连续时间信号与系统的时域分析
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告实验目的本实验旨在通过对连续时间系统的时域分析，研究信号在时域上的特性，包括信号的时域图像、平均功率、能量以及系统的时域响应。
实验原理连续时间系统是指输入输出都是连续时间信号的系统。
在时域分析中，我们关注的是信号在时间上的变化情况。
通过观察信号的时域图像，我们可以了解信号的波形和时域特性。
实验装置与步骤实验装置•函数发生器•示波器•连接线实验步骤1.将函数发生器和示波器连接起来，并确保连接正常。
2.设置函数发生器的输出信号类型和幅度，选择合适的频率和幅度。
3.打开示波器并调整合适的触发方式和触发电平。
4.观察示波器上的信号波形，并记录下观察到的时域特性。
实验数据与分析实验数据根据实验装置和步骤，我们得到了如下的实验数据：时间（ms）电压（V）0 01 12 23 14 05 -1实验分析根据实验数据，我们可以绘制出信号的时域图像。
从图像中可以看出，信号在时域上呈现出一个周期性的波形，且波形在[-1, 2]范围内变化。
由此可知，输入信号是一个连续时间周期信号。
接下来，我们可以计算信号的平均功率和能量。
平均功率表示信号在一个周期内平均消耗的功率，而能量表示信号的总能量大小。
首先，我们计算信号的平均功率。
根据公式，平均功率可以通过信号在一个周期内的幅值的平方的平均值来计算。
在本实验中，信号的周期为5ms，幅值范围为[-1, 2]，所以信号的平均功率为：平均功率= (∫[-1, 2] x^2 dx) / T由此可知，信号的平均功率为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) / 5 = 1.2。
接下来，我们计算信号的能量。
根据公式，信号的能量可以通过信号在时间上的幅值的平方的积分来计算。
在本实验中，信号在整个时间范围内的幅值范围为[-1, 2]，所以信号的能量为：能量= ∫[-1, 2] x^2 dx由此可知，信号的能量为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 7。
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
课程设计--连续时间信号和系统时域分析及MATLAB实现
课程设计任务书题目:连续时间信号和系统时域分析及MATLAB实现课题内容：一、用MATLAB实现常用连续时间信号的时域波形（通过改变参数，分析其时域特性）。
二、用MATLAB实现信号的时域运算三、用MATLAB实现信号的时域变换（参数变化，分析波形变化）1、反转，2、使移（超时，延时），3、展缩，4、倒相，5、综合变化四、用MATLAB实现信号简单的时域分解1、信号的交直流分解，2、信号的奇偶分解五、用MATLAB实现连续时间系统的卷积积分的仿真波形给出几个典型例子，对每个例子，要求画出对应波形。
六、用MATLAB实现连续时间系统的冲激响应、阶跃响应的仿真波形。
给出几个典型例子，四种调用格式。
七、利用MATLAB实现连续时间系统对正弦信号、实指数信号的零状态响应的仿真波形。
给出几个典型例子，要求可以改变激励的参数，分析波形的变化。
时间安排：学习MATLAB语言的概况第1天学习MATLAB语言的基本知识第2、3天学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力第4、5天课程设计第6-9天答辩第10天指导教师签名：年月日目录摘要 (Ⅰ)1.绪论 (1)2.对课题内容的分析 (2)2.1连续时间信号概述 (2)2.2采样定理 (2)2.3总体思路 (2)3．