实验三 连续时间LTI系统的时域分析
连续时间LTI系统的时域分析
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第六章 周期信号的傅里叶级数及频谱
6.1 周期信号的傅里叶级数
设周期信号f (t )，其周期是T，角频率为0 2f 0 2 ， T 则该信号可展开为三角 式的傅里叶级数，即 f (t ) a0 a1 cos0t a2 cos0t ... b1 sin 0t b2 cos0t ... a0 (an cos n0 bn sin n0t )
解：求的零输入响应和零状态响应后，完全响应则为二者之和
>> eq='D2y+3*Dy+2*y=0'; %齐次解求零输入相应 >> cond='y(0)=1,Dy(0)=2'; >> yzi=dsolve(eq,cond);yzi=simplify(yzi) yzi = -3*exp(-2*t)+4*exp(-t) >> eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x'; %零状态响应求解 >> eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)'; >> cond='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0'; %起始条件 >> yzs=dsolve(eq1,eq2,cond);yzs=simplify(yzs.y) yzi = heaviside(t)*(-exp(-2*t)+exp(-t)) >> yt=simplify(yzi+yzs) %完全响应 yt = -3*exp(-2*t)+4*exp(-t)-exp(-2*t)*heaviside(t)+exp(-t)*heaviside(t)
连续时间LTI系统的时域分析-副本解读
1、已知系统的微分方程和激励信号，使用MATLAB的符号运算命令画出系统的零状态、零输入响应和完全响应：y’’+4y’+4y=x’(t)+3x(t);clear alleq1='D2y+4*Dy+4*y=0';eq2='D2y+4*Dy+4*y=Dx+3*x';eq3='x=exp(-t)*heaviside(t)';cond1='y(0)=1,Dy(0)=1';cond2='y(-0.01)=0,Dy(-0.01)=0';answer1=dsolve(eq1,cond1);answer2=dsolve(eq2,eq3,cond2);answer3.y=answer1+answer2.y;subplot(3,1,1);ezplot(answer2.y);title('零状态响应');subplot(3,1,2);ezplot(answer1);title('零输入响应');subplot(3,1,3);ezplot(answer3.y);title('完全响应');00.51 1.522.533.544.550.10.20.3t零状态响应-6-5-4-3-2-10123x 105t零输入响应-6-4-224-4-205t 完全响应2、某连续系统的输入为e(t)，输出为y(t)，系统的微分方程为：y ’’(t)+5y ’(6)+6y(t)=3f ’(t)+2f(t) ❶绘出该系统的单位冲激响应和单位阶跃响应时域图形 ❷若，绘出系统的零状态响应时域图形clear allsys=tf([3 2],[1 5 6]); t=0:0.01:3; h=impulse(sys,t); g=step(sys,t); subplot(2, 1 ,1); plot(t,h);title('单位冲激响应'); subplot(2 ,1 ,2); plot(t,g);title('单位阶跃响应');-10123单位冲激响应00.20.40.60.8单位阶跃响应（2）clear allsys=tf([3 2],[1 5 6]); t=0:0.01:3;f=exp(-2*t).*heaviside(t); h=lsim(sys,f,t); plot(t,h);title('零状态响应');零状态响应3、已知描述系统的微分方程和激励信号f(t )分别如下，试用数值方法求系统的单位冲激响应h(t)和零状态响应y(t )，并根据y(t)=f(t)*h(t)验证系统零状态响应的波形。
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析报告
. .实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3.3 由于H(j )实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j )一定存在，而且H(j )通常是复数，连续时间LTI 系统的时域及频域分析图系统LTI )(t h )(ωj H )(t y )(ωj X )(ωj Y )(t x坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现，达到如下目的：1、了解连续时间LTI（线性时不变）系统的性质和概念；2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究；3、通过实验的设计和实现，了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中，我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是，在本实验中，我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t)，输出为 y(t)，系统的微分方程为：其中，a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数，diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数，也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有：其中，h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为：H(s)=Y(s)/X(s)在时域内，系统的输出y(t)可以表示为：其中，Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换，即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中，构建连续时间LTI系统模型，其中系统的微分方程为：y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试，绘制出系统的单位冲激响应函数h(t)；4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程，并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像；6、利用数据记录栏，记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么，当输入信号为单位冲激函数δ(t)时，根据系统的微分方程，可以得知输出信号的形式为：即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
连续LTI系统的时域分析
连续LTI 系统的时域分析 1、 实验目的（1） 熟悉连续LTI 系统在典型激励信号下的响应及其特征（2） 掌握连续LTI 系统单位冲激响应的求解方法 （3） 掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应（4） 掌握matlab 相关函数的调用格式和作用 （5） 能够用matlab 对系统进行时域分析 2、 实验原理对于一般的n 阶LTI 连续系统，其微分方程的形式可以写成()(1)(1)()(1)(1)110110()()...()()()()...()()n n m m n m m y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t ----++++=++++式中系数均为常数，y(t)为系统的相应变量，f(t)为系统的激励信号 对于一个动态系统而言，其响应不仅与激励有关，还与系统的初始状态有关，对于线性系统通常分为零输入响应和零状态响应两部分。
对于低阶系统一般可以通过解析法得到响应，但是对于高阶系统，手工计算比较困难，利用matlab 强大的计算功能就能方便的得到系统的冲激响应、阶跃响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
（1） 直接求解法 涉及的函数有impulse(冲激响应)，step （阶跃响应），roots （零输入响应），lsim(零状态响应)等，在matlab 中，要求以系数向量的形式输入系统的微分方程，因此在使用前必须对系统的微分方程进行变换，得到其传递函数，分别用向量a 和b 表示分母多项式和分子多项式的系统（按S 的降幂排列） （2） 卷积计算法 用卷积积分极端线性时不变系统的零状态响应。
若对于LTI 系统，则系统的冲激响应为h(t)，当输入为f(t)时系统的零状态响应()()()()*()zs y t f h t d f t h t τττ+∞-∞=-=⎰若系统为因果系统，则输入信号从t=0时加入，上式变为 0()()()yzs t f h t d τττ∞=-⎰3、 涉及的matlab 函数 （1） lsim 函数 功能：计算并画出系统在任意输入下的零状态响应 调用格式：lsim(b,a,x,t)其中b 和a 是由描述系统的微分方程的系数决定的表示该系统的两个行向量，x 和t 是表示输入信号的行向量（t 表示输入信号时间范围的向量，x 表示输入信号在向量t 定义的时间点上的取样值）。
