特征值求法

1 例7 求矩阵 A 3
解
2 的特征值与特征向量。 6
A的特征多项式为
1 λ 3
2 (1 λ )(6 λ ) 6 λ (λ 7), 6 λ
故A的特征值为 λ 1 0,λ 2 7. 当 λ 1 0 时,由
1 ( A λ 1E)x 0 即方程组 3 2 . 解得基础解系为 p1 1
如果 χ 是矩阵A的属于特征值 λ 0 的 特征 那么 χ 的任何一个非零倍数 kχ 也是A的 向量， 属于 λ 0 的特征向量。 这是因为Aχ λ 0χ ,所以
A(kχ ) λ 0 (kχ ), 这说明属于同一个特征值 λ 0
的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能 属于一个特征值。
Ax λ x 可以写成齐次线性方程组 ( A λ E)x 0
所以，(λ 2 λ )α 0, 因α 0，所以
即 λ 0或λ 1。 λ 2 λ λ （λ 1） 0，
由例10的证明可以看出，若 λ 是方阵A的特征值， 则 λ 2 是 A 2 的特征值。按此类推，不难证明 若 λ
φ (λ ) 是 是方阵A的特征值，则 λ k是 A k 的特征值； φ ( A) 的特征值，
（2） λ 1λ 2 λ n A .
如果 λ λ i 是方阵A的一个特征值，由线性方 程组( A λ i E)x 0, 求得非零解 x p i , 则 p i 就是A 的对应于特征值 λ i 的特征向量。 由以上分析知： 求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和
方程组的解。
1 2 x1 0 , 解得基础解系 p 2 . 1 x 2 0 3
A的属于特征值 λ 2 7 的所有特征向量为
kp2 (k 0为任意常数).
3 例8 求矩阵 A 4 1
解
A的特征多项式为
显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。 特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数 为方程的次数（重跟按重数计算），因此n 阶方阵有n个特征值。显然，n阶单位矩阵E 的特征值都是1。 设n阶方阵 A (aij )的特征值为 λ 1 ,λ 2 ,λ n则有 （1） λ 1 λ 2 λ n a11 a22 ann ;
3 λ A λ E 2 6
1 λ 3
1 1 (λ 1)(λ 1)2 , 2 λ
A的特征值为λ 1 1,λ 2 λ 3 1.
由 ( A E)x 0, 即方程组 当 λ 1 时，
4 2 6
1 1 3
1 1 x1 0 1 x 2 0 , 解得基础解系 p1 1 . 3 1 x 3 0
A的对应于特征值 λ 1 2 的所有特征向量为 kp1 （k为不等于0的任意常数）.
当 λ 2 λ 3 1 时， 由 ( A E)x 0可得方程组
2 4 1
1 2 0
0 x1 0 1 0 x 2 0 , 解得基础解系 p 2 2 . 0 x 0 1 3
p 2 就是A的一个属于特征值 λ 2 λ 3 1的特征向量，
A的对应于特征值 λ 2 λ 3 1 的所有特征向量为
kp2 (k 0为任意的常数 ).
3 例9 求矩阵 A 2 6 特征向量。
解 A的特征多项式为
1 0 3
1 的特征值与 1 2
k i (λ i λ m1 ) 0(i 1,2,, m), λ i λ m1 0(i m),
但
所以 k i 0, 这只有 k m1 0. 这就证明了
p1 , p 2 ,, pm1 线性无关。
1 3 0 1
0 0 的特征值与特征向量。 2 0 0 (2 λ )(1 λ )2 , 2 λ
1 λ A λ E 4 1
3 λ 0
A的特征值为 λ 1 2,λ 2 λ 3 1. 由 ( A 2E)x 0 即方程组 当 λ 1 2时，
方程组有解

A λ E 0
a1 n a 2n
即
a11 λ a 21 an1
a12 a 22 λ an 2
0
ann λ
上式是以 λ 为未知量的一元n次方程，称为方阵A
的特征方程， A λ E 是 λ 的n次多项式，记为 f (λ ) 称为方阵A的特征多项式。
λ 2 λ 3 1 的特征向量，A的对应于 λ 2 λ 3 1
的所有特征向量为 k 1p2 k 2p3 (k 1 , k 2不同时为零).
