离散数学代数系统的基本概念

例：代数系统<I,+>满足消去律。
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代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－ ×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
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4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算
• 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左幺元； • 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中关于运算*的右幺元； • 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A中关于运算*的幺元。
称为集合A上的一个n元运算，其中n是自然数，称为运算的元数或阶。特别 的：当n=1时，称f为一元运算； 当n=2时，称f为二元运算。 若BA，则称该n元运算是封闭的。
例：一元运算：整数集合上的求负运算：-5，-(-2) {T, F}上的求非运算：~T，~F 实数集合上的求平方运算...
二元运算：实数集合上的加、减、乘、除运算 集合的并、交、差运算...
例：代数系统<I,+>中，0是I中关于+的幺元， <I+,+>中没有幺元，<I, >中1是I中关于乘法的幺元 ∴幺元与集合有关，与运算有关。
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设集合S={,,,},在S上定义的两个二元运算*和★，运算表如下 所示，分别指出*和★关于S的左幺元与右幺元。
*
★
、是*关于S的左幺元； 是★关于S的右幺元。
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定理1：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左幺元el 和右幺元er，则el = er = e，且A中幺元是唯一的。
证明： (1) er = el * er = el = e (2) 设e’也是A中关于*的幺元，则 e * e’= e 又∵ e 是A中关于*的幺元， ∴ e * e’= e’ ∴e = e’
注意： 吸收律是针对*和两个运算，并且*和都是可交换的，两个式子要同时成 立。
例2：在自然数集上定义如下两个运算*和 x*y=max{x,y} xy=min{x,y}，则*，是否满足吸收律？
解：x*y=y*x，xy=yx 即*和可交换 x*(xy)=max(x,xy)=max(x,min(x,y))=x x(x*y)=min(x,x*y)=min(x,max(x,y))=x 所以，*和满足吸收律。
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6）*是定义在A上的二元运算，若对于A中任意元素x, 都有x*x=x，则称*在A上是等幂的。 例：对任意集合A，有A∪A=A，A∩A=A，
所以，∪和∩在全集上是等幂的。 7) a,b,cA， 若a*b=a*c，则b=c，则称*满足左消去律， 若b*a=c*a，则b=c，则称*满足右消去律， 若*满足左消去律，又满足右消去律则称*满足消去律。
第三篇 代数系统
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第五章 代数结构
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 子群与陪集 5 同态与同构 6 环与域
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代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－ ×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
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1. n元运算 定义1：设A是非空集合，一个从An到B的映射f:AnB
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4）*是定义在A上的二元运算，也是定义在A上的二元运算，若
x*(yz)=(x*y)(x*z)，
(yz)*x=(y*x)(z*x)，
则称*对是可分配的。
例：∪对∩是可分配的， ∩对∪是可分配的； 注意：*对是可分配的，对*不一定是可分配的
×对+是可分配的；+对×是不可分配的
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5）*和是A上可交换的二元运算，若 x*(xy)=x，x(x*y)=x，则称*和满足吸收律。 例：∪和∩满足吸收律。
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零元
定义4：设*是集合A上的二元运算
• 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运算*的左零元； • 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于运算*的右零元； • 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于运算*的零元。
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1） *是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y，都有x*y∈A，则称*在A上
3是.代封闭数的。系统中的运算性质 例：加、减运算在整数集合上是封闭的； 除在整数集合上是不封闭的； 减在自然数集合上也是不封闭的。 2）*是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y，都有x*y=y*x，则称*在A上
nxn}
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n元运算的表示与位置描述
• 一元运算的算符通常放在运算对象前面，如~T，–2； • 二元运算的算符通常放在运算对象中间，如 (ai,aj)写成ai aj； • n元运算的算符通常放在运算对象前面，如max(a1,a2,…,an)。
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定义2：一个非空集合A，连同定义在A上的若干个运算f1,f2,…,fk，组成的系
是可交换的。 3）*是定义在A上的二元运算，对于A中任意元素x,y,z都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称
*在A上是可结合的。 例：加运算在正整数集合上是可交换的、可结合的；
减运算在正整数集合上是不可交换的、不可结合。
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例1：设Q是有理数集，*是Q上的二元运算，对于Q上的任 意元素a,b，有a*b=a+b-ab，问*是否可交换、可结合？ (说明:+、-、•是普通的加减乘运算)
证明： (1)∵ 对Q上的任意元素a,b，有 a*b=a+b-a b =b + a - b a = b*a ∴*可交换 (2) 取任意的a,b,c∈Q (a*b)*c=(a*b)+c-(a*b) c=(a+b-a b)+c-(a+b-a b) c =a+b-a b+c-a c-b c+a b c a*(b*c)=a+(b*c)-a (b*c)=a+(b+c-b c)-a (b+c-b c) = a+b-a b+c-a c-b c+a b c= (a*b)*c ∴*可结合
2统. 称代为数一个系代数统系统，记为
<A, f1, f2, …, fk>。
代数系统举例 ➢ <I+,+> 正整数集合上的加法运算 ➢ <R,+,- > 实数集上的加、减 ➢ P(S),∪,∩, ~> 集合S幂集上的并、交、补 ➢ <P, *> P：石油大学的学生，*可以定义为求P1和P2中
年龄较小者的二元运算。