高二数学数学归纳法综合测试题
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
高二数学数学归纳法试题
高二数学数学归纳法试题1.用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2=n（4n2﹣1）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（）A．（2k）2B．（2k+3）2C．（2k+2）2D．（2k+1）2【答案】D．【解析】用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2=n（4n2﹣1）过程中，第二步，假设n=k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2=k（4k2﹣1），那么当n=k+1时，12+32+52+…+（2k ﹣1）2+（2k+1）2=k（4k2﹣1）+（2k+1）2，等式左边增加的项是（2k+1）2，故选D．【考点】数学归纳法．2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )A．1B．1＋C．1＋＋D．1＋＋+【答案】C【解析】由题意知，等式左边：，所以当时，左边=.故选C.【考点】数学归纳法的应用.3.已知,,,, ,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋<f(n)(n≥2，)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边共有项，当时，左边共有项，左边增加了项.【考点】数学归纳法.5.用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于.【答案】3k+2【解析】当时等式左边为，而时的等式左边为，所以差为【考点】数学归纳法6.由下列各个不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【答案】【解析】根据给出的式子的规律总结出能得到的不等式的通式证明则需要运用数学归纳法．根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：(1)当n="1" 时,猜想成立．(2)假设当时猜想成立，即则当时，这就说明猜想也成立，由（1）（2）知，猜想对一切都成立．【考点】1、总结归纳能力；2、对数学归纳法的应用．7.已知，，．（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明．【答案】（1），，；（2）猜想：对一切，，证明详见解析.【解析】（1）由的公式分别计算出时的及的值，进而可得比较它们的大小关系；（2）用数学归纳法证明，由（1）可知，时，不等式显然成立，接着假设时不等式成立，进而只须证明时不等式也成立即可，在证明时，又只须将变形为，之后只须用比较法比较判断与大小，即可证明本题.（1）当时，，，所以 1分当时，，，所以 2分当时，，，所以 4分（2）由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明 6分①当时，不等式显然成立 7分②假设当时不等式成立，即 9分那么，当时， 11分因为 14分所以 15分由①、②可知，对一切，都有成立 16分.【考点】数学归纳法.8.记的展开式中，的系数为，的系数为,其中(1)求（2）是否存在常数p,q(p<q),使，对，恒成立？证明你的结论.【答案】（1），（2）p=-2，q=-1.【解析】（1）因为，所以的系数为,（2）计算得，代入，解得p=-2，q=-1，用数学归纳法证明，①当n=2时，b2=，结论成立；②设n=k时成立，即，则当n=k+1时，bk+1=bk+，由①②可得结论成立.（1）根据多项式乘法运算法则，得；（2）计算得，代入，解得p=-2，q=-1，下面用数学归纳法证明，①当n=2时，b2=，结论成立；②设n=k时成立，即，则当n=k+1时，bk+1=bk+，由①②可得结论成立.【考点】数学归纳法,多项式乘法运算法则9.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .【答案】k【解析】当时，任取其中1条直线，记为，则除外的其他k条直线的交点的个数为，因为已知任何两条直线不平行，所以直线必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f（k）个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是．故：.【考点】数学归纳法10.是否存在常数a,b使等式对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
高二数学归纳法 练习题 新课标
高二数学归纳法 练习题 新课标1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设)(21312111)(*∈+++++++=N n n n n n n f ，则=-+)()1(n f n f （ ）A ．121+nB ．221+nC ．221121+++n nD ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是 （ ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时 命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立5．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- ”时， 由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k kC ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 二、填空题7．凸k 边形内角和为)(k f ，则凸1+k 边形的内角为+=+)()1k f fk . 8．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成)(k f 个区域，则1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f . 