信号与系统 第2章连续时间系统的时域分析
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信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统教案第2章
第2-3页
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
许多实际的系统可以用线性系统来模拟。一个线性系 统其激励与响应之间的关系可以用下列形式的微分方 程来描述：
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
et[C cos( t) D sin( t)], 或 A cos( t )
其中Ae j C jD
第2-6页
2.1 LTI连续系统的响应
表2－ 不同激励所对应的特解
激励 f (t)
tm
e t
cos( t) 或 sin( t)
特解 yp (t) Pmt m Pm-1t m1 P1t P0 所有的特征根均不等于0；
第2-13页
2.1 LTI连续系统的响应
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法 求得y(j)(0+)。下列举例说明。
例2：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
许多实际的系统可以用线性系统来模拟。一个线性系 统其激励与响应之间的关系可以用下列形式的微分方 程来描述：
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
et[C cos( t) D sin( t)], 或 A cos( t )
其中Ae j C jD
第2-6页
2.1 LTI连续系统的响应
表2－ 不同激励所对应的特解
激励 f (t)
tm
e t
cos( t) 或 sin( t)
特解 yp (t) Pmt m Pm-1t m1 P1t P0 所有的特征根均不等于0；
第2-13页
2.1 LTI连续系统的响应
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法 求得y(j)(0+)。下列举例说明。
例2：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
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及 起 始 状 态 r (k ) (0 - ) 0 (k 0,1,2,, n - 1)
零状 态响 应 rzs (t )
k 1
n
Azsk e k t + B(t )
其 中 ： (t )是 特 解, Azsk由 r (k ) (0 + )确 定 B 强 迫 响 应 (t )构 成 。 B
第二章
2.1 引言
连续时间系统的时域分析
2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0- 到0+ 状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应
2.6 卷积
2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程 2.9 以“分配函数”的概念认识冲激函数δ（t）
2.1 引言
例2-2-3 解：
系统的特征方程为
特征根
因而对应的齐次解为
例2-2-4 给定微分方程式
如果已知： 解。 分别求两种情况下此方程的特 为使等式两端 平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到
解：
所以，特解为
(2)
这里，B是待定系数。
代入方程后有：
几种典型激励函数相应的特解
零状态响应
满足方程
d C0 n rzs (t ) + C1 n -1 rzs (t ) + + C n -1 rzs (t ) + C n rzs (t ) dt dt dt d E0 m e(t ) + E1 m -1 e(t ) + + Em -1 e(t ) + Em e(t ) dt dt dt dm d m -1 dn d n -1
k
m
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材P43-44
Fs
两个不同性质的系统具有相同的数学模型（二阶微分方 程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂 系统，则可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号 与响应信号 可以用下列形式的高阶微分方程式来描述 之间的关系，
代入微分方程
求得
因而有
经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。
*另一种方法是卷积法（将在2.6节讨论）
卷积法 系统完全响应=零输入响应+零状态响应
给 定 如 图 所 示 电 路 ， 0开 关S处 于 的 位 置 而 且 已 经 t 1 达 到 稳 态 。 当 0时S由1转 向2。 建 立 电 流(t )的 微 分 t i 方 程 并 求 解(t )在t 0时 的 变 化 。 i
把t<0电路看作起始状态，分别求t >0时的零输入响应和零 状态响应。 2 S R1 1 i L (t ) iC (t ) 1 i (t ) 1 L H C 1F e (t ) 4 V 4 3 e (t ) 2 V R2 2
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
( 特征根 s α ) ( 特征根 s= α )
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，将响应定义为 时对应微分方程的解，初始条件定义为
初始条件的确定是重点要解决的问题。 下一节将给出解微分方程的例题
2.3 起始点的跳变—从0- 到0+ 状态的转换
dt
d
u (t )表示0 - 到0 + 相对单位跳变函数 因而有： r (0 + ) - r (0 - ) -9即r (0 + ) - 9 + r (0 - ) ＝
数学方法描述
由 d d r (t ) + 3r (t ) 3 (t )，方程右端含 (t )，其一定属于 r (t )，因而可以设 dt dt d d r (t ) a (t ) + b (t ) + cu (t ) u (t ) (t ) + Ku (t ) u (t )的积分为零 ＝ dt dt 积分得 r (t ) a (t ) + bu (t )
