线性离散系统的数学模型

1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z)
G2 ( z)
c* (t ) C ( z)
r (t )
T
r * (t )
R( z )
G1(s)
d (t )
d * (t )
D( z )
G2(s)
c(t )
D( z) G1 ( z) R( z) C( z) G2 ( z)D( z) G1 ( z)G2 ( z)R( z)
R( z )
G1(s)
d (t )
G2(s)
c(t )
系统连续信号的拉氏变换为C(s) G1 (s)G2 (s)R* (s)
R (s) r (nT )e nsT
* n 0
注意：G1G2* (s) G1* (s)G2* (s)
* *
* * C* ( s ) G ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) G ( s ) R (s) 2 1 2 1
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0
n
m
C ( z) 整理得脉冲传递函数：G( z ) R( z )
T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )

e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)

T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
第七章 线性离散采样的 分析和校正
7-1
7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7
离散系统的基本概念
信号的采样及保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析 离散系统的数字校正
7-4
离散系统的数学模型
1 离散系统的数学定义 2 线性常系数差分方程及其解法 3 脉冲传递函数 4 开环系统脉冲传递函数 5 闭环系统脉冲传递函数 6 Z变换的局限性及修正Z变换
1、离散系统的数学定义
c(n) F r (n)
其中，r(n)为系统在t=nT时的输入序列；c(n)为系统在 t=nT时的输出序列；T为采样周期。输出序列和输入序列 之间的变换关系称为离散系统。 若上式变换关系为线性，则称为线性离散系统；反 之，称为非线性离散系统。 （1）线性离散系统 •满足叠加性和齐次性 (2)线性定常离散系统 •输入输出不随时间而改变的线性离散系统 线性离散系统的数学模型有： 差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式。
C ( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
脉冲传递函数等于两个环节的脉 冲传递函数之积。
•推广：有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递 函数等于n个环节z变换的乘积。
2、串联各环节之间无采样器的情况
G( z)
c* (t ) C ( z)
r (t )
T
r * (t )
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
闭环脉冲传递函数
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 HG( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 HG ( z )
1 HG( z ) 0
误差脉冲传递函数
闭环采样控制系统的特征方程 对于单位反馈系统 闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 G ( z )
当采样系统中有数字控制器时
R( s )
E * ( s)

T
D( s)
X (s)
X * ( s)
G (s)
C (s)
H (s)
C(s) G(s) X * (s) X (s) D(s) E* (s)
E(s) R(s) H (s)G(s) E* (s) E* (s) R* (s) HG* (s)E* (s) C * ( s ) G* ( s ) E * ( s ) G( z) ( z ) 1 HG ( z )
C ( s ) G( s ) E * ( s ) * R ( s) * E (s) 1 HG* ( s) C * ( s) G* ( s ) * R ( s) 1 HG* ( s)
有干扰信号的采样系统
R( s )
N (s)
E ( s)
*

T
G1 ( s )


G2 (s)
C (s)
C(s) G2 (s) N (s) G 1(s)G2 (s)E* (s)
* G N ( s) * 2 C ( s) * 1 G1G2 (s)
E* (s) C* (s)
G2 N ( z ) C( z) 1 G1G2 ( z )

脉冲传递函数
C ( z ) G ( z ) R( z )
采样系统的离散输出信号
c* (t ) Z 1[C( z)] Z 1[G( z)R( z)]
•零初始条件：指在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T)…以及输出 脉冲序列各采样值c(-T),c(-2T)…均为零。
脉冲函数与差分方程的关系
E* (s) R* (s) G(s) H ( s) X * ( s) Rห้องสมุดไป่ตู้ ( s) G( s) H ( s) D* ( s) E * ( s)
* R ( s) * E ( s) 1 G(s) H ( s) D* ( s) D* ( s)G* ( s) R* ( s) * C ( s) 1 D* ( s)[G( s) H ( s)]* C ( z) D( z )G( z ) ( z ) R( z ) 1 D( z )GH ( z )
采样函数的拉氏变换具有两个重要性质：
•周期性 •特性2
G(s)E (s) G (s)E (s)
* * * *
G (s) G (s jks )
* *
开环离散系统的脉冲传递函数求解与串联环节之间的 采样开关有关。 •串联环节之间有采样开关的情况 •串联环节之间没有采样开关的情况 •有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
j b z j j 0
m
1 ai z i
i 1
n
(2)脉冲传递函数求解
•由G(s)求G(z):将G(s)展开为z变换表中的部分因式进 行变换。Z变换表见表7-2。
例7－18
由c(nT ) r(n k )T , 求脉冲传递函数。
解： 取z变换得：C( z ) R( z ) z k C( z ) G( z) z k R( z )
C( z) G1G2 ( z) R( z)
注意：G1G2 ( z) G1 ( z)G2 ( z)
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这 两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。 •推广：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数 等于n个环节乘积后的z变换。
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
闭环系统脉冲传递函数
应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。
在误差信号e(t )处没有采样开关，输入采样信号r * (t )(包括虚 设的)不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只 能求出输出采样信号的z变换C ( z )。
G p ( s) sT G p ( s) * C ( s) e R ( s) s s G ( z) Gp ( z) Gp ( z) 1 p 1 C ( z) Z R( z ) z Z R( z ) (1 z ) Z R( z ) s s s
* *
* RG ( s) RG( z ) * C ( s) C( z) * 1 HG ( s) 1 HG( z )


*
6、Z变换的局限性及修正Z变换
Z变换的局限： •Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来 近似的基础上。 •不能反映采样间隔的信息 •系统连续部分传递函数的极点要比零点多至少2个，即 G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时没有跳跃。否则用z变换 法得到的系统输出采样信号c*(t)与实际l连续输出c(t)差别 较大。
求输出的采样信号 C ( z )。 解： C ( s) E ( s)G ( s) * E ( s ) R ( s ) C ( s) H ( s)
C(s) R(s) C(s)* H (s) G(s)


C (s) R(s)G(s) C (s) H (s)G(s) RG* (s) C * (s) HG* (s)
例 7－24
1 G (s) s 1
与实际的C(t)不符
物理含义：表示输出比输入延迟kT个采样周期。
a 由G ( s) , s( s a) 求脉冲传递函数 G ( z )。
解： 1 1 G(s) e(t ) 1 e aT s sa z z 查表，得G (z) z 1 z e aT
4、开环系统脉冲传递函数
3、脉冲传递函数
•（1）脉冲传递函数定义 •（2）脉冲传递函数求解
（1）脉冲传递函数定义 零初始条件下，系统 输出采样信号的z变换与 系统输入采样信号的z变 换之比。
C ( z) G( z) R( z )
n c ( nT ) z n r ( nT ) z n 0 n 0