高二数学数学归纳法2
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
4.4 数学归纳法-【上课小助手】2020-2021学年高二数学(人教A版选择性必修第二册)
述问题2猜想的结论吗？
猜想数列的通项公式为
证明: (1)当 n = 1时,
1
a1
=
1
=
, 1
1 an n .
猜想成立.
(2) 假设当n k时, 猜想成立,
即ak
1. k
1
那么,当 n = k +1时,
ak+1 =
ak 1+ ak
=
k 1
=
1+
k
1 k +1
即当n k 1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈N * 都成立.
那么,当n=k+1时 左边=12+22+…+k2+(k+1)2=
即当 n=k+1时命题也成立. 由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立.
【变式练习】
用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式 为 [(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)] ， 共有 k+1 项，从k到k+1左边需要增乘的代 数式为____2_（__2_k__+_1_)___.
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题 成立. 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 n0开始的所有正整数n都成立.
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
高中数学选择性必修二 4 4 数学归纳法(精讲)(含答案)
4.4 数学归纳法考点一 增项问题【例1】（2020·浙江海曙·效实中学）用数学归纳法证明()()()()()()123213521n n n n n n n n N *+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈的过程中，当n 从k 到1k +时，等式左边应增乘的式子是（ ） A ．21k +B ．()()2122k k ++C ．()()21221k k k +++D ．221k k ++ 【答案】C【解析】当n k =时，等式左边()()()12k k k k =+++，当1n k =+时，等式左边()()()()()232122k k k k k k =+++++，因此，当n 从k 到1k +时，等式左边应增乘的式子为()()()()()()()()()()2321222122121k k k k k k k k k k k k k +++++++=++++.故选：C.【一隅三反】1．（2020·上海市市西中学月考）()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)，那么()()1f k f k +-共有（ ）项.A ．21k -B ．2kC ．21k +D ．以上都不对【答案】B【解析】()()1111111121222212222k kk k kk kf k f k ++-=+++=++++++++，共有2k 项． 故选：B ．2．（2020·江西期末（理））用数学归纳法证明不等式111131214n n n n +++>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了()121k + B ．增加了112122k k +++ C ．增加了()11211k k -++ D ．增加了11121221k k k +-+++ 【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式111131214n n n n +++>+++的过程中 由n k =时，111131214k k k k +++>+++，① 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++，111111()1212122k k k k k k k =+++-++++++++，②， ②-①得：左边12122211k k k =+-+++. 故选：D.3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n ∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ） A ．2135(21)k k +++⋅⋅⋅++=B ．2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+C ．2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+D ．2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+4．（2020·浙江绍兴·高一期末）用数学归纳法证明“11111(12322n n n n n +++⋅⋅⋅+≥∈+++*)N ”，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ） A ．121k + B ．122k +C ．112122k k +++ D ．11121221k k k +-+++ 【答案】D【解析】当n k =时，不等式左边为11111232k k k k+++++++ 当1n k =+时，不等式左边为11111123422122k k k k k k +++++++++++ 1111111123221221k k k k k k k =++++++-++++++ 即由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是11121221k k k +-+++ 故选：D考点二 等式的证明【例2】．（2020·镇原中学高二期中（理））用数学归纳法证明()()()2222*121123N 6n n n n n +++++⋅⋅⋅+=∈. 【答案】见解析【解析】证明：①当1n =时，左边211==，右边()()11121116⨯+⨯⨯+==，等式成立；②假 设 当 ()*N n k k =∈时等式成立，即()()()2222*121123N 6k k k k k +++++⋅⋅⋅+=∈. 那么，()()()()222222121123116k k k k k k +++++⋅⋅⋅+++=++()()()()()2212761216166k k k k k k k +++++++==()()()12236k k k +++= ()()()()*111211N 6k k k k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∈即当1n k =+时等式也成立.由①②知，等式对任何*N n ∈都成立. 【一隅三反】1．（2020·福建高二期中（理））用数学归纳法证明等式()()()112222211234112n n n n n --+-+-++-=-.【答案】证明见解析【解析】①当1n =时，左边211==， 右边()012112⨯=-⨯=，左边=右边，原等式成立； ②假设当()1,n k k k N*=≥∈时等式成立，即有()()()112222211234112k k k k k --+-+-++-=-， 那么，当1n k =+时，()()()12222221234111k k k k --+-++-+-⋅+()()()()()()()()()121121111111222k k k k k k k k k k k k -+++⎡⎤=-⋅+-⋅+=-++-=-⋅⎢⎥⎣⎦， 所以当1n k =+时，等式也成立，由①②知，对任意n *∈N ，都有()()()112222211234112n n n n n --+-+-++-=-.2．（2020·广西钦州·高二期末（理））用数学归纳法证明：()()()2*1427311n n n n n N ⨯+⨯+++=+∈.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1<(22<成立，即证明1020+<5<成立，即证明2125<成立，因为2125<<（2）①当1n =时，314n +=，等式左边144=⨯=，右边2124=⨯=，等式成立； ②设当n k =时，等式成立，即()()21427311k k k k ⨯+⨯+++=+，则当1n k =+时，()()()()()()21427310311341134k k k k k k k k ⨯+⨯+⨯++++++=++++()()()()22134111k k k k k k =++++=+++，即1n k =+成立， 综上所述，()()21427311n n n n ⨯+⨯+++=+．