例2-2-1 求RLC并联电路的端电压 解：
电阻 电感 i s (t )
与激励源
iR
R L
间的关系。
iL C
-
+
ic
a
v( t )
b
电容 根据KCL 代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RLC并联电路系统的二阶微分方程。
例2-2-2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，
弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加 牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的 关系可以根据达朗贝尔定律推导出为
d 1 1 vc (t )+ vc (t ) e(t ) dt RC RC
系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用 的结果。 系统的完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
一般情况，设系统是线性时不变的，含起始状态系统方框图为：
（H[ · ]表示系统作用的结果） e(t) H[·] {x(0-)} 零输入响应rzi(t)：H[{x(0-)}] 没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统电容、 电感储能）所产生的响应。 零状态响应rzs(t)：H[e(t)] 不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零 由系统的外加激励信号产生的响应。 ）， r(t)= H[e(t)]+ H[{x(0-)}]
•起始状态 •初始状态
起始点的跳变
响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间 一般在t=0时刻加入，响应区间为
说明
•对于一个具体的电网络，系统的 件的储能情况; 状态就是系统中储能元
•一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不 会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于 电感， 状态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 取决于微分方程右端自由项是否包含 到 状态有没有跳变 及其各阶导数项。
将上面两式代入方程式有 a (t ) + b (t ) + cu (t ) + 3a (t ) + bu (t )＝3 (t ) a 3 a 3 得出b + 3a 0 解得b -9 c + 3b 0 c 27 r (t ) 3 (t ) - 9u (t ) u (t ) 表示0 - 到0 + 相对单位跳变函数 因此 r (0 + ) - r (0 - ) b -9 或 r (0 + ) - 9 + r (0 - ) ＝
•对于电路系统，主要是按照元件的约束特性及系统结构的约 束特性网络拓扑约束来建立对应的微分方程。 •元件的约束特性：表征元件特性的关系式。例如二端元件 电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等。 •网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL（基尔霍夫电流定律），KVL （基尔霍夫电压定律） 。
例2-3-3 （即例 2-3-1）
描述 LTI 的微分方程为
e (t ) 4 2
输入 e (t )如图，已知 4 d ( 0- ) 和 r( 0- ) 0, r 5 dt ( 0+ )和 d r (0 +) 。 用冲激函数匹配法求 r dt
解：
（1）将e(t)代入，得 时的微分方程为
e(t ) 4u (t ) + 2u (-t ) 4u (t ) + 2[1 - u (t )]
2.4 零输入响应和零状态响应
先看一个实例
R + e(t) +
例2-4-1 已知电容两端起
始电压vc(0-)，激励源为e(t), 求t>0时的系统响应vc(t)。 解：微分方程为 i(t ) d KVL RC dt
+ vc(t)
vc(0-) -
-
vc( t ) + vc( t ) e ( t )
系统数学模型的时域表示
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、 积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学 习各种变换域方法的基础。
本章中我们主要讨论输入、输出描述法。
2.2 微分方程式的建立与求解
主要内容 复习求解系统微分方程的经典法
物理系统的模型
微分方程的列写
n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法
例2-3-1
解：（1）建立电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
列结点电流方程
(1)
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程 特征根 齐次解 特解 方程右端自由项为 代入式(1)
要求系统的完全响应为
(3) 换路前
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有
(4)
求得
要求的完全响应为
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态 有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各 阶导数。如果包含有δ(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+ 状态发生了跳变，即r(0+) ≠r(0-)或r′(0+) ≠r′(0-)等等。这时 为确定r(0+) 、r′(0+) 等0+状态值，可以用冲激函数匹配法。 冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程左右两 端的δ(t)及其各阶导数应该平衡相等。
可见零状态响应在激励号作用下，其响应由由响应的一部分和 信 自
完全响应
r (t )
k 1 n
n
Ak e k t + B(tБайду номын сангаас)