9．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为 .10．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nny x +能被y x +整除”，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n 时，命题亦真.11．用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ；12．用数学归纳法证明： （Ⅰ）2974722--n n能被264整除；（Ⅱ）121)1(-+++n n a a 能被12++a a 整除（其中n ，a 为正整数）13．用数学归纳法证明： （Ⅰ）n n ≤-+++++1214131211 ； （Ⅱ）)1(11211112>>++++++n nn n n ；14．设数列1212,2,}{--==n n n a p p a p a a 中，其中p 是不等于零的常数，求证：p 不在数列}{n a 中.15．设数列2112183,163:}{-+==n n n x x x x ，其中*∈≥N n n ,2， 求证：对*∈N n 都有 （Ⅰ）210<<n x ； （Ⅱ）1+<n n x x ； （Ⅲ）n n x )21(21->.参考答案一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 二、7．π， 8．1+k， 9．当1=n 时，左边=4=右边，命题正确. 10．12+k11．当1+=k n 时，左边=)32(2)2)(1()32)(12()1()12(2)1(2+++=++++++k k k k k k k k k .12．（Ⅰ）当1+=k n时，29748433)29747(4929747222)1(2)1(2⨯+⨯+--⨯=--++k k k k k)29747(49)9482(833)29747(49223422--⨯=⨯+⨯⨯+--⨯=-k k k k k )9482(26434⨯+⨯+-k 能被264整除，命题正确.（Ⅱ）1+=k n时，2121212122)1(])1([)1()1(+-++++=++++-+++a a a a a a a a k k k k k k)1(])1([)1(211212++-+++=+-+a a a a a a k k k 能被12++a a 整除.13．（Ⅰ）当1+=k n时，左边+≤-+++-+++=+k k k k )12121()121211(1 （k k k 212121+++ ）1212+=⋅+=k k k k=右边，命题正确（Ⅱ）1+=k n时，左边>++++++++=))1(111(111222k k k k .)1)1(11111)12(1222>+--+=-+⋅++k k k k k k k 14．先用数学归纳法证明p n n a n1+=；假设001=⇒=⇒=p p np a n 与条件矛盾. 15．三小题都用数学归纳法证明：（Ⅰ）︒1. 当1=n时，210,16311<<∴=x x 成立； ︒2. 假设k n =时，210<<k x 成立，∴当1+=k n 时，21412183218321=⨯+<+=+k k x x ，而210,08311<<∴>>++k k x x ；由︒︒2,1知，对*∈N n 都有210<<n x .（Ⅱ）︒1. 当n =1时，1212832183x x x >>+= ，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即1+<k k x x ，2k 项当1+=k n时，2211,0kk k k x x x x >∴>>++ ， 1221221832183+++=+>+=∴k k k k x x x x ，命题也正确； 由︒1，︒2知对*∈N n 都有1+<n nx x .（Ⅲ）︒1. 当n =1时，11)21(21163->=x ，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k x )21(21->∴当1+=k n 时，])21()21(41[2183])21(21[218321832221kk k k k x x +-⨯+=-⨯+>+=+1121)21(21)21()21(21+++->+-=k k k ，命题正确； 由︒1、︒2知对*∈N n 都有n n x )21(21->.。
人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案
人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<-（2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．12k -项 B ．2k 项 C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（ ）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++=()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ） A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（ ） A ．1n k =+时等式成立 B ．2n k =+时等式成立 C ．22n k =+时等式成立 D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题：()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（ ） A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题 二、多选题7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（ ） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（ ） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n）时，第一步取n = 验证． 