二阶系统的时域分析
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
线性系统的时域分析法二阶系统
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法
二阶系统时域分析
n1,0.1~0.9时的响应曲线。
0.1 0.2 0.3 0.4
0.8
n 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。
20
4) 1 (临界阻尼)
C (s) R (s) (s) 1 s(s n 2 n )2 1 s (s n n )2 s 1n
c (t ) 1 nentt e nt 求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
-1<ξ<0
振荡发散
12
❖
1时
(s)s2
n2 2nsn2
,取 n 1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
13
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
ent
sin(dt)
1ent[cos(dt)12sin(dt)]
ent 1 [
12
12cos(dt)sin(dt)]
s i 1n c eo 1s nt 2 c so ins (s dti n ) s i n ( a rcta) n 1 2
11
c(t)1
ent
12
sin(dt)
(1 0)
c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。
ξξ越= 大0.4，~0.8p越小，系p=统25的.4平%~稳1性.5%越。好
31
5)调整时间ts
c(t)1
ent
12
sind(t)
包络线 1 e nt
1 2
ents
1
1
第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
二阶系统的时域分析
实验三 二阶系统的时域分析一、实验目的１、通过考察系统的过渡过程指标，研究二阶系统的特征参数—阻尼比和自然频率对系统特性的影响，以及系统特征根的位置与过渡过程的关系。
２、学习自己设计实验，安排适当的实验参数，达到以上实验目标。
二、实验内容根据传递函数2222)(nn ns s s G ωζωω++=的单位阶跃响应，求取过渡过程的质量指标。
按表1的形式整理实验数据，分析实验结果，完成实验报告。
此时，系统的特征根为j j s n n βαζωζω±=-±-=22,11。
1、令ζ＝，取三种不同的n ω，观察根在根平面上的位置，求其过渡过程和它的质量指标，进行比较。
说明当ζ相同时，过渡过程的哪些指标是相同的00.20.40.60.811.21.4ωn 改变，ζ=0.5不变Tim e (sec)A m p l i t u d e2、固定n ω，取ζ＝０、、 、、1，观察根在根平面上的位置，求其过渡过程和它的质量指标。
总结当ζ不同时，质量指标有哪些变化00.20.40.60.811.21.41.61.82Time (sec)A m p l i t u d e通过上面两图形与表格总结可以得出：n ω影响二阶系统过渡过程中的峰值时间，过渡时间（在ζ不变的情况下，峰值时间随n ω增大而减小，过渡时间随n ω的增大而减小）ζ影响几乎全部过渡过程指标，其中超调量，衰减比仅与ζ有关（超调量随着ζ的增大而减小，衰减比随着ζ的增大而增大；在n ω不变的情况下，峰值时间随ζ增大而增大，过渡时间随ζ的增大而减小。
）n ω，ζ对系统的稳态误差均没有影响，且均为0.3、选三组实部（α）为负值且相等的复根，观察根在根平面上的位置，求其过渡过程和它的质量指标，进行比较，说明不同虚部（β）对过渡过程和质量指标有哪些影响。
00.20.40.60.811.21.41.6α=2,β分别取2，6，10Time (sec)A m p l i t u d e通过上图和表格中的数据可以得不同虚部对系统过渡过程的影响：在实部不变的情况下随虚部绝对值的增加，超调量增加，衰减比减少，峰值时间减小，调节时间不变，上升时间减小，稳态误差始终为0.。
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
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86.5%
2T
0
t
动态性能指标 上升时间 t r 2.20T
t p 和％不存在
4T，当 2%时 调节时间 ts 3T，当 5%时
稳态性能指标 ess=1-c(∞)=1-1=0
二阶系统的时域分析
主要内容
系统的时域性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差 线性系统时域分析的Matlab方法
复习：一阶系统的时域分析
一阶系统传递函数
C ( s) 1 R( s) Ts 1
1 将 R( s) 代入传递函数中，可得脉冲输入时输出 S
1. 二阶系统的数学模型
微分方程:
闭环传函: 开环传函
2 n G( s) （ s s 2n）
d 2c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2 n G( s ) (s) 2 2 1 G(s) s 2n s n
s n d 1 2 2 2 ( s ) 2 2 s (s n ) d 1 n d
二阶系统的单位阶跃响应
s n d 1 C ( s) 2 2 2 ( s ) 2 2 s (s n ) d 1 n d 1 at L [ ] e s a 1 1 at sin t 2 2 c(t ) L [C(s)] L [ ( s a) 2 2 ] e cos t ( s a)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
特征根的性质
2 n (s) 2 2 s 2n s n
特征方程：
特征根：
2 s 2 2 n s n 0
s1, 2 n n 2 1
单位阶跃响应： h(t ) 1
e n 1 2
sin(n 1 2 t )
二阶系统的时间响应取决于 和n 两个参数，其 n 决 中阻尼系数 决定了系统的阻尼程度/衰减性， 定了系统的响应速度。可以根据 和 n 的变化情况 来研究二阶系统的时间响应。
0
0
0 1
1
1
二阶系统的闭环极点分布
j
特征根： s1, 2 n n 2 1
2 n (s) 2 2 s 2n s n
d 2c(t ) dc(t ) a0 a1 a2c(t ) r (t ) 2 dt dt 1 a0 C ( s) 1 2 R ( s ) a0 s a1s a 2 s 2 a1 s a2 a0 a0
a2 a0 1 a2 s 2 a1 s a2 a0 a0
j
n 1 2
j
n
n 1 2
n
0
n 1 2
0
1
0
n 1 2
0 1
欠阻尼
过阻尼
1 0
负阻尼
j
s1 s 2 n 0
临界阻尼
1
n
j
j
0 n
0
0
无阻尼
1
的式变换：
1 1 1 T 1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) TS 1 S S TS 1 S S 1 T
两边进行拉氏反变换，可得系统单位脉冲响应C(t)的 时域表达式： t
c(t ) 1 e
T
复习：一阶系统的时域分析
c (t)
1
二阶系统的单位阶跃响应
C (s) R(s)(s)
2 n 1 2 s s 2 2n s n 2 s 2 2n s 1 s 2 2n s n 2 s s 2 2n s n 2 s n n 1 1 d n 2 2 2 s ( s n ) n (n ) d n s n d 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d
标准 形式
结构图
R( s )
-
2 C (s) n s( s 2 n )
：阻尼系数 n ：自然频率(无阻尼振荡频率)
开环传函模拟电路
比例 环节
R2 R1 R1 + R3 + +
2 n G( s) s( s 2n )
积分 环节
C1
R5 C2 R4
惯性 环节
R(s)
+
+ +
1 e
nt
cos(d t )
1 2
ent sin(d t ) sin(d t )]
1 e
1
nt
[cos(d t )
1 2
e nt
1 2 sin cos cos sin sin( ) 2 nt e 1 1 sin(d t ) arctan 2 1 arccos
二阶系统的数学模型 二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼二阶系统的动态过程分析 二阶系统单位斜坡响应 二阶系统性能的改善
定义：以二阶微分方程作为运动方程的控制系 统，称为二阶系统 重要性：
二阶系统是最常见的一种系统，很多高阶系统可简 化为二阶系统，在控制理论中更具有代表性； 它的动态性能指标和系统参数之间的关系非常简明， 分析和设计比较容易 eg.书p87/88 图3-6、3-7 位置控制系统
C(s)
举例
(s) 2 2 s 2n s n
2 n
自然频率
两级滤波电路网络的传递函数
( s )
阻尼比
1 R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
机械力学系统的传递函数
1 ( s ) 2 ms fs k
举例
一般形式的二阶微分方程 化为传函的标准形式