离散系统的数学描述

离散系统的数学描述

1. 状态空间描述法

状态空间描述离散系统使用ss 命令。

语法：

G=ss(a,b,c,d,Ts) %由a 、b 、c 、d 参数获得状态方程模型

说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示。

【例6.2】用状态空间法建立离散系统。 a=[-1.5 -0.5;1 0];

b=[1;0];

c=[0 0.5];

d=0;

G=ss(a,b,c,d,0.1)

%采样周期为0.1s

a =

x1 x2

x1 -1.5 -0.5

x2 1 0

b =

u1 x1 1

x2 0

c =

x1 x2

y1 0 0.5

d =

u1

y1 0

Sampling time: 0.1

Discrete-time model.

2. 脉冲传递函数描述法

脉冲传递函数也可以用tf 命令实现。

语法：

G=tf(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数

说明：Ts 为采样周期，为标量，当采样周期未指明可以用-1表示，自变量用'z'表示。

【例6.2续】创建离散系统脉冲传递函数21120.5z 1.5z 10.5z 0.51.5z z 0.5z G(z)---+-=+-=

。

num1=[0.5 0];

den=[1 -1.5 0.5];

G1=tf(num1,den,-1)

Transfer function:

0.5 z

-----------------

z^2 - 1.5 z + 0.5

Sampling time: unspecified

MATLAB中还可以用filt命令产生脉冲传递函数。

语法：

G=filt(num,den,Ts) %由分子分母得出脉冲传递函数

说明：Ts为采样周期，当采样周期未指明Ts可以省略，也可以用-1表示，自变量用'z-1'表示。

【例6.2续】使用filt命令产生脉冲传递函数。

num2=[0 0.5];

G2=filt(num2,den)

Transfer function:

0.5 z^-1

-----------------------

1 - 1.5 z^-1 + 0.5 z^-2

Sampling time: unspecified

程序说明：用filt命令生成的脉冲传递函数的自变量不是z而是z-1，因此分子应改为“[0 0.5]”。

3. 零极点增益描述法

离散系统的零极点增益用zpk命令实现。

语法：

G=zpk(z,p,k,Ts) %由零极点得出脉冲传递函数

【例6.2续】使用zpk命令产生零极点增益传递函数。

G3=zpk([0],[0.5 1],0.5,-1)

Zero/pole/gain:

0.5 z

-------------

(z-0.5) (z-1)

Sampling time: unspecified

语法：

G=ss(传递函数) %由传递函数转换获得

G=ss(零极点模型) %由零极点模型转换获得

【例 6.3】将单输入双输出的系统传递函数12s 5s 3s 52s s 23s (s)G 2321+++??????+++=

转换为状态空间描

述。 num=[0 3 2;

1 2 3];

den=[3 5 2 1];

G11=tf(num(1,:),den)

Transfer function:

3 s + 2

-----------------------

3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1

G12=tf(num(2,:),den)

Transfer function:

s^2 + 2 s + 3

-----------------------

3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1

G=ss([G11;G12])

a =

x1 x2 x3

x1 -1.667 -0.3333 -0.08333

x2 2 0 0

x3 0 2 0

b =

u1

x1 1

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0.5 0.1667

y2 0.3333 0.3333 0.25

d =

u1

y1 0

y2 0

Continuous-time model.

(2) 传递函数的获得

由tf命令实现将系统的状态空间法和零极点增益模型转换为传递函数。语法：

G=tf(状态方程模型) %由状态空间转换

G=tf(零极点模型) %由零极点模型转换

【例6.3续】由状态空间描述转换为传递函数。

G1=tf(G)

Transfer function from input to output...

s + 0.6667

#1: -----------------------------------

s^3 + 1.667 s^2 + 0.6667 s + 0.3333

0.3333 s^2 + 0.6667 s + 1

#2: -----------------------------------

s^3 + 1.667 s^2 + 0.6667 s + 0.3333

(3) 零极点模型的获得

由zpk命令实现将状态空间法、传递函数转换为零极点模型。

语法：

G=zpk(状态方程模型) %由状态方程模型转换

G=zpk(传递函数) %由传递函数转换

【例6.3续】由传递函数和状态方程模型转换零极点模型。

G2=zpk(G) %由状态方程模型转换

Zero/pole/gain from input to output...

(s+0.6667)

#1: -----------------------------------

(s+1.356) (s^2 + 0.3103s + 0.2458)

0.33333 (s^2 + 2s + 3)

#2: -----------------------------------

(s+1.356) (s^2 + 0.3103s + 0.2458)

G2=zpk(G1); %由传递函数转换

2.模型参数的获取

语法：

[a,b,c,d]=ssdata(G) %获取状态空间参数

[a,b,c,d,e]=dssdata(G) %获取状态空间参数

[num,den]=tfdata(G) %获取传递函数参数

[z,p,k]=zpkdata(G) %获取零极点参数

【例6.3续】获取各模型的参数。

[a,b,c,d]=ssdata(G1) %获取状态方程参数

a =

-1.6667 -0.3333 -0.0833

2.0000 0 0

0 2.0000 0

b =

1

c =

0 0.5000 0.1667

0.3333 0.3333 0.2500

d =

3. 模型类型的检验

【例6.3续】检验模型的类型。 class(G)

%得出系统模型类型

ans =

ss

isa(G,'tf')

%检验系统模型类型

ans =

结构框图的模型表示

1. 串联结构

SISO 的串联结构是两个模块串联在一起，如图6.1所示。

实现串联结构传递函数的命令：

G=G1*G2

G=series(G1,G2)

2. 并联结构 SISO 的并联结构是两个模块并联在一起，

如图6.2所示。

实现并联结构传递函数的命令：

G=G1+G2

G=parallel(G1,G2)

3. 反馈结构

反馈结构是前向通道和反馈通道模块构成正反馈和负反馈，如图6.3所示。

图6.1 串联结构

图6.2 并联结构

实现反馈结构传递函数的命令：

G=feedback(G1,G2,Sign)

说明：Sign 用来表示正反馈或负反馈，Sign=-1或省略则表示为负反馈。

【例6.6】根据系统的结构框图求出整个系统的传递函数，结构框图如图6.4所示，其中1

2s s 1(s)G 21++=，1s 1(s)G 2+=，12s 1(s)G 3+=，s 1(s)G 4=。 G1=tf(1,[1 2 1])

Transfer function:

1

-------------

s^2 + 2 s + 1

G2=tf(1,[1 1]);

G3=tf(1,[2 1]);

G4=tf(1,[1 0]);

G12=G1+G2

%并联结构

Transfer function:

s^2 + 3 s + 2

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1

G34=G3-G4

%并联结构

Transfer function:

图6.4结构框图

图6.3 反馈结构

-s - 1

---------

2 s^2 + s

G=feedback(G12,G34,-1) %反馈结构

Transfer function:

2 s^4 + 7 s^

3 + 7 s^2 + 2 s

------------------------------------- 2 s^5 + 7 s^4 + 8 s^3 + s^2 - 4 s - 2