的方式来估计特征值。
具体而言，对于非零向量x，其Rayleigh商定义为x^T A x / (x^T x)，其中^T表示向量的转置。
通过对不同的非零向量x计算Rayleigh商，可以得到特征值的范围估计。
此外，还可以利用幂法等数值方法来估计矩阵特征值的范围。
幂法是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵A的幂次方和向量的乘积来逼近矩阵A的主特征值和对应的特征向量。
通过幂法得到的特征值的估计值，可以帮助我们对矩阵特征值的范围进行估计。
除了上述方法外，还有一些其他的方法可以用来估计矩阵特征值的范围，比如使用Hilbert-Schmidt范数、谱半径等。
这些方法在不同的情况下都有其适用的场景，可以根据具体的问题和矩阵的性质来选择合适的方法进行估计。
总的来说，估计矩阵特征值的范围是一个复杂而重要的数学问题，需要结合矩阵的特点和具体的应用背景来选择合适的方法进行估计。
不同的方法有不同的优缺点，可以相互印证，以得到更加准确和全面的特征值范围估计。
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特征值估计
一、特征值的概念
在线性代数中，特征值是矩阵运算中一个重要的概念。
对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就是矩阵A的特征值，x就是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换规律和性质。
特征值估计是通过数值计算的方法，来估计矩阵的特征值。
特征值估计的基本原理是利用矩阵的特征向量和特征值之间的关系，通过迭代计算的方式逼近矩阵的特征值。
特征值估计的过程中，需要选择一个合适的迭代方法和初始向量，以便得到较为准确的特征值估计结果。
三、特征值估计的常用方法
1. 幂法
幂法是一种最简单和最常用的特征值估计方法。
幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵和向量的乘积，来逼近矩阵的特征向量和特征值。
幂法的迭代公式为：
x(k+1) = A * x(k)
其中x(k)为第k次迭代的向量，A为待估计特征值的矩阵。
幂法通常需要对向量进行归一化处理，以防止迭代过程中向量趋于无穷大或无穷小。
2. 反幂法
反幂法是幂法的一种变形方法，用于估计矩阵的最小特征值。
反幂法的基本思想是通过计算矩阵的逆，然后按照幂法的迭代公式进行迭代，最终得到矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
3. QR算法
QR算法是一种迭代方法，用于计算矩阵的所有特征值和特征向量。
QR算法的基本思想是通过矩阵的QR分解，将原矩阵迭代转化为上三角矩阵的迭代过程，从而逐步求得矩阵的特征值和特征向量。
四、特征值估计的应用
特征值估计在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值估计可以用于计算量子力学中的波函数和能量本征值；在机器学习和数据分析中，特征值估计可以用于降维和特征提取；在网络分析和图像处理中，特征值估计可以用于图的聚类和分割等。
特征值估计的准确性和稳定性是评价其性能的重要指标。
在实际应用中，我们需要选择合适的特征值估计方法，并进行数值计算来得到较为准确的结果。
此外，特征值估计的计算复杂度也是需要考虑的因素，因为对于大规模矩阵，特征值估计可能需要耗费大量的计算资源和时间。
特征值估计是一种重要的数值计算方法，可以帮助我们了解矩阵的特征值和特征向量。
特征值估计的原理和方法多种多样，每种方法
都有其适用的场景和限制。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的特征值估计方法，并进行准确的数值计算，以获得可靠的结果。
特征值估计在科学研究和工程实践中有着广泛的应用，对于推动科技进步和解决实际问题具有重要意义。