自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析
自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析
目录1系统稳定性分析 (1)2高阶系统的时域响应 (2)2.1系统单位阶跃响应曲线 (2)2.2系统单位斜坡响应曲线 (4)2.3系统单位加速度响应曲线 (5)2.4动态性能指标计算 (6)2.4.1动态性能指标计算 (6)2.4.2动态性能指标计算 (6)2.5 稳态性能指标计算 (9)3根轨迹图绘制 (10)3.1根轨迹数据计算 (10)3.2用MATLAB绘制根轨迹图 (11)4心得体会 (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表高阶系统的时域分析1 系统稳定性分析给定参数系统稳定性分析： 对于开环传递函数))(95()()(2a s s s s b s K s G p ++++=在给定条件K=15,a=2,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特征方程为:D(s)=S 4+7S 3+19S 2+33S+60=0其劳斯表为S 41 19 60 S 3 7 33 0 S2 14.3 60 S 1 3.6 0 S 0 60从表中可以看出，第一列系数符号全部为正，故系统是稳定的。
2高阶系统的时域响应K=15，a=2，b=4时，系统的开环传递函数为:G p=15（s+4）s(s2+5s+9)(s+2)=15s+60s4+7s3+19s2+18s系统为Ⅰ型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。
系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60R(s)2.1系统单位阶跃响应曲线当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=1S，系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1S运用MATLAB程序作图如图2-1，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);step(G);grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位阶跃响应')图2-1 系统阶跃响应由图中数据可得:上升时间为t=1.02sr峰值时间=1.73stp调节时间=33.1sts超调量σ%=78%稳态误差为=0ess当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=1s2,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s2运用MATLAB程序作图如图2-2，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=t;lsim(G,u,t);grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位斜坡响应')图2-2 单位斜坡响应当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=1s3,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s3运用MATLAB程序作图如图2-3，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=(0.5*t.^2);lsim(G,u,t)grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位加速度响应')图2-3 单位加速度响应2.4动态性能指标计算2.4.1主导极点法控制系统的暂态性能指标通常是零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特征定义的，系统的暂态性能指标实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析
ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶 系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶 系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定 所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式 的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系 统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工 程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶 系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函 数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便 将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二 阶系统进行分析研究。
3-5 高阶系统的时域分析
※偶极子： 偶极子： 偶极子 定义：一对非常靠近的零、 定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的 对应留数很小， 对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相 互抵消，这对零极点叫做偶极子。 互抵消，这对零极点叫做偶极子。
jω
偶极子
− 5σ
−σ
σ
作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极 通过增加含有零点的微分环节使某些极 点的作用减小或消失； 点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环 节使某些零点的作用减小或消失。 节使某些零点的作用减小或消失。
03:03
Aj = [C ( s )( s − p j )]s = p j
进一步理解
Aj = [C ( s )( s − p j )]s = p j
a.零极点相互靠近，则对A 的影响就越小， a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，如果 零极点相互靠近 离虚轴较远(衰减速度快) 影响越小； 离虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小； 影响越小 b.零极点很靠近， 几乎没影响； b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响； 零极点很靠近 几乎没影响 c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响； 无任何影响； c.零极点重合——偶极子， 零极点重合——偶极子 无任何影响 d.极点 附近无零点，且靠近虚轴， d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 极点 c(t)影响大。 影响大。 影响大
03:03