四、解答题11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N 12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；2．假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．如7321=⨯+，则7mod31=；再如3703=⨯+，则3mod73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．现从序号分别为0a 1a 2a 3a …n a 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ． (1)求10mod3；(2)当1n ≥时 ()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．参考答案1．B【分析】根据给定条件，探讨n 从k 变到1k +不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当(2,N )n k k k *=≥∈时，不等式左边为11112321k++++- 当1n k =+时，不等式左边为11111111232122121k k k k +++++++++-+-增加的项为111111122121221221k k k k k k k++++=++++-++-，共有2k 项. 故选：B 2．C【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断.【详解】当1n =时212113n +=⨯+=，所以左边为123++. 故选：C. 3．D【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知： 当1n =时，等式的左边是1234+++. 故选：D ． 4．A【分析】列出增加的项，即可得解.【详解】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为12k 121k + (1121)k +- 因此增加的项数是21012k k --+=.故选：A ． 5．B【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可.【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真 还需要再证明下一个偶数，即2n k =+时等式成立. 故选：B 6．B【分析】直接用数学归纳法证明可得答案．【详解】①当1n =时，左边1=，右边1=，左边=右边，即1n =时，等式成立； ①假设()*1,n k k k =≥∈N 时，等式成立即1111123456(1)(1)442k k k k ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭则当1n k =+时 121211123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)442k k k k k k k k ++++⎛⎫-+-+-++-+-+=-++-+ ⎪⎝⎭211(1)1442k k k +⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭ 2111(1)442k k ++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭即当1n k =+时，等式成立． 综上，对任意n +∈N 等式1111123456(1)(1)442n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭恒成立 所以ACD 错误. 故选：B ． 7．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>； 即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确； 当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++； 当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++；两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC. 8．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>； 即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确； 当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++； 当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++； 两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC.9．()22133(2)k x x x -+++【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.【详解】设当n k =时 ()121*(1)(2)k k x x k +-+++∈N 能被233x x ++整除所以1n k =+时 221(1)(2)k k x x +++++()12211(1)(2)(2)k k x x x x +-=+++++()1212211(1)(1)(2)(33)(2)k k k x x x x x x x +--=+++++++++ ()1212211[(1)(2)](33)(2)k k k x x x x x x +--=++++++++因此必须有代数式()22133(2)k x x x -++⋅+． 故答案为：()22133(2)k x x x -++⋅+10．2【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出． 【详解】用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n ≥）时第一步取2n =验证． 