特征值解法

《结构动力学》大作业

结构大型特征值问题的求解

0810020035 吴亮秦

1振动系统的特征值问题

1.1实特征值问题

n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：

[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）

其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。

此系统的自由振动微分方程为

[]{}[]{}0M u K u += （1.2）

设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：

[]{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2

λω=，(1.4)具有非零解的条件是

()[][]det 0M K λ-= (1.5)

式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。

因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：

[][][]T

M L L = (1.6)

其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T

x L v =，则：

1

{}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得：

([][]){}0I P x λ-= (1.8)

其中，(

)

1

1

[][][][]

T

P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。

1.2复特征值问题

多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：

[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t

x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将

{()}{}t

x t e λφ=代入上述齐次方程，得确定参数λ,{}φ的特征方程：

()

2

[][][]{}0M C K λλφ++= (1.10)

(1.10)具有非零解的条件是

()2det [][][]0M C K λλ++= (1.11)

式(1.11)的求解就是复特征值问题。

2 实特征值求解方法 2.1特征方程法

求解实特征值最直接的方法就是特征方程法，即把式(1.5)展开得到特征值多项式：

11100n n n C C C λλλ--++++= (2.1)

求解(1.10)即得特征值，特征方程法仅适用于3n ≤的低阶情况特征值求解，并不是求解特征值的一般方法，实际求解大型结构的实特征值问题的方法很多，归纳起来大致分为两类，即基于矩阵相似变换原理的相似变换法和基于瑞利—李兹（Rayleigh-Ritz ）法、迭代方法的瑞利—李兹类方法。

2.2相似变换法

相似变换法基于矩阵的相似变换原理，即相似矩阵与原矩阵有相同的特征值，主要有以下几种方法。

2.2.1雅克比法（Jacobi ）

雅克比法是求解实对称矩阵全部特征值的简单有效的方法。它的基本思想是，通过正交 相似变换使矩阵对角化，从而求出矩阵的全部特征值，进行步骤如下：

（1） 将系统的自由振动微分方程：

[]{}[]{}0M u K u += 化为标准实特征值形式：([][]){}0I P x λ-=；

(2)找矩阵[P]中绝对值最大的非对角线元素0uv p ，构造正交矩阵[]1S ，对[P]矩阵作正交变换[][][][]T

111S P S =P 使元素0uv p 化成0；

（3）找矩阵[]1P 中的绝对值最大非对角线元素1uv p ，构造正交矩阵[]2S ，对[]1P 矩阵作正交变换[][][][]T

2122S P S =P 使元素1uv p 化成0；

（4）依次进行下去，每次找矩阵[]i P 中的最大非对角线元素i uv p ，构造正交矩阵[]i+1S ，对[]i P 矩阵作正交变换[][][][]T

i+1i i+1i+1S P S =P 使元素i uv p 化成0。

重复使用该变换，每次变换可使矩阵[]i P 更接近于对角矩阵，若干次变换厚，原矩阵[P]化成对角矩阵，对角线元素即是原矩阵的特征值。

每步变换的关键在于构造正交矩阵[]i+1S ，实际采用吉文斯（Givens ）旋转矩阵，通过多次坐标系的旋转来实现原矩阵的对角化，[]i+1S 取如下形式：

[]1

1cos sin 11sin cos 1

1θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

i+1S 其中，u 、v 为[]i P 中最大非对角线元素所在的行列序号，θ为旋转角，由正交变换

[][][][]T

i+1i i+1i+1S P S =P 使矩阵[]i+1P 的元素uv p =vu p =0来确定，计算得到：

arctan 2i i vv uu i

uv

p p p θ-1

=

2.2.2 豪斯厚德三对角化法（Householder ）

当矩阵[]P 的阶数较高，非对角元素较稠密，且数值较大时，使用雅克比法的收敛速度就不快，为了谋求更快更有效的算法，吉文斯（Givens ）首先提出了一个将实对角矩阵三对角化的方法，将矩阵三对角线外的元素利用正交变换逐一化成0.而豪斯厚德（Householder ）则改进了这一方法，即将三对角线外的元素逐行变换成0，最后将矩阵三对角化，在三对角化的基础上便可结合别的方法迅速地求出全部或部分特征值。豪斯厚德方法基本思路如下：

（1）寻找一个对称的正交矩阵[]1S ，通过正交变换[]

[][][]T

=111S P S P ，将矩阵[]P 的

最后一行实现三对角化，因为[]P 是对称矩阵，这样同时也实现了[]P 的最后一列三对角化；

（2）寻找一个对称的正交矩阵[]2S ，通过正交变换[][][][]T

=2122S P S P ，将矩阵[]1P 的

倒数第二行（列）三对角化；

（3）寻找一个对称的正交矩阵[]i S ，通过正交变换[][][][]T =i i-1i i S P S P ，

将矩阵[]i-1P 的第n-i+1行（列）三对角化；

（4）依次进行下去，经过n-2次正交变换后，原矩阵[]P 即变换成了三对角矩阵[]n-2P 。