特征值解法
第七章 特征值问题的迭代解法
在幂迭代中, 我们取 x(m−1) 为近似特征向量. 显然, 如果我们在 Km (A, x(0) ) 中找出 “最佳” 的近似特征向 量, 则收敛速度就可能会大大加快. 下面我们讨论如何在 Km = Km (A, x(0) ) 中寻找 “最佳” 的近似特征向量. 设 A ∈ Rn×n , 并设 Km 和 ˜ x Lm 是 Rn 的两个 m 维子空间. 投影算法就是在寻找 A 的近似特征对 (λ, ˜), 满足下面的 Petrov-Galerkin 条 件 ˜ ∈ C and x find λ ˜ ∈ Km such that ˜x Ax ˜−λ ˜ ⊥ Lm . (7.1)
· 7-4 ·
7.2
Rayleigh-Ritz 算法
事实上, 我们可以在 Km (A, x(0) ) 中找出 m 个最佳近似特征向量及相应的最佳近似特征值. 这些近似 特征值和近似特征向量就是 Ritz 值 和 Ritz 向量. 定义 7.1 设 Km 是 Rn×n 的 一 个 m 维 子 空 间, 它 的 一 组 标 准 正 交 基 为 v0 , v1 , . . . , vm−1 , 并 令 Vm = T ˜ y ) 是 Tm 的一组特征对, 即 Tm y = λy ˜ 且 ∥y ∥2 = 1. 则我们成 [v0 , v1 , . . . , vm−1 ]. 记 Tm = Vm AVm , 设 (λ, ˜ 是 A 的一个 Ritz 值, x λ ˜ = Vm y 是 A 的一个 Ritz 向量. Rayleigh-Ritz 算法 就是用 Ritz 值和 Ritz 向量来近似 A 的特征值与特征向量. 算法 7.2 Rayleigh Ritz procedure
T Tm = Vm AVm
α1 β1 β ... 1 = .. .
矩阵特征值问题的解法要点
1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
17
算法: 乘幂法
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取 ，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
||
Ak z0 Ak z0 ||
14
zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
8
于是
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
矩阵特征值的数值解法
第9章 矩阵特征值的数值解法9.1 引言矩阵特征值问题有广泛的应用背景. 例如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析上、工程设计中的某些临界值的确定等，都归结为矩阵特征值问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，都要用到特征值的理论. 本章介绍n 阶实矩阵n n ⨯∈R A 的特征值与特征向量的数值解法.定义9.1.1 已知n 阶实矩阵()n n ij a ⨯=∈R A ，如果存在常数λ和非零向量x ，使λ=Ax x 或 ()λ-=0A I x (9.1.1)那么称λ为A 的特征值(eigenvalue)，x 为A 的相应于λ的特征向量(eigenvector). 多项式111212122212()det()n n n n n nn a a a a a a p a a a λλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦LL M M O M LA I (9.1.2) 称为特征多项式(characteristic polynomial)，det()0λ-=A I (9.1.3)称为特征方程(characteristic equation).注 式(9.1.3)是以λ为未知量的一元n 次代数方程，()det()n p λλ=-A I 是λ的n 次多项式. 显然，A 的特征值就是特征方程(9.1.3)的根. 特征方程(9.1.3)在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值. 除特殊情况 (如2,3n =或A 为上(下)三角矩阵)外，一般不通过直接求解特征方程(9.1.3)来求A 的特征值, 原因是这样的算法往往不稳定. 在计算上常用的方法是幂法与反幂法和相似变换方法. 本章只介绍求矩阵特征值与特征向量的这两种基本方法. 为此将一些特征值和特征向量的性质列在此处.