离散数学——代数系统 5.1 5.3 (2+2学时)
合集下载
离散数学 第五章代数系统
“＋”是普通加法，0∈A，并且对任意的自然 数x∈A，有x＋0＝0＋x＝x
2020/4/1
国际学院
90--16
单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
2020/4/1
国际学院
90--10
3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
2020/4/1
国际学院
90--22
零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
2020/4/1
国际学院
90--9
5.2 代数运算的性质
2．交换律
2020/4/1
国际学院
90--16
单位元素或幺元
定 义 5.2.7 ： 设 “ * ” 是 集 合 S 上 的 二 元 运 算 ， <S,*> 是 一 个 代 数 系 统 ， 若 eS ， 使 得 对 aS，都有：
1) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于S的单 位元素或幺元；
则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。
2020/4/1
国际学院
90--10
3.分配律
定义5.2.4：设“*”、“о”是集合S上的两个
二元运算，对a,b,cS， 1) 若 aо(b*c) ＝ (aоb)*(aоc) ， 则 称 运 算
“о”对“*”在S上满足左分配律(或第一分 配律)； 2) 若 (b*c)оa ＝ (bоa)*(cоa) ， 则 称 运 算 “о”对“*”在S上满足右分配律(或第二分 配律)。 3) 如果“о”对“*”既满足左分配律又满足右 2020/4分/1 配律，则称о”国对际学“院*”在S上满足分配90-律-11。
2).设有代数系统<R,×>，“1”是该代数系统的 幺元。对aR且a0，都a＝1/a， 使得： a×a-1＝a×(1/a)＝a-1×a＝(1/a)×a＝0，
所以“1/a”是“a”的逆元，而a＝0无乘法逆元。
2020/4/1
国际学院
90--22
零元
定义5.2.9：设“*”是集合S上的二元运算,<S,*> 是一个代数系统，若θS,使得对aS,都有：
2020/4/1
国际学院
90--9
5.2 代数运算的性质
2．交换律
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学 ch5.1~2代数系统的概念及性质
代数系统：是用代数运算的方法构造数学模型。所 谓代数运算方法就是在建立满足一定规则的运算系 统（集合上定义若干个运算组成的系统）。
5-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算(n-Ary Operation) 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” I - I P(E) ~ P(E) N2 + N 。 Φ Φ。 (0,0)。 。 0 2。 。 -2 (0,1)。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 (0,2)。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 (1,0)。 2 {a,b} 。 。 {a,b} (1,1)。 (1,2)。 可见运算“-”、“~”、“+” 就是个映射(函数)。 ... ... ... ... ... ... ...
六.逆元 设是X上有幺元e 的二元运算，x∈X，如果存在元素 xL-1∈X，使得，xL-1x=e，则称xL-1是x相对的左逆元 如果存在xR-1∈X，使得xxR -1 =e，则称xR -1是x相对的 右逆元。 如果xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=e, 称x-1是x相对的 逆元。也称x-1与x互为逆元。如x-1∈X ,也称x可逆。 -1 xR x 例1实数集合R上的+和×，x∈R S R A L -1 = -x 对加+: x (e=0) S S R A L 对乘×: x-1 =1/x (x≠0) (e=1) 从运算表找x的左 逆元 xL-1 ： x R R A L S A A L S R 在x列向下找到e后，再向左到 xL-1 L -1 。 L S R A 左表头元素即是xL 从运算表找x的右逆元 xR-1： 求R的逆： R-1 =L 在x行向右找到e后，再向上到上表头元素即是xR-1 。
离散数学(第二版)第5章代数系统的基本概念
(
x11
*x)*
x
2
1
=e*
x
2
1
=
x
2
1
由 x11 x21 ，故唯一性成立。 由逆元定义知，若x-1存在，则x-1*x=x*x-1=e。
证毕
第五章 代数系统的基本概念
定理5.1.4 设*是集合S中的一个可结合的二元运算，且 e为S中对于*的幺元，x有逆元x-1，则(x-1)-1=x。
证明 (x-1)-1=(x-1)-1*e=(x-1)-1*(x-1*x) =((x-1)-1*x-1)*x=e*x=x。 证毕
