高阶系统的时域分析

0p
Amplitude
运动模态2
c(t) Ae pt
Impulse Response 14
12
1
(s)
10
s 1
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
-a 0
10:40
Amplitude
运动模态3
c(t) Aeat sin(bt )
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10:40 0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
10:40
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极 点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅 速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)
Ai [C(s)(s pi )]s pi
在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭 环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数 的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
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进一步理解
Ai [C(s)(s pi )]s pi
a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离 虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；
0
-0.5
-1
-1.5
10:40
-2 -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
指令：[P,Z] = PZMAP(g)
P= -5.0000 -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469i
Z= -4
❖ 去掉偶极子后的曲线与原曲线的比较：
sin
dkt k
Dk
10:40
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0 Aje pjt Akekkt sin dkt k
j 1
k 1
结论(性能分析)：
1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶 振荡子系统的时间响应函数项组成；
2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t 的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳 态输出为A0。
b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；
c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；
d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 c(t)影响大。
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中
10:40
二、高阶系统的二阶近似
※主导极点
1、离虚轴最近;
2、附近没有零点存在;
3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离 都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。
j
主导极点
5
主导极点
10:40
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 的主导极点决定。
原因：
❖ 离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其 它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然 存在，并逐渐显现出来；
j
偶极子
5
作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极 点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环 节使某些零点的作用减小或消失。
10:40
高阶系统单位阶跃响应类似于二阶响应
r(t)
c(t)
1
G(s)
t
t
10:40
Amplitude
Step Response 0.4
1
0.35
G(s)
s3 2s2 3s 4
j 1
k 1
A0 s
q j 1
Aj s pj
r k 1
s2
Bk s Ck
2 kk s k2
进行拉氏反变换：
L1 (
A0 s
)
A0
10:40
q
L1 (
j 1
Aj ) s pj
q
L1 (
Aj
)
j 1
s pj
q
Aje pjt
j 1
L1[
s2
Bk s Ck
2 kk s
k2
]
L1[
Bk (s kk ) (s kk )2
0.35
0.3
0.25
0.2
Amplitude
System: g2 Rise Time (sec): 0.721
s 1
(s)
1.5
Impulse Response
s2 1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
0a
10:40
Amplitude
运动模态5
c(t) Aeat sin(bt )
10:40
一、高阶系统的单位阶跃响应
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
an c(t )
b0
dm dt m
r(t) b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
进行拉氏变换可得：
(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
-1
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
Impulse Response 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec)
Impulse Response 14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
Impulse Response 12
10
s 1
8
(s) (s 0.1)2 1
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
运动模态总结
j
j
j
j
j
0
0
0
0
0
Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude Amplitude
Impulse Response 1
❖ 周围没有闭环零点：其输出响应的模态在总的响应 中占的比重大(没有其它零点把它的作用抵消掉)；
❖ 其它闭环极点远离虚轴：其它闭环极点决定的模态 和主导极点决定的模态相比衰减很快。
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※偶极子： 定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的
对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相 互抵消，这对零极点叫做偶极子。
Bk kk
2 2
kk
Ck
k2
]
L1[
Bk (s kk )
(Ck
Bk kk)
k k
1
2 k
1
2 k
]
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
B e kkt k
cos(k
1
2 k
)t
Ck
k
Bk kk
1
2 k
e kkt
sin(k
1
2 k
)t
A ekkt k
Step Response
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91
System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02 System: untitled2 Rise Time (sec): 2.22
G1(s)
s
1 1
G2
bm1s bm an1s an
m
Kr (s zi )
q
i 1 r
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
10:40
j 1
k 1
在单位阶跃信号下的响应：
m
C(s) s
q
Kr (s zi )
i 1
1
(s p j ) r (s2 2 kk s k2 ) s