设计内容 (2)3.1用MATLAB实现常用连续时间信号的时域波形 (2)3.1.1单位阶跃信号和单位冲击信号 (2)3.1.2正弦信号 (4)3.1.3指数信号 (5)3.1.4实指数信号和虚指数信号 (6)3.2用MATLAB实现信号的时域运算 (7)3.2.1相加 (7)3.2.2相乘 (8)3.2.3数乘 (9)3.2.4微分 (10)3.2.5积分 (12)3.3用MATLAB实现信号的时域变换 (13)3.4用MATLAB实现信号简单的时域分解 (15)3.4.1 交直流分解 (15)3.4.2 奇偶分解 (16)3.5用MATLAB实现连续时间系统的卷积积分的仿真波形 (18)3.6用MATLAB实现连续时间系统的冲激响应、阶跃响应的仿真波形 (19)3.7利用MATLAB实现连续时间系统对正弦信号、实指数信号的零状态响应的仿真波形 (20)4.心得体会 (22)5.参考文献 (23)摘要本文介绍了基于MATLAB的连续时间信号与系统时域分析。
信号与系统实验报告连续时间信号的时域分析
信号与系统实验报告连续时间信号的时域分析实验目的：通过对连续时间信号的时域分析，进一步加深对信号的理解和掌握时域分析的方法和技巧。
实验原理：连续时间信号在时域上可以用其函数形式表示。
通常所说的时域分析即指对该函数形式进行各种数学性质的分析，如：波形特征、奇偶性、对称性、周期性等等。
实验设备：计算机、MATLAB软件。
实验步骤：1. 打开MATLAB软件，新建空白文件，在文件中输入以下代码：t = -10:0.01:10;y = sin(t);subplot(2,1,1);xlabel('t'),ylabel('y');title('原始信号');grid on;plot(-t,-y);2. 点击运行，得到以下结果：图1 连续时间正弦信号及其翻折信号3. 对上述代码进行说明：t表示时间变量，取值范围为-10到10，以0.01为步长。
y表示信号变量，为sin(t)。
subplot(2,1,1)表示将画布分为两个部分，第一个部分为上部分。
plot(t,y)表示绘制t变量与y变量之间的图形。
xlabel('t')表示将x轴标注为t。
title('翻折信号')表示将图形命名为翻折信号。
4. 分别观察原始信号和翻折信号，并进行分析。
原始信号是一条正弦波，周期为2π。
该信号的奇偶性、对称性、周期性均为偶函数。
实验结论：本实验通过对连续时间信号的时域分析，掌握了分析信号的方法和技巧，并同时对信号的奇偶性、对称性、周期性等属性有了更深入的了解，为以后更深入的信号分析工作奠定了基础。
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解：对汽车底盘进行受力分析。
图 2-4
图 2-5
设汽车底盘运动速度为 v(t) ，方向向上； Fk 为弹簧对汽车底盘的拉力，方向向下； Ff 为减震器阻尼力，方向向下。
汽车底盘的加速度：
a(t)
dv(t) dt
d dt
[ dy(t)] dt
d
2 y(t) dt 2
①
因弹簧的位移量为 x(t) y(t) ，所以拉力： Fk (t) k[ y(t) x(t)]
②
减震器对汽车底盘的作用力： Ff
(t)
f
d [ y(t) x(t)] dt
③
由牛顿第二定律知： Fk (t) Ff (t) ma(t)
将式①②③代入上式，可得微分方程
2-6 给定系统微分方程
若激励信号和起始状态为： 试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应，自由响应、强迫响应各分量。
解：方程的特征方程为
特征根为
（1）设零输入响应
①
6 / 36
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由已知条件可得
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rzi (0 ) rzi (0 ) r(0 ) 1
台
（2）
d dt
r
t
2r
t
3
d dt
et
,r
0
0,et
ut
。
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其 r0 值。
解：当微分方程右端包含 (t) 及其各阶导数时，系统从 0 状态到 0 状态发生跳变。
（1）将 e(t) u(t) 代入原方程得：
信号与系统实验报告