在例9中，1是A的2重特征根，A对应于特征值 1的线性无关的特征向量有两个，即 ( A λ E)x 0 的基础解系，由两个解向量组成， 在例8中，1也是A的2重根，但A对于特征值1的 线性无关的特征向量却只有一个，即 ( A λ E)x 0 的基础解系只有一个解向量组成。 可以证明， 对于一阶矩阵A，如果 λ 0 是A的 k重特征根，则A对应于 λ 0 的线性无关特征向量的 个数不大于k，也就是说， ( A λ 0E)x 0的基础解系 所含向量的个数不大于k.
2 x1 0 , 6 x 2 0
p1 就是A的一个属于特征值 λ 1 0的特征向量，
A的属于特征值 λ 1 0的所有特征向量为
kp1 (k 0为任意常数).
当λ 2 7时，
由( A λ 2E)x 0 即方程组
6 3
由此可知，定理的结论是成立的。
0 1 求矩阵 A 例12 的特征值。 1 0 λ 1 2 解 A的特征多项式为 f (λ ) λ 1. 1 λ
其有复特征根 λ 1 i,λ 2 i.
这个例子说明: 方阵在复数域内总有特征根， 但不一定有实特征根。
假设有等式 k 1p1 k 2p 2 k mpm k m1pm1 0 (1)式两端左乘A 可得：
A(k 1p1 k 2p 2 k mpm k m1pm1 ) 0
(1)
即 λ 1k 1p1 λ 2k 2p 2 λ mk mpm λ m1k m1pm1 0 （1）式两端左乘 λ m 1 可得：
于是矩阵B的特征值分别为 φ (1) 4,
φ (1) 6,φ (2) 12.
定理3 证
属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 用数学归纳法证明。
由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必 然线性无关。 现在设属于m个不同特征值的特征向量线性无关， 下面证明属于m+1个不同特征值 λ 1 ,λ 2 ,,λ m的特 征向量 p1 , p 2 ,, pm也线性无关。
p1 就是A的一个属于特征值 λ 1 1的特征向量，
A的属于特征值 λ 1 1 的所有特征向量为
kp1 (k 0为任意常数).
由 ( A E)x 0 可得方程组 当 λ 2 λ 3 1 时，
2 2 6
1 1 x1 0 解得基础解系 1 1 x 2 0 , x 0 3 3 3 1 0 p 2 0 , p 3 1 . p 2 , p 3 就是A的属于特征值 2 1
其中
φ (λ ) a 0 a1λ amλ m , φ ( A ) a 0 E a1 A a m A m .
例11
已知三阶矩阵A的特征值分别为1，-1，2， 矩阵
B A3 5A2 , 试求矩阵B的特征值。
解
因 B A3 5A2 φ(A), 故 φ(λ ) λ 3 5λ 2 ,
例10
2 A 设方阵A是幂等矩阵（即 A），试证
A的特征值只有0和1。 证 设 λ 是A的特征值， α 是A的对应于 λ 的
特征向量，则 Aα λ α (α 0), 于是
λ α Aα A α A(Aα ) A(λ α ) λ (Aα ) λ α ,
2 2
λ m1k 1p1 λ m1k 2p 2 λ m1k m1pm1 0
（ 2）
将（2）和（3）两式相减得
（ 3）
k 1 (λ 1 λ m1 )p1 k 2 (λ 2 λ m1 )p 2 k m (λ m λ m1 )pm 0,
由归纳假设 p1 , p 2 ,, pm 线性无关，所以
3 4 1
1 1 0
0 0 x1 0 0 x 2 0 , 求得基础解系 p1 0 1 0 x 3 0
p1就是A的一个属于特征值 λ 1 2的特征向量，