§7.3 离散时间系统的数学模型

然后，利用边界电压条件v(0)=E， v(N)=0可求得v(n)。
2）增序形式
对任一结点 n+1，如图所示：
v(n)
R
v(n+1)
R
v(n+2)
R
运用KCL不难写出
v n v n + 1 v n + 1 v n + 1 v n + 2 + R R R
经整理后得出： v(n+2) - 3v(n+1) +v(n)=0
D3x(n) = x(n+3) -3x(n+2)+ 3x(n+1)- x(n)
（三阶差分） （k阶差分）
D xn 1 C km xn + k m
k m m 0
k
2.序列x(n)的后向差分 x(n) = x(n) - x(n-1)
（一阶差分）
（二阶差分）

2x(n)
前差形式为： dyt yt + T yt dt T
对上述微分方程，若选用后差形式，则：
y t y t T ay t + x t T
若在t=nT 各点取得样值，则：
yt ynT yn
n代表序号
xt xnT xn y n y n 1 ay n + x n T 1 T y n y n 1 + x n 1 aT 1 aT 当前 前一个 输入 输出 输出
然后，利用边界电压条件v(0)=E， v(N)=0可求得v(n)。 我们可以看出：无论是减序形式，还是增序形式，
二者本质是相同的，不论采用何种形式列写差分方程
均可以，二者之间相互转换也很简单。
例7-3-4 假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的
小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个 月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少。 解：设第n个月兔子对的数目是y(n)， 第n个月兔子对的数目=第n-1个月的兔子对 +第n个月新生的兔子对 根据题意，第n个月新生的兔子对， 应等于第n-2个月兔子对的数目。 所以， y(n)= y(n-1)+ y(n-2)
返回
(一)线性系统
具有均匀（齐次）性、叠加性的系统称为线性系统。 若：
x1 ( n ) y1 ( n )
离散时间系统
x2 ( n )
离散时间系统
离散时间系统
y2 ( n )
则有：
c1 x1 ( n ) + c2 x2 ( n )
c1 y1 ( n ) + c2 y2 ( n )
（c1、c2为任意常数） 返回
因果系统的充要条件： h(n) 0， n<0
h(n)为单位脉冲响应。
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件： hn
n
即：单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： h( n ) 0，只是系统稳定的必要条件，
n
而非充分条件。
返回
i
1 i 2 ui nn + 12n + 1un 6 i
xi xn
n
1 a n+1 a i ui un 1a i
n
a 1
返回
（三）差分方程
1.一般差分方程
表达式F(n,y(n), y(n), …… ky(n))=0 或 Q(n,y(n), y(n-1), ……, y(n-k))=0 称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
3．由实际问题直接得到差分方程
例7-3-2 y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率
b(常数): 死亡率
设x(n)是国外移民的净增数 解： 则该国在第n+1年的人口总数为： y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n) 例7-3-3 如图所示电阻梯形网络，其各支路电阻都为R，每 个结点对地的电压为v(n)，n=0,1,2,……N。 已知两边界结点对地的电压为v(0)=E， v(N)=0 。 试写出第n个结点电压v(n)的差分方程。
已知 y(0)=0， y(1)=1， y(2)=1 可以推知： y(3)=2， y(4)=3， y(5)=5，……。
例7-3-5 一个乒乓球从H米高度自由下落至地面，每次
弹跳起的最高值是前一次最高值的2/3。若以y(n)表示 第n次跳起的最高值，试列写描述此过程的差分方程。
解： y(n)表示第n次跳起的最高值，每次弹跳起的最 高值是前一次最高值的2/3。由题意可得： 2 2 y n y n 1 y n y n 1 即： 3 3
0
例7-3-6 如果在第n个月初向银行存款x(n)元，月息为a,
解： 第n月初的本利和共由：本月存入、上月结余、 上月利息三部分组成。由此可得：
yn xn + yn 1 + ayn 1
每月利息不取出，试用差分方程写出第n月初的本利和y(n) 。
即： yn 1 + a yn 1 xn
中心差分dx(n)定义为： dx(n) = x(n+h/2) - x(n- h/2)
式中h（ h>0）为步长，一般取步长h=1。 1.序列x(n)的前向差分 Dx(n) = x(n+1) - x(n) （一阶差分） D2x(n) = Dx(n+1) -Dx(n) = x(n+2) -x(n+1)-[x(n+1) -x(n)] = x(n+2) -2x(n+1)+x(n) （二阶差分）
i 0 i j 0 j
N
M
或（令a0=1)：y(n)+a1 y(n-1)+ a2 y(n-2)+……+ aN y(n-N) = b0 x(n)+b1 x(n-1)+ ……+ bM x(n-M)
§7.3离散时间系统的数学模型——
差分方程
一、线性、时不变离散系统
二、差分方程 三、离散时间系统的模拟
返回
一、线性、时不变离散系统
系统功能的本质:是将输入序列转变成输出序列
的运算（映射）。即：y(n)=T[x(n)]
运算关系
x(n) (一）线性系统
T[ . ]
y(n)
(二）时不变系统 (三）因果系统 (四）稳定系统
二、差分方程
在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。
在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。
（一）数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
n
整个序列右移N位
1
1 O 1 2 3
n
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(三）因果系统
系统的输出y(n)只取决于此时刻、以及此时刻以前 的输入，即 ： x(n)、 x(n-1)、 x(n-2)……。则称为 因果系统。
{若y(n)取决于x(n+1)、 x(n+2)……，即：系统的 输出取决于未来的输入，这在时间上就违背了因果关 系，因而是非因果系统。}
a0(n)y(n)+ a1(n)y(n-1)+ …... aN(n)y(n-N) = b0(n)x(n)+ b1(n)x(n-1)+ …... bM(n)x(n-M) 1）若 a0 0 , a N 0 ，方程是N阶差分方程。 2）若ai(n),bj(n)是常数（与n无关），则方程或被描述 的系统是时不变的。
x1 n x 2 n
乘法器：
x1 n
x 2 n
若x2(n)=a，则为标量乘法器 返回
（二）差分
对于一个离散信号x(n) ，差分运算有三种形式： 前向差分Dx(n)定义为： Dx(n) = x(n+h) - x(n)
后向差分x(n)定义为： x(n) = x(n) - x(n- h)
yn + 1 xn + ayn
一阶前向差分方程
1 或 y( n) y n + 1 x n a
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2．由微分方程导出差分方程
dy t ay t + x t dt
y(t)：输出
x(t)：输入
若取时间间隔为：T
dyt yt yt T 则后差形式为： dt T
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(五)差分方程的特点
1、输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
2、差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最 低序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输 出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
减序通式：
a yn i b xn j
最前项变量减最后项变量 n- (n-k)= k 称为差分 方程的阶数。
2.线性差分方程 a0(n)y(n)+ a1(n)y(n-1)+ …... aN(n)y(n-N)
= b0(n)x(n)+ b1(n)x(n-1)+ …... bM(n)x(n-M) 其中ai(n) 、bj(n)、 x(k) ，i=0,1,……N; j=0,1,……M; k=n-M,……n。