定理9.1.2 设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 的特征值为12,,,n λλλL ，那么 (1) 121122n nn a a a λλλ+++=+++L L ; (2) 12det n λλλ=L A .定理9.1.3 如果λ是方阵A 的特征值，那么 (1) k λ是k A 的特征值，其中k 是正整数;(2) 当A 是非奇异阵时，1λ是1-A 的特征值. (3) ()n p λ是()n p A 的特征值，其中()n p x 是多项式2012()n n n p x a a x a x a x =++++L .定义9.1.4 设,A B 都是n 阶方阵. 若有n 阶非奇异阵P ，使得1-=P AP B ，则称矩阵A 与B 相似(similar)，1-P AP 称为对A 进行相似变换(similarity transformation)，P 称为相似变换矩阵(similarity transformation matrix).定理9.1.5 若矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征值相同. 定理9.1.6 如果A 是n 阶正交矩阵，那么 (1) 1T -=A A ，且det 1=A 或1-;(2) 若=y Ax ，则22=y x , 即T T ⋅=⋅x x y y . 定理9.1.7 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则 (1) A 的特征值都是实数； (2) A 有n 个线性无关的特征向量.定理9.1.8 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P ，使得1T -==P AP P AP Λ，其中12diag(,,,)n λλλ=L Λ是以A 的n 个特征值12,,,n λλλL 为对角元素的对角矩阵.定理9.1.9 (圆盘定理) 矩阵()ij n n a ⨯=A 的任意一个特征值至少位于复平面上的几个圆盘中的一个圆盘上。
特征方程的根与特征值的计算方法
特征方程的根与特征值的计算方法特征方程常常在矩阵计算和微分方程中出现。
在这两个重要的数学领域中，特征方程的使用是非常重要的。
对于矩阵问题，特征方程的解决有助于找到矩阵的特征值，而针对微分方程，它可以用来描述一个微分方程的稳定性。
在本篇文章中，我们将会介绍特征方程的根与特征值的计算方法。
一、特征方程的定义特征方程是指一个矩阵减去一个标量矩阵后的行列式，表示为det(A-λI)=0。
其中，A是一个n阶方阵，λ是一个标量，I是一个n 阶单位矩阵。
二、特征值与特征向量在特征方程中，一个标量λ称为矩阵A的特征值，而特征向量则是指矩阵A与它的特征值所对应的非零向量。
特征方程的根与特征值有很大的关联性，因为特征值就是特征方程的根。
三、特征方程的解法要求解特征方程，必须要先计算出它的根，也就是特征值。
一般来说，根据求解特征值的方式，可以将特征方程的计算方式分为以下两种：1. 直接求解根据特征方程的定义，即求出A-λI的行列式，并令其等于0。
这个过程中，λ相当于是一个未知的变量，因此该方程式是一个关于λ的一元多项式，而根据代数基本定理，不存在大于n阶的关于λ的一元多项式。
因此，该方程式的根的个数正好等于它的次数。
举个例子：对于一个2阶矩阵的特征方程det(A-λI)=0，可以列出一个2次的关于λ的一元多项式。
这个方程式的根有可能是实数，但也有可能是复数。
对于一个n阶矩阵来说，这个特征方程是一个n次的关于λ的一元多项式，它也有可能有实数根与复数根。
2. 利用迭代计算法求解以幂迭代法为例来说明。
Step 1：初始化随机生成一个n维向量x0，并将其归一化。
不妨先令i=0，然后执行以下的迭代计算法：Step 2：迭代求解i. 计算矩阵和向量的乘积。
y=Axiii. 求得y中的最大值yi和对应的下标iiii. 创建一个新的向量x，并计算x=1/yi*yiv. 计算向量x与扰动项之和的范数，并判断其是否已经收敛若范数小于一个给定的精度，则停止迭代计算法；反之，则转到Step 2并令i=i+1，继续循环迭代计算。
线性代数中的特征值与特征向量求解方法
线性代数中的特征值与特征向量求解方法线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等。
在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念，它们在矩阵的变换和矩阵的性质研究中起到了关键的作用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx成立，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质，它们描述了矩阵变换的规律和特点。
