离散时间系统
离散时间系统概念
h( n)
系统稳定性判据2：一个LTI系统是稳定的充要条件是其所 有极点都位于单位圆内。
n 0
5 可逆系统
对于一个具有输入 x(n) ，输出 y (n) ， n 的
系统H[.]，如果能从输出信号唯一地确定它的输
入，则称其为可逆的。
如果一个系统是线性时不变（LTI）的，那么这个
逆系统也是线性时不变的。
6 逆响应和逆滤波器
如果h(n) 是一个LTI系统的冲激响应，inv (n)是它的逆 h 响应，则有：
[ x(n) h(n)] hinv (n) x(n) 或 h(n) hinv (n) (n)
将上式进行Z变换可得： inv ( z) 1/ H ( z) ，如果H ( z) H 是一个极点－零点系统，即 H ( z) D( z)/ A( z) ，则 有 Hinv ( z) A( z)/ D( z) 。
一个更普遍的全通系统形式为：
H ap ( z )
a a z z
* p
1 a1 z a p z
* 1 p 1 1
p
p
z A (( z ) ) A( z )
p
*
1 *
显然，令 z e j 时，有：
2
z p A* (( z 1 )* ) ( z p )* A(( z 1 )* ) * H ap (e j ) H ap (e j ) H ap (e j ) 1 * A( z ) A ( z)
为了保证时域同步，线性相位系统始终保持相位滞后或超前2倍关系
线性
ay1(n) by2 (n) T[ax1(n) bx2 (n)]
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
离散时间系统
系统处于零状态时对应的响应。
没有激励时系统的响应。
线性离散时间系统 对任意一组常数ak ( 1 k N )，满足条件
N xk (n) yk (n) , (1 k N ) a k x k ( n) k 1 否则，为非线性离散时间系统。
4.1-2 线性离散系统的差分方程表示
离散时间系统中，输入输出信号均是离散变量的函数，描述其输入输 出序列关系的数学模型一般用差分方程来描述。 有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数、相加。
x(n) ax(n) x1(n) x2(n) ax(n) x1(n) x2(n)
x(n)
z
-1
× a a
方格平移法求得的卷积值
离散系统时域分析
以上方法适用于求短序列的卷积，当序列较长时，这种方式的工作量 太大。对于有规律性的长序列的卷积运算，一般还是用离散卷积和的公式 求解。下面举一例说明。
离散系统时域分析
4.2-2 离散卷积法
与连续时间系统一样，离散卷积法也只能用于求解零状态下的离散系统 的响应——零状态响应 。
原理：▼分解——输入序列分解为多个具有不同延时和加权的单位抽样序
列之和； ▼求解——求每个延时的抽样序列单独作用的响应；
▼叠加——将各个响应叠加，得出系统对输入序列的总的响应。
离散系统卷积和的推导：
x ( n) y ( n)
m
x(m)δ (n m) x ( m) h ( n m)
激励信号
δ ( n)
m
零状态响应
h( n)
y(n) x(n) 析
离散卷积运算仍然服从交换律、结合律和分配律。
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
离散时间系统概念附常见离散信号
连续时间信号：一般也称模拟信号。
连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号：离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
量化：采样过程：就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程。
——得到的就是离散信号。
幅值量化：幅值只能分级变化。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
系统分析：连续时间系统——微分方程描述时域分析：经典法（齐次解 + 特解）【零输入响应 + 零状态响应】变换域分析（频域分析）：拉氏变换法。
离散时间系统——差分方程描述时域分析：经典法（ 齐次解 + 特解 ） 【零输入响应 + 零状态响应】 变换域分析（频域分析）：Z 变换法。
离散时间系统的数学模型——差分方程 单位序列： 时移性：比例性：抽样性： δ(k)与δ(t) 差别:0,0()1,0k k k δ≠⎧=⎨=⎩k O ()k δ110,()1,k j k j k j δ≠⎧-=⎨=⎩k (1)k δ-11O (),()c k c k j δδ-()()(0)()f k k f k δδ=⎩⎨⎧≠=∞=000)(t t t δ1)(=⎰∞∞-dt t δ• δ(t)用面积表示强度， (幅度为∞,但强度为面积)；• δ(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）；• δ(t) ：奇异信号，数学抽象函数； • δ(k)：非奇异信号，可实现信号。
利用单位序列表示任意序列单位阶跃序列： ⎩⎨⎧=≠=0,10,0)(k k k δ0()()()i x k x i k i δ∞==-∑10()00k k k ε≥⎧=⎨<⎩k 0()k ε111-23Λ0()()(1)(2)(3)()i k k k k k k i εδδδδδ∞==+-+-+-+=-∑L是和差的关系。
