矩阵特征值求解
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
矩阵特征值快速求法
矩阵特征值快速求法矩阵特征值是矩阵分析中十分重要的概念。
它在物理、工程、数学等许多领域都有着广泛的应用。
矩阵特征值是指矩阵运动时特殊的运动状态，是一种宏观量度矩阵运动的指标。
求解矩阵特征值是一项复杂的任务，通常需要使用高级算法来完成。
本文将介绍几种常用的求解矩阵特征值的算法，其中包括幂法、反幂法、QR算法、分裂Broyden算法等。
一、幂法幂法是求解矩阵特征值的一种基础算法，其基本思想是通过迭代来逐步逼近矩阵的最大特征值。
幂法的核心公式如下：x_(k+1)=A*x_k/||A*x_k||其中，x_k表示第k次迭代中得到的特征向量，A表示原始矩阵。
幂法通过不断的迭代来逼近A的最大特征值，当迭代次数趋近于无限大时，得到的特征向量就是A的最大特征值所对应的特征向量。
幂法的运算量较小，适用于比较简单的矩阵。
反幂法与幂法类似，不同之处在于每次迭代时采用的是A的逆矩阵来进行计算。
其核心公式如下：x_(k+1)=(A-λI)^(-1)*x_k其中，λ表示要求解的特征值。
反幂法能够求解非常接近于特征值λ的特征向量，并且对于奇异矩阵同样适用。
需要注意的是，在实际计算中，如果A-λI的秩不满，那么反幂法就无法使用。
三、QR算法1. 将原矩阵A进行QR分解，得到A=Q*R。
2. 计算A的近似特征矩阵A1=R*Q。
5. 重复步骤3-4，直到A的对角线元素全部趋近于所求特征值为止。
QR算法的计算量较大，但其具有收敛速度快、精度高等优点，广泛应用于科学计算中。
四、分裂Broyden算法分裂Broyden算法是QR算法的一种改进算法，其基本思想是将矩阵分解成上下三角形式，然后再对其进行QR分解，以减少QR算法中的乘法运算量。
具体实现过程如下：2. 构造一个倒数矩阵B=U^(-1)*L^(-1)。
4. 计算A的近似特征矩阵A1=Q^(-1)*L^(-1)*A*R^(-1)*U^(-1)*Q。
分裂Broyden算法的计算量较小，能够有效地解决QR算法中的乘法运算量过大的问题。
矩阵特征值计算公式(二)
矩阵特征值计算公式(二)矩阵特征值计算公式什么是矩阵的特征值？矩阵在线性代数中起到非常重要的作用，其中一个重要的概念就是矩阵的特征值。
矩阵的特征值可以用来描述矩阵在变换中的行为，是一种非常重要的指标。
简单来说，矩阵的特征值是指在某个矩阵变换下，仍保持原向量方向的特定向量。
矩阵特征值计算公式计算矩阵的特征值通常使用特征多项式方法。
特征多项式是一个关于变量λ 的多项式，其次数等于矩阵的阶数 n。
根据特征多项式，可以得到矩阵的特征值。
以下是计算矩阵特征值的公式：1.特征多项式公式：|A−λI|=0–其中 A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征多项式的根，I 是单位矩阵。
–|A−λI|表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。
–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。
2.特征值计算公式：det(A−λI)=0–其中det表示行列式，A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征值，I 是单位矩阵。
–det(A−λI)表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。
–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。
计算特征值的例子假设有一个 2x2 的矩阵 A，其元素为：A = [[2, 5], [1, 3]]我们可以按照上述公式计算矩阵 A 的特征值。
1.通过特征多项式公式计算特征值：–|A−λI|=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。
–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：|(2−λ)(3−λ|=0–化简求解得：λ2−5λ+1=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $2.通过特征值计算公式计算特征值：–det(A−λI)=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。
–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：det[2−λ513−λ]=0–化简求解得：(2−λ)(3−λ)−(1)(5)=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $ 综上所述，根据矩阵 A 的特征多项式或特征值计算公式，我们可以得到矩阵 A 的特征值。
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值在线性代数中起着重要的作用，它不仅与矩阵的本质特
性有关，也是各种计算任务的基础。
一、什么是矩阵特征值？
矩阵的特征值是指矩阵在一定条件下满足的特定方程的解，也可视为
一个复数。
（lambda - λ）
二、如何计算矩阵特征值？
通常有以下两种方法：
1. 主对角线法：通过找到一个行列式，然后求解其根，即可得到矩阵
的特征值。
该方法的优点是易于计算和理解，但对于复杂的矩阵计算
较为繁琐。
2. 幂法：通过不断迭代一个向量和矩阵的乘积，从而得到矩阵的特征值。
该方法的优势在于能够处理大型矩阵，同时也能计算复数特征值。
三、矩阵特征值的应用
通过矩阵的特征值计算，可以进行以下应用：
1. 求解线性方程组，例如：Ax=b，其中A为矩阵，b为向量。
2. 深度学习中的主成分分析（PCA）算法，通过计算特征向量和特征值，对高维数据进行降维处理。
3. 常用于计算机图像处理，通过计算特征向量和特征值，进行图像压缩、模式识别等操作。
四、总结
矩阵的特征值计算是线性代数的重要内容，通过计算特定的方程组，可以得到矩阵的特征值和特征向量，从而应用于各种计算任务中。
选用主对角线法或者幂法进行计算，根据实际需要选择适当的方法。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。
下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。
其中，I是n阶单位矩阵。
λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。
即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。
利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。
而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。
通常，代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。
特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。
（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。
首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。
最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。
它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。
这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。
它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。
使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。
这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。
QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。
在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。
这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。
这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。
这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。
该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。
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矩阵特征值求解的分值算法12组1．1 矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得b Ax = （1.1.1）(2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ⨯阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得},min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （1.1.2）(3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程x Ax λ= （1.1.3）一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个n n ⨯阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(I.1.3)式的非平凡解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(l.1.3)式中的λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程0)det(=-I A λ （1.2.1）除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类:一类称为变换方法,另一类称为向量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理,通过一系列相似变换,使之变换成一个易于求解特征值的形式,如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。
变换方法由于要存储矩阵元素,因而它只适用于求解中小型矩阵,它一般和向量迭代方法结合起来使用.向量迭代方法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量的.由于向量迭代方法可采用压缩存储技术,因而它适合于求大规模矩阵的特征值问题,尤其是大型稀疏矩阵的部分特征值和特征向量问题,如Lanczos 方法,Arnoldi 方法,Davidson 方法等,现在这类问题仍是比较热的研究课题。
2 分治方法的基础及理论研究 2.1 分治方法的概述考虑对称三对角矩阵n T 的特征值问题x x T n λ= （2.1.1）其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n T αββαββα112111 （2.1.2） 1981年Cuppen 提出一种求上述对称三对角矩阵n T 所有特征值和特征向量的分而治之方法（divide 一and 一conquer method).其基本思想是先将对称三对角矩阵n T 分割为两个分别为k k ⨯阶和k)-(n k)-(n ⨯阶低阶对称三对角子矩阵)0(T 和)1(T .)0(T 和)1(T )可以用同样的方法也分别分割为两个更低阶的子矩阵,递归的采用这种分割技术可以把矩阵分割为一些能直接求出特征值的足够小的子矩阵(比如2阶或1阶矩阵),或者按照某种标准分割到适当阶数(如小于等于25阶)后,结合其它求矩阵特征值的方法,如QR 算法,求出其特征值。
在求出低阶矩阵特征值的基础上,开始胶合过程。
在胶合阶段,分割前的矩阵1T 的特征值的求出(所谓的“治之”)是建立在其两个子矩阵')0(T 和')1(T 的特征值的基础上的,其中')0(T 和')1(T .是在分割阶段由1T 分割出的低阶子矩阵.随后的数值分析表明,Cuppen 的方法存在着数值不稳定的危险,特别是当存在特征值束时,计算出的特征向量可能不正交。
Gu 和Eisenstat 对Cuppen 的方法作了改进,极大地降低了数值不稳定的危险性。