二、特征值与特征向量的求解方法1. 特征值与特征向量的几何解释特征值与特征向量的求解方法有很多种，其中一种直观的方法是通过几何解释来理解。
对于一个二维矩阵A，特征向量可以看作是矩阵A对应的线性变换下的不变方向，而特征值则表示了在这个不变方向上的缩放因子。
通过对特征向量进行缩放，就可以得到相应的特征值。
2. 特征值与特征向量的代数解法除了几何解释外，还有一种常用的方法是通过代数的方式求解特征值与特征向量。
这种方法基于矩阵的特征方程，即|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
通过解特征方程，可以得到矩阵A的特征值。
然后，将特征值代入到方程(A-kI)x=0中，解得特征向量。
3. 特征值与特征向量的数值解法除了代数解法外，还有一种常用的数值解法是通过数值计算的方式求解特征值与特征向量。
这种方法基于矩阵的特征值分解，即将矩阵A分解为A=QΛQ^-1的形式，其中Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵。
通过对矩阵A进行相似变换，可以得到特征值与特征向量的数值近似解。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在线性代数中有着广泛的应用。
其中一种应用是在矩阵的对角化中，通过特征值与特征向量的求解，可以将矩阵对角化，从而简化矩阵的计算和分析。
另外，特征值与特征向量还可以用于求解线性方程组的特解和齐次解，以及矩阵的幂运算和矩阵的指数函数等。
总结：特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们描述了矩阵在线性变换下的重要性质。
矩阵特征值的数值解法
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
矩阵特征值和特征向量的数值解法
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
k →∞
k →∞
lim v ( k ) =
x1 max( x1 )
事实上，由式（7.1.5）知
v
(k )
=
Ak u ( 0 )
∏m
i =0
k
i
算法 7.1.1 实用幂法 (1) 输入： aij (i, j = 1,2, L n), ui (i = 1,2, L), ε ; (2) k = 1; m0 = max(ui );
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
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《结构动力学》大作业结构大型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2）设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。
将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：[]{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2λω=，(1.4)具有非零解的条件是()[][]det 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三角矩阵。
引入向量{}x 满足：{}[]{}Tx L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得：([][]){}0I P x λ-= (1.8)其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
用分离变量法，设{()}{}tx t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。
将{()}{}tx t e λφ=代入上述齐次方程，得确定参数λ,{}φ的特征方程：()2[][][]{}0M C K λλφ++= (1.10)(1.10)具有非零解的条件是()2det [][][]0M C K λλ++= (1.11)式(1.11)的求解就是复特征值问题。
