43多项式方法求特征值问题.doc
多项式特征值问题的数值方法
求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1） 其中,0:n nk A k m ×∈=£。
多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。
特征多项式的计算公式
特征多项式的计算公式
设n阶方阵A=(a_ij)，则A的特征多项式为f(λ)=|λ I - A|，其中λ为特征值，I为n 阶单位矩阵。
1. 二阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设二阶方阵A=(ab cd)。
- 首先写出λ I - A，其中I=(10 01)，则λ I - A=(λ - a-b -cλ - d)。
- 然后计算其行列式f(λ)=|λ I - A| = (λ - a)(λ - d)-(-b)( - c)=λ^2-(a + d)λ+(ad - bc)。
2. 三阶方阵的特征多项式计算示例。
- 设三阶方阵A = (a_11a_12a_13 a_21a_22a_23 a_31a_32a_33)。
- 计算λ I - A=(λ - a_11-a_12-a_13 -a_21λ - a_22-a_23 -a_31-a_32λ - a_33)。
- 其特征多项式f(λ)=|λ I - A|，按三阶行列式展开法则计算：
- f(λ)=λ^3-(a_11+a_22+a_33)λ^2+(a_11a_22+a_11a_33+a_22a_33-a_12a_21-a_13a_31-a_23a_32)λ-| A|。
在高中数学人教版教材中，特征多项式相关内容可能在选修部分有所涉及，主要是为了引入矩阵的特征值和特征向量等概念做铺垫。
掌握特征多项式的计算是理解矩阵特征相关知识的基础。
§4 特征值、特征向量与特征多项式.
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辽东学院教案纸
课程：高等代数
A
x1
x2
=0
x1
x2
(0 I n
A)
x1
x2
0
0
．
(2)
xn 0
因为 ，所以齐次线性方程组(2)有非零解．因此系数行列式
4.1 定义与求法
设 V 是数域 F 上的向量空间，∈EndV．
定义 1 设0∈F，若存在 V 中一个非零向量，使得
( ) 0 ，
(1)
则称0 是的一个特征值，是的属于特征值0 的一个特征向量．
显然，若是的属于特征值0 的一个特征向量，则对于k∈F，
都有
(k) k () k0 0 (k) ． 因此，任一非零向量 k(k≠0)都是属于0 的特征向量．
一个特征值，则0 是 A 的特征多项式 f A() 的根，即 f A(0 ) =0． 假设线性变换在 V 的另一个基下的矩阵是 B，则容易证明 A 与
B 有相同的特征多项式．也就是说，相似矩阵有相同的特征多项式．事 实上，设存在可逆矩阵 T，使 B T 1AT ，则
I n B T 1I nT T 1 AT T 1(I n A)T ． 所以由行列式的乘法定理有
( a11)( a22 )( ann )
(5)
里．这个行列式的展开式的其余的项至多含有 n 2 个主对角线上的
元素．因此，f A() 是乘积(5)与一个至多是的 n 2 次多项式的和．因 此， f A() 中次数大于 n 2 的项只出现在乘积(5)里．所以
求解特征多项式
求解特征多项式
特征多项式是一个重要的数学概念，在线性代数和微积分等学科中都
有广泛的应用。
求解特征多项式的方法有很多种，其中最常用的是基
于矩阵的线性代数方法。
本文将介绍特征多项式的概念、性质及其求
解方法。
一、特征多项式的定义
特征多项式是一个关于矩阵特征值的多项式。
假设A是一个n阶方阵，其特征多项式为：
f(λ) = det(A - λI)
其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知数，det代表行列式的意思。
二、特征多项式的性质
1. 特征多项式的次数为n，其系数为实数或复数。
2. 特征多项式的根是矩阵的特征值，即A的任意一个特征值都满足
f(λ)=0。
3. 特征多项式的系数可以用A的矩阵元素表示，即f(λ)=λ^n -
a1λ^(n-1)+a2λ^(n-2)-...+(-1)^n an。
三、特征多项式的求解方法
1. 利用定义式直接展开det(A - λI)，将它化为多项式的形式，然后求解方程f(λ) = 0，即可得到所有的特征值λ1,λ2,...,λn。
2. 高斯-约旦消元法。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式可以通过对矩阵A - λI的行列式化简后得到。
具体来说，可以先将A-λI进行高斯-约旦消元化为上三角矩阵，然后根据行列式的性质求得特征多项式。
3. 特征多项式的求解方法还包括拉普拉斯展开法、Cayley-Hamilton 定理等。
综上所述，特征多项式作为矩阵的重要性质，在数学研究和实际应用中都有广泛的应用。
根据实际问题的不同，可以采用不同的方法求解特征多项式，进而得到矩阵的特征值和特征向量。
特征向量和特征值问题的数学分析方法
特征向量和特征值问题的数学分析方法在数学领域中，特征向量和特征值是矩阵论中非常重要的概念。
