第4章 一阶、二阶电路的时域分析-2

注意： （1）直流激励； （2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应； （3）适合于求零输入响应和零状态响应。 （4）若电路在 t = t0 时换路，则三要素法公式修改为
t t0
r(t) r() [r(t0 ) r()]e , t t0
三要素公式的响应波形曲线
r(t)
r(t)
r() r(0+)
t R1C
e ( R1 R2 )C
t R1C
iC Us/R1
iC (t)
Us R1
1t
e R1C A
0 t R1C
1
t
Us (1 e1) R1 R2
iC
(t)
Us (1 e1) R1 R2
t R1C
e ( R1 R2 )C
t R1C
作业10：p. 227
4-3 (a) 4-9 (1) 4-11
例25 用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求iL ，并画 出波形。
iS
iL
2
iS
R
1H L
2
0
1t
解法一：左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示:
iS(t) = 2 (t) - 2 ( t -1) A
由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态
响应等于2(t)和 -2(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状
0
t0
t
f (t)
2
1
f (t) (t) (t 1) 2 (t 2)
0 1 2t
f (t)
A
f (t) Asin t[ (t) (t )]
0 /2 t
4-5-2 阶跃响应
单位阶跃响应s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号激励下 的响应。
把 (t)看作下图开关动作，则求解阶跃响应（零状态）
-
2 i(0+)
+
4
10V
-
i(0
)
10
uC (0 2
)
10 2
8
1A
2．计算稳态值uC()、i()
换路后，经一段时
间，重新达到稳定， 电容开路，终值图
2A
如右，运用叠加定
理得
+ 4 uC ()
-
2 i()
+
4
10V
-
uC
()
(4
//
4
//
2)
2
2
4
// 4
4 //
4
10
2
5
7V
i() 10 uC () 10 7 1.5A
t=0
2 i
+
+
2A
4 uC
4
10V
0.1F -
-
解：1．计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流 全部流入4电阻中，
uC(0) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V画0+图来自2A+ 4 8V
时不变性：
(t 1) s(t 1) [1 e2（t1）] (t 1)
(t 0)
i(t) 2 (0.8 2)e10t 2 1.2e10tA (t 0)
例19 开关在a时电路已稳定。t = 0倒向b, t=R1C 倒向c，求
t0的iC(t)并画波形。
c
R1
解：t<0时，uC(0-)=0 。第一次换路后由换 路定则得：
uC (0 ) uC (0 ) 0
R2
4－5 一阶电路的阶跃响应
4-5-1 单位阶跃信号
定义：
(t)
0 1
t0 t 0
延迟单位阶跃信号：
0
(t t0 ) 1
t t0 t t0
(t)
1
0
t
(t-t0)
1
0
t0
t
阶跃信号用途：
1. 描述开关动作
t=0
+
电
2V -
路
+
电
2 (t) V
-
路
2. 表示各种信号 f (t)
A
f (t) A[ (t) (t t0)]
i(t) 1.5 (11.5)e10t 1.5 0.5e10tA (t 0)
下面看响应过程——波形
i(t)
1.5 1
t uC(t) 8 7
0
t
例17 求u(t)和i(t)。
已知：
uC(0 ) 0
2A
+ u-
t=0
4
+
4
0.01F uC
i + 2i -
-
解：1．计算初始值uC(0+)、i(0+)零状态电路， 由换路定则得：
t
uC (t) (U0 US )e US
(t 0)
全响应 固有响应 强制响应 全响应 暂态响应 稳态响应
按响应形式分类 按工作状态分类
上式可改写为
t
t
uC (t) U0e US(1 e ) (t 0)
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
uCzi(t)
uCzs(t)
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应 之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以 叠加的一种体现。
iL(0-)。 (2) 由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即
uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。
(3) 画0+图，求其它初始值——用数值为uC(0+)的电压源 替代电容或用iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算
2。稳态值 r() 的计算 根据t→电路达到新的稳态，将电容用开路或电感用短
因而得到
rp (t) r() rp (0 )
t
r(t) r() [r(0 ) r()]e , t 0
三要素公式
r(0+) —— 响应的初始值 三要素： r() —— 响应的稳态值
—— 时间常数 =RC, =L/R
直流激励下一阶电路的全响应取决于r(0+)，r()和 这三个
要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而 不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。
r() > r(0+)
r(0+) r()
r() < r(0+)
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 r()，响应的快
慢取决于电路的时间常数 。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1。初始值r(0+)的计算 (1) 画t =0-图，求初始状态：电容电压uC(0-)或电感电流
2
2
3．计算时间常数
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个 电阻的并联
2 i(t)
+
+
2A
4 uC
4
10V
-
-
Ro 4 // 4 // 2 1
时间常数为 τ RoC 1 0.1 0.1s
4．将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应 表达式：
uC (t) 7 (8 7)e10t 7 1e10tV (t 0)
路代替，得一个直流电阻电路，再从稳态图求稳态值 r()。
3。时间常数 的计算
先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻Ro
，然后用公式 =RoC 或 =L/Ro计算出时间常数。
4。将 r(0+), r() 和 代入三要素公式得到响应的一般表达式。
例16 电路原处于稳定状态。求 t 0 的 uC(t) 和 i(t)，并画波 形图。
s(t) (1 e L t) (t)
这两个表示式中有了 (t)这一因子后就不必再加注 t > 0 了。
若将激励改为延迟阶跃信号(t-t0) ，则图(a)中uC(t)和图(b)中
iL(t)的阶跃响应分别修改如下：
(t-t0)
(t-t0)
t t0
s(t) (1 e RC ) (t t0 )
s(t
态响应之和。
（1）先求单位阶跃响应s(t)
s(t)
s(0 ) s (0 ) 0 (t) s() 1
L / R 0.5s
R 1H L
2
所以： s(t) (1 e2t ) (t)
（2）应用线性及时不变性
由于 (t) s(t) (1 e2t ) (t) A 线性 : 2 (t) 2s(t) 2(1 e2t ) (t)
)
(1
e
R L
(t
t0
)
)
(t
t0
)
(t)
Us
阶跃响应波形图
(t-t0)
Us
0
t
0
t0
t
s(t)
s(t)
Us
Us
0
t
t
s(t) (1 e RC ) (t)
0
t0 tt0
t
s(t) (1 e RC ) (t t0 )
线性电路的时不变性——线性时不变零状态电路中激励e(t)延迟t0
时间后加入，其响应r(t)也延时 t0 出现，且大小、形状保持不变。
可用三要素法
t=0
+
+
1V
u
-
-
t=0
i
1A
图(a) RC串联电路，初始值uC(0+)=0，稳态值uC()=1，时间 常数 =RC。 图(b) RL并联电路，初始值iL(0+)=0，稳态值iL()=1，时间常 数 =L/R。