线性离散系统的数学模型

E* (s) R* (s) G(s) H ( s) X * ( s) R* ( s) G( s) H ( s) D* ( s) E * ( s)
* R ( s) * E ( s) 1 G(s) H ( s) D* ( s) D* ( s)G* ( s) R* ( s) * C ( s) 1 D* ( s)[G( s) H ( s)]* C ( z) D( z )G( z ) ( z ) R( z ) 1 D( z )GH ( z )
1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z)
G2 ( z)
c* (t ) C ( z)
r (t )
T
r * (t )
R( z )
G1(s)
d (t )
d * (t )
D( z )
G2(s)
c(t )
D( z) G1 ( z) R( z) C( z) G2 ( z)D( z) G1 ( z)G2 ( z)R( z)
C( z) G1G2 ( z) R( z)
注意：G1G2 ( z) G1 ( z)G2 ( z)
没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这 两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。 •推广：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传递函数 等于n个环节乘积后的z变换。
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数

脉冲传递函数
C ( z ) G ( z ) R( z )
采样系统的离散输出信号
c* (t ) Z 1[C( z)] Z 1[G( z)R( z)]
•零初始条件：指在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T)…以及输出 脉冲序列各采样值c(-T),c(-2T)…均为零。
脉冲函数与差分方程的关系
求输出的采样信号 C ( z )。 解： C ( s) E ( s)G ( s) * E ( s ) R ( s ) C ( s) H ( s)
C(s) R(s) C(s)* H (s) G(s)


C (s) R(s)G(s) C (s) H (s)G(s) RG* (s) C * (s) HG* (s)
例 7－24
1 G (s) s 1
与实际的C(t)不符
1、离散系统的数学定义
c(n) F r (n)
其中，r(n)为系统在t=nT时的输入序列；c(n)为系统在 t=nT时的输出序列；T为采样周期。输出序列和输入序列 之间的变换关系称为离散系统。 若上式变换关系为线性，则称为线性离散系统；反 之，称为非线性离散系统。 （1）线性离散系统 •满足叠加性和齐次性 (2)线性定常离散系统 •输入输出不随时间而改变的线性离散系统 线性离散系统的数学模型有： 差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式。
R( z )
G1(s)
d (t )
G2(s)
c(t )
系统连续信号的拉氏变换为C(s) G1 (s)G2 (s)R* (s)
R (s) r (nT )e nsT
* n 0
注意：G1G2* (s) G1* (s)G2* (s)
* *
* * C* ( s ) G ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) G ( s ) R (s) 2 1 2 1
闭环系统脉冲传递函数
应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。
在误差信号e(t )处没有采样开关，输入采样信号r * (t )(包括虚 设的)不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只 能求出输出采样信号的z变换C ( z )。
* *
* RG ( s) RG( z ) * C ( s) C( z) * 1 HG ( s) 1 HG( z )


*
6、Z变换的局限性及修正Z变换
Z变换的局限： •Z变换的推导建立在采样信号可以用理想脉冲序列来 近似的基础上。 •不能反映采样间隔的信息 •系统连续部分传递函数的极点要比零点多至少2个，即 G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时没有跳跃。否则用z变换 法得到的系统输出采样信号c*(t)与实际l连续输出c(t)差别 较大。
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 G ( z )
当采样系统中有数字控制器时
R( s )
E * ( s)

T
D( s)
X (s)
X * ( s)
G (s)
C (s)
H (s)
C(s) G(s) X * (s) X (s) D(s) E* (s)
闭环脉冲传递函数
C ( z) G( z ) ( z ) R( z ) 1 HG( z ) E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 HG ( z )
1 HG( z ) 0
误差脉冲传递函数
闭环采样控制系统的特征方程 对于单位反馈系统 闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
j b z j j 0
m
1 ai z i
i 1
n
(2)脉冲传递函数求解
•由G(s)求G(z):将G(s)展开为z变换表中的部分因式进 行变换。Z变换表见表7-2。
例7－18
由c(nT ) r(n k )T , 求脉冲传递函数。
解： 取z变换得：C( z ) R( z ) z k C( z ) G( z) z k R( z )
采样函数的拉氏变换具有两个重要性质：
•周期性 •特性2
G(s)E (s) G (s)E (s)
* * * *
G (s) G (s jks )
* *
开环离散系统的脉冲传递函数求解与串联环节之间联环节之间没有采样开关的情况 •有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0
n
m
C ( z) 整理得脉冲传递函数：G( z ) R( z )
T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )

e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)

T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
有干扰信号的采样系统
R( s )
N (s)
E ( s)
*

T
G1 ( s )


G2 (s)
C (s)
C(s) G2 (s) N (s) G 1(s)G2 (s)E* (s)
* G N ( s) * 2 C ( s) * 1 G1G2 (s)
E* (s) C* (s)
G2 N ( z ) C( z) 1 G1G2 ( z )
3、脉冲传递函数
•（1）脉冲传递函数定义 •（2）脉冲传递函数求解
（1）脉冲传递函数定义 零初始条件下，系统 输出采样信号的z变换与 系统输入采样信号的z变 换之比。
C ( z) G( z) R( z )
n c ( nT ) z n r ( nT ) z n 0 n 0
G p ( s) sT G p ( s) * C ( s) e R ( s) s s G ( z) Gp ( z) Gp ( z) 1 p 1 C ( z) Z R( z ) z Z R( z ) (1 z ) Z R( z ) s s s
第七章 线性离散采样的 分析和校正
7-1
7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7
离散系统的基本概念
信号的采样及保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析 离散系统的数字校正
7-4
离散系统的数学模型
1 离散系统的数学定义 2 线性常系数差分方程及其解法 3 脉冲传递函数 4 开环系统脉冲传递函数 5 闭环系统脉冲传递函数 6 Z变换的局限性及修正Z变换
E(s) R(s) H (s)G(s) E* (s) E* (s) R* (s) HG* (s)E* (s) C * ( s ) G* ( s ) E * ( s ) G( z) ( z ) 1 HG ( z )