矩形序列：单边指数序列：()()(1)k k kδεε=--()()k kδε与101()00,Nk NG kk k N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()()()NG k k k Nεε=--()()kx k a kε=正弦序列：复指数序列：()cos()x k A k φ=Ω+()cos sin j k x k e k j kΩ==Ω+Ω。
离散时间系统分析
离散时间系统分析离散时间系统分析是指对离散时间信号和系统的特性进行研究和分析的过程。
离散时间信号是在时间上是离散的，而连续时间信号则是在时间上是连续的。
离散时间系统是指对离散时间信号进行输入输出变换的系统。
离散时间系统分析主要包括对离散时间信号和系统的表示、性质、分析和设计等方面的内容。
离散时间信号的表示离散时间信号可以通过数学方法进行表示和描述。
常用的表示方法包括序列表示法和函数表示法。
序列表示法是离散时间信号的一种常见表示方式，它将离散时间信号看作是一个序列，表示为一个有序的数值列表。
序列可以分为有限序列和无限序列两种。
有限序列表示了在有限时间内的信号取值，而无限序列表示了在无限时间内的信号取值。
函数表示法是另一种常用的离散时间信号的表示方式，它使用数学函数来描述信号的取值。
函数表示法更加灵活，可以表示各种复杂的离散时间信号，如周期序列、随机信号等。
离散时间系统的性质离散时间系统可以根据其性质进行分类和分析。
其中包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性是指系统的输出与输入之间存在线性关系。
如果系统满足输入信号的线性性质，那么对于任意输入信号x1(n)和x2(n)，以及对应的输出信号y1(n)和y2(n)，系统将满足以下性质：•线性叠加性：对于任意的实数a和b，有系统对于输入信号ax1(n)+bx2(n)的输出为ay1(n)+by2(n)。
时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的变化而变化。
如果系统满足输入信号的时不变性质，那么对于任意输入信号x(n)和对应的输出信号y(n)，如果将输入信号延时d个单位时间，那么对应的输出信号将也会延时d个单位时间。
因果性是指系统的输出只取决于当前和过去的输入值，不受未来输入值的影响。
如果系统满足输入信号的因果性质，那么对于任意n的值，系统的输出信号y(n)只取决于输入信号x(n)及其过去的值。
稳定性是指系统的输出有界，不会无限增长。
如果系统满足输入信号的稳定性质，那么对于任意有界输入序列，输出序列也将是有界的。
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N
M
ypn：方程 dk yn k pk xn k，yn 0，n 0的解，
k 0
k 0
称为零状态响应（zero state solution）
例
解：（1）零输入响应
yzi[n] a1(3)n a2 (2)n，n 0
y[0] y[1]
y[1] y[0]
6
6 y[2] y[1]
解：（1）齐次解
n n1 6n2 0 1 3, 2 2
yc[n] a1(3)n a2 (2)n （2）特解
设yp 2，n 0
（3）全解 y[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0
代入初始条件可得a1 1.8，a2 4.8 y[n] 1.8(3)n 4.8(2)n 2，n 0
y[n]
1
N 1
x[n k]
N k0
平滑数据中的随机变化
➢去噪
x[n] sn dn
y[n]
1
M 1
x[n k]
M k0
4.2 离散时间系统的分类
➢线性系统 Linear Systems ➢移不变系统 Shift-Invariant Systems ➢因果系统 Causal Systems ➢稳定系统 Stable Systems ➢无源和无损系统 Passive and Lossless Systems
差分方程与冲激响应
M
N
差分方程： yn pk xn k dl yn l
稳定系统
冲激响应绝对可和
证明：
(1) 先证：S 系统为稳定(BIBO)系统
假设x[n]有界，x[n] Bx，则有
y[n] h[k]x[n k] h[k] x[n k]
k
k
Bx h[k] BxS k
(2)再证：系统为稳定系统 S hn n
假设 y[n] By ，令
k 0
特例一：N=0
l 1
=0
M
yn pk xn k
k 0
输出仅与输入有关，无反馈 非递归系统 (non-recursive)
yn xn xn 1 xn 2 xn 3
差分方程的特例(2)
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
特例二：M=0
=0 l1
N
y[n] dl yn l
0x1n / L n0
n 0， L， L， otherwise
y1
n
n0
0x1n
n0
/
L n 0，
otherwise
L，
L，
yn
x0 , x1, x2 , x3，
2
x0 ,0, x1,0, x2 ,0, x3，0,
2
0,
x0
,
x1,
x2
,
x3，
0,0,
x0 ,0,
x1,0,
k
1
1
要使y1[n0 ] y2[n0 ]，需要 h[k]x1[n0 k] h[k]x2[n0 k]
k
k
上式当且仅当h[k] 0，k 0时成立
4.5 简单的互联
➢串联 级联（Cascade Connection）
h1[n] h2[n]
h2[n] h1[n]
h1[n]* h2[n]
h[n] [n] 1 ([n 1] [n 1])
2