故答案为：2. 11．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当1n =时，左边11113123412=++=>，左边>右边，不等式成立； ①假设n k =时不等式成立，即11111231k k k +++>+++ 则当1n k =+时，左边()()111112313231311k k k k k =+++++++++++ ()()1111111123113231311k k k k k k k ⎛⎫=+++-+++ ⎪++++++++⎝⎭ ()()()22616111211132343191889189k k k k k k k k k ⎡⎤++>++-=+->⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦即当1n k =+时，不等式也成立. 由①①可知，原不等式成立. 12．(1)10mod31= (2)()5,33f =，答案见解析(3)()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦，证明见解析【分析】（1）用模取余法可求结论；（2）由()()()6,35,33mod60f f =+= ()5,35f < 可求()5,3f ；从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m +，从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论； （3）取1,2,3,4,5,6,7n =时，分别求得()2,20f = ()3,22f = …… ()8,20f =；可得当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦，进而利用数学归纳法证明即可．【详解】（1）因为10331=⨯+，所以10mod31=． （2）因为()()()6,35,33mod60f f =+=，且()5,35f < 所以()5,336f +=，故()5,33f =．当n m ≥时，递推关系式的实际意义：当从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m + 而从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的 当然还要重新排序，由于退出来的是1m a -，则原环的m a 就成了新环的0a 也就是说原环的序号下标要比新环的大m ，原环的n a 就成了新环的n m a -． 需要注意，新环序号n m a -后面一直到1n a -，如果下标加上m ，就会超过n ． 如新环序号1n m a -+对应的是原环中的0a ，…，新环序号1n a -对应的是原环中的2m a -． 也就是说，得用新环的序号下标加上m 再减去()1n +，才能在原环中找到对应的序号 这就需要用模取余，即()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++． （3）由题设可知()1,20f =，由（2）知：()()()2,21,22mod22mod20f f =+==； ()()()3,22,22mod32mod32f f =+==； ()()()4,23,22mod44mod40f f =+==； ()()()5,24,22mod52mod42f f =+==； ()()()6,25,22mod64mod64f f =+==； ()()()7,26,22mod76mod76f f =+==； ()()()8,27,22mod88mod80f f =+==；由此推测，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦．下面用数学归纳法证明：1．当0112n +==时()()01,2021mod 2f ==，推测成立；2．假设当12k n t +=+（k ∈N ，t ∈N 且02k t ≤<）时推测成立即()()2,222mod 22k k kf t t t ⎡⎤+=+=⎣⎦．由（2）知()()()()21,22,22mod 21k k kf t f t t ++=++++()()22mod 21k t t =+++．（①）当021k t ≤<-时 ()()21,222221mod 2k k kf t t t ⎡⎤++=+=++⎣⎦； （①）当21k t =-时 ()21,20kf t ++=，此时1212k k t +++= 即()()1112,222mod 2k k k f +++=．故当121k n t +=++时，推测成立．综上所述，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦．推测成立.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答.。
高二数学数学归纳法的应用检测试题附答案
适用精选文件资料分享高二数学数学概括法的应用检测试题（附答案）题目高中数学复习专题讲座数学概括法的解题应用高考要求数学概括法是高观观察的要点内容之一类比与猜想是应用数学概括法所表现的比较突出的思想，抽象与概括，从特别到一般是应用的一种主要思想方法重难点概括(1)数学概括法的基本形式设P(n)是关于自然数 n 的命题，若 1°P(n0) 成立 ( 确立 ) 2°假设 P(k) 成立 (k ≥n0) ，可以推出 P(k+1) 成立 ( 概括 ) ，则 P(n) 对全部大于等于 n0 的自然数 n都成立 (2) 数学概括法的应用详尽常用数学概括法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何受骗算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例 1 试证明不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n ∈N*且 a、b、c 互不相等时，均有 an+cn＞2bn 命题企图本题主要观察数学概括法证明不等式知识依赖等差数列、等比数列的性质及数学概括法证明不等式的一般步骤错解解析应分别证明不等式相同比数列或等差数列均成立，不该只证明一种状况技巧与方法本题中使用到结论 (ak －ck)(a －c) ＞0 恒成立 (a 、b、c 为正数 ) ，从而ak+1+ck+1＞ak?c+ck?a 证明 (1) 设 a、b、c 为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且 q≠1) ∴an+cn= +bnqn=bn( +qn) ＞2bn (2) 设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想＞( )n(n ≥2且 n∈N*) 下边用数学概括法证明①当 n=2 时，由 2(a2+c2) ＞(a+c)2 ，∴②设 n=k 时成立，即则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak?c+ck?a)=(ak+ck)(a+c) ＞( )k?