它们在线性代数、数值计算和物理学等学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍特征向量和特征值问题的数学分析方法，帮助读者深入理解这一概念并掌握解决相关问题的技巧。
一、特征向量和特征值的定义在矩阵论中，给定一个n阶方阵A，如果存在非零向量x使得Ax = λx成立，其中λ是一个常数，则称向量x为矩阵A的特征向量，常数λ为对应的特征值。
特征向量表示了在矩阵作用下方向不变的向量，特征值则表示了此方向上的伸缩比例。
特征向量和特征值往往以矩阵的形式表示，特征向量矩阵X（包含了每一个特征向量）和特征值矩阵Λ（对角线元素为特征值，其余元素为零）满足AX = XΛ的关系。
由此可见，特征向量是通过矩阵A左乘特征向量矩阵获得的。
二、求解特征向量和特征值的方法1. 特征多项式法通过求解特征多项式可以得到矩阵的特征值。
特征多项式由方阵A 减去λI得到，其中I为单位矩阵。
求解特征多项式的根，即可得到特征值λ。
2. 特征向量分解法对于已知的特征值，我们可以通过代入方程Ax = λx来求解特征向量。
由于特征向量是在一系列相似矩阵中共享的，因此可以通过类似对角化的过程获取一组特征向量。
3. 幂法幂法是一种数值迭代的方法，用于求解最大的特征值和相应的特征向量。
它的基本思想是通过不断迭代一个向量，使其趋近于矩阵A的特征向量。
幂法迭代过程中，向量的模长不断增大，最终收敛到最大特征值所对应的特征向量。
4. QR方法QR方法是一种求解特征值和特征向量的迭代算法。
该方法通过将矩阵A分解成QR的形式，并迭代QR的乘积，得到逼近矩阵的特征值和特征向量。
QR方法相对于幂法更加稳定和快速，是较常用的数值方法之一。
三、特征向量和特征值问题的应用特征向量和特征值在许多学科中都有广泛应用。
在线性代数中，它们用于矩阵相似和矩阵的对角化。
在数值计算中，特征向量和特征值问题与矩阵的谱半径和谱条件数相关联，对于解决线性方程组和最优化问题具有重要意义。
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量，其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式运算。
将特征多项式置为零，可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
将每个特征值代入原矩阵A-λI，解线性方程组(A-λI)x=0，就可以得到对应的特征向量。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。
常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。
幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量，其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。
反幂法是幂法的反向操作，通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。
Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量，其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x)，迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k)，其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
其中，特征值可以用于判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵可逆。
特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态，如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
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4．3 多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求 n 阶方阵 A 的特征值就是求代数方程( ) | A I | 0（ 4.3.1）的根。
( )称为 A 的特征多项式。
上式展开为( )np 1n 1p2 n2 .....p n（ 4.3.2）其中 p 1, p 2 ,...p n 为多项式 ( )的系数。
从理论上讲，求 A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式 |AI|求出多项式( ) ；第二步 求代数方程 (x) 0的根，即特征值。
对于低阶矩阵， 这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用 F-L （ Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式 () 的 系数。
