矩阵特征值的计算
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
【精品】矩阵特征值计算
【精品】矩阵特征值计算矩阵特征值计算是线性代数中的重要内容之一，它是研究矩阵的性质和分析矩阵的重要工具。
下面我们将详细介绍矩阵特征值的概念、计算方法和应用。
一、矩阵特征值的概念矩阵特征值是指一个矩阵对应于某个非零向量，使得该向量的线性组合与该向量的数量乘积相等，即Ax=kx，其中x为非零向量，k为特征值。
可以发现，矩阵特征值是一种特殊的线性变换，它将一个向量变换为与其数量乘积相等的另一个向量。
二、矩阵特征值的计算方法矩阵特征值的计算方法有多种，其中比较常用的有幂法、逆矩阵法和行列式法。
1.幂法幂法是一种通过不断将矩阵自乘来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的n次幂的特征值就是k的n次方。
具体来说，我们可以从1开始逐渐乘以矩阵A，直到得到一个与原始矩阵相同的矩阵为止，这时得到的乘积就是矩阵A的特征值。
2.逆矩阵法逆矩阵法是一种通过计算逆矩阵来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的逆矩阵的特征值就是1/k。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的逆矩阵，然后再计算逆矩阵的特征值，得到的结果就是矩阵A的特征值。
3.行列式法行列式法是一种通过计算行列式来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的行列式的特征值就是k的阶乘。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的行列式，然后再计算行列式的特征值，得到的结果就是矩阵A 的特征值。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值在许多领域都有广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景：1.判断矩阵是否可逆如果矩阵A的特征值均为非零，则A可逆；如果存在一个特征值为零，则A不可逆。
因此，通过计算矩阵的特征值，可以判断该矩阵是否可逆。
2.求解线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果A存在特征值k，且k不为0，那么可以通过将方程组转化为(A/k)x=b的形式来求解x。
这是因为(A/k)x=b等价于Ax=(k/k)x=b，也就是说(A/k)x=b有解当且仅当Ax=b有解。
矩阵特征值快速求法
矩阵特征值快速求法矩阵特征值是矩阵分析中十分重要的概念。
它在物理、工程、数学等许多领域都有着广泛的应用。
矩阵特征值是指矩阵运动时特殊的运动状态，是一种宏观量度矩阵运动的指标。
求解矩阵特征值是一项复杂的任务，通常需要使用高级算法来完成。
本文将介绍几种常用的求解矩阵特征值的算法，其中包括幂法、反幂法、QR算法、分裂Broyden算法等。
一、幂法幂法是求解矩阵特征值的一种基础算法，其基本思想是通过迭代来逐步逼近矩阵的最大特征值。
幂法的核心公式如下：x_(k+1)=A*x_k/||A*x_k||其中，x_k表示第k次迭代中得到的特征向量，A表示原始矩阵。
幂法通过不断的迭代来逼近A的最大特征值，当迭代次数趋近于无限大时，得到的特征向量就是A的最大特征值所对应的特征向量。
幂法的运算量较小，适用于比较简单的矩阵。
反幂法与幂法类似，不同之处在于每次迭代时采用的是A的逆矩阵来进行计算。
其核心公式如下：x_(k+1)=(A-λI)^(-1)*x_k其中，λ表示要求解的特征值。
反幂法能够求解非常接近于特征值λ的特征向量，并且对于奇异矩阵同样适用。
需要注意的是，在实际计算中，如果A-λI的秩不满，那么反幂法就无法使用。
三、QR算法1. 将原矩阵A进行QR分解，得到A=Q*R。
2. 计算A的近似特征矩阵A1=R*Q。
5. 重复步骤3-4，直到A的对角线元素全部趋近于所求特征值为止。
QR算法的计算量较大，但其具有收敛速度快、精度高等优点，广泛应用于科学计算中。
四、分裂Broyden算法分裂Broyden算法是QR算法的一种改进算法，其基本思想是将矩阵分解成上下三角形式，然后再对其进行QR分解，以减少QR算法中的乘法运算量。
具体实现过程如下：2. 构造一个倒数矩阵B=U^(-1)*L^(-1)。
4. 计算A的近似特征矩阵A1=Q^(-1)*L^(-1)*A*R^(-1)*U^(-1)*Q。
分裂Broyden算法的计算量较小，能够有效地解决QR算法中的乘法运算量过大的问题。
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值在线性代数中起着重要的作用，它不仅与矩阵的本质特
性有关，也是各种计算任务的基础。
一、什么是矩阵特征值？
矩阵的特征值是指矩阵在一定条件下满足的特定方程的解，也可视为
一个复数。
（lambda - λ）
二、如何计算矩阵特征值？
通常有以下两种方法：
1. 主对角线法：通过找到一个行列式，然后求解其根，即可得到矩阵
的特征值。
该方法的优点是易于计算和理解，但对于复杂的矩阵计算
较为繁琐。
2. 幂法：通过不断迭代一个向量和矩阵的乘积，从而得到矩阵的特征值。
该方法的优势在于能够处理大型矩阵，同时也能计算复数特征值。
三、矩阵特征值的应用
通过矩阵的特征值计算，可以进行以下应用：
1. 求解线性方程组，例如：Ax=b，其中A为矩阵，b为向量。
2. 深度学习中的主成分分析（PCA）算法，通过计算特征向量和特征值，对高维数据进行降维处理。
3. 常用于计算机图像处理，通过计算特征向量和特征值，进行图像压缩、模式识别等操作。
四、总结
