12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理

第十二讲 矩阵特征值估计特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。

一、 特征值界的估计定理1. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有()Im Mλ≤其中，ij ji1i ,j na a Mm a x2≤≤-=证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A xx=λ，Hx x 1=，则 Hx A xλ=→()()HHHH Hx A x xA x x A xλ===()()()HHHT2jIm xAAxxAAx λ-λ=λ=-=-将x 写成[]T12n x,,,=ξξξ()()nnHTi ij ji ji 1j 1xAAx a a ==-=ξ-ξ∑∑()()()n ni ij ji ji 1j 1nn i ij ji ji 1j 12I m a a a a ====λ=ξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑n'i j ij jii ,j 1a a ==ξξ-∑（'∑表示不含i ＝j ）n'i ji ,j 12M=≤ξξ∑()2n22'i j i ,j 1I m M=⎛⎫λ≤ξξ ⎪⎝⎭∑()n22'i ji ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑()n222'iji ,j 1M n n 1==-ξξ∑nnnnn2222424'ijijiiii ,j 1i ,j 1i 1i 1i 1=====ξξ=ξξ-ξ≤ξ-ξ∑∑∑∑∑()n22iii 11==ξ-ξ∑不妨写为： ()()()n2222221122ii i 3111==ξ-ξ+ξ-ξ+ξ-ξ∑()()()222222n112222iii 311122=⎛⎫⎛⎫ξ+-ξξ+-ξ ⎪⎪≤++ξ-ξ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑12≤取等号的条件为221212ξ=ξ=，但2x1=，所以其它2iξ=∴()Im Mλ≤定理2. 设n n A R ⨯∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ()R e n λ≤τ ()I m n sλ≤其中，ij1i,j nm a x a ≤≤ρ=，ij ji1i,j nm a x a a ≤≤τ=+，ij ji1i,j nsm a x a a ≤≤=-二、 盖尔圆法定义：设()n nijn nAa C⨯⨯=∈,由方程nii i ijj 1i jz a R a =≠-≤=∑所确定的圆称为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。

定理3：矩阵A 的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。

证明：设()n nijn nAa C⨯⨯=∈，λ为A 的某一个特征值，x 为相应的特征向量，将x 写成[]T12n x,,,=ξξξ ，设0iim a x ξ=ξ由A xx=λ，考虑0i 行ni j j ij 1a =ξ=λξ∑()00n'i i i i j j j 1a a =λ-ξ=ξ∑()0j i ≠00nnjj''iiijiji j 1j 1iia a a R==ξξλ-=≤≤ξξ∑∑对于A 的特征值λ，一定存在0i ()01i n ≤≤，使λ落在A 的第0i 个盖尔圆中，对于每个特征值都有相同的结论。

定理4. 将矩阵A 的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集，（一个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分），对每个子集，若它恰好由K 个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含A 的K 个特征值。

说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算证明：设111n n n n 1n n a a A C a a ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，令()1112131n 2122232n3132333n n 1n 2n 3n n a u a u a u a u a a u a u a B u u a u a a u a u a u a u a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0u 1≤≤，()[]1122n n B 0d ia g a a a =，()B 1A=()B u 的特征多项式是u 的多项式，其特征值是u 的连续函数，观察u （0u 1≤≤）变化的过程中()B u 特征值的变化，特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。

由此可见，由K 个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K 个特征值。

应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。

推论1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。

推论2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。

推论3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。

（因为方阵转置后特征值不变）推论4. 盖尔圆半径变为n'i iijj 1jR a =α=α∑，两个盖尔圆定理仍然成立。

说明如下：相似矩阵1P A P -与A 具有相同的特征值，取[]12n P d ia g =ααα()i 0α>11212ij n n 101B P A P a 010-⎡⎤⎢⎥α⎢⎥α⎡⎤⎢⎥⎢⎥α⎢⎥⎢⎥α⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥α⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥α⎣⎦iij j a ⎡⎤α=⎢⎥α⎢⎥⎣⎦根据推论4，选取适当的i α使盖尔圆变大或变小，可以对特征值进行隔离。

但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上由相同元素的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。

广义特征值与极小极大原理一、 广义特征值问题1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程A xB x=λ存在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。

● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。

● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解()AB x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-=→特征方程()d e t A B 0-λ=求得λ后代回原方程A xB x=λ可求出x本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。

2、等价表述（1） B 正定，1B -存在→1BA x x-=λ，广义特征值问题化为了标准特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。

（2） B 厄米，存在Cholesky 分解，HB G G=，G 满秩HA x G G x=λ 令H G xy=则()11HGA Gy y--=λ 也成为标准特征值问题。

()11HGA G--为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排列12nλ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在12ny ,y ,y 满足()11Hi i GA Gy y --=λHi j ij1i j y y 0i j=⎧=δ=⎨≠⎩还原为()1Hii x Gy -=(i=1,2, ,n)，则()()HHHHi j i j i j ij1i j y y x GGx x B x 0i j=⎧===δ=⎨≠⎩ （带权正交）二、 瑞利商A 、B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()HHx A x R x x 0x B x=≠为A相对于B 的瑞利商。

12n x ,x ,x 线性无关，所以，nx C∀∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使得ni ii 1x a x ==∑Hnnn n2HHi i i j j j i j ii 1j 1i ,j 1i 1x B x a x B a x a a x B x a ====⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑nnn2HHHi i j i j j i i j i ii ,j 1i ,j 1i 1x A x a a x A x a a x B x a =====λ=λ∑∑∑∴ ()n2i ii 1n2ii 1a Rx a ==λ=∑∑●()1x 0m in R x ≠=λ()nx 0m a x R x ≠=λ证明：()()()()()HHHHk x A k x x A x R x x B xk x B k x ==k 为非零常数可取1kx=，k x 1=∴()HHx 1x A x R x x B x==（闭区域）当1xx =或()i a 0i 2,3,,n == 时，()1R x =λi 1λ≥λ()n2i i 111n2ii 1a R x a ==≥λ=λ∑∑∴()1x 0m in R x ≠=λ另一方面，inλ≤λ()n2i i 1nnn2ii 1a R x a ==≤λ=λ∑∑∴()nx 0m a x R x ≠=λ[证毕] 当B ＝I 时，标准特征值问题A x x =λ （HA A=）12n Hi j ijx x λ≤λ≤≤λ⎧⎨=δ⎩则()H1Hx 0x A x m inx x≠=λ()HnH x 0x A x m a xx x≠=λ进一步分析可得()12x 0a 0m in R x ≠==λ()n n 1x 0a 0m a x R x -≠==λ()12k k 1x 0a a a 0m in R x +≠=====λ()n n 1n k n k 1x 0a a a 0m a x R x ----≠=====λ定理1.设{}r r 1s Lsp a n x ,x ,,x += ()r r 1s +λ≤λ≤≤λ,则()r x 0x Lm in R x ≠∈=λ()s x 0x Lm a x R x ≠∈=λ这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖于i x 的一种表达方式。

1a 0=和na 0=的情况均对应于x 在（n-1）维的子空间内变动，x 在L 中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。

一般的，x 在n C 的(n-1)维子空间n 1V -中变动时，()n 12x 0x V m in R x -≠∈≤λ()n 1n 1x 0x V m a x R x --≠∈≥λ即，对于不同的n 1V -，()R x 的最小值及最大值有可能不同，其中各个最小值中最大者为2λ，各个最大值中的最小者为n 1-λ()nn 1n 12x 0V C x V m a x m in R x --≠∈∈⎡⎤=λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦()n n 1n 1n 1x 0V C x V m in m a x R x ---≠∈∈⎡⎤=λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理2. 设k V 是n C 的一个k 维子空间，则()nk k n k 1x 0V Cx V m a x m in R x -+≠∈∈⎡⎤=λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦()n k k kx 0V C x V m in m a x R x ≠∈∈⎡⎤=λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦以上两式称为广义特征值的极小极大原理。

● B ＝I 时，标准特征值问题同样存在上述关系。

● 矩阵奇异值问题：()()2HA A A⎡⎤σ=λ⎣⎦（非零）()()2HH22H2xAA xA x R x x xx==nk k 2n k 1x 0V C x V 2A xm a x m inx -+≠∈∈⎡⎤σ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k k 2kx 0V C x V 2A xm in m a xx ≠∈∈⎡⎤σ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦作业：P262 2，3，4。