2 实特征值求解方法 2.1特征方程法求解实特征值最直接的方法就是特征方程法，即把式(1.5)展开得到特征值多项式：11100n n n C C C λλλ--++++= (2.1)求解(1.10)即得特征值，特征方程法仅适用于3n ≤的低阶情况特征值求解，并不是求解特征值的一般方法，实际求解大型结构的实特征值问题的方法很多，归纳起来大致分为两类，即基于矩阵相似变换原理的相似变换法和基于瑞利—李兹（Rayleigh-Ritz ）法、迭代方法的瑞利—李兹类方法。
2.2相似变换法相似变换法基于矩阵的相似变换原理，即相似矩阵与原矩阵有相同的特征值，主要有以下几种方法。
2.2.1雅克比法（Jacobi ）雅克比法是求解实对称矩阵全部特征值的简单有效的方法。
它的基本思想是，通过正交 相似变换使矩阵对角化，从而求出矩阵的全部特征值，进行步骤如下：（1） 将系统的自由振动微分方程：[]{}[]{}0M u K u += 化为标准实特征值形式：([][]){}0I P x λ-=；(2)找矩阵[P]中绝对值最大的非对角线元素0uv p ，构造正交矩阵[]1S ，对[P]矩阵作正交变换[][][][]T111S P S =P 使元素0uv p 化成0；（3）找矩阵[]1P 中的绝对值最大非对角线元素1uv p ，构造正交矩阵[]2S ，对[]1P 矩阵作正交变换[][][][]T2122S P S =P 使元素1uv p 化成0；（4）依次进行下去，每次找矩阵[]i P 中的最大非对角线元素i uv p ，构造正交矩阵[]i+1S ，对[]i P 矩阵作正交变换[][][][]Ti+1i i+1i+1S P S =P 使元素i uv p 化成0。
重复使用该变换，每次变换可使矩阵[]i P 更接近于对角矩阵，若干次变换厚，原矩阵[P]化成对角矩阵，对角线元素即是原矩阵的特征值。
每步变换的关键在于构造正交矩阵[]i+1S ，实际采用吉文斯（Givens ）旋转矩阵，通过多次坐标系的旋转来实现原矩阵的对角化，[]i+1S 取如下形式：[]11cos sin 11sin cos 11θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i+1S 其中，u 、v 为[]i P 中最大非对角线元素所在的行列序号，θ为旋转角，由正交变换[][][][]Ti+1i i+1i+1S P S =P 使矩阵[]i+1P 的元素uv p =vu p =0来确定，计算得到：arctan 2i i vv uu iuvp p p θ-1=2.2.2 豪斯厚德三对角化法（Householder ）当矩阵[]P 的阶数较高，非对角元素较稠密，且数值较大时，使用雅克比法的收敛速度就不快，为了谋求更快更有效的算法，吉文斯（Givens ）首先提出了一个将实对角矩阵三对角化的方法，将矩阵三对角线外的元素利用正交变换逐一化成0.而豪斯厚德（Householder ）则改进了这一方法，即将三对角线外的元素逐行变换成0，最后将矩阵三对角化，在三对角化的基础上便可结合别的方法迅速地求出全部或部分特征值。
豪斯厚德方法基本思路如下：（1）寻找一个对称的正交矩阵[]1S ，通过正交变换[][][][]T=111S P S P ，将矩阵[]P 的最后一行实现三对角化，因为[]P 是对称矩阵，这样同时也实现了[]P 的最后一列三对角化；（2）寻找一个对称的正交矩阵[]2S ，通过正交变换[][][][]T=2122S P S P ，将矩阵[]1P 的倒数第二行（列）三对角化；（3）寻找一个对称的正交矩阵[]i S ，通过正交变换[][][][]T =i i-1i i S P S P ，将矩阵[]i-1P 的第n-i+1行（列）三对角化；（4）依次进行下去，经过n-2次正交变换后，原矩阵[]P 即变换成了三对角矩阵[]n-2P 。
与雅可比法一样，上述过程的关键就是如何构造每步变换的正交矩阵[]i S ，豪斯厚德的主要贡献就是构造出了满足这一要求的矩阵，表达如下：[][]{}{}/Ti i i u u H =-i S I其中，{}{}12Ti i i H u u =，[]I 为单位矩阵，{}i u 是列向量，取值为： {}(),1,2,1,,0Ti i i i l l l l u pp p-=1l n i =-+是当前处理的行列号，,i l j p 是矩阵i P 的第l 行第j 列元素。
=当,10i l l p -≥时，前面取正号，当,10il l p -<时，取负号。