Cuppen 的方法在计算n T 的特征值的同时也需要计算对应的特征向量,并且是在)0(T 和)1(T 的特征值和特征向量的基础上进行计算的.根据文中,当用残量X X T n Λ-和正交性n T I X X -作为检验准确性的标准时，Cuppen 的方法比二分法或多分法精确的多。
但文[3中，,如果用n T λλ-~作为衡量特征值准确性的标准时,二分法或多分法精确些.此外Cuppen 的分而治之方法要求矩阵乘积,存储量为)(2n O ,而二分法或多分法的存储量仅为)(n O ,比前者少.应此,当只需计算特征值时,通常选用后者.1987年Dongarra 和Sorensen 把分治思想应用到求对称三对角矩阵特征值的并行计算,取得了不错的效果,再次引起了人们对分治方法的极大关注。
分割胶合方法（split-merge method ）是后来提出用分治方式求对称三对角矩阵特征值n T 的方法,不同于分而治之方法在分割过程中采用矩阵的秩1扰动,它采用矩阵的秩2扰动.与二分法和多分法相似,在分割胶合方法中,特征值的计算独立于特征向量的计算.如果需要计算特征向量,可采用反幂法。
由于分割胶合方法计算特征值时采用具有三次收敛的Laguerre 迭代,数值试验表明，其计算速度和精度都明显优于二分法和多分法.并且文中给出的用于计算Laguerre 迭代的非线性三项递归式可以避免上溢和下溢问题。
2.1.1 分割策略分治方法的第一步就是把原来高阶的对称三对角矩阵特征值问题转化为两个低阶对称三对角矩阵特征值问题,即所谓的分割阶段.设对称三对角矩阵n T 表示如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n n T αββαββα112111（2.1.1.1） 不妨假设)1,,2,1(0-=≠n j j β,即称n T 为不可约矩阵。
否则,若存在某些0=j β,则n T 就可以约化为若干个低阶主子矩阵特征值问题, n T 的特征值就由这若干个低阶主子矩阵的特征值构成.当n T 为不可约对称三对角矩阵时,对其作如下分割E T T T n +⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)1()0( (2.1.1.2)记E nT T n +=~,其中)0(T 和)1(T )分别为k k ⨯阶和)()(k n k n -⨯-或)1()1(--⨯--k n k n 阶对称三对角矩阵,通常]2/[n k =。
（1）当Tvv O O E ρρθρθρθρ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2时，其中），，，，，010( θ=v 且k βρθ=，称此为秩1扰动矩阵.此时有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ραββαββαk k k T 112111)0 （，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--++++n n n k k k k T αββαββρθα1121121)1（（2）当Tk k T k k e e e e O OE 1100+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ρρρρ时，其中k βρ=，称此为秩2扰动矩阵.此时有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--k k k T αββαββα112111)0 （，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--++++n n n k k k k T αββαββα112111)1（ （3）当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++00111k k k k k E ββαββ时，称此为秩3扰动矩阵.此时有k k k k k R T ⨯--∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αββαββα112111)0 （，)1()1(113222)1--⨯----++++∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k n k n n n n k k k k R T αββαββα（人们关注的问题是:对于上述三种分治策略n T 与nT ~的特征值之间的关系.利用Hoffman-Wielandt 定理的结论,我们可以得到如下定理:定理2.1设A 和B 是两个n 阶Hermite 矩阵,它们的特征值分别是n λλλ≥≥≥ 21和n μμμ≥≥≥ 21，则Fnj j j BA -≤-∑=2112])([μλ (2.1.1.3)其中F•为Frobenius 范数。
根据上述定理,设n T 与nT ~的特征值分别为n λλλ≥≥≥ 21和n λλλ~2~1~≥≥≥ ，则有下面关系成立F j E j ≤-λλ~（2.1.1.4）因此,只要(2.1.1.4)式右端越小,j λ就越接近j λ~,即n T 与n T ~的特征值就越接近。
对于秩1和秩2扰动, n T 与nT ~的特征值之间关系更详细的描述,将在后文给出。
2.1.2 胶合在矩阵n T 分割后,先求出矩阵n T ~的特征值,即求出)0(T 和)1(T 的特征值。
剩下的工作就是如何由n T ~的特征值出发求出n T 的特征值,这就是胶合阶段主要任务。
在这个阶段可以采用不同的迭代方法,如割线法!Newton 迭代、Laguerre 迭代以及路径跟踪等,以n T ~的某个特征值或n T ~的特征值构成的区间内的点为初始点经过若千步迭代,最后收敛到n T 的某个特征值.本文中采用Laguerre 迭代从特征区间提取特征值。
2.2 Laguerre 迭代2.2.1 Laguerre 迭代及其计算根据文中,对于不可约对称三对角矩阵n T ,它的特征值或特征多项式)det()(n n I T f λλ-=的根全为互不相同的实数.因此,适合求多项式的根都是实单根的具有三次收敛的Laguerre 迭代)])()(())()()(1)[(1())()(()(2x f x f n x f x f n n x f x f nx x L ''-'---+'-+=--+ (2.2.1.1)非常适合用来从特征区间提取出n T 的特征值.这个方法早在13世纪就已经提出,近年来结合分治策略又重新焕发出生机.文中首次对用Laguerre 迭代求不可约对称三对角矩阵的特征值的实用性进行了研究,而后又被用于求矩阵的奇异值问题。