离散系统的数学描述

离散系统的数学描述
1. 状态空间描述法
状态空间描述离散系统使用ss 命令。

语法：
G=ss(a,b,c,d,Ts) %由a 、b 、c 、d 参数获得状态方程模型
说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示。

【例6.2】用状态空间法建立离散系统。

a=[-1.5 -0.5;1 0];
b=[1;0];
c=[0 0.5];
d=0;
G=ss(a,b,c,d,0.1)
%采样周期为0.1s
a =
x1 x2
x1 -1.5 -0.5
x2 1 0
b =
u1 x1 1
x2 0
c =
x1 x2
y1 0 0.5
d =
u1
y1 0
Sampling time: 0.1
Discrete-time model.
2. 脉冲传递函数描述法
脉冲传递函数也可以用tf 命令实现。

语法：
G=tf(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数
说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示，自变量用'z'表示。

【例6.2续】创建离散系统脉冲传递函数21120.5z 1.5z 10.5z 0.51.5z z 0.5z G(z)---+-=+-=。

num1=[0.5 0];
den=[1 -1.5 0.5];
G1=tf(num1,den,-1)
Transfer function:
0.5 z
-----------------
z^2 - 1.5 z + 0.5
Sampling time: unspecified
MATLAB中还可以用filt命令产生脉冲传递函数。

语法：
G=filt(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数
说明：Ts为采样周期，当采样周期未指明Ts可以省略，也可以用-1表示，自变量用'z-1'表示。

【例6.2续】使用filt命令产生脉冲传递函数。

num2=[0 0.5];
G2=filt(num2,den)
Transfer function:
0.5 z^-1
-----------------------
1 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2
Sampling time: unspecified
程序说明：用filt命令生成的脉冲传递函数的自变量不是z而是z-1，因此分子应改为“[0 0.5]”。

3. 零极点增益描述法
离散系统的零极点增益用zpk命令实现。

语法：
G=zpk(z,p,k,Ts) %由零极点得出脉冲传递函数
【例6.2续】使用zpk命令产生零极点增益传递函数。

G3=zpk([0],[0.5 1],0.5,-1)
Zero/pole/gain:
0.5 z
-------------
(z-0.5) (z-1)
Sampling time: unspecified
语法：
G=ss(传递函数) %由传递函数转换获得
G=ss(零极点模型) %由零极点模型转换获得
【例 6.3】将单输入双输出的系统传递函数12s 5s 3s 52s s 23s (s)G 2321+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=
转换为状态空间描
述。

num=[0 3 2;
1 2 3];
den=[3 5 2 1];
G11=tf(num(1,:),den)
Transfer function:
3 s + 2
-----------------------
3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1
G12=tf(num(2,:),den)
Transfer function:
s^2 + 2 s + 3
-----------------------
3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1
G=ss([G11;G12])
a =
x1 x2 x3
x1 -1.667 -0.3333 -0.08333
x2 2 0 0
x3 0 2 0
b =
u1
x1 1
x2 0
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.1667
y2 0.3333 0.3333 0.25
d =
u1
y1 0
y2 0
Continuous-time model.
(2) 传递函数的获得
由tf命令实现将系统的状态空间法和零极点增益模型转换为传递函数。

语法：
G=tf(状态方程模型) %由状态空间转换
G=tf(零极点模型) %由零极点模型转换
【例6.3续】由状态空间描述转换为传递函数。

G1=tf(G)
Transfer function from input to output...
s + 0.6667
#1: -----------------------------------
s^3 + 1.667 s^2 + 0.6667 s + 0.3333
0.3333 s^2 + 0.6667 s + 1
#2: -----------------------------------
s^3 + 1.667 s^2 + 0.6667 s + 0.3333
(3) 零极点模型的获得
由zpk命令实现将状态空间法、传递函数转换为零极点模型。

语法：
G=zpk(状态方程模型) %由状态方程模型转换
G=zpk(传递函数) %由传递函数转换
【例6.3续】由传递函数和状态方程模型转换零极点模型。

G2=zpk(G) %由状态方程模型转换
Zero/pole/gain from input to output...
(s+0.6667)
#1: -----------------------------------
(s+1.356) (s^2 + 0.3103s + 0.2458)
0.33333 (s^2 + 2s + 3)
#2: -----------------------------------
(s+1.356) (s^2 + 0.3103s + 0.2458)
G2=zpk(G1); %由传递函数转换
2.模型参数的获取
语法：
[a,b,c,d]=ssdata(G) %获取状态空间参数
[a,b,c,d,e]=dssdata(G) %获取状态空间参数
[num,den]=tfdata(G) %获取传递函数参数
[z,p,k]=zpkdata(G) %获取零极点参数
【例6.3续】获取各模型的参数。

[a,b,c,d]=ssdata(G1) %获取状态方程参数
a =
-1.6667 -0.3333 -0.0833
2.0000 0 0
0 2.0000 0
b =
1
c =
0 0.5000 0.1667
0.3333 0.3333 0.2500
d =
3. 模型类型的检验
【例6.3续】检验模型的类型。

class(G)
%得出系统模型类型
ans =
ss
isa(G,'tf')
%检验系统模型类型
ans =
结构框图的模型表示
1. 串联结构
SISO 的串联结构是两个模块串联在一起，如图6.1所示。

实现串联结构传递函数的命令：
G=G1*G2
G=series(G1,G2)
2. 并联结构 SISO 的并联结构是两个模块并联在一起，
如图6.2所示。

实现并联结构传递函数的命令：
G=G1+G2
G=parallel(G1,G2)
3. 反馈结构
反馈结构是前向通道和反馈通道模块构成正反馈和负反馈，如图6.3所示。

图6.1 串联结构
图6.2 并联结构
实现反馈结构传递函数的命令：
G=feedback(G1,G2,Sign)
说明：Sign 用来表示正反馈或负反馈，Sign=-1或省略则表示为负反馈。

【例6.6】根据系统的结构框图求出整个系统的传递函数，结构框图如图6.4所示，其中1
2s s 1(s)G 21++=，1s 1(s)G 2+=，12s 1(s)G 3+=，s 1(s)G 4=。

G1=tf(1,[1 2 1])
Transfer function:
1
-------------
s^2 + 2 s + 1
G2=tf(1,[1 1]);
G3=tf(1,[2 1]);
G4=tf(1,[1 0]);
G12=G1+G2
%并联结构
Transfer function:
s^2 + 3 s + 2
---------------------
s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
G34=G3-G4
%并联结构
Transfer function:
图6.4结构框图
图6.3 反馈结构
-s - 1
---------
2 s^2 + s
G=feedback(G12,G34,-1) %反馈结构
Transfer function:
2 s^4 + 7 s^
3 + 7 s^2 + 2 s
------------------------------------- 2 s^5 + 7 s^4 + 8 s^3 + s^2 - 4 s - 2。