第十八讲 广义特征值问题及对称矩阵特征值的极性
线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量
线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量线性代数是数学的一个重要分支领域，广义特征值问题与广义特征向量是线性代数中的关键概念。
本文将介绍广义特征值问题及其相关概念，并探讨其在实际应用中的重要性。
1. 特征值与特征向量在线性代数中，我们常常研究矩阵和向量的性质。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv，其中λ是一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
2. 广义特征值问题在某些情况下，特征值问题的定义需要进行推广，这就引入了广义特征值问题。
广义特征值问题可以被描述为：对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，存在一个矩阵B，使得Av = λBv，其中B是一个非零矩阵，λ是一个常数。
3. 广义特征向量根据广义特征值问题的定义，我们可以定义广义特征向量。
对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果存在一个矩阵B使得Av = λBv，则称v为A的广义特征向量。
4. 广义特征值问题的求解广义特征值问题的求解与特征值问题类似，都需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
通常，我们会使用特征值分解或者广义特征值分解来解决这个问题。
4.1 特征值分解特征值分解将一个矩阵A分解为A = PDP^(-1)的形式，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
对于广义特征值问题，我们可以通过广义特征值分解来求解。
4.2 广义特征值分解广义特征值分解将一个方阵A分解为A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
广义特征值分解的特征值和特征向量满足广义特征值问题的要求。
5. 广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，广义特征值问题被用于描述量子力学中的粒子波函数。
在工程学中，广义特征值问题被用于描述振动和波动现象。
在计算机科学中，广义特征值问题被用于图像处理和模式识别。
总结：线性代数中的广义特征值问题与广义特征向量是重要的概念，通过对矩阵特征值问题的推广，我们可以解决更多实际问题。
广义特征值
T α 1 β 1T + L + α n β n = E
GEM
，
设 Ai = α i β iT , i = 1,2, L n 则 A = λ1 A1 + L + λ n An 性质: 性质:
(1) Ai2 = Ai
(2) Ai A j = O
i = 1,2, L n
工科研究生数学 --矩阵论
第 1 章 基础知识
吴群 同济大学数学系 wuqun@ Graduate Engineering Mathematics
同济大学数学系
2009-3-22 2009-
1.5 矩阵分解 矩阵分解
1. LR (LU) 分解
定理： 定理：若非奇异阵 A 满足以下二者之一 （1） A的各阶顺序主子式 ） 的各阶顺序主子式
可以三角分解： 且分解是唯一的. 则 A可以三角分解：A = LR 且分解是唯一的 可以三角分解 为单位下三角形， 为可逆上三角形。 其中 L 为单位下三角形，R 为可逆上三角形。
57
GEM
An−1 B 设A= ，An−1 = Ln −1 Rn−1 a nn C
O An−1 B An−1 B E n −1 Q C = −1 −1 a nn O a nn − CAn−1 B − CAn−1 1
E n −1 O Ln −1 O Rn −1 = −1 CAn −1 1 O 1 O
O Rn−1 Ln −1 = −1 CAn−1 Ln −1 1 O
L−1 1 B n− d
GEM
例：设
1 2 3 2 5 1 , A= 3 2 5
线性代数中的广义特征值问题
线性代数中的广义特征值问题线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间和线性变换等概念。
在线性代数的学习中，广义特征值问题是一个重要的概念。
本文将详细介绍广义特征值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、广义特征值的概念在传统的特征值问题中，我们考虑的是一个方阵A的特征值和特征向量。