考点三 不等式的证明【例3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：()()()1111ln 12321nn n n n *+++⋅⋅⋅+>++∈+N . 【答案】证明见解析【解析】先证明出n N *∀∈，()1111ln 1221n n n n ⎛⎫>++- ⎪+⎝⎭，即()111ln 10221n n n ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭， 构造函数()()()ln 1221x xf x x x =+-++， 当0x >时，则()()()2221110212121x f x x x x '=+-=>+++， 所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，则1111ln 101221n f n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 则()111ln 1221n n n ⎛⎫>+- ⎪+⎝⎭，即()1111ln 1221n n n n ⎛⎫->+- ⎪+⎝⎭， 即()1111ln 1221n n n n ⎛⎫>++- ⎪+⎝⎭， 对任意的k *∈N ，当1n k =+时，()()1111ln 1112122k k k k ⎛⎫>++- ⎪++++⎝⎭. 当1n =时，左边1=，右边14=，左边>右边； 假设当()n k k N *=∈时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k +++⋅⋅⋅+>+++.则当1n k =+时，则()()()()11112111ln 1ln 2312112122k k k k k k k k k ++++⋅⋅⋅++>++++-+++++()()1ln 222k k k +=+++.这说明，当1n k =+时，原不等式也成立.综上所述，对任意的n *∈N ，()()1111ln 12321n n n n +++⋅⋅⋅+>+++. 【一隅三反】1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式()*11111123422n nn N -++++⋯+>∈，恒成立. 【答案】见解析 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立 那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n nn N -++++⋯+>∈，恒成立.2．（2020·安徽蚌山·蚌埠二中（理））试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】（1）当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立； （2）假设当()*n k k N=∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++， 当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点四 整除问题【例4】（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：2211112n n +-+能被133整除()*n N ∈．【答案】见解析【解析】证明： ①当1n =时，221211*********n n +-+=+=能被133整除，所以1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N=∈时，2211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时，3212212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯221212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()2212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()2212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即3211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，2211112n n +-+能被133整除 【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）求证：()121*(1)n n a a n N +-++∈能被21a a ++整除．【答案】证明见解析. 【解析】当n =1时，1212(1)1n n aa a a +-++=++能被21a a ++整除，假设当,1,*n k k k N =≥∈,时121121(1)(1)n n k k a a a a +-+-++=++能被21a a ++整除， 则当1n k =+时，()221121221(1)(1)1(1)k k k k k aa a a a a a a +++--⎡⎤++=++++++⎣⎦，其中121(1)k k aa +-++能被21a a ++整除，所以121(1)k k a aa +-⎡⎤++⎣⎦能被21a a ++整除，所以()121221(1)1(1)k k k a aa a a a +--⎡⎤++++++⎣⎦能被21a a ++整除，即当1n k =+时，()121*(1)n n aa n N +-++∈能被21a a ++整除，所以()121*(1)n n aa n N +-++∈能被21a a ++整除.2．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除． 【答案】见解析【解析】证明：（1）当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除，故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．（2）假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除，则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．考点五 数归在数列的应用【例5】．（2020·江西高二期末（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性．【答案】（1）112S =，223S =，334S =，1n n S n =+，*n N ∈；（2）证明见解析． 【解析】（1）当1n =时，()22111S S -=，∴112S =， 当2n ≥时，()()211n n n n S S S S --=-，∴112n n S S -=-， ∴223S =，334S =， 猜想1n n S n =+，*n N ∈； （2）下面用数学归纳法证明：①当1n =时，112S =，112n n =+，猜想正确； ②假设n k =时，猜想正确，即1k k S k =+， 那么当1n k =+时，可得()111121121k k k S k S k k ++===-++-+，即1n k =+时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数n ，1n n S n =+都成立． 【一隅三反】1．（2019·浙江余姚中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N . （1）求12S 、24S 、38S ； （2）由（1）猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1）112S =，244S =，398S =；（2）猜想()2*2n n S n n =∈N ，证明见解析. 【解析】（1）()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ， 当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =； 当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =； 当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =； （2）由（1）猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N ．