定理5.1.2 设*是S中的二元运算且θr 与θl分别是对于* 的右零元和左零元，则θr=θl=θ， 使对任意元素x∈S有 x*θ=θ*x=θ， 称元素θ是S中关于运算*的零元(zero)且唯一。
第五章 代数系统的基本概念
证明 因为θr 和θl分别是*的右零元和左零元，故有 θl*θr=θl，θl*θr=θr，所以θr=θl。 令其为θ，有
如，在〈P(A)，∪，∩〉
P(A)的加法幺元、 乘法
零元， 称A为P(A)的乘法幺元、 加法零元。
第五章 代数系统的基本概念
定义5.1.5 设*是集合S中的一种二元运算，且S中对于* 有e为幺元，x，y为S中元素。若x*y＝e，那么称x为y的左逆 元，y为x的右逆元，若x对于*运算既有左逆元又有右逆元， 则称x是左、 右可逆的。若x左右均可逆，称x可逆。
对于全集E的子集的交“∩
;
在命题集合中，对于析取“∨”运算，重言式是零元； 在命题集合中，对于合取“∧”运算，矛盾式是零元。
【例5.1.8】设S＝｛a，b，c｝， S上*运算由运算表(如
表5.1.5所示)确定，那么b是右零元， a是幺元。
离散数学第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
第五章 代数系统基础
6、逆元 、 是集合A上具有单位元 的二元运算， 设 * 是集合 上具有单位元 e 的二元运算，对于元 ， 素 a ∈ A，若 ∃一个元素 a l -1∈A，使得 a l -1* a = e ， ， 则称元素a 是左可逆的， 则称元素 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的 左逆元； 左逆元；若 ∃一个元素 a r -1∈A，使得 a * a r -1 = e ， ， 则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称 r -1为a的 是右可逆的，并称a 则称元素 的 右逆元； 右逆元；若 ∃一个元素 a -1∈A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称 -1为 a 是可逆的，并称a 的逆元。 的逆元。 显然， 的逆元， 也为a 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为 -1的逆元
第五章 代数系统基础
例7：代数系统 (ρ( E), ∼) 与 (ρ( E),∪) 的类型不相同。 ： ∪ 的类型不相同。
第五章 代数系统基础
3、子系统（或子代数） 、子系统（或子代数） 定义： 定义：设 ( S ,
1
,
2
,⋯ ,
i
n
) 是代数系统， 是代数系统，
S ′ 是 S 的在每一运算
下 ( i = 1, 2, …，n ) ，
上述运算为 °( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法 ，
第五章 代数系统基础
A={0, 1}, 二元运算 * 的定义见下表。 的定义见下表。 * 0 1 0 0 0 1 0 1
上述运算*是集合 ， 上的逻辑合取运算 上述运算 是集合{0，1}上的逻辑合取运算 是集合
离散数学第5章 代数系统的一般性质
例:
实数集上的加法,减法, 实数集上的加法,减法,乘法 幂集P(S)上的∪,∩,⊕,相对 上的∪ 幂集 上的 补 M(R)上的矩阵加法和乘法 上的矩阵加法和乘法
幂: x ... x = x n x
n个
幂运算的公式: 幂运算的公式:
x
m
x =x
n
mn
m+n
(x ) = x
m n
定义: 定义:幂等律
. 1 1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
定义: 定义:可交换
上的二元运算,如果对任意 设 为S上的二元运算 如果对任意 上的二元运算 的x,y∈S都有 ∈ 都有 x y=y x 上是可交换的. 则称运算 在S上是可交换的 上是可交换的 ( 在S上的适合交换律) 上的适合交换律) 上的适合交换律
l r l r
定义: 定义:逆元
上的二元运算, 设 为S上的二元运算 e∈S为运 上的二元运算 ∈ 为运 幺元. 如果存在y 算 幺元 对x∈S,如果存在 (或 ∈ 如果存在 或 y ) ∈S使得 使得 y x=e(或x y =e) 或 则称y 或 是 的左逆元(或 则称 (或y )是x的左逆元 或右 逆元) 逆元 逆元
例5.1
1)自然数集合 上的乘法,除法 自然数集合N上的乘法 自然数集合 上的乘法, 2)整数集合 上的加法,减法, 整数集合Z上的加法 整数集合 上的加法,减法, 乘法, 乘法,除法 * 3)非零实数集 上的加法,减法, 非零实数集R 非零实数集 上的加法,减法, 乘法, 乘法,除法 4)Mn(R)表示所有 阶实矩阵的集 表示所有n阶实矩阵的集 表示所有 合(n≥2), Mn(R)上的加法和乘 法运算
《离散数学》第5章 代数系统简介
b R 都有 b a b ，所以，任意 R 的元素 a 都是
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元. 例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数， ” “ 是普通乘法，问 1 是它的幺元吗？ 解：代数系统 R, ，其中 R 为实数， ”是普 “ 通乘法， 并且对任意的实数 m R ， m 1 1 m m ， 有
于运算“ ”的零元.
