内蒙古大学离散习题代数系统部分答案

《离散数学》代数系统
1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有
可逆元素的逆元.
1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集. 构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。

2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.
2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元
运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算
3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.
1)列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A}
2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.
3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 幺元E A、零元I A；只有E A可逆，其逆元为E A.
4)说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群
4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.
1)给出关于*运算的一个运算表.
其中表中？位置可以是a、b、c。

2)*运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*（b*b）=c≠（a*b）*b=b
5.设<R，*>是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).
证明：:<R，*> 是独异点.
6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.
证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.
(a*b)*(a*b)
= a*(b*a)*b 结合律
= a*( a*b)*b 交换律
= (a* a)*(b*b)
= a*b.
7.设<G,·,–1,e>是一个群,则∀a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.
8.求循环群<Z16，+>的所有生成元和子群.
生成元有：1、3、5、7、9、11、13、15
子群有：<0>、<1>、<2>、<4>、<8>.
9.设<G，*>是群，a∈G .
现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，∀x,y∈G .
证明：<G，⊙>也是群.
证明：显然⊙是G上的一个二元运算。

∀x,y,z∈G，(x⊙y)⊙z=(x⊙y)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)= x*a*(y⊙z)= x⊙(y⊙z).故运算⊙满足结合律.
∀x∈G，x⊙a-1=x*a*a-1=x*e=x，a-1⊙x=a-1*a*x=e*x=x，故a-1是幺元.
∀x∈G，x⊙(a-1*x-1* a-1)=x*a*(a-1*x-1* a-1)= x*e*(x-1* a-1)= a-1.
(a-1*x-1* a-1)⊙x= (a-1*x-1* a-1)*a*x=(a-1*x-1)*e*x = a-1.
故a-1*x-1* a-1是x关于⊙的逆元.
综上所述<G , ⊙>是群.
10.试写出模6加法群<Z6，+6>的每个子群及其相应的左陪集.
<Z6，+6>的运算表如下所示：
<Z6，+6>的子群：<{0}，+6>、<{0,3}，+6>、<{0,2,4}，+6>和<Z6，+6>.
11.试aH和bH是子群H在G中的两个左陪集.
证明：aH=bH或aH∩bH=
12.试写出群和环的定义.
13.证明偏序集与格的等价。

14.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.
1)A关于整除关系是否构成偏序集？构成偏序集
2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.
3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？(分配格、有界格、有补格、布尔格).
分配格、有界格、有补格、布尔格。