下面运用数学归纳法证明．①当1n =时，由（1）可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22kk S k =成立，当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立． 由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立． 2．（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈ 【答案】（1）12n n a ，1n b n =+；（2）详见解析.【解析】（1）由题意()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，得324410a a a =⎧⎨+=⎩， 即4410q q+=，解得2q 或12q =，已知1q >故2q ． 3121a a q ==，12n n a ．当1n =时，112a b =，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式， 1(1)2n n n a b n -∴=+⋅，1n b n ∴=+．（2）11n n nn c c c ++=+ 法1．22212(1)2(1)n n n n c c n c ++=+++，22212(1)2(1)2(1)n n n n c c n n c ++-=++>+ 2221223222122232n n c c c c c c n -⎧->⨯⎪->⨯⎪⎨⎪⎪->⨯⎩，累加得当2n ≥，22232[23]2n c n n n ->+++=+-，227n c n n >++当1n =，227n c n n =++∴12n c n ≥>+ 1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅= ⎪⎝⎭法2．先用数学归纳法证明当*n N ∈，12n c n >+． ①当1n =时，1133,22c n =+=，左式>右式，不等式成立． ②假设n k =时，不等式成立，即12k c k >+当1n k =+时，11k k k k c c c ++=+，因为1()k f x x x +=+在)+∞上单调递增，由12k c k >+>，得()12k f c f k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即111122k k c k k ++>+++，可得132k c k +>+，不等式也成立． ③由①②得证当*n N ∈，12n c n >+． 1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅= ⎪⎝⎭. 3．（2020·四川省珙县中学月考）若n 1n 21(1,2,3,)a a n +=+=⋯，且11a =. （1）求2a ，3a ， 4a ，5a ，（2）归纳猜想通项公式n a ，用数学归纳法证明.【答案】（1）23453,7,15,31a a a a ====；（2）21n n a =-，证明见解析．【解析】（1）因为n 1n 21(1,2,3,)a a n +=+=⋯，且11a =. 所以22113a =⨯+=，32317a =⨯+=，427115a =⨯+=，5115131a =⨯+=；（2）猜想21n n a =-．可用数学归纳法证明．①1n =已成立；②假设n k =时，21k k a =-，则11212(21)121k k k k a a ++=+=⨯-+=-，1n k =+时，命题也成立，综上对所有正整数n ，都有21n n a =-．。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．1．数学归纳法公理对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明． 2．证明步骤对于某些与正整数有关的数学命题，如果(1)当n ____________________________结论正确．(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．一、填空题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是__________．2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多了____项．4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.5．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．二、解答题9．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升11．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．与正整数有关2．(1)取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时 (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 作业设计 1．1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，a n ＋1＝a 2. ∴等号左边的项是1＋a ＋a 2. 2．5解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.3．2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.12n ＋1－12n ＋25．2(2k ＋1)6．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)27．没有用到归纳假设，不是数学归纳法8．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.9．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2 (n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *,2n ＋2>n 2.10．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.11．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36， f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 12．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
创新设计高二数学人教B选修22规范训练：232 数学归纳法的应用 含解析
2.3.2数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟)1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k ＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案 C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案 B3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案 C4．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n2n＋1.答案13253749n2n＋15．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＜2－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＜2－1k＋1(k＋1)2＜2－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1 k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．综合提高(限时25分钟)7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()．A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.答案 C8．