信号与系统实验报告一、信号的时域基本运算1．连续时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号值就等于两输入信号相加（乘）。
由于b=2，故平移量为2时，实际是右移1，符合平移性质。
两实验之二心得体会：时域中的基本运算具有连续性，当输入信号为连续时，输出信号也为连续。
平移，伸缩变化都会导致输出结果相对应的平移伸缩。
2.离散时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号的值是对应输入信号在每个n值所对应的运算值，当进行拉伸变化后，n值数量不会变，但范围会拉伸所输入的拉伸系数。
两实验之二心得体会：离散时间信号可以看做对连续时间信号的采样，而得到的输出信号值，也可以看成是连续信号所得之后的采样值。
二、连续信号卷积与系统的时域分析1.连续信号卷积积分两实验之一实验分析：当两相互卷积函数为冲激函数时，所卷积得到的也是一个冲激函数，且该函数的冲激t值为函数x，函数y冲激t值之和。
两实验之二心得体会：连续卷积函数每个t值所对应的卷积和可以看成其中一个在k值取得的函数与另外一个函数相乘得到的一个分量函数，并一直移动k值直至最后，最后累和出来的最终函数便是所得到的卷积函数。
3.RC电路时域积分两实验之一实验分析：全响应结果正好等于零状态响应与零输入响应之和。
两实验之二心得体会：具体学习了零状态，零输入，全响应过程的状态及变化，与之前所学的电路知识联系在一起了。
三、离散信号卷积与系统的时域分析1.离散信号卷积求和两实验之一实验分析：输出结果的n值是输入结果的k号与另一个n-k的累和两实验之二心得体会：直观地观察到卷积和的产生，可以看成连续卷积的采样形式，从这个方面去想，更能深入地理解卷积以及采样的知识。
2.离散差分方程求解两实验之一实验分析：其零状态响应序列为0 0 4 5 7.5，零输入响应序列为2 4 5 5.5 5.75，全状态响应序列为2 4 9 10.5 13.25，即全状态=零输入+零状态。
两实验之二心得体会：求差分方程时，可以根据全状态响应是由零输入输入以及零状态相加所得，分开来求，同时也加深了自己对差分方程的求解问题的理解。
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证明：
（t）f ( t )dt
0
f ( 0 ) ( t )dt f ( 0 )
0
(2) (t)是偶函数(证明参看p22)
( t ) ( t )
( t t0 ) ( t t0 )
四、单位阶跃函数
0 (t 0) 1.定义 ( t ) 1 ( t 0 ) 此函数在t=0处不连续，函数值未定义。
(t) 1
0
t
2. (t) 可代替电路中的开关，故又称为开关函数
U s 1V
2
S(t 0)
1
P
(t)V
P
(a)
(b)
3. (t) 给函数的表示带来方
n
f (t) f (t) f (0) (t) fk (t kt) k 1
f k
f (kt)
f (kt t) [
f (kt) f (kt t)] t t
[ f (t t
) ]t kt
t
fa (t)
f (0)
k 0
t
lim
t 0
f (t)
f (t)
0
f ( ) (t )d
f (t) (t)
2.3 连续时间系统的数学模型
一、线性时不变系统的分析方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
例一：对图示电路列写电流 的微分方程。
一．实指数信号
函数表示式为： f (t) Aet
f(t)
0
A
0
t
f(t) 0
A
0
t
图2.1实指数信号的波形
f(t)
A
0
0
t
二．复指数信号
函数表示式为:
f (t) Ae( j0 )t
由欧拉公式，可得 f (t) Aet[cos(0t) j sin(0t)]
0 t (k 1)t kt t
0 t
kt t
f (t ) f (t ) f (0)Pt (t) t f (t) tPt (t t) ....
f (kt) tPt (t kt) ......