由于代数方程求根问题在第 2 章中已经介绍， 所以本节中解决特征值问题的关键是确 定矩阵 A 的特征多项式()，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵 A=(a ij)n n的对角线元素之和为trAa11a22... a nn（4.3.3 ）利用递归的概念定义以下n 个矩阵 B k ( k 1,2,...., n) :p 1 trB 1B 1A,p 21B 2A(B 1p 1I ),trB22p 31trB 3B 3A(B 2 p 2 I ),3...............p k1trB k B k A(B kp k 1 I ),k1................p n1B nA(B n 1p n 1 I ),trB nn（ 4.3.4）可以证明 ,(4.3.4)式中p k, k 1,2,..., n,即是所求 A 的特征多项式( )的各系数。
用（ 4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。
相应特征方程为：( 1)n (np 1n 1p 2n 2..... p n ) 0（ 4.3.5）A 的逆矩阵可表示为而且可证矩阵 A 11( B n 1p n 1I )p n(4.3.6)例1 求矩阵3 2 4A2 0 24 2 3的特征值与 A 1 .解 用 F-L 方法求得3 24 B 1A2 0 24 2 3p 1trB 1 611 2 4 B 2A( B 1 p 1 I )2 8 242 11p 21trB 21528 0 0 B 3A( B 2 p 2 I )0 8 00 08p 31trB 38所以 A 的特征方程为3( 1)3(36215 8) 0此方程的根 ,即特征值为18,2 1,311 1 12 4 2 A 11 ( B2 p 2 I )1 7 1p 34 8 4 1 1 1242从例 1 中的计算结果可知 B 3p 3I .Faddeev 曾经证明 : 对 n 阶矩阵 A, 按 (4.3.4)式计算出的Bn 总有B np n I(4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵 A 的特征向量确定以后 ,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(AI)x=0 中,由于系数矩阵 AI 的秩小于矩阵 A I 的阶数 n,因此虽然有 n 个方程 n 个未知数 ,但实际上是解有 n 个未知数的相互独立的 r 个方程 (r<n). 当矩阵 A 的所有特征值互不相同时 ,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1 个独立方程 ,其中含有 n 个特征向量分量 ,因此特征向量分 量中至少有一个需要任意假设其值 ,才能求出其他特征分量 . 在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯 -若当消去法 ,以便把一组 n 个方程简化为 等价的一组 n-1 个方程的方程组 .然而 ,用高斯 -若当消去法简化一个齐次线性程组时 ,方程之间不都是独立的 ,在消去过程中系数为零的情况较多 .必需交换方程中未知数的次序,以避免 主元素位置上为零的情况 .因此 ,为了提高精度和避免零元素的可能性 ,我们总是用主元素措 施把绝对值最大的系数放于主元素位置 .例如 ,假设矩阵 A 为4 2 2 A5 3 2 2 41其特征方程为42 2 53 2241=0展开后为(1)(2)(5)0 故特征值分别为11, 22,35下面求特征向量，将1 代入方程组( AI )x 0 中，得3x 12 x 2 2x 35x 1 2x 22x 32x 1 4x 2 0x 3（4.3.8 ）以-5 为主元素 ,交换上式第一与第二个方程得5x 1 2x 2 2x 3 0 3x 1 2 x 2 2x 32x 1 4x 2 0x 3(4.3.9)用高斯 -若当消去法消去 -5 所在列中的x1,并把主元素所在行调到最后,得0x 116x 2 4x 3 05 50x 116x 24 x 3 055x 12x 2 2x 3 05 5(4.3.10)再以 16/5 为主元素 ,消去它所在列中的x 2,并把主元素所在的行调到最后,得0x 1 0x 2 0 x 30 x 1 0x 21 x 320x 1 x 21x 34(4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形这个等价的方程组包含两个独立的方程 ,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值 两个值就可以通过两个独立方程解出 .比如 ,令x 31,则得到矩阵 A 的对应于 1特征向量为.因为 ,则其它1的一个1 2 1 4 1对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第 3 章讨论过的高斯 -若当消去法的公式 ,方程组 (4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵 B 为16 45 516 4B552 25 5 (4.3.12)以矩阵为方程组 (4.3.10) 的系数矩阵 ,其中省略了有0 和 1 元素的第一列 .