矩阵的特征值计算是线性代数的重要内容，通过计算特定的方程组，可以得到矩阵的特征值和特征向量，从而应用于各种计算任务中。
选用主对角线法或者幂法进行计算，根据实际需要选择适当的方法。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。
下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。
其中，I是n阶单位矩阵。
λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。
即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。
利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。
而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。
通常，代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。
特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。
（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。
首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。
最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
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特征值与特征向量的基础知识 特征值求取 函数eig()计算特征值 舒尔分解和奇异值分解 矩阵指数计算 计算范数和矩阵谱半径的函数
8.1特征值与特征向量的基础知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 BP1AP
则称A与B相似。
定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
1
0 0
k
达到最小值。
当i (i = 1, 2, …, n)为实数，且1>2 ≥…≥n时，取
*0 12(2 n)
则为 (0) 的极小值点。这时
2*0 1*0
21 221 2n 11 221 2n
21 2 2 nn
1 2
8.2.3 反幂法
设ARnn可逆，则无零特征值，由
A x x
(x0 ) 有
A1x 1 x
k
j
1j vj
希望
|
2
/
1
|
越小越好。
不妨设 1 > 2 … n ，且 | 2 | > | n |。
取0（常数），用矩阵B = A - 0I 来代替A进行乘幂迭代。 设i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特征值，则B与A特征值之间
应有关系式：
i i 0
(i = 1, 2, …, n)
我们选取Pk，使得
a(k) pq
0
，因此需使 满足
tg2
2a(pkq1)
a a (k1) pp
(k1) qq
将 限制在下列范围内
4
4
如果
a(k1) pp
aq(kq1)
0
a(k1) pq
0
4
a(k1) pq
0
4
直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记
yai(ik1) a(jki1)
x2y2
特征向量的计算
记 P0 = I
则 Pk Pk1PkT
Pk 的元素为：
Pi(pk)
P(k1) ip
cos
P(k1) iq
sin
Pi(qk) Pi(pk1) sin Pi(qk1) cos
Pi(jk)
P(k1) ij
j p,q
算法：
1．从A(k-1)中找出绝对值最大元素
a , (k1) p,q
12
收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。向量
x(k1)
x(k)
1
、
x(k1) 1x(k)分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。
c）若 1 2 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
xj(k2)pj(x k 1)qj(x k)0
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P1AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
定理3 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即
1
收敛速度取决于 r 2 1 的程度，r << 1收敛快，r 1收敛慢，
1
且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。
（2）当 1 2 3 时
a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；
b）若1 = -2，对i = 1, 2, …, n
lim
k
x(k1) i x(k) i
求出p 、q 后，由公式
1
pi 2
q
p2
2
2
pi 2
q
p2
2
解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于
r 3 1 1
的程度。
向量
x(k1)
x(k)
2
、
x(k1)
x(k)
1
分别为相应于1，2
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0 m 1ian xi