描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系 统。 工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（常为二阶）进行分析。 原因： 1、高阶系统的微分方程求解比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
03:03
西工大、西交大自动控制原理 第四节 高阶系统的时域分析7-8
s
6
2
s
s
2
5 2s
5
闭环主导极点
第四节 高阶系统的时域分析
具体的高阶系统的性能指标的计算方法，请阅读教材 3.4节
2sBiblioteka s22120
42
s
2
s
3
3
s
s
3.31s+22
+4.52
22
42
s
2
s
3
问题1：增加极点有何影响？ 问题2：偶极子有何作用？
4
s
s
6
2
s
3
说明
第四节 高阶系统的时域分析
m
Kg s zi
s q
i 1 r
s sj
s2
2
k nk
s
2 nk
j 1
k 1
A0 q Aj r Bk
j
问题2： 极点越靠近原点，效应 越强还是越弱？
0
s
s2
n2 2ns
n2
j
s
n2 p3 s2 2ns n2
s p3
0
第四节 高阶系统的时域分析
基本结论（定性）
1、闭环零点的作用是减少阻尼，使系统响 应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，效果 越明显。
2、闭环非主导极点的作用是增加阻尼，使系 统响应速度变缓，并且闭环极点越接近虚轴， 效果越明显 。
s j1 s s j k 1
s knk
Cknk
1
2 k
s2 2 knk s nk
若某零、极点(Sj)的靠得很近， 则Aj很小，彼此可 以对消。
基本结论
第四节 高阶系统的时域分析
自动控制5基于MATLAB高阶控制系统的时域响应动态性能分析
自动控制5基于MATLAB高阶控制系统的时域响应动态性
能分析
一，高阶系统时域响应分析
1、定义
时域响应动态性能分析是指对高阶系统（在此处是MATLAB控制系统）的其中一特定输入或刺激的响应随时间的变化情况的分析，其中，包括响
应的出现时间、升降时间、振荡次数、最大响应量及其回归时间等。
这种
类型的分析可以帮助我们更清楚地了解系统的动态特性，以及我们在设计
控制系统时所要达到的性能目标。
2、计算方法
MATLAB提供了一系列时域响应动态性能分析的内置工具，例如最大值、最小值、累积时间、中值、平均时延等的计算，其中，最大值计算可
以通过使用系统的输入和输出数据，使用MATLAB的关系函数max(来实现；最小值计算则可以使用min(函数；累积时间可以使用累积函数cumsum(来
实现。
最后，可以使用matlab函数plot(将计算结果可视化。
三，实验案例
下面，我们通过实验案例来检验MATLAB的时域响应动态性性能分析
是否有效：
假设有如下的MATLAB控制系统：
S = tf(1,[1 2 1])
首先，我们需要为系统设置一个输入信号u，我们在这里设置：
u=t
然后，我们计算该系统的输出信号y：
y = lsim(S,u,t)
最后，使用MATLAB函数plot(来可视化计算的输出y：plot(t,y)
从上图中可以清楚的看出。
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
3.4 高阶系统的时域分析
z
5以及
n
p
5
n
2
n
(s)
z n p ( s 2
2
2
j ds n ) n一对共轭复数极点产生的瞬态分量 是按指数衰减的正弦振荡曲线。
第四节 高阶系统的时域分析
由上述分析可以得出： （4）系统中离虚轴最近极点附近没有零 点，其它极点离虚轴的距离是这个 （1）高阶系统的时域响应是由惯性环节 极点3（或5）倍以上，这个为主导 和二阶振荡环节的响应函数所组成。 极点。 （2）所有闭环极点必须位于左半平面系 （5）高阶系统中加入校正装置，使系统 统才能稳定。如果有一个极点在右 具有一对合适的共轭复数主导极点， 半平面，系统不稳定。 此时系统的动态性能比较理想。 （3）极点的实部在左半平面上离虚轴远 （6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极 近，确定相应的瞬态分量衰减快慢； 子,在系统动态响应中可以忽略不计。
第四节 高阶系统的时域分析
共轭复数极点的瞬态分量:
σ ω 式中： sk= +j Ak=|Ak|e j∠Ak Akeskt+Ak+1esk+1t
Akeskt+Ak+1esk+1t
σ sk+1= -jω Ak+1=|Ak+1|e־j∠Ak+1
系数可表示为
σt
=2|Ak|e cos( t+∠Ak ) ω
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近 似的估计分析。
高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
例：
(s)
n (s z)
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1 5 8.4 -5.8 40
12 18 40
40
3
2
1
0
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2 未给定参数系统稳定参数范围
当 K、a、b 未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。 经过简化可得系统的特征方程为： D(s) =S +(a+4)S +(4a+8)S +(8a+k)S+Kb=0 其劳斯表为：
2
高阶系统的时域响应.............................................................................................................. 3 2.1 系统单位阶跃响应曲线................................................................................................... 3 2.2 系统单位斜坡响应曲线................................................................................................... 5 2.3 系统单位加速度响应曲线............................................................................................... 6 2.4 动态性能指标计算........................................................................................................... 7 2.5 稳态性能指标计算.......................................................................................................... 8
图 2-4 闭环零极点图
取主导极点为 s1,2=-0.64 则高阶系统的单位阶跃响应可以近似为：
c(t)=
7
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计算得：
==2.01s
计算得：
=0.272
2.5 稳态性能指标计算
=
当输入信号为单位阶跃响应时，R(s)=
sE(s)=
=0 当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=
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高阶系统的时域分析
1 系统稳定性分析
