43多项式方法求特征值问题
多项式特征值问题的数值方法
求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1） 其中,0:n nk A k m ×∈=£。
多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
特征值多项式
特征值多项式
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
特征值多项式可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和特点。
我们需要了解什么是特征值和特征向量。
特征值是矩阵的一个数值，而特征向量是与该特征值对应的向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解矩阵的特征方程得到。
特征值多项式是一个关于特征值的多项式，它的形式为：f(λ) = |A - λI|，其中A是一个n阶矩阵，λ是一个待定的数值，I是n 阶单位矩阵。
特征值多项式的根就是矩阵A的特征值。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值多项式可以用来求解波函数的能量本征值；在工程学中，特征值多项式可以用来研究结构的稳定性和振动特性。
特征值多项式的求解可以通过行列式的方法来进行。
我们可以将特征值多项式展开为一个关于λ的多项式，并求解其根。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的所有特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在线性代数中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用来研究矩阵的性质和特点。
通过对特征值多项式的研究，我们可以更好地理解和应用线性代数的知
识。
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用，它帮助我们理解和应用线性代数的知识。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
特征多项式 求法
特征多项式求法特征多项式是线性代数中的一个重要概念，它是矩阵理论中的一个基础工具。
特征多项式用来描述矩阵的本征值，本征向量的性质，它在矩阵的求逆、优化问题、微分方程等方面都有应用。
本文将详细介绍特征多项式的定义、性质、计算方法及应用。
一、特征多项式的定义特征多项式是一个矩阵的一个n次多项式，它的系数是由矩阵A的各个阶次的特征值λ1,λ2,...λn得到的。
特征多项式一般写作：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)，其中x为实数或复数，λ1,λ2,...λn为矩阵A的n个特征值。
特征多项式表示的是矩阵与一个实数或复数之间的关系，它是由矩阵的特征向量与特征值得到的。
特征多项式是描述矩阵本征值的一个重要工具。
二、特征多项式的性质1.特征多项式的次数等于矩阵的阶数，系数为1。
2.特征多项式的根为矩阵的特征值。
3.特征多项式与矩阵的特征值的乘积等于该矩阵的行列式。
4.特征多项式与伴随矩阵的特征多项式相同。
5.特征多项式的各项系数与特征矩阵的主对角线元素关系密切。
6.对于实对称矩阵，它的特征多项式一定可以分解成实系数的一次或二次因式。
7.特征多项式是能够反映矩阵的本征值和本征向量的重要工具。
三、特征多项式的计算方法特征多项式的计算方法一般有两种，一种是通过求解矩阵的本征值得到，另一种是通过矩阵的行列式得到。
1.通过求解矩阵的本征值对于给定的n×n矩阵A，首先可以求出它的n个本征值λ1,λ2,…λn，然后将它们代入特征多项式的表达式式子，即：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)。
然后对f(x)进行整理，即可得到特征多项式的表达式。
2.通过矩阵的行列式求值假设矩阵A是一个n阶方阵，其特征多项式的表达式为f(x) = |xI_n−A|，其中I_n表示n阶单位矩阵。
因此，特征多项式也可以通过求解矩阵A的行列式来得到。
需要注意的是，这种方法只适用于较小的矩阵，对于大规模的矩阵计算难度较大。
矩阵特征值的求法
矩阵特征值的求法矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。
下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。
1.特征多项式的求解方法：特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
求解特征多项式的步骤如下：（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。
（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。
（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。
2.特征向量迭代方法：特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。
具体步骤如下：（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。
（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。
（3）计算极限lim┬(n→∞)((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特征值的估计值。
（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。
3.QR分解方法：QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
特征值的求解步骤如下：（1）通过QR分解，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
（2）将A表示为相似对角矩阵的形式，即A=Q'ΛQ，其中Λ为对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。
（3）求解Λ的对角线元素，即求解特征值。
需要注意的是，这三种方法各自有适用的情况和算法复杂度。
特征多项式的求解方法适用于任意阶数的方阵，但对于高阶矩阵来说计算量比较大；特征向量迭代方法适用于大型矩阵的特征值求解，但需要选取合适的初始向量；QR分解方法适用于方阵的特征值求解，但要求矩阵能够进行QR分解。
特征值与多项式
设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得 Ax=λx (1) 则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的
特征向量.
设x是对应于特征值λ的特征向量,由于 A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 , 所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不 是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的. 因此一个特征向量只属于一个特征值.
(2) 1 2
(注 : trA称为矩阵A的迹)
证 (1)由于1 , 2 , , n为A的特征值, 故 | I A | ( 1 )( 2 ) ( n ) = n (1 2 令 0, 得 | A | () 12
n
n ) n1
(1)n 12
n
n ,即 | A | 12
n
(2) 由于 a11 a12 a21 a22 | I A |
an1 an 2
a1n a2 n
Байду номын сангаас ann
的行列式的展开中, 注对角线的乘积 ( a11 )( a22 ) ( ann ) 是其中的一项,再由行列式的定义可知:展开式中的其余项至多 包含n-2个主对角线上的元素,因此|I-A|中含 n与 n 1的项只能 在主对角线元素乘积项中出现,故有
得基础解系
p2 (1, 4, 0)T ,p3 (1, 0, 4)T
所以k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不全为零)是对应于
2 3 2的全部特征向量.
由例题知道,矩阵A的特征值之和1 2 3 3, 而矩 A的特征值之积12 3 4, 而矩阵A的行列式 | A | 4,当
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法是一种通过迭代计算逼近多项式的特征值的方法。
该方法的基本思想是先猜测一个特征值的近似值，然后通过迭代计算逐渐逼近真实的特征值。
具体的迭代算法如下：
1. 随机选择一个初始特征值的近似值x0。
2. 对于每一次迭代k，计算下一个近似值xk+1 = f(xk)，其中f(x)是多项式的特征方程。
可以使用多项式的特征方程展开为多项式后，对xk进行代入计算得到xk+1。
3. 如果xk+1与xk之间的差值小于一定的阈值，那么停止迭代，xk+1即为多项式的特征值的近似值；否则，返回第2步。
需要注意的是，迭代解法并不能保证得到多项式的所有特征值，只能得到其中的一个或几个。
此外，迭代解法的收敛性和速度也取决于初始特征值的选择和多项式的特征方程的性质。
迭代解法的优点是简单易实现，适用于一些特殊的多项式特征值计算问题。
但对于一般的多项式特征值计算问题，其他的方法如QR 算法、幂迭代法等可能更为有效。
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4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1） 的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
《对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)? 例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B 所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有#I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ —故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11);这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. ,在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得>0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
对应于1-=λ的全部特征向量为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012/121k k( 其中1k 与2k 是任意常数，且不同时为零。
为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1004411282A其特征方程为0)1()2(=--λλλ 特征值为1,0,2321===λλλ对应于2=λ的特征向量可由解下列方程组而求得01004211284321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.17)用一次高斯-若当消去法，得]0321100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x (4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为00011244812123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.19)其中未知数列矩阵中1x 与3x 也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与式等价，对式进行一次高斯-若当消去法，得03/13/213/13/203/13/20123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x (4.3.20)再进行一次消去过程，得02/110001000123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/100B (4.3.22) 将(4.3.22)式中的列矩阵B 中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12/10 （4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2=λ的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 对应于的全部的特征向量为 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 其中k 为不等于零的任意常数.。