特征值是一个标量，而特征向量是方阵A乘以该向量等于特征值乘以该向量。
然而，在某些情况下，方阵A可能是非方阵，这时候就需要考虑广义特征值问题。
广义特征值是非方阵的特征值。
设矩阵A为m×n维，特征向量x为n维列向量，特征值λ为标量。
则广义特征值问题可以表示为Ax = λBx，其中B为m维方阵。
为了求解该问题，需要考虑B的非奇异性。
二、广义特征值问题的求解方法解决广义特征值问题的方法有很多，下面介绍几种常用的方法。
1. 通用特征值问题的转化：将广义特征值问题转化为标准特征值问题。
这种方法适用于一些特殊情况，例如B是正定的或者B很接近一个正定矩阵时。
通过对矩阵进行相似变换，可以将广义特征值问题转化为标准特征值问题，从而利用已有的求解方法求解。
2. 修正特征值问题的求解：对于一些特殊的B矩阵，例如对称正定的B矩阵，可以利用修正特征值问题进行求解。
通过将广义特征值问题转化为修正特征值问题，进一步求解得到广义特征值。
3. 广义特征值问题的迭代法：迭代法是一种常用的数值求解方法，对于广义特征值问题也有相应的迭代算法。
例如广义幂法，可以通过迭代的方式逐渐逼近广义特征值问题的解。
三、广义特征值问题的应用广义特征值问题在实际问题中具有广泛的应用。
以下列举一些常见的应用领域。
1. 物理学中的应用：广义特征值问题在量子力学中有很多的应用。
例如，通过广义特征值问题可以求解量子力学中的能量本征值和波函数等。
2. 工程中的应用：广义特征值问题在结构动力学和振动工程中有着重要的应用。
通过求解广义特征值问题，可以得到结构物的固有频率和振型等信息，从而评估结构物的稳定性和安全性。
§6 广义特征值问题
及非零向量x,使
Ax Bx
(6.1)
或
ABx x
(6.2)
等关系式成立,其中 A [aij ] 为n阶实对称矩阵, B [bij ] 为n阶实对称 正定矩阵.若将矩阵B作对称三角分解,则这类特征值问题可以化为一 般的对称矩阵的特征值问题．
令
L1 A( L1 )T P, LT x y,
(6.5)
(6.6)
(6.4)式便可简写成
Py y.
(6.7)
因A是对称的,据(6.5)式可得
PT [ L1 A( L1 )T ]T L1 A( L1 )T P.
因此,P也是一个对称矩阵.这样,广义特征值问题(6.1)就化为一个对 称矩阵的特征值问题(6.7). 矩阵P的特征值 就是所要求的特征 值.但是,矩阵P的特征向量y则并不是原问题的特征向量.据(6.6)式 可知原问题的特征向量为
(6.8)
其次,还得计算矩阵
P L1 A( L1 )T
为此,先把它改写成
L1 A PLT ,
(6.9)
并令
L1 A X ,
即
L X A.
(6.10)
T 从而便可将(6.9)式写成 PL X .
(6.11)
这样,计算P分成二步:先由(6.10)式计算X,后据(6.11)式计算P． 由(6.10)式所确定的矩阵X一般是非对称的.但对于计算对称矩阵
k 1 k i i 1 j 1
xij
aij lik xkj
k 1
i 1
, i j.
(6.12)
l jj
,
i 1, , n, j i, , n.
广义特征值问题的求解方法
广义特征值问题的求解方法广义特征值问题是数学领域中的一个重要的问题，它在许多领域中都有着广泛的应用，如化学、物理、工程、金融等领域。
而求解广义特征值问题也有着多种方法，本文将从理论和实践两个方面来探讨广义特征值问题的求解方法。
一、理论方面1.1 基本概念广义特征值问题是解决形如Ax=λBx的问题，其中A和B均为n维实对称矩阵，x为n维向量，λ为待求的广义特征值。
当B为单位矩阵时，即A为普通特征值问题。
广义特征值问题与普通特征值问题相比，其解的包容性更强，更适用于复杂的实际问题。
1.2 特征值的性质广义特征值问题中的λ和x存在着多种性质。
首先，λ一般为复数，且具有二次代数方程的性质。
其次，x一般是正交矩阵的列向量，即任意两个列向量的点积为0，与单位矩阵的乘积等于其本身。
这也使得求解广义特征值问题能够采用正交化方法，即将矩阵A和B进行正交分解，得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵Q，其中D的主对角线上的元素即为广义特征值，Q的列向量即为对应的广义特征向量。
1.3 求解方法广义特征值问题的求解方法主要有几种，包括迭代法、变形法、分解法、约减法等。
其中，迭代法是一种基于计算机的数值方法，能够通过收敛迭代来求解广义特征值和广义特征向量。
变形法和分解法则是基于代数和几何关系的方法，能够通过变形和分解来简化问题，进而求解广义特征值问题。
约减法则是基于矩阵特征的方法，能够通过矩阵的特征值和特征向量进行约减，将问题的规模降低到可解范围。