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是()．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立解析由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．答案 C9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.答案 a ＝12，b ＝c ＝1410．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出a n 的表达式为________． 解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5. 答案 a n ＝26n －511．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n .证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋12，原不等式成立； (2)设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k 成立， 当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋ ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋∴f (k ＋1)<12＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．12．(创新拓展)数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明．证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝32， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝74， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝158. ∴猜想a n ＝2n －12n －1.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －12k －1成立．那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－12k －1，∴a k ＋1＝2k ＋1－12k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．。
【课堂新坐标】高二数学人教b版选修2-2课件2.3数学归纳法
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
2． 3 2．3.1 2．3.2
数学归纳法 数学归纳法
数学归纳法应用举例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简 单的与正整数有关的数学命题；
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 1．关于数学归纳法概念的教学 建议教师联系归纳推理的相关知识，使学生了解数学归 纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法，它是一种 完全归纳法，是对不完全归纳的一种完善． 2．关于数学归纳法应用的教学 建议教师通过实例引导学生熟悉利用数学归纳法证明的
选修2－2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
数学归纳法证明步骤的框图展示
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
选修2－2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
人教版数学高二作业2.3数学归纳法
2.3 数学归纳法明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一 数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？ 答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n，试写出a 1，a 2，a 3，a 4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)． 以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k (已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立． 思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1， 等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)． 证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝12，所以等式成立．假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)， 所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立．探究点三 用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14； S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14， 猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32； 由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ] ＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1) ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4 答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________．答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *) 证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12， 右式＝12＋1， 所以32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．[呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( ) A ．1B.13 C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1，∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1 答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2， 当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2， ∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1， 结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2，(n ≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2(n ≥2，n ∈N *). 三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k＋1＝1(k＋1)(k＋2)＝1(k＋1)[(k＋1)＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．。
(人教A版(2019)选择性必修第二册)高二上学期数学 4.4.2 数学归纳法的简单应用 教案