注意：零元的符号“ ”有时候也用“ 0 ”表示， 但“ 0 ”不一定具有自然数 0 的含义，它只是零元的记 号.
例 5.4 代数系统 Z , 中，其中 Z 为整数， ”是 “ 普通乘法，问 0 是它的零元吗？
0 解： Z 且对任意的 m Z ， 均有 m 0 0 m 0 ，
运算的左零元， R 中没有右零元，也没有零元.
定理 5.3 设 为集合 A 上的二元运算， l 和 r 分别为运 算 的左零元和右零元，则有 l r 且 是 A 上关于 运算 的惟一零元. 证明略. 8、设 为集合 A 上的二元运算，且在集合 A 中存在单 位元 e ，对任意的 m A 若存在 yl A ，有 yl m e ，则称 yl 为 m 的左逆元. 若存在 yr A ， m yr e ， 有 则称 yr 为 m 的右逆元. 若存在 y A ，有 m y y m e ，则称 y 为 m 的 逆元.
例如， 在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的 整数 x, y , z 由 x y x z或y x z x 可得 y z . 消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S ) 上，取 A,, B, C P(S ) ，由 A B A C 不一定能得到
运算 的右幺元. R 中有无数多个右幺元，但是没有 幺元. 例 5.3 代数系统 R, 中，其中 R 为实数， ” “ 是普通乘法，问 1 是它的幺元吗？ 解：代数系统 R, ，其中 R 为实数， ”是普 “ 通乘法， 并且对任意的实数 m R ， m 1 1 m m ， 有
于运算“ ”的零元.
注意：零元的符号“ ”有时候也用“ 0 ”表示， 但“ 0 ”不一定具有自然数 0 的含义，它只是零元的记 号.
例 5.4 代数系统 Z , 中，其中 Z 为整数， ”是 “ 普通乘法，问 0 是它的零元吗？
0 解： Z 且对任意的 m Z ， 均有 m 0 0 m 0 ，
运算的左零元， R 中没有右零元，也没有零元.
定理 5.3 设 为集合 A 上的二元运算， l 和 r 分别为运 算 的左零元和右零元，则有 l r 且 是 A 上关于 运算 的惟一零元. 证明略. 8、设 为集合 A 上的二元运算，且在集合 A 中存在单 位元 e ，对任意的 m A 若存在 yl A ，有 yl m e ，则称 yl 为 m 的左逆元. 若存在 yr A ， m yr e ， 有 则称 yr 为 m 的右逆元. 若存在 y A ，有 m y y m e ，则称 y 为 m 的 逆元.