1.1 给定参数系统稳定性分析
对于开环传递函数 G p ( s )
K ( s b) s ( s 4s 8)( s a )
2
在给定条件 K=10,a=1,b=4 时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特 征方程为: D(s)=S +5S +12S +18S+40=0 其劳斯表为 S S S S S
10
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3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图
运用 MATLAB 作图如图 2-4 所示，程序如下 num=[1 4]; den=[1 5 12 8 0]; rlocus(num,den)
图 3-1 根轨迹图
11
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4 心得体会
3
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图 2-1 系统阶跃响应
由图中数据可得: 上升时间为 tr=0.835s 峰值时间 tp=1.99s 调节时间 ts=5.75s 超调量 =26.3 稳态误差为 ess=0
4
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2.2 系统单位斜坡响应曲线
当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=,系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-2，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); t=0:0.01:10; u=t; lsim(G,u,t); grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)'); title('单位斜坡响应')
4 3 2
1
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S S S S S
4
1 a+4 4(a+2) +K+16
2 2
4a+8 8a+K Kb(a+4)
2 2
Kb
3
2
1
32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) Kb(a+4)
0
由劳斯稳定判据可知，该系统稳定的条件是： a>-4 Kb>0 4(a+2) +K+16>0 32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) >0
当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=，系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-1，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); step(G); grid on; xlabel('t ');ylabel('c(t) '); title('单位阶跃响应')
13
2 2 2 2
2
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2 高阶系统的时域响应
在系统稳定的参数范围内，选取一组参数，令 K=10，a=6，b=7。则系统的开环传递函 数为 Gp= 系统为型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。 系统响应为 C(s)=R(s)
2.1 系统单位阶跃响应曲线
3
根轨迹图绘制........................................................................................................................ 10 3.1 根轨迹数据计算............................................................................................................. 10 3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图..............................................................................................11
12
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参考文献
[1] 胡寿松.自动控制原理（第四版）.科学出版社,2002 [2] 胡寿松.自动控制原理习题解析（第五版） ．科学出版社,2006 [3] 黄忠霖.完全手册 MATLAB 使用详解.电子工业出版社,2009 [4] 邹伯敏.自动控制理论.机械工业出版社,2007 [5] 刘泉、江雪梅.信号与系统.高等教育出版社.2006
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目
1
录
系统稳定性分析...................................................................................................................... 1 1.1 给定参数系统稳定性分析............................................................................................... 1 1.2 未给定参数系统稳定参数范围....................................................................................... 1
sE(s)=
sE(s)=
8
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=
9
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3 根轨迹图绘制
3.1 根轨迹数据计算
当 a=1，b=4 时， GF= 根轨迹相关参数计算如下： 1）系统开环零点为 z=-4； 2）开环极点为 s1=0,s2=-2+j2,s3=-2-j2,s4=-1； 3）系统有 max{ m，n }=4 根分支； 4）实轴上的根轨迹为（-1，0）和（-∞，-4） ； 5）系统的 m=1，n=4，故根轨迹的渐近线为 3 条，渐近线与实轴的交角分 、 、 。渐近线与横轴交点为（，0） ； 6）根轨迹的分离点：由方程 0） ； 7）根轨迹与虚轴的交点，用劳斯判据可算得 w= K=6.65 A’B-B’A=0 可计算得约为（-5，0）和（-0.475，
4
心得体会................................................................................................................................ 12
参考文献....................................................................................................................................... 13