2.2.3斯特姆排序法（Sturm ） 将矩阵三对角化后，运用斯特姆排序法计算三对角矩阵的全部或部分特征值时非常有效的，该方法基于如下思想：经三对角化后，矩阵P 的特征方程方程为：[]111222311000[]000n n n c b b c b b c P I b b c λλλλλ------==-定义它的零阶主子式为：1=0p以后各阶为首的主子式为：111221112212()()()(r 2,3...,)r r r r c c b c c b b c c p b p n λλλλλλ--⎫=-⎪-⎪==---⎬-⎪⎪=--=⎭12r p p p则0p ，1p ，2p ,……n p 构成一个多项式序列（斯特姆序列）。
任何一个斯特姆序列都与一个―整数函数‖ λS()相联系。
当λ取任意一个实数值，斯特姆序列的各项多项式都可分别算出具体数值：λ0p ()，λ1p ()……λn p ()，而从λ0p ()到λn p ()所发生的符号改变数就是λS()之值。
在数学上可证明，λS()值即为矩阵[P]的小于λ的特征值的个数。
例如，由(2.5)2S =，即说明矩阵[P]有两个特征值是小于2.5的；若(0)0S =，说明矩阵[P]没有负特征值。
还可以证明，仅当自变量λ的值是矩阵[P]的某一特征值时λS()值才会发生改变，例如，若有(2.1)2S =，(2.2)3S =，则矩阵[P]肯定有一特征值介于2.1和2.2之间，只要将λ值分得足够细，总可以根据λS()的变值特性按任意精度计算处矩阵[P]的某一特征值。
2.2.4 QL(或QR)法实对称矩阵P 也可借助于QL 算法通过多次正交变换而按指定的精度逼近对角矩阵。
如果事先将矩阵P 变换成三对角化矩阵，然后再施行QL 变换则是特别有效的，进行QL 变换变换的基本步骤如下：（1）寻找正交矩阵[]1Q ，使：[][][]L =11P Q[]L 1为一个下三对角矩阵（若[]L 1取上三角矩阵则是QR 法）。
（2）由[][][][][]L -1T111=Q P =Q P 作正交变换：[][][][][][]L ==T11111P Q Q P Q（2） 矩阵[]1P 作相同分解：[][][]L =122P Q再做变换：[][][][][][]L ==T222212P Q Q P Q（4）这样反复按下式进行：[][][]L =s-1s s P Q[][][][][][]L ==Ts s s s s-1s P Q Q P Q当→∞s 时，矩阵[]s P 可按任意精度逼近对角矩阵。
与前面介绍的方法一样，QL 法的关键也是在每步变换中寻找到满足条件的正交矩阵[]s Q ，[]s Q 可由n-1个正交矩阵[]si Q (i=1,2,……n -1)组成。
每个[]si Q 的功能是消去矩阵[]s P中一个非对角线元素，实际[]si Q 取为吉文斯旋转矩阵。
2.3 瑞利—李兹类方法上述求解实特征值的第一大类方法-矩阵变换法可求出系统的全部特征值，而第二大类方法—瑞利—李兹法及其相关方法主要用于求解大型系统的部分特征值的近似值。
2.3.1瑞利—李兹法（R-R ）Rayleigh-Ritz 法（简称R-R 法）是一种缩减自由度的方法，用于求解大型系统部分特征值的近似值，R-R 法在理论上的根据是，各阶特征值是Rayleigh 商的极值或驻值。
其基本思想是：选择m 个线性无关的Ritz 基向量{}i q （i=1，2，……m ），它们张成一个m 维子空间m V ，而Rayleigh 商在子空间m V 中存在m 个极值点。
这m 个极值点就是系统前m 阶特征值在m V 子空间的最佳近似值，同时也求出相应的特征向量近似值，R-R 法的具体做法如下：（1）令2ωλ=，把特征方程2([][]){}0K M x ω-=化成[]{}{}[]K x x M λ=； （2）把结构体系自由度折减为m 个，选取m 个线性无关的Ritz 基向量，则向量{}x 可表示成m 个基向量的线性组合：{}[]{}1{}ni i x z Q z ===∑i q其中，[]{}{}{}Q =⎡⎤⎣⎦ 12m q ，q ，q ，{}[]12m z z z z = ，，分别称为Ritz 基向量和Ritz 坐标向量；（3）给出向量{}x 的Rayleigh 商：**{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}T T T T x K x z K z x M x z M z ρ= = 式中，[][]*[][]TK Q K Q =、[][]*[][]TM Q M Q =，分别是矩阵[]K 和[]M 在Ritz 基向量所张子空间的投影，都是m m ⨯阶矩阵； （4）由（3）式可见，Rayleigh 商是Ritz 坐标向量的函数，因此它的极值条件可表示为：{}0ρ∂=∂z 将（3）式代入，得到：{}{}**[][]i i i K z M z ρ=这是m 阶广义特征值问题，它的特解为{}i z 和i ρ（i=1，2，……m ），则前m 阶特征值的近似值：i i λρ=。