实验三 连续时间LTI系统的时域分析实验报告
实验三连续时间L TI系统的时域分析实验报告实验三连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应二、实验原理及实例分析1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB符号工具箱提供了dsolve函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)其中参数eq表示各个微分方程，它与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y来表示y的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond表示初始条件或者起始条件；参数v表示自变量，默认是变量t。
通过使用dsolve函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
2、连续时间系统零状态响应的数值求解在实际工程中使用较多的是数值求解微分方程。
对于零输入响应来说，其数值解可以通过函数initial来实现，而该函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，由于现在还没有学习状态变量相关内容，所以此处不做说明。
对于零状态响应，MATLAB控制系统工具箱提供了对LTI系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim，利用该函数可以求解零初始条件下的微分方程的数值解。
其调用格式为：y=lsim(sys,f,t)，其中t表示系统响应的时间抽样点向量，f是系统的输入向量；sys表示LTI系统模型，用来表示微分方程、差分方程或状态方程。
在求解微分方程时，sys是有tf函数根据微分方程系数生成的系统函数对象，其语句格式为：sys=tf(a,b)。
其中，a和b分别为微分方程右端和左端的系数向量。
例如，对于微分方程a3y'''(t)?a2y''(t)?a1y'(t)?a0y(t)?b3f'''(f)?b2f''(t)?b1f'(t)?b0f(t) 可以使用a?[a3,a2,a1,a0];b?[b3,b2,b1,b0];sys?tf(b,a)获得其LTI模型。
3_2连续时间LTI系统响应的时域分析
y (0) A B 1 / 3 1
y '(0) 2 A 4 B 1 / 3 1 2 4 t 1 t 2 t y ( t ) 2e e e , t 0 3 3
解: (3) 求方程的全解
y (t ) y h (t ) y p (t ) Ae
2 t
Be
4 t
A= 11/4，B=－7/4 1 y '(0) 2 A 4 B 2 2 11 7 1 y ( t ) e 2 t e 4 t te 2 t , t 0 4 4 2
[例] 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程 y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) x(t ), t 0 初始条件y(0)=1, y' (0)=2, 输入信号x(t)=e－2t u(t)，求全解y(t)。
解: (2) 求方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t)
2.基于零输入响应和零状态响应的方法
系统响应 y(t ) = 零输入响应 yzi (t )+ 零状态响应yzs (t ) 求解齐次微分方程
y zs ( t ) x ( t ) h ( t )
※ 零输入响应求解
※ 冲激响应的求解 ※ 零状态响应求解
当输入x(t)=0
y( n ) (t ) an1 y( n1) (t ) a1 y '(t ) a0 y(t ) 0
上式为齐次方程，因此零输入响应具有齐次解的形式
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中，MATLAB是一个强大的工具，它提供了许多功能，使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统，时域分析是一个重要的方法，它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应，通过使用MATLAB模拟系统，我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号，从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统：首先，我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数，它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号：为了观察系统的行为，我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中，我们可以使用square函数来生成一个方波信号，该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统：使用MATLAB的lsim函数，我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数，然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果：我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为，并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中，我们使用了不同的输入信号（如方波、正弦波等）来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号，我们都观察了系统的输出信号，并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号，我们可以得出以下结论：1.对于方波输入，系统的输出信号是带有延迟的方波，这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入，系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波，这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性：即对于单位阶跃函数（突变信号）的输入，系统的响应是瞬时的；而对于周期性输入（如正弦波），系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符，从而验证了我们的模型是正确的。
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实验三 连续时间LTI 系统的时域分析
一、实验目的
1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应
2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应
3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应
二、实验原理及实例分析
1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解
连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB 符号工具箱提供了dsolve 函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：
dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)
其中参数eq 表示各个微分方程，它与MATLAB 符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy ，D2y ，D3y 来表示y 的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond 表示初始条件或者起始条件；参数v 表示自变量，默认是变量t 。
通过使用dsolve 函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
[实例1]试用Matlab 命令求齐次微分方程0)()(2)(='+''+'''t y t y t y 的零输入响应，已知起始条件为2)0(,1)0(,1)0(=''='=---y y y 。
3、连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解
在连续时间LTI系统中，冲激响应和阶跃响应是系统特性的描述。
在MATLAB中，对于冲激响应和阶跃响应的数值求解，可以使用控制工具箱中提供的函数impulse和step来求解。
)
, (
) ,
(
t
sys
step
y t
sys
impulse
y
=
=
其中t表示系统响应的时间抽样点向量，sys表示LTI系统模型。
三、实验内容
1、已知系统的微分方程和激励信号，使用MATLAB命令画出系统的零状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）。
要求题目2必做，题目1选做。
(1)
2、已知系统的微分方程，使用MATLAB命令画出系统的冲激响应和阶跃响应（数值法）。
要求题目2必做，题目1选做。
(1)
四、实验报告要求
1、格式：实验名称、实验目的、实验原理、实验环境、实验内容（上述几部分代码及结果图形）、实验思考等。