二、实践方面2.1 应用领域广义特征值问题在实际应用中有着广泛的应用领域。
在化学中，它可以用于研究分子的振动频率和各种化学反应的性质；在物理中，它可以用于研究材料的物理特性和电路的运行特性等；在工程中，它可以用于研究建筑结构的稳定性和机器组件的强度等；在金融领域中，它可以用于研究金融市场的风险特性和投资策略的优化等。
2.2 实际案例广义特征值问题在实践中的应用也有着很多的案例。
比如，在物理中，研究由离子织成的晶体结构时，就需要求解晶体的振动频率，以决定其稳定性。
第十八讲 广义特征值问题及对称矩阵特征值的极性
Sy y 。
于是广义特征值问题等价地转化为对称 矩阵 S 的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题3、特征向 Nhomakorabea的共轭性
定义 2、若向量系 x1, , xn 满足
xiT
Bx j
0 1
i j i j
(2)
则称为按 B 标准正交化向量系。(2)的第一式
小极大性质：
k
min[max Vk 0 xVk
R( x)] ，
称此式为特征值的极小极大原理，
nk 1
max[ min Vk 0 xVk
R(x)] ，
称此式为特征值的极大极小原理。
二、 对称矩阵特征值的极性
推论 1、把定理 5 中的“广义特征值问题
Ax Bx ”换为“实对称矩阵 A ”结论成立。
称作 B 正交（共轭）条件。
一、 广义特征值问题
按 B 标准正交化向量系 x1, , xn 具有以 下性质：
性质 1、 xi 0 (i 1, 2, , n) 性质 2、 x1, , xn 线性无关。
二、 对称矩阵特征值的极性
1、实对称矩阵Rayleigh商的极性
定义 3：设 A 是 n 阶实对称矩阵，x Rn ， 称
R(x)
xT Ax xT x
，
x
0
为矩阵 A 的 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
性质： 1） R( x)是 x 的连续函数。
2） R ， 0 ， R( x) R( x) 。
3） x L(x0 ) ( x0 0) 时， R( x)是一常数。 4） R( x)的最大值和最小值存在，且能 够在单位球面 S {x | x Rn, x 1}上达到。
中科院矩阵分析_第五章
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。
这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。
5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。
广义对称矩阵的定义
广义对称矩阵的定义
广义对称矩阵是一种特殊的矩阵，它具有对称性和正定性的特点。
在数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，广义对称矩阵则是其中的一种重要类型。
广义对称矩阵的定义是指，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个正定矩阵B，使得B^-1AB是对称矩阵，那么A就是广义对称矩阵。
其中，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身。
广义对称矩阵的性质非常重要，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
首先，广义对称矩阵具有正定性，这意味着它们的所有特征值都是正数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以保证最小值是存在的。
广义对称矩阵具有对称性，这意味着它们的转置等于它们本身。
这个性质在物理学中非常有用，因为它可以保证物理系统的能量守恒。
广义对称矩阵还具有一些其他的性质，比如它们的特征向量是正交的，它们的逆矩阵也是广义对称矩阵等等。
这些性质使得广义对称矩阵在数学和物理学中都有广泛的应用。
广义对称矩阵是一种非常重要的数学工具，它们具有对称性和正定性的特点，这些性质在数学和物理学中都有广泛的应用。
研究广义对称矩阵的性质和应用，对于深入理解数学和物理学都非常有帮助。
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于 是 (1) 式 可 写 为 Ax GGT x ， 令
y GT x，则有 x (GT )1 y (G1 )T y ，代入 上式得
A(G1 )T y Gy ，即 G1 A(G1 )T y y 。
1 r s n ，则有