n
f (kt) tPt (t kt)
1、定义
( t ) 0
(
t
)
dt
(t 1
0)
(t)
（1） 在t 0处奇异
(t t0 )
(1)
0
t
0 t0
t
K (t)
(K)
K称为冲激强度
0t
或
（ （tt） ）
0
(t 0) (t 0)
(
t
)dt
1
或（t）
第二章 连续时间信号与系统时域分析
连续系统的时域分析研究的主要内容是基于信号时域分 解的思想，利用线性时不变系统的特性，得到线性时不变连 续系统在任意激励作用条件下的零状态响应等于系统的冲激 响应和激励信号的卷积积分。
本章重点和难点
重点：
1）熟练掌握典型信号的定义与性质，微分方程的建立与求解； 2）深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的意义及求解 3）单位冲激响应与单位阶跃响应的意义及求解； 4）零输入响应和零状态响应； 5）自由响应和强迫响应，瞬态响应和稳态响应
0
1
t
六、符号函数Sgn(t)
1.定义
1 Sgn( t ) 1
(t 0) (t 0)
2. Sgn( t )可用（t）来表示
Sgn(t)
1
0
1
2 (t)
t
0
故Sgn( t ) 2 ( t ) 1
Sgn(t)
1
0
t
1
1
t
0t
七、单位斜变函数R(t)
R(t)
1.定义
(t)
n k 1
[
f (t t
)
]t
kt
t (t kt)
t
lim
t 0
f (t)
f (t)
f (0) (t)
f ( ) (t )d
0
F 例3.任意函数表示为冲激函数的积分.(例2.3)
f (t)
fa (t)
fa (t) f (0)
F动画演示
a
a
故（at） 1 (t)
a
a0 a0
九、 冲激偶函数 '(t)
1、定义
'(t)
d (t)
dt
d
2 (t )
dt 2
或
'
(t
im
0
)
d
1
(t
2
)
(t
2
)
dt
im0 1
(t
2
)
f(t)
0
A
f(t)
0
A
f(t)
A
0
0
t
-A
0
t
-A
0
t
-A
图2.2 复指数信号实部和虚部的波形
f (t ) Ae( j0 )t
根据 、 0 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
1．当 0 0 时， f (t) A 为直流信号；
2．当 0 0 而 0 时， f (t ) et 为实指数信号；
1、定义
0( t 0 )
P ( t
)
1
(0
t
)
0( t )
P (t)
1
面积为 1
0
t
2. P ( t )可用（t）来表示
P (t)
1
0
t=
故P
(
t
)
1
(
t
)
(
t
)
1 (t) 1
0
t+
1 (t )
难点：
掌握卷积积分的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积 分法求线性时不变系统的零状态响应。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
本章教学内容
F 常用典型信号 F 连续时间信号的分解 F 连续时间系统的数学模型 F 连续时间系统的时域模拟 F 连续时间系统的响应 F 单位冲激响应 F 卷积
2.1 常用典型信号
q(0 )
0
0_ ic ( )d
0
(t
பைடு நூலகம்
)dt
1库仑
0_
2.2 连续时间信号分解
分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。 例1.有始周期锯齿波的分解
f (t)
A 0T
f (t) 0,t 0
2T 3T
t
f1(t) f2(t)
A
T
0
2T
t
f1(t)
A
0
(t
2
)
1
(1)
2
0
2
t
(1)
矩形脉冲的导数
t 从负 0
' (t)
(1)
0
t t 从正 0
2、 '(t)的基本性质
①. ' (t t0 ) '(t t0 ) 奇函数
②.
f (t ) '(t t0 )dt f '(t0 )
T
f2(t) A(t T)
A
t 0
A
T
t
A(t T)
f1(t)
f2 (t)
A T
R(t)
A (t
T)
故
A
f (t) R(t) A (t T ) A (t 2T ) .........
T
A
R(t) A T
(t n T)
n 1
③.
'(t)dt 0
④. f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：
K (t 0)
ic
1_V
U c _ C 1F
Uc (0 ) 0V Uc (0 ) 1V
q(0 ) CUc (0 ) 1C
lim
0
P (
t
)
lim
0
(
t
)
(
t
)
d( t
dt
)
(4)、 (at) 1 (t )
a
1
证明：
(at )dt
a
1
(at)d(at) 1
( )d
a
(at)d(at)
1
( )d