4.4 LTI离散时间系统的时域特性
x[n]
T x[n]
y[n]
如何分析LTI系统的时域输入输出关系？
任何序列可分解成如下形式：
x[n] x[k][n k] — —信号分解 k
y[n] T{x[n]} T{ x[k][n k]} LTI系统的时域k输入输出关系 可以由x其[k冲]T{激[响n 应k完]}全—确定—线性 k x[k]h[n k] — —时不变 k
l 0
k 0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
d0 1
输入
反馈
激励
预测
差分方程的参数：决定系统的特性 差分方程的阶数：Max(N,M)
N
M
பைடு நூலகம்
dl yn l pk xn k
l 0
k 0
差分方程的系数
差分方程的特例(1)
M
N
yn pk xn k dl yn l
第4章 离散时间系统 将输入序列映射成输出序列的变换或算子
x[n] T[] y[n]
y[n] T{x[n]}
累加器(Accumulator)
三种不同的表示方式：
n
y[n] x[l] l
y[n] y[n 1] x[n]
n
y[n] y[1] x[l], l 0
n0
N点滑动滤波器 (N-point moving-average filter)
yn xnh1nh2n xnh1nh2n
hn h1n h2n
➢逆系统 ( Inverse System)
通信系统
x(n) h1(n)
h2 (n) x(n)
x(n) (h1n h2n) x(n)
h1nh2n [n]
➢ 并联（Parallel Connection）
h1[n] h2[n]
h1[n] h2[n]
n
n
输出能量等于输入能量
例： yn xn N是无源系统或无损系统吗？
yn2 2 xn2
n
n
当 1时为无源系统， 1为无损系统
4.3 冲激响应 系统对单位冲激信号的响应
[n] T (•)
h[n]
例：求下面系统的单位冲激响应
y[n] x[n] 1 (x[n 1] x[n 1]) 2
4.7 有限冲激响应系统
(Finite Impulse Response，FIR)
hn 0 n N1 and n N2
N1
yn hkxn k kN2
脉冲响应长度有限
yn1xn2xn 13xn 24xn 3
x[n]
z1 x[n 1]
z1 x[n 2]
x[n 3]
z 1
1
2 流图？3
分解法（输入和初始条件的因素分开）
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
=0
零输入：完全取决于初始状态 齐次通解 yc (n) 零状态：初始为零 完全取决于输入 特解 yp (n)
系统响应 = 零输入响应 + 零状态响应 y[n] yc[n] yp[n]
瞬态响应
稳态响应
(1) 齐次解的解法：
l 1
自反馈
正
自激
负
衰减
等
周而复始
最初激励？
一般情况 M≥0, N>0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
输出与输入及以前输出均有关 有反馈 递归系统 (recusive)
由差分方程导出系统响应
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
迭代法 取决于：输入、初始条件
7 13
a1 3a1
a2 2a2
a1 5.4，a2 1.6
yzi[n] 5.4(3)n 1.6(2)n，n 0
（2）零状态响应 yzi[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0 y[0] x[0] 8 y[1] x[1] y[0] 0 a1 3.6，a2 6.4 yzs[n] 3.6(3)n 6.4(2)n 2，n 0
yn xnh1n xnh2n xnh1n h2n
hn h1n h2n
例：
h1[n]
h2[n]
h3[n]
h4[n]
hn h1n h2n(h3n h4n)
4.6 有限维LTI离散时间系统
LTI系统有几种表示方法？ • 差分方程 • 冲激响应 • 频率响应 • 传递函数 • 流图
差分方程
N
M
dl yn l pk xn k
n
11n
n
22
L
N Nn
如果有L个重根，则齐次解为
yc
n
11n
2n1n
3n
2 n 1
L
LnL11n
n
L1 2
L
N Nn L
（2）特解的解法：
选择与x[n]具有相同形式的特解，代入差分方程解出特解中的 未知参数。（注：特解与通解形式相同时需要作特殊处理）
例 y[n] y[n 1] 6y[n 2] x[n] 输入序列为x[n] 8u[n]，初始条件为y[1] 1，y[2] 1
x[n]
b0
y[n]
z1 b1 流图？a1
x[n 1]
z 1
b2
a2
x[n 2]
z 1
y[n 1]
z 1
y[n 2]
已知
yn b0xn b1xn 1 b2xn 21yn 12 yn 2
b0 3 b1 2 b2 1 1 0.5 2 0.4
求该系统的单位冲激响应 响应长度无限
LTI系统不同表示方法间的关系
线性卷积
y[n] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
x[n k]h[k]
k
➢冲激响应的作用
1、对于任意输入求系统的输出
y[n] x[n] h[n]
2、是线性离散时间系统的基本特性 可用于系统分析
语音、生物医学信号分析
系统稳定性与冲激响应的关系
系统为BIBO系统 S hn n
system
y[n]
x[n n0 ] Shift-Invariant Systems