( )=( )k+1 也就是说，等式对 n=k+1 也成立由①②知，an+cn＞2bn对全部自然数 n 均成立例 2 在数列 {an} 中，a1=1，当 n≥2时，an,Sn,Sn －成等比数列 (1) 求 a2,a3,a4 ，并推出 an 的表达式； (2) 用数学概括法证明所得的结论； (3) 求数列 {an} 全部项的和命题企图本题观察了数列、数学概括法、数列极限等基础知识知识依赖等比数列的性质及数学概括法的一般步骤采纳的方法是归纳、猜想、证明错解解析 (2) 中， Sk=－应舍去，这一点常常简单被忽视技巧与方法求通项可证明{ } 是以 { } 为首项，为公差的等差数列，从而求得通项公式解∵ an,Sn,Sn －成等比数列，∴Sn2=an?(Sn－ )(n ≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得 :a2= －由 a1=1，a2=－ ,S3= +a3 代入 (*) 式得 a3=－同理可得a4=－ , 由此可推出 an= (2) ①当 n=1,2,3,4 ，由(*) 知猜想成立②假n=k(k ≥2) ， ak=－成立故 Sk2=－ ?(Sk－ ) ∴(2k － 3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= ( 舍 ) 由 Sk+12=ak+1?(Sk+1－ ), 得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk － )由①②知，an=全部n∈N成立(3)由(2) 得数列前 n 和 Sn= , ∴S= Sn=0 例 3 能否存在 a、b、c 使得等式 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= (an2+bn+c) 解假存在 a、b、c 使的等式成立，令 n=1,2,3, 有于是， n=1,2,3 下边等式成立 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= Sn=1?22+2?32+⋯+n(n+1)2 n=k 上式成立，即 Sk= (3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10 ］也就是，等式 n=k+1 也成立上所述，当a=3,b=11,c=10 ，全部自然数 n 均成立学生牢固 1已知 f(n)=(2n+7)?3n+9, 存在自然数 m,使得任意 n∈N,都能使 m整除f(n) ，最大的 m的 ( ) A30 B26 C36 D6 2 用数学法明 3k≥n3(n ≥3,n∈N)第一步 ( ) An=1 Bn=2 C n=3 Dn=4 3 察以下式子⋯可出________ 4 已知 a1= ,an+1= ,a2,a3,a4,a5的分________，由此猜想an=________ 5用数学法明 4 +3n+2 能被 13 整除，此中 n∈N* 6 若 n 大于 1 的自然数，求7 已知数列{bn} 是等差数列，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145 (1) 求数列{bn} 的通公式 bn; (2) 数列 {an} 的通 an=loga(1+ )( 其中 a＞0 且 a≠1) Sn是数列 {an} 的前 n 和，比 Sn与 logabn+1的大小，并明你的 8 数 q 足 |q| ＜1, 数列 {an} 足a1=2,a2≠0,an?an+1=－ qn, 求 an 表达式，又假如 S2n＜3, 求 q 的取范参照答案 1 解析∵ f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除明n=1,2，由上得，n=k(k ≥2) ， f(k)=(2k+7)?3k+9 能被 36 整除， n=k+1 ，f(k+1) －f(k)=(2k+9)?3k+1 ?? －(2k+7)?3k=( 6k+27)?3k －(2k+7)?3k =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k －2?? (k ≥2) f(k+1) 能被 36 整除∵f(1) 不可以被大于 36 的数整除，∴所求最大的m等于36 答案 C 2 解析由意知 n≥3，∴ n=3 答案 C 3 解析 (n ∈N*) (n ∈N*) 、、、5 明 (1) 当 n=1 ，42×1+1+31+2=91能被 13 整除 (2) 假当 n=k ，42k+1+3k+2能被 13 整除，当 n=k+1 ，42(k+1)+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3－42k+1?3+42k+1?3=42k+1?13+3?(42k+1+3k+2?? ) ∵42k+1?13 能被 13 整除，42k+1+3k+2能被 13 整除∴当 n=k+1 也成立由①②知，当 n∈N* ，42n+1+3n+2能被 13 整除 6 明 (1) 当 n=2 ， (2) 假当 n=k成立，即 7 (1) 解数列 {bn} 的公差 d,由意得 , ∴bn=3n－ 2 (2) 明由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+⋯+loga(1+ )=loga ［(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ］而 logabn+1=loga ,于是，比 Sn 与logabn+1 ?? 