例如， 在整数集合上加法是满足消去律的.对任意的 整数 x, y , z 由 x y x z或y x z x 可得 y z . 消去了 x .类似地，对乘法也有消去律.但在幂集 P(S ) 上，取 A,, B, C P(S ) ，由 A B A C 不一定能得到
离散数学代数系统
离散数学代数系统
离散数学代数系统（DMA）是一种非常重要的自然科学的数学工具，它的应用涉及到很多领域，尤其有助于理解和解释有关数学物理和技术实践的问题。
例如，它可以用来解决常微分方程的相关性、热传导的传递的关系和任何复杂系统的建模和仿真。
离散数学代数是一个全面的研究领域，它包括各种数学工具，比如数论，偏微分方程，微分动力学和控制论等，以及如何实际应用这些工具来解决数学物理和技术实践的问题。
离散数学代数的主要任务是解决与数值计算有关的科学问题，为此，他们开发了一系列数据结构，比如图，矩阵和线性代数。
重点也放在了提出有效的算法来解决离散问题，比如图像处理、机器人控制和递归算法等。
随着计算机技术和网络技术的发展，离散数学代数越来越重要，它们被广泛应用于新技术的研究中，包括经过计算机处理的信号、全局优化和分布式计算环境等。
因此，离散数学代数对计算机科学和技术的发展有着重要的作用，其重要性日益增强。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17
挪威天才数学家阿贝尔
伽罗瓦
在这一时期, 在这一时期 碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研 这个问题, 而且最终取得了成功, 他就是伽罗瓦 伽罗瓦(Galois). 这个问题 而且最终取得了成功 他就是伽罗瓦 伽罗瓦1811年10月降生于巴黎近郊。只活了 岁， 年 月降生于巴黎近郊 只活了20岁 月降生于巴黎近郊。 伽罗瓦 而他所留下的著作总共只有60页 而他所留下的著作总共只有 页，但却以自己天才的创 犹如划破黑夜长空的一颗彗星——Galois的出现， 的出现， 造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星 的出现 开创了置换群论的研究。 开创了置换群论的研究。 可是这位年轻人获得的非凡 成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认 成果 在他因决斗去世 年后才开始得到数学界的承认 伽罗瓦幼年受过良好教育， 岁上中学 岁上中学， 。伽罗瓦幼年受过良好教育，12岁上中学，1827年16岁 年 岁 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。 就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。
4
抽象代数主要研究内容
抽象代数是数学的一个分支， 抽象代数是数学的一个分支 ， 它用代数的方法从 不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规 性质和结构。 律、性质和结构。 代数系统—具有运算的集合 是抽象代数研究的 代数系统 具有运算的集合—是抽象代数研究的 具有运算的集合 主要对象。它是在较高的观点上， 主要对象 。 它是在较高的观点上 ， 把一些形式上很不 相同的代数系统， 撇开其个性， 抽出其共性， 相同的代数系统 ， 撇开其个性 ， 抽出其共性 ， 用统一 的方法描述、 研究和推理， 的方法描述 、 研究和推理 ， 从而得到一些反映事物本 质的结论，再把它们应用到那些系统中去， 质的结论 ， 再把它们应用到那些系统中去 ， 高度的抽 象产生了广泛的应用。 象产生了广泛的应用。
7
群论的出现
群论是现代数学非常重要的分支, 群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的开 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。 端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇。这要 从代数方程的求解方法谈起。 从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研 究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多 究有很悠久的历史。大家知道， 项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程: 与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程:
5
抽象代数主要研究内容
抽象代数学的研究对象是抽象的， 抽象代数学的研究对象是抽象的 ， 它不是以某一 具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性 具体对象为研究对象， 而是以一大类具有某种共同性 质的对象为研究对象， 质的对象为研究对象， 因此其研究成果适用于这一类 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。 将介绍最基本最重要的代数系统： 将介绍最基本最重要的代数系统：群。
阿贝尔
克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年5月 年 月 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年 月 日患结核病不 阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年4月6日患结核病不 幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来 幸去世，年仅 岁 就在他去世后两天后， 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。 信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚 ，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。 阿贝尔已无法前往接受这一职务了。
6应用Biblioteka 群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、 群论在数学的各个分支和物理学、力学、化学、生物 计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 抽象代数学在计算机科学中的广泛应用： 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 1)半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用； 半群理论在自动机和形式语言中发挥了重要作用 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 2)群论在计算机安全领域的重要作用； 群论在计算机安全领域的重要作用 3)有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发 3)有限域的理论是编码理论的数学基础， 有限域的理论是编码理论的数学基础 挥了重要作用； 挥了重要作用； 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 4)格和布尔代数的理论成为电子计算机硬件设计和通 系统设计中的重要工具。 讯 系统设计中的重要工具。
群论的出现