在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换 .每完成一次消元过程 ,总省略只有 0 和 1 元素的第一列 ,并且计算机仅寻找矩阵的前 n-k 行中的最大主元素 ,其中 k 是消元过程应用的次数.对 (4.3.12)式再进行一次消元过程 ,则得到列矩阵B1 1214 (4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵 ,不过省略了含 0 和 1 元素的前两列 .一般来说 ,最后矩阵列的数目等于矩阵 A I 的阶数和秩的差值.由于方程组 (4.3.8) 有三个未知数 ,两个独立方程 ,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时 ,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如 ,令x31, 由方程组 (4.3.11)知道 ,其他两个分量的值正好能从含x3的非零系数项得出.为此 ,从计算机所存储的最终矩阵中,令B1 最上面的 0( 1 ,1, 1)T元素为 -1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量 2 4 .在工程问题中 ,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的 .一般地 ,当一个特征方程有 k 重根时 ,矩阵A I 的秩可能比其阶数少1,或 2,或 3, ,或 k,当然对应于的线性无关的特征向量的个数也就是1,或 2,或 3, ,或 k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A为3 2 4A 2 0 24 2 3其特征方程为3 24 22 0423展开后得(1)2( 8)0 所以特征值为121,38为了决定1的特征向量 ,将1 代入方程组 ( AI )x=0, 得4 2 4 x 12 1 2 x 2 042 4 x 3(4.3.14)应用一次高斯 -若当消去法 ,得0 0 0 x 1 00 x 21 1 /2 1 x 3(4.3.15)写成矩阵形式 ,(4.3.15) 式的系数矩阵为0 0 B1/2 1(4.3.16)1有两个线性无 因为方程组 (4.3.15)的系数矩阵的秩为 1,它比矩阵阶数少 2,因此对应于关的特征向量 ,必须给两个未知数任意规定值 ,才能确定这两个线性无关的特征向量 , 由（ 4.3.15）式可看出 ,一般总是选择 x 21, x 3 0求一个特征向量;选择x 20, x31 求另一个特征向量 ;这样有两个线性无关的特征向量1/ 2 1 10 01,,在 (4.3.16) 式的 B 中 ,把第一列中第一个 0计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是 元素用 -1 代替 ,第二列中第二个 0 元素也用 -1 代替 ,然后把第一、 第二行顺次调到最下面一行 的位置上， 第三行自然就成了第一行， 如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
对应于1 的全部特征向量为1/ 2 1 k 11 k2 01其中k1 与k2 是任意常数，且不同时为零。
为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为2 8 12A1 4 4 01其特征方程为( 2) ( 1) 0特征值为1 2,2 0,3 1对应于 2 的特征向量可由解下列方程组而求得4 8 12 x11 2 4 x2 00 0 1 x3(4.3.17)用一次高斯 -若当消去法，得0 0 1 x10 0 1 x2 01 2 3 x3(4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对 (4.3.17) 式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程 .对 (4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为1284x3421x20100x1其中未知数列矩阵中x1 与x3 也进行了交换，这样才能保证(4.3.19) 式进行一次高斯 -若当消去法，得0 2 / 3 1/ 3 x30 2 / 3 1 / 3 x2 01 2 / 3 1 / 3 x1再进行一次消去过程，得(4.3.19)(4.3.17) 式与 (4.3.19) 式等价，对(4.3.20)0 0 0 x31 0 0 x2 00 1 1/ 2 x1(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵B 01/ 2(4.3.22)将(4.3.22) 式中的列矩阵 B 中第一个0 元素用 -1 代替，并随即调到最下面一行，便得到1/ 21（ 4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把 (4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于 2 的特征向量11/ 2对应于的全部的特征向量为11/ 2k其中 k 为不等于零的任意常数.。