的大小比 (1+1)(1+ ) ⋯(1+ )与的大小取 n=1，有(1+1)= 取 n=2，有 (1+1)(1+ 推 (1+1)(1+ )⋯(1+ ) ＞ (*)①当n=1 ，已 (*) 式成立②假 n=k(k ≥1) (*)式成立，即(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ＞当 n=k+1 ， , 即当 n=k+1 ， (*)式成立由①②知， (*)式任意正整数 n 都成立于是，当 a＞1 ， Sn＞logabn+1 ?? ,当 0 ＜a＜1 ， Sn＜ logabn+1 ??8 解∵ a1?a2=－q,a1=2,a2 ≠0, ∴q≠0,a2= －,∵an?an+1=－qn,an+1?an+2=－qn+1??两式相除，得 , 即 an+2=q?an 于是，a1=2,a3=2?q,a5=2?qn⋯猜想 a2n+1=－ qn(n=1,2,3,⋯)合①②，猜想通公式 an= 下 (1) 当 n=1,2 猜想成立 (2)n=2k－1 ，a2k－1=2?qk－1n=2k+1 ，因为 a2k+1=q?a2k－1??∴a2k+1=2?qk 即 n=2k－1 成立可推知 n=2k+1 也成立n=2k ，a2k=－ qk,n=2k+2 ，因为 a2k+2=q?a2k?? ,因此a2k+2=－qk+1, 明 n=2k 成立，可推知 n=2k+2 也成立上所述，全部自然数 n, 猜想都成立所求通公式an= S2n=(a1+a3⋯+a2n－1)+(a2+a4+ ⋯+a2n) =2(1+q+q2+ ⋯+qn-1 ?? ) － (q+q2+⋯+qn) 由于|q| ＜1, ∴ = 依意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q ＜0 或 0＜q＜。
高二数学数学归纳法检测试题
数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:"1+21 +31+++121-n n (n >1)"时,由n =k (k >1)不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是A.2k -1B.2k -1C.2kD.2k +12.球面上有n 个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n 个大圆所分成的部分为f (n ),则下列猜想:①f (n )=n ,②f (n )=f (n -1)+2n ,③f (n )=n 2-n +2中,正确的是A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③3.某个命题与自然数m 有关,若m =k (k ∈N)时该命题成立,那么可以推得m =k +1时该命题成立,现已知当m =5时,该命题不成立,那么可推得A.当m =6时该命题不成立B.当m =6时该命题成立C.当m =4时该命题不成立D.当m =4时该命题成立4.设f (n )=n n n n 2121111++++++ (n ∈N ),那么f (n +1)-f (n )等于 A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n -221+n5.用数学归纳法证明1+a +a 2+++ = (n ∈N ,a ≠1)中,在验证n =1时,左式应为A.1B.1+aC.1+a +a 2D.1+a +a 2+a 36.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中,n =k +1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为A.(5k -2 k )+4×5 k -2 kB.5(5 k -2 k )+3×2 kC.(5 k -2 k )(5-2)D.2(5 k-2 k )-3×5 k7.平面内原有k 条直线,它们把平面划分成f (k )个区域,则增加第k +1条直线后,这k +1条直线把平面分成的区域至多增加A.k 个B.k +1个C.f (k )个D.f (k )+(k +1)个8.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k ≥3)条,则凸k +1边形的对角线条数为A.f (k )+kB.f (k )+k +1C.f (k )+k -1D.f (k )+k -29.用数学归纳法证明(n +1)+(n +2)+++(n +n )=的第二步中,n =k +1时等式左边与n =k 时的等式左边的差等于A.2k +2B.4k +3C.3k +2D.k +110.下面四个判断中,正确的是A.式子1+k +k 2+++k n (n ∈N ),当n =1时恒为1B.式子1+k +k 2+++k n -1(n ∈N ),当n =1时恒为1+kC.式子++(n ∈N ),当n =1时恒为D.设f (x )=(n ∈N ),则f (k +1)=f (k )+11.用数字归纳法证1+x +x 2+++x n +1=xx n --+112(x ≠1),在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+xC.1+x +x 2D.1+x +x 2+x 312.用数字归纳法证明1+2+++(2n +1)=(n +1)(2n +1)时,在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+413.用数学归纳法证明"当n 是非负数时,34n +2+52n +1能被14整除"的第二步中,为了使用归纳假设应将34k +6+52k +3变形为A.34k +2·81+52k +1·25B.34k +1·243+52k ·125C.25(34k +2+52k +1)+56·34k +2D.34k +4·9+52k +2·514.用数学归纳法证明211⋅+321⋅+431⋅++++)1(1+n n =1+n n (n ∈N )时,从"n =k 到n =k +1",等式左边需增添的项是 A.)1(1+k k B. )2)(1(1)1(1++++k k k k C. )2)(1(1++k k D. )2(1+k k15.利用数学归纳法证明不等式"n n <-++++12131211 ,(n ≥2,n ∈N )"的过程中,由"n =k "变到"n =k +1"时,左边增加了A.1项B.k 项C.2k -1项D.2k 项16.