第四章数列4.4 数学归纳法4.4.2 数学归纳法的简单应用一、教学目标1、正确理解数学归纳法原理，培养不完全归纳法下的归纳、猜想与证明思维体系；2、通过数学归纳法原理证明简单的猜想，如等式、不等式命题等.二、教学重点、难点重点：数学归纳法原理难点：数学归纳法原理的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】【用途】数学归纳法用于解决关于正整数n 的猜想与命题.（二）阅读精要，研讨新知【例题研讨】阅读领悟课本4749P P -例2、例3、例4（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）例2用数学归纳法证明：2222*1123...(1)(21)()6n n n n n N ++++=++∈ ① 证明：（1）当1n =时，①式的左边111==，右边112316=⨯⨯⨯=, 所以①式成立. （2） 假设当*()n k n N =∈时，①式成立，即22221123...(1)(21)6k k k k ++++=++所以1n k =+时，22222123...(1)k k ++++++21(1)(2(1)61)k k k k ++=++ 1(1)[(26(1)1)]6k k k k ++=++ 21(1)(276)6k k k =+++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++ 1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++ 即当1n k =+时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何*n N ∈都成立.例3已知数列{}n a 满足*1110,21()n n n a a a a n N ++=-=∈，试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：由1121n n n a a a ++-=，可得*11()2n na n N a +=∈- 由10a =可得211122a a ==-，同理可得343121314,,.123345222234a a a ======---归纳上述结果，猜想*1()n n a n N n-=∈ ① 下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，①式的左边10a ==，右边1101-==, 猜想成立. （2） 假设当*()n k n N =∈时，①式成立，即1k k a k-=那么111(1)112112k k k k a k a k k k++-====--++- 即当1n k =+时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何*n N ∈都成立.例4 设x 为正实数，n 为大于1的正整数，若数列211,1,(1),...,(1),...n x x x -+++的前n 项和为n S ，试比较n S 与n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法1：由已知可得211(1)(1)...(1)n n S x x x -=+++++++当2n =时，21(1)2S x x =++=+,由0x >，可得22S >；当3n =时，2231(1)(1)33S x x x x =++++=++,由0x >，可得33S > 由此，我们猜想，当*0,x n N >∈且1n >时，n S n >. 下面用数学归纳法证明这个猜想.（1） 当2n =时，由上述过程知，不等式成立.（2） 假设当*(n k k N =∈,且2)n ≥时，不等式成立，即k S k >， 由0x >，可得11x +>，所以(1)1k x +> 于是1(1)(1)1k k k k S S x k x k +=++>++>+ 所以，当1n k =+时， 不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式n S n >对任何大于1的正整数n 都成立.解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1x +，于是21(1)11(1)(1) (1)n n n x S x x x x-+-=+++++++=当2n =时，22(1)12x S x x +-==+,由0x >，可得22S >； 当3n =时，323(1)133x S x x x+-==++,由0x >，可得33S > 由此，我们猜想，当*0,x n N >∈且1n >时，n S n >.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1） 当2n =时，由上述过程知，不等式成立.（2） 假设当*(n k k N =∈,且2)n ≥时，不等式k S k >成立，即(1)1k x k x+->， 由0x >，知(1)1k x xk +>+所以121(1)11(1)(1)...(1)k nk x S x x x x+++-=+++++++=(1)(1)1(1)(1)11k x x xk x xk k x x++-++-=>=++ 又0x >，所以11k S k +>+所以，当1n k =+时，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式n S n >对任何大于1的正整数n 都成立.【小组互动】完成课本51P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈都有2(1)n n n S a S -=. （1）求123,,S S S ；（2）猜想n S 的表达式并予以证明.解：（1）由已知，当2n ≥时，21(1)()n n n n S S S S --=-，所以112n n S S -=-.又2221111111(1)(1),2S a S S S S -=⇒-=⇒=2323,34S S ==. （2）猜想1n nS n =+.下面用数学归纳法证明: ①当1n =时, 1111,2112S ==+，猜想正确；②假设当*()n k k N =∈时,猜想正确,即1k k S k =+, 那么, 11112(1)121k k k S k S k k ++===-++-+ 即1n k =+时,猜想也成立,由①②可知，猜想对任何*n N ∈都成立.2. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 分别对应于三边,,a b c ，其中三边长都是有理数. （1）求证：cos A 是有理数；（2）求证：对任意正整数,cos n nA 是有理数. 解：（1）由,,a b c 为有理数及余弦定理知222cos 2b c a A bc+-=是有理数.（2）用数学归纳法证明cos nA 和sin sin A nA ⋅都是有理数.①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A ⋅=-也是有理数. ②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时，cos kA 和sin sin A kA ⋅都是有理数. 当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=⋅-⋅，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )(sin sin )cos (sin sin )cos A k A A A kA A kA A A kA A kA A ⋅+=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅，由①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ⋅+都是有理数. 即当1n k =+时，结论成立.由①、②可知，对任意正整数,cos n nA 是有理数.3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式111(1)(1)(1)3521n ++⋅⋅⋅+>-证明：（1）当2n =时，左边14133=+=，右边=>右边，不等式成立 （2）假设*(2,)n k k k N =≥∈时不等式成立，即111(1)(1)(1)35212k ++⋅⋅⋅+>- 那么，1111[1]2(1(1)(1)1)(1)3521k k +++⋅⋅+--+⋅22212k k ++>⋅==2>===即1n k =+时不等式也成立．由（1）（2）可知，对一切大于1的正整数n 不等式都成立.（四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基1.完成课本51P 习题4.4 4、5、6、7、8、9、102.阅读课本53P 《小结》3.逐步完成54P 复习参考题4五、教学反思：（课后补充，教学相长）。