min x0
R(
x)
r
，
max x0
R(
x)
s
。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 3、（ Couanrt hrFsei
）设实对称
矩阵 A 的特征值按 1 2 n 的次序排 列，则 A 的第 k 个特征值
k
min max{xT Ax Vk
xபைடு நூலகம்Vk ,
x
2
1}，
其 中 Vk 是 Rn 的 任 意 一 个 k 维 子 空 间 ，
1 k n。
二、 对称矩阵特征值的极性
2、广义特征值的极小极大原理
定义 4、设 A 、B 为 n 阶实对称矩阵，且
B 正定， x Rn 。称
R(x)
xT xT
Ax Bx
，
x
0
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 4、非零向量 x0 是 R( x)的驻点的充
推 论 2 、 设 Vnk 1 是 Rn 的 任 意 一 个 n k 1维子空间，则定理 5 或推论 1 的结论
可写成如下形式：
k
max[ min R(x)] ， Vnk1 0 xVnk1
nk 1
min[ max
Vnk1 0 xVnk1
R(x)] 。
第十八讲
广义特征值问题及 对称矩阵特征值的极性
一、 广义特征值问题
1、定义
定义 1、设 A 、 B 都是 n 阶实对称方阵，
且 B 为正定的，求数 C 使方程
Ax Bx
(1)
有非零解 x C n 。 称形如(1)的特征值问题
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义特征值问题，
简称为广义特征值问题；称满足(1)式要求的
称作 B 正交（共轭）条件。
一、 广义特征值问题
按 B 标准正交化向量系 x1, , xn 具有以 下性质：
性质 1、 xi 0 (i 1, 2, , n) 性质 2、 x1, , xn 线性无关。
二、 对称矩阵特征值的极性
1、实对称矩阵Rayleigh商的极性
定义 3：设 A 是 n 阶实对称矩阵，x Rn ， 称
要条件是 x0 为 Ax Bx 的属于特征值 的特
征向量。
推论：若 x 是 Ax Bx 的特征向量，则
R( x)是与之对应的特征值。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 5、设Vk 为 Rn 中的任意一个 k 维子
空间，则广义特征值问题 Ax Bx 的第 k 个
特征值和第 n k 1个特征值具有下列的极
令 S G1 A(G1 )T ， 则 ST S ， 且
Sy y 。
于是广义特征值问题等价地转化为对称 矩阵 S 的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
3、特征向量的共轭性
定义 2、若向量系 x1, , xn 满足
xiT
Bx j
0 1
i j i j
(2)
则称为按 B 标准正交化向量系。(2)的第一式
R(x)
xT Ax xT x
，
x
0
为矩阵 A 的 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
性质： 1） R( x)是 x 的连续函数。
2） R ， 0 ， R( x) R( x) 。
3） x L(x0 ) ( x0 0) 时， R( x)是一常数。 4） R( x)的最大值和最小值存在，且能 够在单位球面 S {x | x Rn, x 1}上达到。
小极大性质：
k
min[max Vk 0 xVk
R( x)] ，
称此式为特征值的极小极大原理，
nk 1
max[ min Vk 0 xVk
R(x)] ，
称此式为特征值的极大极小原理。
二、 对称矩阵特征值的极性
推论 1、把定理 5 中的“广义特征值问题
Ax Bx ”换为“实对称矩阵 A ”结论成立。
数 为矩阵 A 相对于矩阵 B 的特征值；而与
相对应的非零解 x 称为属于 的（广义）特
征向量。
一、 广义特征值问题
2、广义特征值问题的等价形式
1）把 Ax Bx 两端同时左乘 B1 得 B1 Ax x
这样就把广义特征值问题(1)等价地化为矩 阵 B1 A的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
2
二、 对称矩阵特征值的极性
设实对称矩阵 A 的特征值(都是实数)按 其大小顺序排列为 1 2 n ，对应的标 准正交特征向量系设为 p1, p2 , , pn ， 则有
定理 1、设 A 为实对称矩阵，则
min x0
R(
x)
1
，
max x0
R(
x)
n
。
定理 2、设 x L( pr , pr1, , ps ) ，