3-3二阶系统的时域分析

二阶系统的闭环极点分布
j
特征根： s1, 2 n n 2 1
j
n 1 2
j

n
n 1 2

n

0

n 1 2
0
1
0
n 1 2
0 1
1 0
j
s1 s 2 n 0
1
1
C1 C2 C3 L C1e S t C2 e S t C3 ( s s1 ) ( s s2 ) s
1
1 2
其中
C1
n2
( s1 s2 ) s1
; C2
n2
( s1 s2 ) s2
; C3 1
而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ ，ωn有关，即ζ ，ωn决
第三章 时域分析法
第三节 二阶系统时域分析
第三节 二阶系统的时域分析
项目
教学目的
内容
掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。 能够计算欠阻尼时域性能指标。
欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自 然频率对系输出的影响。
教学重点
教学难点 阻尼 系数 和自然频率 对系统输出 的影响 。 及 其 处 理 MATLAB作图、对比、总结。
①
环节；
比例+微分（引入零点）：在前向通路中串一个PD控制
② 采用测速反馈控制。 3) PD控制与测速反馈控制两种方案比较 （见下页附表）
附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较
性能指标
PD控制
方
案
测速反馈控制 增 大 降 低
阻尼比 自然频率 开环增益 稳态误差 超调量 性能 适用场合
不 影 响 不影响
sin( 1 2 nt arccos )
td
1 0.7
tr (令c(t ) 1) d tp (令c(t ) 0) d
r
σ
0
令 c(t r ) 1
r
峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时 所 需要的时 间； 由求c (t)极值的方法，即由 c’(t)=0 求得：
tp d n 1 2
调节时间 ts ：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值±5%
（△=0.05）或±2%（△=0.02）内所需要的最短时间。 具体求法参见教材P82。 在工程上，一般采用下列公式进行估算： 当ζ ≥0.7时： 当0＜ ζ ＜0.7时：
(阻尼振荡频率)
ωd 即s1，s2的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离； ωn（自然振荡频率）： 闭环极点到原点的距离; ζ = cosβ（β为阻尼角）：ωn 与负实轴夹角的余弦; σ、ωd、ωn、及ζ 、β的关系图示如下:
j
S1 β
6) 性能指标分析
上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终 值（稳态值）时所需要的时间；
实际设计中，一般取ζ = 0.4~0.8。其中以ζ = 0.7时为 最佳阻尼。
三． 欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、 斜坡及加速度响应的动态性能分析不要求。 四． 其他几种阻尼情况下，各种典型信号响 应的动态性能分析不要求。
六．二阶系统性能的改善
1) 改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控 制效果。 2) 改善的办法：（P88~92）
：阻尼系数
n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
• 开环传函模拟电路
比例 环节
R2 R1 R1 + R3 + + R4
2 n G( s) s( s 2n )
积分 环节
C1
R5 C2
惯性 环节
R(s)
+
+ +
C(s)
举例
(s) 2 2 s 2n s n
2 n
两级滤波电路网络的传递函数 1 ( s ) R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1 机械力学系统的传递函数
不影响
影响程度不同（大）
影 响
（小）
都能改善，但改善程度不同
由 于 其 放 大 作 用 ， 在 对噪声有滤波作用， 输 入 端 存 在 严 重 噪 声 使用广泛 时，不宜采用
小结：二阶系统中 和n 的作用
1) 0时，系统输出不稳定。
决定了超调量 n 决定了系统的响应速度。 的大小和响应的速度，
定着c(t)的形式。分别讨论如下：
① ζ ＞1时，（过阻尼） s1 ，s2 为一对不等的负实数根。
j
s1、s2
j
0 0 t
② ζ = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ ζ ＜1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。
④ 当ζ =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。
tp d n 1 2
代入后简化得：
e
结论分析：


1 2
100%
a) tr 、tp 、ts 、td 与ωn 的关系（反比关系）； b) tp 、td与ζ的关系（正比关系）；ts与ζ的关系（反比关系）.
c) 、 σ与ζ的关系（反比关系）； ζ小时，系统的平 稳性差；ζ大时，系统的平稳性好。
3） t → ∞时， e(∞)=0 则c(∞)=1；
4） σ ≠0, N≠0 即存在超调和振荡； 5） 令 n
（衰减系数）
2 n σ即 1 (阻尼振荡频率 ) s ， s 令1 （衰减系数） d 2的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离； n
n 1 2 d
1 R( s) s
则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：
s a at at L L [[ ] ] e e sin cos tt 22 22 (( ss a a ))
11
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s s 2 n s n 2 n 2 2 1 2 n (1 2 ) 1 2 2 2 n s ( s n ) n (1 ) (s ) 2 2 (1 2 ) s
d 2c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2 n G( s ) (s) 2 2 1 G(s) s 2n s n
标准 形式
结构图
R( s )
-
2 C (s) n s( s 2 n )
1. 二阶系统的闭环极点 由闭环特征式： D ( s ) s 2 2 n s n2 得： 系统的闭环特征方程 D ( s ) s 2 2 n s n2 0
有：
2 s1、 1 2 n n
（S1 ，S2二阶系统的闭环极点）
对应于ζ 的不同取值，可以得到 s1 ， s2 在[s]平面上不同的分布。 二阶系统的时间响应取决于 和n 两个参数，其中阻尼系数 决定 n 决定了系统的响应速度。可以根据 了系统的阻尼程度， n 的变化情 和 况来研究二阶系统的时间响应。
• 定义：以二阶微分方程作为运动方程的控 制系统，称为二阶系统。 • 重要性：二阶系统是最常见的一种系统， 很多高阶系统可简化为二阶系统，在控制 理论中更具有代表性；它的动态性能指标 和系统参数之间的关系非常简明，分析和 设计比较容易。
一、二阶系统的数学模型
微分方程:
闭环传函: 开环传函
2 n G( s) （ s s 2n）
T LC
-----二阶系统时间常数 / 秒
R C -----二阶系统阻尼比或相对阻尼系数 / (无量纲) 2 L
一般式拉氏变换
1 ( S ) 2 2 T s 2Ts 1
二阶系统标准式
n2 ( s ) 2 s 2 n s n2
二.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应
1 ( s ) 2 ms fs k
比如：RLC振荡电路的微分模型为
d 2uC (t ) duC (t ) LC RC uC (t ) ur (t ) 2 dt dt
一般化 其中
2 d uC (t ) duC (t ) 2 T 2T uC (t ) ur (t ) 2 dt dt
n n
令 n （衰减系数） 令n （衰减系数）
2 n 1 n 1 ) d2 d (阻尼振荡频率 (阻尼振荡频率 )
则 s1、 jd 2
此时
1 s C ( s) 2 2 s ( s ) d ( s ) 2 d2
所以 1
其中 cosβ = ζ 即β=arc cos ζ (β 称为阻尼角)
t t (t ) 1 e cos tt e sin d t d c(t )所以 1 e c cosd t e sin t d d dcos cos sin sin( ) sin t t e e 1 d t sin 2 sin t d 1 1 2
t
分析：
e t 1) 因为误差 e(t ) r (t ) c(t ) 1 2
由此可见，它为一振荡衰减过程（指数衰减），振荡频率 为ωd 。图示如下：
e(t)
1 1
sin d t
c(t)
0
t
0
t
2） e(t) 及c(t)的衰减速度取决于ζ ωn的大小；
2) 0 1时，系统输出有超调，且
越大，超调量越小，响应速度越慢；