直至16世纪形如 直至 世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求 的三次方程的求 费罗(Ferro)和塔尔塔里亚 根公式才被意大利数学家费罗 和 根公式才被意大利数学家费罗 (Tartalia) 彼此独立发现。 彼此独立发现。 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 卡尔达塔(Cardano) 后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他， 在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。 氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却 背弃诺言， 1545年将塔氏关于三次方程的解法发表在 背弃诺言， 年将塔氏关于三次方程的解法发表在 自己的著作《大术》 一书中. 自己的著作《大术》(Ars Magna)一书中 在三次方程求 一书中 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉 所解决， 所解决 也发表在这部书中。 里( Ferrari)所解决，也发表在这部书中。
群论的出现
由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根 式解法，于是数学家们开始进行反思。 式解法，于是数学家们开始进行反思。拉格朗日 Lagrange)在1770年猜测 “这样的求根公式不存在 年猜测: 这样的求根公式不存在。 (Lagrange)在1770年猜测: “这样的求根公式不存在。” 他预见到一般方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。 的某些排列置换问题。
12
群论的创始人
Lagrange的洞察力启发了年轻的阿贝尔(Abel)与伽罗 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 的洞察力启发了年轻的阿贝尔 与 瓦(Galois)，他们在继承了 ，他们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基 留下的宝贵遗产基 础上，各自作出了重要的贡献。 础上，各自作出了重要的贡献。 Abel （N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数学 ，挪威数学家， 发展的先驱者。 日出生于一个牧师家庭， 发展的先驱者。1802年8月5日出生于一个牧师家庭，幼 年 月 日出生于一个牧师家庭 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学， 岁进入奥斯陆一 年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一 所教会学校学习，成绩优异。 岁自学数学名著， 所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中 岁自学数学名著 学时被誉为“数学迷” 学时被誉为“数学迷”。他的数学老师霍尔姆博发现了 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。 阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。
阿贝尔
当阿贝尔的著作发表时， 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊 在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理： 奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：“如 果方程的次数n 并且系数被看成字母， 果方程的次数n≥5，并且系数被看成字母，那么任何 一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解 。”原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以 不能成功，只因为这个问题就没有解。 不能成功，只因为这个问题就没有解。 1826年阿贝尔又到了巴黎， 1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数 年阿贝尔又到了巴黎 勒让德和 学家勒让德 柯西。 学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视， 论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只 好又返回柏林。 好又返回柏林。
群论的出现
当一般的二、 当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被 解决之后， 解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程 的求根公式。 的求根公式。 但事情的发展似乎突然停了下来. 但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18 18世纪中叶 虽然有很多数学家作出了努力, 其中包括18世纪中叶 伟大的瑞士数学家欧拉 欧拉(Euler), 伟大的瑞士数学家欧拉(Euler), 经过三个世纪之久仍然 没有一个人能找出五次方程的求根公式. 没有一个人能找出五次方程的求根公式.
2
抽象代数简介
抽象代数主要研究内容
群论的出现及创始人 群论的应用
3
引例
我们学过很多代数，如集合代数， 我们学过很多代数，如集合代数，命题代数等等 尽管研究的对象及对象的运算不同， ，尽管研究的对象及对象的运算不同，但是它们的性 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、 质完全一样，都有交换律、结合律、分配律、吸收律 摩根律、同一律、零律、互补律等。 、德-摩根律、同一律、零律、互补律等。这些促使 我们将代数的研究引导到更高的层次— 我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体对 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。 象的代数—抽象代数，来研究代数的共性。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲： 主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院 2011 2011.09
1
代数系统（代数结构） 代数系统（代数结构）
抽象代数简介
代数系统的基本概念(重点 代数系统的基本概念 重点) 重点 二元运算的性质(重点 二元运算的性质 重点) 重点 代数系统的同态与同构（难点） 代数系统的同态与同构（难点）
阿贝尔
阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。 1828年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为 位法国科学院院士上书挪威国王， 年 位法国科学院院士上书挪威国王 阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院 阿贝尔提供合适的科学研究位置， 会议上对阿贝尔大家赞扬。 会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就 是多方面的，除五次方程外， 是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类 的代数方程， 的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗瓦群的 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群. 方程。后人为了纪念他，就把交换群称为 群