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中，n =k ＋1时，为了使用假设，应将5k +1-2k +1变形为A.(5k -2k )＋4×5k -2kB.5(5k -2k )＋3×2kC.(5-2)(5k -2k )D.2(5k -2k )-3×5k17.平面内原有k 条直线,它们的交点个数记为f (k ),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f (k )+1B.f (k )+kC.f (k )+k +1D.k ·f (k )18.已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,+,1000时,P (k )成立,且当n =1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P (k )对k =2004成立B.P (k )对每一个自然数k 成立C.P (k )对每一个正偶数k 成立D.P (k )对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明:)2(2413212111≥>+++++n n n n ,从k 到k +1需在不等式两边加上A. )1(21+kB.221121+++k kC. 221121+-+k kD. 11121+-+k k20.设n n f 1211)(+++= ,则f (2k )变形到f (2k +1)需增添项数为A.2k +1项B.2k 项C.2项D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3,n 0为验证的第一个值，则A.n 0=1B.n 0为大于1小于10的某个整数C.n 0≥10D.n 0=222.某同学回答"用数字归纳法证明n n +2<n +1(n ∈N )"的过程如下：证明：(1)当n =1时,显然命题是正确的;(2)假设n =k 时有)1(+k k <k +1那么当n =k +1时,4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =(k +1)+1,所以当n =k +1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(n ∈N ),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于A.当n =1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确C.从k 到k +1的推理不严密D.从k 到k +1的推理过程没有使用归纳假设23.平面上有k (k >3)条直线,其中有k -1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k 条直线将平面分成区域的个数为A.k 个B.k +2个C.2k 个D.2k +2个24.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k >3)，则凸k ＋1边形的对角线条数为A.f (k )＋kB.f (k )＋k ＋1C.f (k )＋k -1D.f (k )＋k -225.平面内原有k 条直线，它们将平面分成f (k )个区域，则增加第k ＋1条直线后，这k ＋1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k 个B.k ＋1个C.f (k )个D.f (k )＋1个26.同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n 个圆把平面分成A.2n 部分B.n 2部分C.2n －2部分D.n 2－n ＋2部分27.平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n 个圆把平面分成f (n )个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f (n ＋1)与f (n )的关系是A.f (n ＋1)=f (n )＋nB.f (n ＋1)=f (n )＋2nC.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋1D.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋228.用数学归纳法证明不等式22n n >成立时，n 应取的第一个值为A.1B.3C.4D.529.若121413121)(-++++=n n f ……，则)()1(k f k f -+等于A.1211-+k B.121121211-++++k k k C.121211-++k k D.121121211-+++++k k k …… 30.设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n +1) - f (n ) 等于A.πnB.π)2(-nC.πD.π231.用数学归纳法证明不等式"6412721412111>++++-n 成立",则n 的第一个值应取A.7B.8C.9D.10 32.])13)(23(11071741411[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n 等于 A.41B.31C.32D.133.已知a ､b 是不相等的正数,若2lim 11=+-++∞→n n n n n b a b a ,则b 的取值范围是A.0<b ≤2B.0 b <2C.b ≥2D.b >234.利用数学归纳法证明"对任意偶数n ,a n -b n 能被a +b 整除"时,其第二步论证,应该是A.假设n =k 时命题成立,再证n =k +1时命题也成立B.假设n =2k 时命题成立,再证n =2k +1时命题也成立C.假设n =k 时命题成立,再证n =k +2时命题也成立D.假设n =2k 时命题成立,再证n =2(k +1)时命题也成立35.用数学归纳法证明"42n -1+3n +1(n ∈N )能被13整除"的第二步中,当n =k +1时为了使用假设,对42k +1+3k +2变形正确的是A.16(42k -1+3k +1)-13×3k +1B.4×42k +9×3kC.