pq
2．若
a(k1) pq
，则为对角阵，停
若
a(k1) pq
（1）令
ya(pk p1) aq(kq1)
x 2 a ( p k 1 ) q si a ( p k g 1 ) p a q ( n k 1 ) q
（2） cos2 y
x2 y2
当 y = 0时， 4
si2 n x
1
1
cos sin
1
P ij
1
sin cos
1
1
i
j
为旋转矩阵
2．雅克比方法
设矩阵ARnn是对称矩阵，记A0 = A，对A作一系列
旋转相似变换
A k P k A k 1 P k T ( k 1 ,2 , )
其中Ak (k = 1, 2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式
2 2 (2 ,1 )1, 2 2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3 3 (3 , 1 )1 (3 , 2 )2
则 (3 ,1)(3 ,2)0
即与1, 2正交，将其单位化为
33 3 2
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
12 [1,2,3][1,2,3]
B i ( A v 0 I ) v i A i 0 v v i (i 0 ) v i
关于矩阵B的乘幂公式为
x (k ) B kx (0 ) (A 0 I)kx (0 )
1k1v1
jn2j1j
kvj
(10)k1v1j n2j1j 0 02vj
为加快收敛速度，适当选择参数0，使
(0)
maxj 2jn
第8章 矩阵特征问题的计算
南京中医药大学信息技术学院 制作:张季
引言
• 工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定 性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特 征值与特征向量的问题.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 • 8.2 • 8.3 • 8.4 • 8.5 • 8.6
xsinai(ik1) a(jkj1) 2ai(jk1)
则
tg 2 x
y
当 时 ，有下面三角恒等式： 4
2c2 o s1co 2 s 1 y 1t2 g 2 x2y2
于是 2co2s1 y
x2 y2
采用下面公式计算 sin
si2 n 2 s ic n o s t2 g co 2 s x
P0 = I
Pip PipC PiqS Piq PipS PiqC Pij Pij
j p,q
关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我
们还可按行列式展开的办法求(λ)=0的根. 但当n较 大时，如果按展开行列式的办法，首先求出(λ)的系 数，再求(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求
矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特 征值及特征向量的数值解法.
本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一 类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似 变换的方法（变换法）.
若 A 有| 1 | | 2 | … > | n |，则 A1 有
1
n
1
n1
…
1
1
对应同样一组特征向量。
A1 的主特征根
A的绝对值最小的特征根
如何计算 解线性方程组
x(k1)A 1x(k)
A(x k1) x(k)
规范化反幂法公式为
y(k)x(k) ma x(kx ))(
A(kx 1)y(k)
n
n
tr(A) aii i
i1
i1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
de A ) t(12 n
定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则
（1）对任意AR n，x≠0，
n
(Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min(Ax, x) x0 (x,x)
（3）
1
max(Ax, x) x0 (x,x)
ip,q
a aq ((pk kq ))p a a((p pk k p p1 1))scio22ns 22aa(p(pkk q q11))ssiin nccooss aaq (q (kkq q 11))csio2 2ns
a(pk)qa(pk p1)aq (kq 1) sincosa(pk q1)(co 2 ssi2n)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
n
zaii aij , i1,2,,n j1 ji
n
表示以aii为中心，以 a ij 半径为的复平面上的n个圆盘。 j1 j i
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
5.4 对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法 1．预备知识
1）若B是上（或下）三角阵或对角阵， 则B的主对角元素即是B的特征值。
2）若矩阵P满足PTP = I，则称P为正交矩阵。 显然PT = P-1，且P1, P2,…, 是正交阵时， 其乘积P = P1P2…Pk仍为正交矩阵。ຫໍສະໝຸດ 3）称矩阵x2y2
sin c os1
2
（3） Ccos 11co2s
2
Ssinsin2
2C
（4）