(42k -1+3k +1)+15×42k -1+2×3k +1D.3(42k -1+3k +1)-13×42k -136.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N )时,从""两边同乘以一个代数式,它是A.2k +2B.(2k +1)(2k +2)C.122++k k D. 1)22)(12(+++k k k37.用数学归纳法证明某命题时,左式为21+cos α+cos3α+++cos(2n -1)α(α≠k π,k ∈Z ,n ∈N ),在验证n =1时,左边所得的代数式为A. 21B. 21+cos αC. 21 +cos α+cos 3αD. 21+cos α+cos3α+cos 5α38.用数学归纳法证明"(n +1)(n +2)+(n +n )=2n ·1·3+(2n -1)"时,第二步n =k +1时的左边应是n =k 时的左边乘以A.(k +1+k +1)B.(k +1+k )(k +1+k +1)C.1)11(++++k k k D. 1)11)(1(++++++k k k k k39.设S k =11+k +21+k +31+k ++++k21,则S k +1为 A.221++k S k B.221121++++k k S k C. 221121+-++k k S k D. 121221+-++k k S k40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1-413121-++++n n 21121--,从"n=k到n=k +1",应将左边加上A.121+k B.421121+--k k C.221+-kD.221121+-+k k 41.用数学归纳法证明"当n 为正奇数时,x n +y n 能被x +y 整除"时,第二步应是A.假设n =k (k ∈N )时命题成立,推得n =k +1时命题成立B.假设n =2k +1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +3时命题成立C.假设k =2k -1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +1时命题成立D.假设n £k (k ³1,k ∈N )时命题成立,推得n =k +2时命题成立42.设p (k ):1+k k +≤++++2121212112 (k N ),则p (k +1)为A.1212121312111++≤++++++k k k B.1211212131211++≤++++++k k k C. 12121221121312111++≤++++++++++k k k kD.上述均不正确43.k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为A.2f (k )B.k －1＋f (k )C.f (k )＋kD.f (k )＋244.已知1312111)(++++++=n n n n f ……，则)1(+k f 等于 A.1)1(31)(+++k k f B.231)(++k k f C.11431331231)(+-++++++k k k k k f D.11431)(+-++k k k f45.用数学归纳法证明ααααα212sin sin 1)12cos(3cos cos 21+⋅=-++++n n ……)(212cos N ∈≠-n n n ，παα，在验证n =1等式成立时，左边计算所得的项是 A.21B.αcos 21+C.αα3cos cos 21++D.ααα5cos 3cos cos 21+++46.用数学归纳法证明某不等式，其中证n k =+1时不等式成立的关键一步是：()()()()()()()()()k k k k k k k k +++++>+++>++12323123233，括号中应填的式子是 A.k +2 B.k +3 C.k +2 D.232()k +47.对于不等式)(12N ∈+≤+n n n n ，某人的证明过程如下：︒1当1=n 时，11112+≤+不等式成立。
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高二数学数学归纳法综合测试题Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k ＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为() A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证()A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4k2－2k－3≥0(k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析]因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝()[答案] B[解析]由S n＝n2a n知S n＋1＝(n＋1)2a n＋1∴S n＋1－S n＝(n＋1)2a n＋1－n2a n∴a n＋1＝(n＋1)2a n＋1－n2a n∴a n＋1＝nn＋2a n(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝1 3a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110猜想a n＝2n(n＋1)，故选B.10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.[答案] n n ＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1][解析] 由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2.当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域． [证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。